Elementos de Matemáticas y Aplicaciones

209 Pages·2014·10.68 MB·Spanish

Elementos de Matemáticas y
Aplicaciones
M. Castrillón A. Díaz-Cano J. J. Etayo M. Folgueira
J. A. Infante L. M. Pozo J. M. Rey
VERSIÓN: 2014
FacultaddeMatemáticas.UniversidadComplutensedeMadrid

Índice
Introducción.......................................................................................... 7
1. Númerosenteros.Dígitosdecontrolycriptografía .............................................. 9
1.1 Relacionesenlosenteros .......................................................................... 9
1.2 Ladivisióneuclídea ............................................................................... 10
1.3 Elmáximocomúndivisor.......................................................................... 10
1.4 Losnúmerosprimos............................................................................... 12
1.5 Aplicación:Dígitosdecontrol...................................................................... 14
1.5.1 LaletradelN.I.F........................................................................... 14
1.5.2 LosdígitosdecontrolenelD.N.I.electrónico ............................................... 15
1.5.3 ElNúmerodeRegistroPersonaldelosFuncionarios......................................... 17
1.6 Congruencias ..................................................................................... 17
1.7 Aplicación:Criptografía ........................................................................... 25
1.7.1 Procedimientoaditivo...................................................................... 25
1.7.2 Procedimientomultiplicativo ............................................................... 25
1.7.3 Procedimientoexponencial................................................................. 26
1.7.4 ElprocedimientoRSA ..................................................................... 29
1.8 Problemas ........................................................................................ 29
2. Gruposdesimetrías.Mosaicos .................................................................. 35
2.1 Lassimetríasrotacionalesdeuntetraedro........................................................... 35
2.2 Grupos.Isomorfismosyhomomorfismosdegrupos.................................................. 35
2.2.1 Definiciónaxiomáticadegrupo............................................................. 35
2.2.2 Subgrupos.Gruposfinitos.Orden........................................................... 38
2.2.3 Isomorfismos:cuándodosgruposson“iguales”.............................................. 40
2.2.4 Homomorfismosdegrupos.Núcleoeimagen................................................ 42
2.2.5 Subgruposnormales.Elgrupocociente...................................................... 42
2.3 Isometríasdelplanoymatricesortogonales ......................................................... 43
2.4 Grupodiédricoeisometríasdelplano............................................................... 53
2.5 Gruposcristalográficosplanos...................................................................... 56
2.6 Retículosysuclasificación......................................................................... 57
2.7 Aplicación:Clasificacióndelosmosaicosdelplano ................................................. 61
2.8 Problemas ........................................................................................ 66
3. Trigonometríaplanayesférica.Aplicaciones .................................................... 73
3.1 Introducciónycontenidos.......................................................................... 73
3.2 Trigonometríaplana ............................................................................... 73
3.2.1 Revisión................................................................................... 73
Funcionestrigonométricas:sen; cos; tan; csc; sec; cot.................................... 73
Valoresdelasfuncionestrigonométricaspara0◦,90◦,180◦y270◦........................... 74
Relacionesfundamentales.................................................................. 74
Identidades................................................................................ 74
Funcionestrigonométricasdedosángulos................................................... 74
Valoresdelasfuncionestrigonométricaspara30◦,45◦y60◦................................. 76
Valoresdelasfuncionestrigonométricaspara(cid:0)(cid:11),90◦(cid:6)(cid:11),180◦(cid:6)(cid:11),270◦(cid:6)(cid:11)yk(cid:1)360◦(cid:6)(cid:11)
siendo(cid:11)unángulodelprimercuadrante........................................... 76
Triángulosplanos.Leyesyfórmulasgenerales............................................... 76
3.2.2 AplicacionesdelatrigonometríaplanaalanavegaciónyGeodesia............................ 77
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4 Índice ElementosdeMatemáticasyaplicaciones
3.3 Trigonometríaesférica............................................................................. 77
3.3.1 Geometríaesférica......................................................................... 77
3.3.2 Triángulosesféricos........................................................................ 80
3.4 Aplicacionesdelatrigonometríaesféricaalanavegación ............................................ 88
3.5 Sistemasdecoordenadasenlaesferaceleste ........................................................ 90
3.5.1 Laesferaceleste........................................................................... 90
3.5.2 Sistemasdecoordenadascelestes ........................................................... 91
Sistemahorizontal(oaltacimutal)........................................................... 91
Sistemaecuatorialhorario.................................................................. 92
Sistemadecoordenadasecuatorialabsoluto ................................................. 93
Transformacionesentresistemasdecoordenadascelestes..................................... 94
3.6 Elelipsoideterrestre............................................................................... 97
3.6.1 FormaydimensionesdelaTierra.Reseñahistórica .......................................... 97
PolémicasobrelaformadelaTierra ........................................................ 98
Unidadesdelongitudysurelaciónconlasdimensionesterrestres............................. 98
LaTierrarepresentadaporelipsoides........................................................ 99
3.6.2 PosicióndeunobservadorenlasuperficiedelaTierra ....................................... 99
Coordenadasgeocéntricas.................................................................. 100
Coordenadasgeodésicas.................................................................... 101
Coordenadasastronómicas(ogeográficas)................................................... 101
3.7 Posicionamientoutilizandosatélitesartificiales...................................................... 102
ComponentesprincipalesdelsistemaNAVSTAR–GPS....................................... 102
PosicionamientoconGPS .................................................................. 104
3.8 Problemas ........................................................................................ 107
4. Dinámicadiscreta ................................................................................ 117
4.1 Sistemasdinámicosdiscretos.Terminología......................................................... 117
4.2 Sistemasdinámicoslinealesdeprimerorden ........................................................ 122
4.2.1 Puntosdeequilibrio:estabilidad,análisisgráfico............................................. 123
4.2.2 Solucióngeneralyparticulardelsistemahomogéneo......................................... 129
4.2.3 Solucióngeneralyparticulardelsistemaafín................................................ 132
4.2.4 Aplicaciones .............................................................................. 135
Finanzas .................................................................................. 135
Dataciónmediantecarbono14 ............................................................. 137
Evolucióngenética......................................................................... 137
4.3 Sistemasdinámicoslinealesdesegundoorden....................................................... 139
4.3.1 Sistemashomogéneos:Polinomiocaracterístico,solucióngeneralyparticular ................. 140
4.3.2 Sistemasafines:Solucióngeneralyparticular................................................ 145
4.3.3 Aplicaciones .............................................................................. 147
Apuestas .................................................................................. 147
Endogamia................................................................................ 149
4.4 Sistemasdinámicosnolineales:Estabilidadycaos .................................................. 151
4.4.1 Estabilidad ................................................................................ 151
4.4.2 Laecuaciónlogística....................................................................... 156
4.4.3 Ciclosycaos .............................................................................. 160
4.5 Problemas ........................................................................................ 167
5. Teoríadegrafosyaplicaciones ..................................................................175
5.1 Definiciones.Lemadelapretóndemanos........................................................... 175
5.2 Isomorfismodegrafos ............................................................................. 180
5.3 Matrizdeadyacencia .............................................................................. 182
5.4 Caminoseulerianosyhamiltonianos................................................................ 186
5.4.1 Caminoseulerianos ........................................................................ 186
5.4.2 Caminoshamiltonianos .................................................................... 189
5.5 Grafosplanos ..................................................................................... 190
5.5.1 FórmuladeEuler .......................................................................... 192
5.6 Coloracióndegrafos............................................................................... 193
5.7 Teoríaespectraldegrafos.AplicaciónaGoogle ..................................................... 194
5.8 Problemas ........................................................................................ 199
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ElementosdeMatemáticasyaplicaciones Índice 5
Bibliografía ...........................................................................................209
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6 Índice ElementosdeMatemáticasyaplicaciones
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Introducción
La asignatura Elementos de Matemáticas y aplicaciones está encuadrada en el primer curso de los tres
grados(IngenieríaMatemática,MatemáticasyMatemáticasyEstadística)queseimpartenenlaFacultad
deCienciasMatemáticasdelaUniversidadComplutensedeMadrid.Setratadeunamateriaobligatoria,de
caráctertransversalyenlaquesepretendedarunaideadelaaplicabilidaddelasMatemáticasencuestiones
cercanasalocotidiano.
Para ello, se han elegido algunos temas que forman parte de la que podríamos llamar cultura gene-
ral matemática, cuya presentación se lleva a cabo tras haber estudiado la teoría matemática en la que se
asientan,sinrenunciarenningúnmomentoalrigoryprecisiónnecesarios.Enloscincocapítulosquecons-
tituyen el cuerpo de la asignatura se ha intentado destilar la parte teórica imprescindible, de forma que,
siendoautocontenida,sirvaparademostrarlosresultadosquevienenaconstituirloscimientosdelasdis-
tintasaplicaciones.Algunosdeestoscontenidosmatemáticosconstituyenunprimercontactoconpartesde
lamatemáticaqueserándesarrolladasinextensoenasignaturasdecursossucesivos.
A modo de resumen, podemos citar que la aplicación estrella del primer capítulo es el sistema de en-
criptado RSA; la Aritmética modular será la teoría necesaria para llegar hasta ella. El segundo capítulo
tiene como fin último la clasificación de los mosaicos planos; para alcanzarlo, se introduce previamente
la correspondiente Teoría de grupos. La Astronomía de posición y el posicionamiento por satélite (GPS)
sepresentantrashaberintroducidolaTrigonometríaesférica.ElestudiodelaDinámicadiscretapermite
desarrollaralgunasaplicacionesdetipofinanciero,asícomohacerunaprimeraincursiónenelcaosatravés
de la ecuación logística. Finalmente, el algoritmo de ordenación de Google es la guinda que culmina la
Teoríadegrafosestudiada.
Elpresentetrabajoesfrutodelaexperienciadevariosañosimpartiendoestaasignaturayhasidoreali-
zadoporunampliogrupodeprofesores.Partiendodediversostextosclásicosdelasmateriasdesarrolladas,
hemosreelaboradoelmaterialconvistasaconseguirelenfoquepretendidoquerelacionelateoríaconlas
aplicaciones. También hemos desarrollado ejemplos, gráficos e incluso un software propio, todo lo cual
pensamosquefacilitaunamejorcompresióndelosconceptosyresultadospresentados.
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8 Índice ElementosdeMatemáticasyaplicaciones
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1
Números enteros. Dígitos de control y
criptografía
Enestecapítulosepresentanresultadosrelativosanúmerosenterosyaladivisióneuclídeayseestudian
lascongruenciaslinealesconvistasadefinirlafuncióndeEuler.Todoellopermitiráanalizarlossistemas
dedígitosdecontrolylosprocedimientosdeencriptación.
1.1 Relaciones en los enteros
Comenzamosrecordandoelconceptoderelacióndeorden:
Definición1.1.1 DadounconjuntoX diremosqueResunarelacióndeordenenX siverificalassiguien-
tespropiedades:
a) Reflexiva:xRxparatodox∈X.
b) Antisimétrica:six,y ∈X verificanxRyeyRxentoncesx=y.
c) Transitiva:six,y,z ∈X verificanxRyeyRzentoncesxRz. 2
Enestecapítulovamosatrabajarconelconjuntodelosnúmerosenteros,Z,ysusubconjuntoNdelos
númerosnaturales.Enambosconjuntosexisteunarelacióndeorden“natural”,ladeterminadapor
aRb siysólosi b−a∈N∪{0}(esdecir,a≤b). (1.1)
Definición1.1.2 SeaX unconjuntoyRunarelacióndeordenenX.DiremosqueResunordentotalen
X siparatodopardeelementosx,y ∈X severificaquexRyoyRx. 2
Ejercicio1.1.3 Comprobarque(1.1)esunarelacióndeordentotalenNyenZ. 2
Definición1.1.4 SeaXunconjuntoyRunarelacióndeordenenX.DiremosqueResunabuenaordena-
ciónsiparacadasubconjuntonovacíoY deX existeunelementoa∈Y deformaqueaestárelacionado
contodosloselementosdeY. 2
Ejemplo1.1.5 La relación (1.1) es una buena ordenación en N, ya que el menor elemento de cualquier
subconjunto Y está relacionado con todos los elementos de Y, sea éste cual sea. En cambio, la relación
deorden(1.1)noesunabuenaordenaciónenZ,puesbastatomarunsubconjuntoenelquenoexista“el
menornúmero”(porejemplo,bastatomarcomoY losenterosnegativosparaquenohayaningúnelemento
relacionadocontodos).Dehecho,paracualquiera∈Z,elconjunto
{m∈Z: a≤m}
estábienordenadoconlarelación(1.1). 2
Observación1.1.6 Todobuenordenesunordentotal. 2
Enelconjuntodenúmerosenterossepuedendefinirotrasmuchasrelaciones;unafundamentaleslade
divisibilidad:
Definición1.1.7 Dadosdosnúmerosenterosmyn,diremosquemdivideansiexisteunenterodtalque
n=md.Denotaremosestasituaciónporm|n. 2
Ejercicio1.1.8 ComprobarquelarelacióndedivisibilidadenNesunarelacióndeorden(nototal)mientras
quenoloesenZ(porquenoesantisimétrica). 2
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10 Númerosenteros.Dígitosdecontrolycriptografía ElementosdeMatemáticasyaplicaciones
1.2 La división euclídea
Vamos a probar que dados dos números enteros, uno de ellos distinto de 0, el otro se puede dividir entre
ésteobteniendoelcocienteyelresto,yqueéstossonúnicos.
Teorema1.2.1 Sean n,m ∈ Z con m ̸= 0. Se verifica que existen unos únicos enteros q y r tales que
n = mq+r,con0 ≤ r < |m|.Losnúmerosq yr sedenominan,respectivamente,cocienteyrestodela
divisióndenentrem.
DEMOSTRACIÓN.
a) Supongamosprimeroquem>0.Nótesequeparacualquierq ∈Zsetieneque
n=mq+(n−mq).
La idea es encontrar un entero q de forma que n−mq satisfaga la hipótesis para r. Consideramos el
conjunto
S ={n−mx, x∈Z},
el cual contiene números no negativos (compruébese como ejercicio). Sea S el subconjunto formado
0
portalesnúmeros,estoes,
S ={n−mx, x∈Z y n−mx≥0}.
0
Puesto que S ̸= ∅, podemos considerar su menor elemento r = n−mq, con q ∈ Z. Es obvio que
0
r ≥0(puesr ∈S ).Supongamosquer ≥mylleguemosaunacontradicción;enefecto,entalcasose
0
tendríaque
0≤r−m=n−mq−m=n−m(q+1)=r−m<r
y,portanto,n−m(q+1)seríaunelementodeS menorqueelprimeror.
0
b) Sim<0,bastaaplicarelapartadoanteriora−m,pues
n=(−m)q+r =m(−q)+r.
Paraverlaunicidad,supongamosquehaydoscocientesydosrestos,
n=mq +r =mq +r
1 1 2 2
con
0≤r <|m| y 0≤r <|m|.
1 2
Siq ̸=q entonces|q −q |≥1y|m(q −q )|=|m||q −q |≥|m|.Porotraparte,
1 2 1 2 1 2 1 2
|m(q −q )|=|r −r |<|m|,
1 2 1 2
loquecontradiceladesigualdadanterior.Porlotanto,q1 =q2y,enconsecuencia,r1 =r2. 2
Observación1.2.2 Nótese que en la división euclídea el resto es siempre no negativo. Por ejemplo, la
divisiónde−8entre3proporcionacomocociente−3yresto1(ynocociente−2yresto−2). 2
1.3 El máximo común divisor
Definición1.3.1 Dados dos números enteros no nulos m y n, diremos que un número positivo d es un
máximocomúndivisordemynsidivideaambos,ysicualquieraquedivideaambosdividead. 2
Lossiguientesresultadostratansobrelaexistenciayunicidaddelmáximocomúndivisordedosenteros
nonulos,asícomodelaidentidaddeBézout.Enprimerlugar,sepresentaelconocidoalgoritmodeEucli-
desparaelcálculodelmáximocomúndivisordedosnúmeros(garantizandodepasosuexistencia).Este
algoritmoesparticularmenteinteresantecuandolosnúmerosson“grandes”pues,entalcaso,laconocida
regladelosfactoresprimoscomunesnoespracticable.
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