Elementos de Matem´atica Discreta para Computac¸ ˜ao

238 Pages·2010·1.43 MB·Portuguese

by  Anamaria Gomide

Elementos de Matema´tica Discreta
para Computac¸a˜o
Anamaria Gomide
∧
Jorge Stolfi
Versa˜o Preliminar de 25 de agosto de 2011
c 2011
(cid:13)
2
Suma´rio
Prefa´cio 11
1 Introduc¸a˜o a` lo´gicamatema´tica 15
1.1 Comotercerteza? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2 Ainvenc¸a˜odalo´gica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3 Euclidesedemonstrac¸o˜es geome´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4 A´lgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5 Aslinguagensdalo´gicamatema´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2 Teoria dos Conjuntos 19
2.1 Especificandoconjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.1 Definic¸o˜escirculares econtradito´rias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2 Igualdadedeconjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3 Conjuntovazio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4 Relac¸a˜o deinclusa˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.5 Cardinalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.6 Operac¸o˜es comconjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.6.1 Unia˜o eintersecc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.6.2 Diferenc¸a, universo,ecomplemento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.6.3 Diferenc¸asime´trica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.6.4 Propriedades das operac¸o˜escom conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.7 Conjuntosdeconjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.8 Conjuntopoteˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.9 Partic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.10 Produtocartesiano dedoisconjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.10.1 Produto dedoisconjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.11 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3 Lo´gica matema´tica 27
3.1 Lo´gicaproposicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.1.1 Proposic¸o˜es evaloreslo´gicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.1.2 Conectivoslo´gicoseproposic¸o˜es compostas . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.1.3 Notac¸a˜o para ca´lculoproposicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.1.4 Operadordeconjunc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.1.5 Operadordedisjunc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3
4 SUMA´RIO
3.1.6 Operadordenegac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.1.7 Operadordeimplicac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.1.8 Operadordeequivaleˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.1.9 Operadordedisjunc¸a˜o exclusiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.1.10 Precedeˆncia dosoperadores lo´gicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2 Afirmac¸o˜es auto-referentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.3 Manipulac¸a˜o lo´gicadeproposic¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.3.1 Tautologiasecontradic¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.3.2 Equivaleˆncialo´gica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.3.3 Equivaleˆnciaslo´gicasimportantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.3.4 Implicac¸a˜o lo´gica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.3.5 Equivaleˆnciaem contextoespec´ıfico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.4 S´ıntesedeproposic¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.4.1 Formas normaisdisjuntivaseconjuntivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.4.2 Sistemas completosdeoperadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.5 Dualidadelo´gica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.6 Lo´gicadePredicados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.6.1 Quantificac¸a˜o universal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.6.2 Quantificac¸a˜o existencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.6.3 Quantificadordeexisteˆnciaeunicidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.6.4 Quantificac¸a˜o sobreo conjuntovazio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.6.5 Ca´lculo depredicados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.6.6 Negac¸a˜o dequantificadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.6.7 Distributividadedequantificadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.6.8 Traduzindolinguagemnaturalpara proposic¸o˜esquantificadas . . . . . . . 48
3.6.9 Mudanc¸adedom´ınio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.6.10 Quantificadores mu´ltiplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.6.11 Escopo deumquantificador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.6.12 Omissa˜odo dom´ınio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4 Me´todos deProva deTeorema 55
4.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.1.1 Definic¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.1.2 Conjeturas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.2 Me´todosdeprova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.3 Provadeimplicac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.3.1 Me´tododireto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.3.2 Me´tododacontrapositiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.3.3 Me´tododereduc¸a˜o ao absurdo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.3.4 Implicac¸a˜o comteseconjuntiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.3.5 Implicac¸a˜o comhipo´tesedisjuntiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.4 Provadeafirmac¸o˜es“se esomentese” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.5 Provadequantificadoruniversal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.5.1 Suspensa˜o doquantificador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.5.2 Provaporvacuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
SUMA´RIO 5
4.6 Provadeteoremascom o quantificadorexistencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.6.1 Demonstrac¸o˜esconstrutivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.6.2 Demonstrac¸o˜esna˜o construtivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.6.3 Provasdeexisteˆnciaeunicidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.6.4 Provadefalsidadeporcontra-exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.7 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5 Induc¸a˜oMatema´tica 69
5.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.2 Princ´ıpiodeInduc¸a˜o Matema´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.2.1 Formulac¸a˜o doPIM usandoconjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.3 Generalizac¸o˜es daInduc¸a˜o Matema´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.3.1 Base gene´rica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.3.2 Passo gene´rico constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.4 Maisexemplosdeinduc¸a˜o matema´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.5 Usosindevidosdainduc¸a˜o matema´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.6 Princ´ıpiodaInduc¸a˜o Completa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.6.1 Formulac¸a˜o doPIC usandoconjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.7 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.8 Princ´ıpiodaBoaOrdenac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.9 Formasequivalentesdoprinc´ıpiodainduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.9.1 PIM implicaPBO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.9.2 PBO implicaPIC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.9.3 PIC implicaPIM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.10 Exerc´ıciosadicionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
6 Relac¸o˜es 85
6.1 Conceitosba´sicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.1.1 Dom´ınioeimagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.1.2 Restric¸a˜o derelac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6.1.3 Relac¸o˜es deidentidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6.1.4 Relac¸a˜o inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6.1.5 Imagem eimageminversadeconjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6.2 Composic¸a˜o derelac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6.2.1 Notac¸a˜o alternativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
6.2.2 Composic¸a˜o com identidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
6.2.3 Composic¸a˜o com arelac¸a˜o inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
6.2.4 Inversadacomposic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
6.2.5 Composic¸a˜o e inclusa˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
6.2.6 Poteˆncias deumarelac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
6.3 Representac¸a˜o derelac¸o˜es usandomatrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.3.1 Matrizbooleanadeumarelac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.3.2 Operac¸o˜es comrelac¸o˜esusando matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
6.4 Tiposderelac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
6.4.1 Composic¸a˜o e transitividade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6 SUMA´RIO
6.4.2 Propriedades derelac¸o˜es usandomatrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6.5 Fechos deumarelac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
6.5.1 Fecho reflexivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
6.5.2 Fecho sime´trico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.5.3 Fecho transitivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.5.4 Fecho emgeral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6.6 Relac¸o˜es deordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
6.6.1 DiagramadeHasse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
6.6.2 Relac¸o˜es deordemestrita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
6.6.3 Ordem total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
6.6.4 Ordem lexicogra´fica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
6.6.5 Ordens “parciais” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
6.6.6 Elementosm´ınimosema´ximos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
6.6.7 Elementosminimaisemaximais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
6.7 Relac¸o˜es deequivaleˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
6.7.1 Classes deequivaleˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
6.7.2 Relac¸o˜es deequivaleˆnciaepartic¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
7 Func¸o˜es, sequeˆncias erelac¸o˜es n-a´rias 113
7.1 Func¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
7.1.1 Conceito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
7.1.2 Dom´ınioeimagemdeumafunc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
7.1.3 As func¸o˜es pisoeteto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
7.1.4 Func¸a˜o injetora,sobrejetoraebijetora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
7.1.5 Composic¸a˜o defunc¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
7.1.6 Func¸a˜o inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
7.1.7 Imagem eimageminversadeconjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
7.1.8 Restric¸a˜o defunc¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
7.1.9 Permutac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
7.1.10 Func¸o˜esidempotentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
7.2 Sequeˆncias finitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
7.2.1 Notac¸a˜o para sequeˆnciasfinitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
7.2.2 ´Indiceinicialpadra˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
7.2.3 Comprimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
7.2.4 Concatenac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
7.2.5 Subsequeˆncias esubcadeias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
7.2.6 n-uplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
7.3 Produtocartesiano denconjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
7.4 Relac¸o˜es n-a´rias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
7.4.1 Definic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
7.4.2 Projec¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
7.4.3 Permutac¸a˜o decomponentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
7.4.4 Restric¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
7.4.5 Junc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
SUMA´RIO 7
8 Somato´rias eproduto´rias 127
8.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
8.2 Somato´riasba´sicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
8.3 Manipulac¸a˜o desomato´rias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
8.4 Somato´riasmu´ltiplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
8.4.1 Mudanc¸adeordemdesomato´rias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
8.4.2 Distributividadegeneralizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
8.5 Majorac¸a˜odesomato´rias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
8.5.1 Majorac¸a˜o dos termos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
8.5.2 Majorac¸a˜o porinduc¸a˜o matema´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
8.5.3 Majorac¸a˜o porintegrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
8.6 Somasinfinitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
8.7 Produto´rias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
8.8 Iterac¸a˜o deoutras operac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
9 Sequeˆncias infinitas erecorreˆncias 143
9.1 Sequeˆncias infinitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
9.2 Especificandosequeˆncias infinitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
9.3 Recorreˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
9.4 Resoluc¸a˜o derecorreˆncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
9.4.1 Recorreˆncia aditivasimples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
9.4.2 Recorreˆncia multiplicativasimples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
9.4.3 Recorreˆncias lineares homogeˆneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
9.5 Recorreˆncias linearesna˜o homogeˆneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
9.6 Majorac¸a˜oe minorac¸a˜o derecorreˆncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
10 Contagem 151
10.1 Permutac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
10.1.1 Fo´rmuladeStirling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
10.2 Arranjos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
10.3 Combinac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
10.3.1 Casos especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
10.3.2 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
10.3.3 Fo´rmuladoBinoˆmiodeNewton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
10.3.4 Fo´rmularecursiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
10.4 Cardinalidadedaunia˜o deconjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
10.5 Combinac¸o˜es mu´ltiplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
11 Cardinalidade deconjuntos 161
11.1 Conjuntosfinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
11.2 Conjuntosinfinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
11.3 Conjuntosenumera´veiseconta´veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
11.4 Comparac¸a˜o decardinalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
11.4.1 TeoremadeCantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
11.4.2 Cardinalidades deCantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
8 SUMA´RIO
12 Introduc¸a˜o a` Teoria de Grafos 167
12.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
12.2 Variedades degrafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
12.2.1 Grafos orientadosena˜o orientados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
12.2.2 Arestas paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
12.2.3 Lac¸os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
12.2.4 Grafos simplesemultigrafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
12.2.5 Grafos finitose infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
12.3 Definic¸o˜es formais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
12.3.1 Arestas comopares ordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
12.3.2 Arestas comopares na˜o ordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
12.3.3 Arestas comoobjetoscom origemedestino . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
12.3.4 Arestas comoobjetoscom doisextremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
12.3.5 Convenc¸o˜es paraestelivro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
12.4 Conceitosfundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
12.4.1 Grafo vazioesemarestas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
12.4.2 Incideˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
12.4.3 Adjaceˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
12.4.4 Grau do ve´rtice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
12.4.5 Grafos regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
12.4.6 Grafos completos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
12.5 Percursos emgrafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
12.5.1 Passeios,trilhasecaminhos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
12.5.2 Inversa˜o econcatenac¸a˜oe depasseios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
12.5.3 Circuitos eciclos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
12.5.4 Passeiosorientados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
12.6 Subgrafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
12.6.1 Unia˜o eintersecc¸a˜o desubgrafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
12.6.2 Grafos complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
12.7 Representac¸a˜o matricialdegrafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
12.7.1 Matrizdeadjaceˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
12.7.2 Matrizdeincideˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
12.8 Isomorfismosdegrafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
12.8.1 Contagem degrafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
12.9 Conexidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
12.9.1 Conexidadeemgrafos na˜o orientados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
12.9.2 Conexidadeemgrafos orientados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
12.10A´rvores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
12.11Grafos bipartidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
12.12Grafos eulerianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
12.13Grafos hamiltonianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
12.14Grafos planares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
12.14.1A fo´rmuladeEulerpara grafosplanares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
12.14.2O teoremadeKuratowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
12.14.3Grafo dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
SUMA´RIO 9
12.15Colorac¸a˜o degrafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
12.15.1Colorac¸a˜o demapas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
12.15.2Colorac¸a˜o degrafos emgeral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
13 Probabilidade 201
13.1 Definic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
13.1.1 Distribuic¸a˜o uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
13.1.2 Princ´ıpio daexclusa˜omu´tua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
13.1.3 Princ´ıpio daexausta˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
13.1.4 Princ´ıpio dacomplementaridade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
13.1.5 Princ´ıpio daexclusa˜oeinclusa˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
13.1.6 Princ´ıpio daindependeˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
13.1.7 Relac¸a˜o com alo´gicacla´ssica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
13.2 Varia´velaleato´ria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
13.3 Valoresperado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
13.3.1 Propriedades do valoresperado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
13.4 Mediana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
13.5 Moda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
13.6 Variaˆnciaedesviopadra˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
13.6.1 Propriedades davariaˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
13.6.2 Desvio padra˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
13.6.3 Covariaˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
13.6.4 Coeficiente decorrelac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
13.7 Probabilidadecondicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
13.8 Infereˆnciabayesiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
13.9 Teoriadainformac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
13.9.1 Capacidade deinformac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
13.9.2 Quantidadedeinformac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
13.9.3 Quantidadeesperadadeinformac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
10 SUMA´RIO