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Elementos de cálculo actuarial EMMA BERENGUER CÁRCELES MONTSERRAT HERNÁNDEZ SOLÍS UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIÓN A DISTANCIA ELEMENTOS DE CÁLCULO ACTUARIAL Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorización escrita de los titulares del copyright, bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio oprocedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento informático y la distribución de ejemplares de ella mediante alquiler o préstamos públicos. © Universidad Nacional de Educación a Distancia Madrid 2013 www.uned.es/publicaciones © Emma Berenguer Cárceles y Montserrat Hernández Solís ISBN electrónico: 978-84-362-6672-6 Edición digital: agosto de 2013 ÍNDICE Prólogo Tema 1. B IOMETRÍA Tema 2. VALORACIÓN FINANCIERA Tema 3. RENTAS FINANCIERAS Tema 4. RENTAS ACTUARIALES Tema 5. VALORACIÓN DE LOS SEGUROS Tema 6. RESERVAS MATEMÁTICAS Apéndice. TABLAS DE MORTALIDAD Bibliografía Aquí podrá encontrar información adicional y actualizada de esta publicación PRÓLOGO La matemática actuarial tiene como objetivo el análisis cuantitativo de las operaciones de seguro. Este libro, de contenido práctico, propone una serie de ejercicios referentes a las técnicas cuantitativas existentes en la valoración de las diferentes modalidades de seguro del ramo de vida. A través de los diversos temas en los que se ha estructurado este trabajo se sigue una se- cuencia lógica en el aprendizaje matemático-actuarial. Así, desde los conceptos básicos de la matemática financiera hasta el cálculo de las reservas matemáticas, el estudiante va adquirien- do de forma progresiva los conocimientos y destrezas necesarios. La casuística específica de cada uno de los temas permite, además, reflexionar sobre las implicaciones económico-finan- cieras de la actividad de las entidades aseguradoras. Para el aprovechamiento óptimo de este manual se recomienda al lector el saber manejar la hoja de cálculo (Excel) para poder manejar las tablas de mortalidad. Por todo ello se trata de una obra especialmente recomendada para todos aquellos que de- seen introducirse en los conocimientos de la matemática financiera y su vinculación con la ma- temática actuarial de una forma sencilla y práctica. 5 Tema 1 Biometría OBJETIVOS En este tema se va a tratar la resolución de ejercicios que hacen referencia a la Biometría. La biometría es una ciencia que analiza los modelos biológicos a través de su determinación numérica, y analizando su eficiencia a través de modelos estocásticos. Se encarga de estu- diar la supervivencia humana. El objetivo de este tema es que el alumno conozca los símbolos de conmutación que se em- plean para el cálculo de probabilidades sobre una cabeza (asegurado) de edad actuarial x, que forma parte de un colectivo l . x La resolución de los ejercicios se ha llevado a cabo mediante el empleo de las tablas de mortali- dad de la población española 1990, separadas por sexo, situadas en el apéndice de este libro. 6 1. Sea un asegurado de edad actuarial x=25. Calcular la probabilidad de que dicha cabe- za sobreviva un año más. Solución Se está pidiendo la probabilidad de supervivencia de un hombre de edad x=25 años, para que alcance con vida un año más, esto es, que cumpla los 26 años. Es la probabilidad de super- vivencia sobre una cabeza. l p = x+1 1 x l x l l 97.248 p = 25+1 = 26 = 1 25 l l 97.417 25 25 p =0,998265 1 25 La probabilidad de que el asegurado sobreviva un año más es del 99,82%. Es un resultado coherente para una cabeza de edad 25 años con una salud normal. 2. Sea un asegurado de edad actuarial x=25. Calcular la probabilidad de que dicha cabe- za fallezca en el transcurso del siguiente año. En este ejercicio se está pidiendo la probabilidad complementaria a la solicitada en el ejer- cicio n.º 1. Es la probabilidad de que el asegurado varón de edad x=25 no consiga cumplir los 26 años. Es la probabilidad de fallecimiento sobre una cabeza. Solución l q =1− p =1− x+1 1 x t x l x l −l l −l 97.417−97.248 q = x x+1 = 25 26 = 1 25 l l 97.417 x 25 q =0,001737 1 25 La probabilidad de que el asegurado fallezca en el año siguiente es del 0,17%. Es un resulta- do coherente para una cabeza de edad 25 años con una salud normal. 7 BIOMETRÍA 3. Sea una asegurada de edad actuarial x=25. Calcular la probabilidad de que dicha ca- beza sobreviva 30 años más. Solución En este ejercicio se está pidiendo la probabilidad de que una mujer de 25 años consiga lle- gar con vida a los 55. l p = x+n n x l x l l 94.929 p = 25+30 = 55 = 30 25 l l 98552 25 25 p =0,9632 30 25 La probabilidad de que la mujer asegurada alcance los 55 años es del 96,32%. Se trata de un resultado coherente, para una mujer joven con una salud normal. 4. Sea un asegurado de edad actuarial x=25. Calcular la probabilidad de que dicha cabe- za sobreviva 30 años más. Solución En este ejercicio se está pidiendo la probabilidad de que un hombre de 25 años consiga llegar a los 55. Es el mismo ejercicio anterior, pero para un varón. l p = x+n n x l x l l 88.532 p = 25+30 = 55 = 30 25 l l 97.417 25 25 p =0,9088 30 25 La probabilidad de que un asegurado o asegurada alcance con vida los 55 años es del 90,88%. Se trata de un resultado coherente, para un hombre joven con una salud normal. Si se compara la probabilidad de sobrevivir 30 años más para un varón y para una mujer, se com- prueba que la probabilidad de supervivencia de las mujeres es superior a la de los hombres. Esto se debe a que la esperanza de vida de las mujeres es superior. 8 ELEMENTOS DE CÁLCULO ACTUARIAL 5. Sea una asegurada de edad actuarial x=25. Calcular la probabilidad de que dicha ca- beza fallezca en el transcurso de 30 años. Solución En este ejercicio se está pidiendo la probabilidad de que una mujer de 25 años no llegue a vivir hasta los 55. l / q =1− p =1− x+n n x n x l x l −l l −l 98.552−94929 / q = 25 25+30 = 25 55 = 30 25 l l 98552 25 25 q =0,03676 30 25 La probabilidad de que la mujer asegurada fallezca sin llegar a cumplir los 55 años es del 3,67%. Se trata de un resultado coherente para una mujer joven con una salud normal. 6. Sea un asegurado de edad actuarial x=25. Calcular la probabilidad de que dicha cabe- za fallezca en el transcurso de 30 años. Solución En este ejercicio se está pidiendo la probabilidad de que un varón de 25 años no llegue a cumplir los 55. l / q =1− p =1− x+n n x n x l x l −l l −l 97.417−88.532 / q = 25 25+30 = 25 55 = 30 25 l l 97.417 25 25 q =0,09120 30 25 La probabilidad de que un varón asegurado fallezca sin llegar a cumplir los 55 años es del 9,21%. Se trata de un resultado coherente, para un hombre joven con una salud normal. Se comprueba que la probabilidad de que el varón fallezca a lo lago de los 30 años es supe- rior a la de la mujer, partiendo de la misma edad actuarial de valoración. Esto es debido a la mayor esperanza de vida de las mujeres. p q 30 25 30 25 VARÓN 0,988 0,09120 MUJER 0,963 0,03676 Resultados mostrados en tanto por uno. 9 BIOMETRÍA 7. Sea una asegurada de edad actuarial x=25. Calcular la probabilidad de que dicha ca- beza fallezca justamente a la edad de 56 años. Solución En este ejercicio se está pidiendo la probabilidad de que una mujer de 25 años alcance con vida los 55 años, falleciendo en el siguiente año. /q = p q = p (1−p )= lx+n 1− lx+n+1= lx+n −lx+n+1 n x n x x+n n x x+n l l l x x+n x /q = p q = p (1−p )= l30+25 1− l30+25+1= l55 −l56 30 25 30 25 55 30 25 55 l l l 25 30+25 25 94.929−94.602 /q = =0,003318 30 25 98.552 Otro modo de resolución del ejercicio a través de los símbolos de conmutación es el si- guiente: /q = p − p n x n x n+1 x /q = p − p 30 25 30 25 31 25 La probabilidad de la mujer asegurada que sobrevive a los 55 años, pero fallece sin llegar a cumplir los 56 años, es del 0,31%. Es importante que el alumno no confunda esta probabi- lidad con la solicitada en el ejercicio n.º 5. Se trata de dos probabilidades diferentes. 8. Sea un asegurado de edad actuarial x=25. Calcular la probabilidad de que dicha cabe- za fallezca justamente a la edad de 56 años. En este ejercicio se está pidiendo la probabilidad de un varón de 25 años que pueda cumplir los 55, pero fallezca al siguiente año. Solución /q = p q = p (1−p )= lx+n 1− lx+n+1 = lx+n −lx+n+1 n x n x x+n n x x+n l l l x x+n x /q = p q = p (1−p )= l30+25 1− l30+25+1 = l55 −l56 30 25 30 25 55 30 25 55 l l l 25 30+25 25 88.532−87.787 /q = =0,0076 30 25 97.417 10
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