Elementos de Algebra

232 Pages·2003·0.95 MB·Spanish

by  Manuel Abad

Contents
1 Nociones de l´ogica proposicional 1
1.1 Conectivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Predicados y cuantificadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 Conjuntos 11
2.1 Inclusi´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2 Uni´on de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3 Intersecci´on de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4 Complemento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.5 Diferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.6 Producto cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.7 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3 Relaciones binarias 23
3.1 Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2 Relaciones de equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.3 Relaciones de orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.4 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4 Funciones 38
4.1 Funciones inyectivas, epiyectivas y biyectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.2 Composici´on de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.3 Relaci´on de equivalencia asociada a una funci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.4 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5 Nu´meros reales 47
5.1 El cuerpo ordenado de los nu´meros reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.2 Nu´meros naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.3 Nu´meros enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.4 Nu´meros racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.5 Propiedad de completitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.6 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
6 Divisibilidad de enteros 75
6.1 Algoritmo de la divisi´on entera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
6.2 M´aximo comu´n divisor y algoritmo de Euclides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
6.3 Nu´meros primos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6.4 Divisores de un nu´mero entero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
6.5 Una aplicaci´on del algoritmo de la divisi´on. Representaci´on en distintas bases . . . . . 90
6.6 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
7 Nu´meros complejos 100
7.1 Definici´on y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
7.2 Operaciones en forma polar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
7.3 Ra´ıces de la unidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
7.4 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
ii ´Indice general
8 Polinomios 123
8.1 Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
8.2 Divisibilidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
8.3 Ra´ıces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
8.4 C´alculo de las ra´ıces de un polinomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
8.5 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
9 C´alculo combinatorio y binomio de Newton 149
9.1 C´alculo combinatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
9.2 El desarrollo binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
9.3 Las permutaciones como transformaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
9.4 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
10 Sistemas de ecuaciones lineales, matrices y determinantes 170
10.1 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
10.2 Matrices y sistemas de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
10.3 Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
10.4 Caracter´ıstica de una matriz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
10.5 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
11 Ejercicios de repaso 202
iii
EL ASNO Y SU AMO
(Tom´as de Iriarte)
“Siempre acostumbra a hacer el vulgo necio
de lo bueno y lo malo igual aprecio.
Yo le doy lo peor, que es lo que alaba.”
De este modo sus yerros disculpaba
un escritor de farsas indecentes;
y un taimado poeta que lo o´ıa,
le respondi´o en los t´erminos siguientes:
“Al humilde Jumento
su duen˜o daba paja, y le dec´ıa:
Toma, pues que con esto est´as contento.
D´ıjolo tantas veces, que ya un d´ıa
se enfad´o el asno y replic´o: Yo tomo
lo que me quieres dar; pero, hombre injusto,
¿piensas que s´olo de la paja gusto?
Dame grano y ver´as si me lo como.”
Sepa quien para el pu´blico trabaja
que tal vez a la plebe culpa en vano;
pues si en d´andole paja, come paja,
siempre que le dan grano, come grano.
1 Nociones de l´ogica proposicional
Entenderemos por proposici´on toda expresi´on lingu¨´ıstica respecto de la cual puede decirse si es ver-
dadera o falsa.
Por ejemplo, las oraciones:
3 es un nu´mero primo
7 es un nu´mero par
son proposiciones.
La verdad y la falsedad son los valores de verdad de una proposici´on. Si una proposici´on es
verdadera, decimos que su valor de verdad es verdad (V), y si es falsa, decimos que su valor de verdad
es falsedad (F).
Una proposici´on simple tiene un sujeto y un predicado, en el sentido gramatical. Por ejemplo,
El nu´mero 14 es divisible por 7
Boole fue un gran matem´atico del siglo pasado
El arroyo que cruza la ciudad desemboca en la r´ıa
donde se ha subrayado el sujeto.
Vamos a representar a las proposiciones simples por letras mayu´sculas A, B, C, ...
1.1 Conectivos
A trav´es de expresiones como “o”, “y”, “no”, “si ..., entonces”, “si, y s´olo si”, llamadas conectivos,
se generan proposiciones compuestas partiendo de proposiciones simples. Por ejemplo,
El nu´mero 14 no es divisible por 7.
Si llegamos temprano, saldremos a caminar.
Establecerelsentidoyusodeestost´erminoseslatareadeunaparteelementaldelal´ogica,llamada
l´ogica proposicional.
Los s´ımbolos que usaremos para denotar estos conectivos se dan en la siguiente tabla:
no A ∼ A
A y B A∧B
A o B A∨B
si A entonces B A ⇒ B
A si, y s´olo si B A ⇔ B
Vamos a estudiar formas proposicionales, m´as que proposiciones particulares. Para ello, usaremos
las letras p, q, r, ... como variables proposicionales que representan proposiciones arbitrarias no
especificadas,esdecirlasletrasp,q,r,...puedensersustituidasporproposicionessimplesparticulares
cualesquiera. (Es importante tener en claro los diferentes usos de las letras p, q, r, ... y las letras A,
B, C, .... Estas u´ltimas son s´olo nombres para proposiciones simples particulares).
Negaci´on
Anteponiendo la palabra “no” se forma la negaci´on de cualquier proposici´on (en el lenguaje ordi-
nario se acostumbra colocarla con el verbo). As´ı, por ejemplo, la negaci´on de la proposici´on:
1
2 Elementos de Algebra
2 es un nu´mero primo
es la proposici´on
2 no es un nu´mero primo.
Si la proposici´onA es verdadera su negaci´on∼ A es falsa y si la proposici´onA es falsa, su negaci´on
∼ A es verdadera. Podemos describir esta situaci´on por medio de una tabla de verdad.
p ∼ p
V F
F V
Conjunci´on
La uni´on de dos proposiciones por la palabra “y” se llama conjuncio´n de proposiciones. Por
ejemplo, la proposici´on
“3 es un nu´mero impar y 4 es un nu´mero negativo”
es la conjunci´on de las proposiciones
“3 es un nu´mero impar”
y
“4 es un nu´mero negativo”.
Una conjunci´on de proposiciones es verdadera cuando ambas proposiciones lo son; pero si al menos
una de las componentes es falsa, entonces toda la conjunci´on es falsa. Se tiene la siguiente tabla de
verdad:
p q p∧q
V V V
V F F
F V F
F F F
Disyunci´on
Con la uni´on de proposiciones por la palabra “o” se obtiene la disyunci´on de proposiciones. En
el lenguaje corriente, la palabra “o” tiene, al menos, dos significados distintos. En el sentido no
excluyente se expresa que al menos una de las dos proposiciones debe ser verdadera, aunque sin
excluir la posibilidad de que ambas sean verdaderas. En el sentido excluyente, una disyunci´on
afirma que una de las proposiciones es verdadera y la otra debe ser falsa. Por ejemplo, en el anuncio:
“Podr´an ingresar al club los j´ovenes que estudien en la UNS o que cursen el u´ltimo an˜o de la escuela
secundaria”lapalabra“o”seusaensentidonoexcluyente. Encambio, enlaproposici´on: “Pasaremos
el verano en las sierras o en el mar”, lapalabra“o”est´ausadaensentidoexcluyente. EnMatem´atica,
la palabra “o” se usa siempre en el sentido no excluyente.
La disyunci´on de dos proposiciones ser´a verdadera cuando al menos una de ellas sea verdadera.
Caso contrario, esto es, si ambas son falsas, la disyunci´on es falsa. La tabla de verdad de la disyunci´on
es la siguiente:
Lo´gica Proposicional 3
p q p∨q
V V V
V F V
F V V
F F F
Implicaci´on
Si se combinan dos proposiciones por medio de las palabras “si ..., entonces” se obtiene una
proposici´on compuesta llamada implicaci´on o condicional. La proposici´on que sigue a la palabra “si”
se llama antecedente y la introducida por la palabra “entonces” se llama consecuente.
Por ejemplo, en
Si x es un nu´mero divisible por 9, entonces x es un nu´mero divisible por 3,
el antecedente es
x es un nu´mero divisible por 9,
y el consecuente es
x es un nu´mero divisible por 3.
Una implicaci´on es verdadera en los siguientes casos:
1. El antecedente y el consecuente son ambos verdaderos.
2. El antecedente es falso y el consecuente es verdadero.
3. El antecedente y el consecuente son ambos falsos.
S´olamente si el antecedente es verdadero y el consecuente es falso, la implicaci´on es falsa.
La implicaci´on tiene la siguiente tabla de verdad:
p q p ⇒ q
V V V
V F F
F V V
F F V
Conviene aclarar que no es requisito que el antecedente y el consecuente est´en relacionados entre
s´ı en cuanto al contenido. Cualquier par de proposiciones pueden constituir una implicaci´on. As´ı
por ejemplo, la proposici´on “Si 5 es un nu´mero primo, entonces Par´ıs es la capital de Francia”, es
una implicaci´on l´ıcita. Puede parecer raro, pero debe tenerse en cuenta que el principal inter´es es la
deducci´ondem´etodosdedemostraci´onenMatem´atica, yeste´oricamenteu´tilqueseaposibleconstruir
estas implicaciones.
Equivalencia
Otra expresi´on que aparece frecuentemente en Matem´atica es la frase “si, y s´olo si ”. Al unir dos
proposiciones cualesquiera por medio de esta frase se obtiene una proposici´on compuesta que se llama
equivalencia o bicondicional.
Por ejemplo,
4 Elementos de Algebra
x es un nu´mero par si y s´olo si x2 es un nu´mero par.
Una equivalencia es verdadera si sus miembros izquierdo y derecho son o bien ambos verdaderos o
bien ambos falsos. En caso contrario la equivalencia es falsa. Se tiene entonces:
p q p ⇔ q
V V V
V F F
F V F
F F V
Es claro que se pueden construir proposiciones compuestas de cualquier longitud a partir de
proposiciones simples usando estos conectivos.
La siguiente definici´on es un ejemplo de una definici´on inductiva. Es una forma de definici´on muy
comu´n en Matem´atica.
Llamaremos forma proposicional a cualquier expresi´on en la que intervengan variables proposi-
cionales y conectivos, construida segu´n las siguientes reglas:
1) Toda variable proposicional es una forma proposicional.
2) Si A y B son formas proposicionales, entonces ∼ A, A∧B, A∨B, A ⇒ B y A ⇔ B son formas
proposicionales.
Ejemplos.
1. (p∨q) ⇒ (p∧r) es una forma proposicional.
2. ∼ p∨q es una forma proposicional.
3. p ⇒ (q∨r) es una forma proposicional.
Vamos a construir las tablas de verdad para las formas proposicionales anteriores:
p q r p∨q p∧r (p∨q) ⇒ (p∧r)
V V V V V V
V V F V F F p q ∼ p ∼ p∨q
V F V V V V V V F V
V F F V F F V F F F
F V V V F F F V V V
F V F V F F F F V V
F F V F F V
F F F F F V
p q r q∨r p ⇒ (q∨r)
V V V V V
V V F V V
V F V V V
V F F F F
F V V V V
F V F V V
F F V V V
F F F F V
Lo´gica Proposicional 5
Una forma proposicional es una tautolog´ıa si toma el valor de verdad V para cualquier posible
asignaci´on de valor de verdad a las variables proposicionales que intervienen en ella.
Una forma proposicional es una contradicci´on si toma el valor de verdad F para cualquier posible
asignaci´on de valor de verdad a las variables proposicionales que intervienen en ella.
Ejemplos.
1. (p∧q) ⇒ p es una tautolog´ıa.
2. p∧ ∼ p es una contradicci´on.
3. p∨ ∼ p es una tautolog´ıa.
En efecto:
p q p∧q (p∧q) ⇒ p
V V V V p ∼ p p∧ ∼ p
V F F V V F F
F V F V F V F
F F F V
p ∼ p p∨ ∼ p
V F V
F V V
Para verificar que una forma proposicional dada es una tautolog´ıa, basta con construir su tabla
de verdad. Dejamos como ejercicio verificar que las siguientes formas proposicionales, cuyo valor de
verdad no es obvio sin la aplicaci´on del m´etodo de las tablas de verdad, son tautolog´ıas:
1. p ⇒ (q ⇒ p),
2. ∼ p ⇒ (p ⇒ q),
3. (p ⇒ q)∨(q ⇒ p).
Algunas tautolog´ıas reciben nombres especiales, por ser de uso muy frecuente. Se deja su verifi-
caci´on como ejercicio.
Identidad: p ⇒ p, p ⇔ p
Ley de contradicci´on: ∼ (p∧ ∼ p)
Ley del tercero excluido: p∨ ∼ p
Ley de la doble negaci´on: p ⇔∼∼ p
Modus ponens: [(p ⇒ q)∧p] ⇒ q
Modus tollens: [(p ⇒ q)∧ ∼ q] ⇒∼ p
Trasposici´on: (p ⇒ q) ⇔ (∼ q ⇒∼ p)
Simplificaci´on: (p∧q) ⇒ p
Adici´on: p ⇒ (p∨q)
Leyes de De Morgan: ∼ (p∧q) ⇔ (∼ p∨ ∼ q)
∼ (p∨q) ⇔ (∼ p∧ ∼ q)
Transitividad: [(p ⇒ q)∧(q ⇒ r)] ⇒ (p ⇒ r)
Definici´on de la implicaci´on: (p ⇒ q) ⇔ (∼ p∨q)
6 Elementos de Algebra
SedicequeunaformaproposicionalAimplica l´ogicamenteaunaformaproposicionalB siA ⇒ B
es una tautolog´ıa. Se dice que A es l´ogicamente equivalente a B si A ⇔ B es una tautolog´ıa.
Ejemplos.
1. p∧q implica l´ogicamente a p.
2. ∼ (p∧q) es l´ogicamente equivalente a ∼ p∨ ∼ q.
3. ∼ (p∨q) es l´ogicamente equivalente a ∼ p∧ ∼ q.
En efecto, verifiquemos los dos primeros casos.
p q p∧q (p∧q) ⇒ p
V V V V
V F F V
F V F V
F F F V
p q ∼ p ∼ q p∧q ∼ (p∧q) ∼ p∨ ∼ q ∼ (p∧q) ⇔ (∼ p∨ ∼ q)
V V F F V F F V
V F F V F V V V
F V V F F V V V
F F V V F V V V
1.2 Predicados y cuantificadores
Consideremoslassiguientesproposiciones,enlasqueelsujetoest´asubrayado,yelrestoeselpredicado:
• Jorge es un escritor.
• Mario toca muy bien el fagot.
• La ecuaci´on x2+1 = 0 no tiene soluci´on en R.
Representemos los predicados por letras mayu´sculas y los sujetos por letras minu´sculas. As´ı, en los
ejemplos anteriores tendr´ıamos:
1. Sea E el predicado “es un escritor”, j el sujeto “Jorge”. Entonces la proposici´on “Jorge es
un escritor” la simbolizamos E(j). De la misma manera, si con l designamos al sujeto Luis,
simbolizar´ıamos E(l) la proposici´on “Luis es un escritor”.
2. Sea F el predicado “toca muy bien el fagot”. Entonces la proposici´on 2 se puede simbolizar
F(m), si con m designamos al sujeto Mario.
3. En este caso tenemos dos opciones, por ser el predicado una negaci´on:
(i) Si N significa “no tiene soluci´on en R” y e es “la ecuaci´on x2+1 = 0”, la proposici´on
3 tendr´ıa la forma N(e).
(ii) Si R significa “tiene soluci´on en R”, entonces la proposici´on tendr´ıa la forma ∼ R(e).
Lo´gica Proposicional 7
Consideremos ahora la siguiente proposici´on:
Todos los nu´meros naturales son positivos.
M´as formalmente, podr´ıamos escribir:
Para todo x, si x es un nu´mero natural, entonces x es positivo.
Ahorabien,si N(x) indica “xesunnu´meronatural”,ysi P(x) indica“xespositivo”,podr´ıamos
escribir:
Para todo x, N(x) ⇒ P(x).
La expresi´on “para todo” se llama un cuantificador universal, y se nota (∀x). Entonces
tendr´ıamos,
(∀x)(N(x) ⇒ P(x)).
Enformaan´aloga,laexpresi´on “existealmenosunxtalque” sellamauncuantificadorexistencial,
y se nota (∃x). Por ejemplo, la proposici´on
Existe un nu´mero primo x tal que x es impar
se traduce en:
(∃x)(P(x)∧I(x)),
donde P(x) es “x es primo”, e I(x) es “x es impar”.
En general, si P es un predicado, se escribe (∀x)P(x) para indicar “todo objeto tiene la
propiedad P”, y (∃x)P(x) para indicar “existe al menos un objeto que tiene la propiedad P”.
Ejemplos. Simbolizar:
1. Todos los hombres merecen una oportunidad.
Si H(x) es: x es un hombre, y O(x) es : x merece una oportunidad, entonces la proposici´on
se simboliza: (∀x)(H(x) ⇒ O(x)).
2. No todos los p´ajaros vuelan.
∼ (∀x)(P(x) ⇒ V(x)), donde P(x) es: x es un p´ajaro, y V(x) es: x vuela.
3. Todos los delfines son inteligentes.
(∀x)(D(x) ⇒ I(x)), donde D(x) es: x es un delf´ın, I(x) es: x es inteligente.
4. Algunos pol´ıticos no son honestos.
(∃x)(P(x) ∧ ∼ H(x)), donde P(x) es: x es pol´ıtico, H(x) es : x es honesto.
Existe una importante conexi´on entre los dos cuantificadores (∀x) y (∃x). Se puede ver
intuitivamente que:
∼ (∀x)P(x) ⇔ (∃x)(∼ P(x))
∼ (∃x)P(x) ⇔ (∀x)(∼ P(x))