Elementos básicos de cálculo integral y series - Jesús del Valle Sierra

454 Pages·06.111 MB·Spanish

Capítul1o 1
Integral
indefinida
Módulo 1
Función primitiva o antiderivada
Módulo 2
Integral indefinida
Módulo 3
Regla de sustitución o cambio de
variable
La ley de caída de Galileo establece que todos los cuerpos caen en el mismo tiempo desde la misma
altura, independientemente de su peso.
Módulo 4
Algunas aplicaciones de la inte-
gral indefinida
Ejercicios
En este capítulo se definirá el concepto matemático de integral de tal manera que el
Módulos 1 al 4
estudiante empiece a conocer lentamente el proceso u operación de «integración»,
mostrándole además la relación que existe entre esta operación de integración y la
operación «inversa» de derivación, a la cual llamaremos «primitivación».
En general, este proceso es más complicado que el de la derivación y debemos ser
más cautelosos y pacientes con los métodos que se expongan, los cuales nos
permitirán, cuando sea posible, obtener la primitiva o antiderivada de un gran nú-
mero de funciones.
Iniciamos el capítulo presentando las definiciones correspondientes a la función
primitiva, para posteriormente hacer el estudio de la regla de sustitución o cambio
de variable, quizás el método de integración más importante, ya que en cualquiera
de los otros métodos, por lo general, en algún paso intermedio se hace uso de dicha
regla.
Al finalizar el capítulo ilustramos con algunos ejemplos sencillos una primera apli-
cación de la integral indefinida a las ecuaciones diferenciales y a la física.
22
1
Función primitiva o antiderivada
Contenidos del módulo
1.1 Función primitiva o antiderivada
1.2 Teorema 1
Gabrielle Émile le Tournelle de Breteuil
Objetivos del módulo
Émile le Tournelle, conocida como la
marquesa de Châtelet, estudió a Newton y
Leibniz, tradujo al francés los Principia de
Newton y contribuyó a divulgar los concep-
1. Presentar el concepto más importante de la integral indefinida, la primitivación o
tos del cálculo diferencial e integral.
antiderivada, y sus nexos con la derivación de funciones.
Émile, nacida en 1706 y fallecida en 1749,
no respondía al prototipo de belleza de su
Preguntas básicas época pues ya de niña era muy alta (1,65
m) y tenía las manos y los pies grandes. Tal
vez por esto su padre, pensando que no
iba a casarse, se preocupó de que recibiese
una excelente educación. Sin embargo, a
1. Se puede demostrar, usando métodos de integración, que la función
los diecinueve años se casó con el marqués
de Châtelet y suspendió temporalmente sus
x3
f(x)= estudios, pero los reanudó a los veintisiete
tiene las siguientes primitivas:
x2+25 años, después del nacimiento de su tercer
hijo.
En los salones de su residencia, en vez de
F(x)=1(x2+25)32−25(x2+25)12+C, frivolizar con conversaciones intrascenden-
1 3 tes, Émile y sus invitados deliberaban con
ardor sobre problemas matemáticos. A
2 tanto llegó su pasión por esta actividad
F (x)= x2(x2+25)12− (x2+25)32+C. académica que mandó que le confeccio-
2 3
naran unas ropas de hombre, y con sus
piernas enfundadas en calzas y calzones
logró entrar vitoreada por sus colegas en
Demuestre que F(x) = F(x).
1 2 el café Gradot de París, en donde se reunían
matemáticos y científicos y al cual se le había
prohibido la entrada por ser mujer.
Introducción
Émile le Torunelle escribió Las instituciones
de la física, libro que contiene uno de los
capítulos más interesantes sobre cálculo
infinitesimal.
En el capítulo 3 del texto Elementos básicos de cálculo diferencial hemos estudia-
do el siguiente problema: dada una función F(x), hallar su función derivada f (x),
esto es, F′(x)= f(x). En este módulo consideraremos el problema inverso: dada la
función f (x), se precisa hallar otra función F(x) cuya derivada coincida con f (x).
Esta función F que tratamos de buscar se llama primitiva o antiderivada de f (x).
Elementos básicos de cálculo integral y series
23
Capítulo 1: Integral indefinida
1.1 Función primitiva o antiderivada
Definición
Sea f una función definida en un intervalo I. Una función F (x) se llama primitiva o
antiderivada de f (x) en I si F es diferenciable y F′(x)= f(x)para todo x en I.
Vea el módulo 1 del programa Ejemplo 1
de televisión Elementos básicos
de cálculo integral y series
Sea f(x)=4x3+8x2−4x+5.
Son primitivas de f (x) las siguientes funciones:
8 8
F(x)= x4+ x3−2x2+5x−6, F (x)= x4+ x3−2x2+5x+4.
1 3 2 3
En efecto,
F′(x)= F′(x)= 4x3+8x2−4x+5= f(x).
1 2
Ejemplo 2
Sea f(x)=secx.
Son primitivas de f (x) las siguientes funciones:
F(x)=ln(secx+tanx)+3, F (x)=ln(secx+tanx)− 2.
1 2
En efecto,
F′(x)=F′(x)= D (ln(secx+tanx)+3) =D (ln(secx+tanx)− 2).
1 2 x x
1
= D (secx+tanx) (RD26)
secx+tanx x
1
= ⋅(secx⋅tanx+sec2 x) (RD15 y RD13)
secx+tanx
1
= ⋅secx(tanx+secx)
secx+tanx
=secx= f(x).
Observación
En los ejemplos anteriores es fácil ver que si una función dada f (x) tiene función
primitiva F(x) ésta no es única. Así, en el ejemplo 1 las funciones F(x) y F(x)
1 2
figuran como funciones primitivas de f (x), o en general, cualquier función de la
24
Módulo 1: Función primitiva o antiderivada
8
forma F(x)=x4+ x3−2x2+5x+C, donde C es una constante, es también pri-
3
mitiva de f (x).
Por otra parte, puede demostrarse que las funciones de la forma
8
F(x)= x4+ x3−2x2+5x+C abarcan todas las funciones primitivas de
3
f(x)=4x3+8x2−4x+5, lo cual se deduce fácilmente del siguiente teorema.
1.2 Teorema 1
Si F(x) y F(x) son dos funciones primitivas de f (x) en un intervalo I, entonces la
1 2
diferencia entre ellas es una constante.
Demostración
Designemos por ϕ(x)=F(x)−F (x). (1)
1 2
Como F(x) y F(x) son dos funciones primitivas de f (x) en un intervalo I, se tiene,
1 2
de acuerdo con la definición,
F′(x)= f(x), (2)
1
F′(x)= f(x). (3)
2
Ahora, de (1), (2) y (3), se tiene ϕ′(x)=F′(x)−F′(x)=0.
1 2
En conclusión, ϕ′(x)=0, y de acuerdo con el ejercicio 19 del módulo 28 del texto
Elementos básicos de cálculo diferencial, se deduce que existe una constante C
tal que ϕ(x)=C, es decir, ϕ(x)=F(x)−F (x)=C.
1 2
Observación
Del teorema anterior se deduce que si F(x) es una primitiva de f (x), entonces
G(x)=F(x)+C también lo es, y G(x) así definida se denomina primitiva más
general de f.
Elementos básicos de cálculo integral y series
25
26
2
Integral indefinida
Contenidos del módulo
2.1 Integral indefinida
2.2 Primeras fórmulas de integración
Arquímedes de Siracusa
Objetivos del módulo
Arquímedes, considerado por muchos
como el más grande de los matemáticos de
la antigüedad, nació en el año 287 a.C. y
1. Presentar las propiedades de la integral indefinida o primeras fórmulas de integra-
murió en el 212. Pasó casi toda su vida en
ción y su demostración simple con base en las fórmulas de derivación correspon- su ciudad natal de Siracusa, aunque se sabe
dientes, y mostrar cómo usarlas en la solución de ejercicios. que visitó Egipto al menos en una ocasión.
La fama de Arquímedes se basa fun-
2. Construir, usando las reglas básicas de derivación y diferenciales, una primera
damentalmente en sus numerosos descu-
tabla de integrales.
brimientos matemáticos. Halló, por ejemplo,
un valor aproximado del número pi con un
error muy pequeño. Calculó volúmenes y
áreas, algunos muy difíciles, entre ellos el
Preguntas básicas volumen de la esfera, y demostró el siguiente
resultado fundamental del que se sentía
particularmente orgulloso: «Los volúmenes
Diga si las siguientes igualdades son verdaderas o falsas: de un cono, de una semiesfera y de un
cilindro, todos de la misma altura y radio,
se encuentran en la razón 1:2:3». Consi-
1. ∫ f(x)⋅g(x)dx=(∫ f(x)dx)⋅(∫g(x)dx). Justifique su respuesta. derado este teorema con la perspectiva que
nos da la historia, era verdaderamente un
resultado excepcional para la época. La
f(x) ∫ f(x)dx pureza de su matemática en las obras De la
2. ∫ dx= . Justifique su respuesta. esfera y del cilindro, De los conoides y
g(x) ∫g(x)dx esferoides, De las espirales, y la originalidad
de sus nuevas ideas (método de exhaución,
cuadratura del segmento de parábola), en
las que se puede ver el germen del cálculo
infinitesimal de Newton y Leibniz, se unen y
Introducción
se complementan armoniosamente con sus
trabajos sobre estática e hidrodinámica,
poniendo de manifiesto cómo las dos
En el módulo 1 definimos la primitiva o antiderivada de una función f, y también la matemáticas (la pura y la aplicada) se
primitiva más general de f. Esta última es la que se conoce como la integral indefini- complementan mutuamente, de manera que
da de f. En este módulo mostraremos que en muchos casos puede ser calculada
mediante la operación «inversa» de la derivación, la cual llamaremos
antidiferenciación o integración.
Escuche el audio ¡Eureka! Arquí-
medes y el cálculo integral en su
multimedia de Elementos básicos
de cálculo integral y series.
Elementos básicos de cálculo integral y series
27
Capítulo 1: Integral indefinida
2.1 Integral indefinida
cada una actúa como estímulo y ayuda para
la otra y forman en conjunto una única y
bien definida línea de pensamiento. Definición
Arquímedes fue además un genio de la Si F(x) es una función primitiva de f (x), la expresión F(x) + C se llama integral
mecánica. Entre sus inventos más célebres
se encuentra el «tornillo de Arquímedes», indefinida de la función f (x) y se denota por el símbolo ∫ f(x)dx. Esto es:
utilizado en muchos países, entre ellos
España, para extraer agua de los pozos.
Construyó también planetarios que, pese a
la lejanía en el tiempo, eran tan populares ∫ f(x)dx=F(x)+C.
como lo son en la actualidad.
Sin embargo, no fueron sólo los inventos En este caso f (x) se llama integrando (o función bajo el signo de integral), C se llama
«pacíficos» los que dieron a Arquímedes constante de integración y dx indica que la variable de integración es la letra x.
su gran fama en la antigüedad, sino también
su contribución a la defensa de Siracusa
contra los romanos. Este matemático había
dotado al ejército de dicha ciudad de armas Observaciones
muy modernas, las cuales causaron el
desconcierto total entre los soldados 1. El significado geométrico de la integral indefinida es una familia de curvas,
romanos. Los historiadores de la época
una para cada valor de C.
no describen los «espejos ustorios»
(espejos cóncavos que, puestos de frente
al Sol, reflejan sus rayos y los reúnen en el
2. Toda función continua f (x) en el intervalo [a,b] tiene una función primitiva
punto llamado foco, produciendo un calor
capaz de quemar, fundir y hasta volatilizar y por consiguiente una integral indefinida. Sin embargo, no siempre es po-
los cuerpos allí colocados), pero sí lo hacen sible encontrar la integral indefinida (primitiva más general) de una función
los posteriores. Fueron mencionados por
primera vez por Galeno (el más destacado continua en [a,b] como sucede por ejemplo con la función f(x) = 1+x4 .
médico de aquellos tiempos, después de
Hipócrates). Si realmente existieron, debió
tratarse de alguna especie de espejo Más adelante estudiaremos métodos que permiten determinar las funciones
parabólico. Según cuenta la leyenda, primitivas (y por consiguiente las integrales indefinidas) de ciertas clases de
durante el asedio de las tropas romanas a
funciones.
Siracusa, en el año 213 a.C., fueron
capaces de concentrar los rayos de sol en
una zona muy reducida, que de esta forma, 3. De la definición anterior podemos deducir lo siguiente:
dirigidos hacia la armada romana,
provocaron el incendio de las naves.
a. La derivada de una integral indefinida es igual al integrando. Es decir,
Arquímedes los situó de forma que los
rayos llegaran paralelos al eje y que, una
vez concentrados, apuntaran a las velas de
d
los barcos enemigos. Muy pronto los ∫ f(x)dx= f(x),
romanos vieron atónitos cómo las velas de dx
sus barcos ardían como por arte de magia.
o también,
( )
d ∫ f(x)dx = f(x)dx.
b. Como F′(x)= f(x), entonces dF(x)= f(x)dx.
Por tanto, ∫dF(x)=F(x)+C.
De acuerdo con la observación 3, podemos obtener fórmulas de integración a partir
de las fórmulas de diferenciación. Usaremos las siguientes fórmulas que aparecen
en el teorema 1 y cuya igualdad podemos comprobar mediante la derivación; es
decir, se puede verificar que la derivada del segundo miembro es igual a la derivada
del primer miembro.
28
Módulo 2: Integral indefinida
2.2 Primeras fórmulas de integración
El ejército de Siracusa fue así capaz de
destruir la armada de los invasores.
Teorema 1
Experimentalmente se ha demostrado que
la leyenda es creíble, como probó en 1747
el conde de Bufón (Georges Louis Leclerc,
F : ∫dx=x+C.
1 1707-1788, naturalista francés, autor de
uno de los primeros tratados globales de
F : ∫af(x)dx=a∫ f(x)dx, siendo a una constante. historia de la biología y la geología no
2
basados en la Biblia). Sin embargo, Siracusa
F : ∫[f (x)+ f (x)]dx=∫ f (x)dx+∫ f (x)dx. cayó en manos romanas a causa de una
3 1 2 1 2 traición y Arquímedes fue asesinado. El
general romano Marcelo, a modo de
desagravio, mandó erigir para Arquímedes
Generalización:
una tumba sobre la cual se veía una esfera
circunscrita por un cilindro que simbolizaba,
∫[f (x)+ f (x)+…+ f (x)]dx=∫ f (x)dx+…+∫ f (x)dx. de acuerdo con sus deseos, su teorema
1 2 n 1 n favorito sobre los volúmenes del cono, el
cilindro y la esfera. Cuando Cicerón visitó
Sicilia pudo ver todavía el monumento que
xn+1 se ha perdido para la historia.
F : ∫xndx= +C, si n≠−1 y n real.
4 n+1 Aunque no de una manera explícita,
Arquímedes contribuyó a la aplicación de
las matemáticas. En efecto, en su obra
El ejemplo siguiente ilustra la manera de usar las fórmulas anteriores en el proceso
Equilibrio trató el problema de la palanca,
de integración. que, junto a la cuña, el plano inclinado, el
rodillo y la polea, componía la colección de
las sencillas máquinas utilizadas en la
Ejemplo 1
antigüedad para construcciones tan
asombrosas como las pirámides de Egipto,
Resuelva cada una de las siguientes integrales indefinidas: los templos griegos y los acueductos
romanos. Se sirvió libremente de la noción
de baricentro o centro de gravedad de un
a. ∫(kx2+ px+t)dx, k,p,t constantes. cuerpo como si la conociese y le fuese
familiar. Casi dieciocho siglos más tarde
( ) Galileo Galilei y el matemático holandés
b. ∫ 3 w+43 w dw.
Simón Stevin construyeron la teoría de la
estática, esto es, una teoría del equilibrio
⎛ 1 ⎞2 para complicados sistemas mecánicos.
c. ∫⎜x2+ ⎟ dx.
⎝ 3 x⎠
Solución
a. ∫(kx2+ px+t)dx=∫kx2dx+∫pxdx+∫tdx (F)
3
=k∫x2dx+ p∫xdx+t∫dx (F )
2
⎛x3 ⎞ ⎛x2 ⎞
=k⎜ +C ⎟+ p⎜ +C ⎟+t(x+C ) (F )
⎝ 3 1⎠ ⎝ 2 2⎠ 3 4
x3 x2
=k + p +tx+C,
3 2
donde C =kC + pC +tC .
1 2 3
Vea el módulo 2 del programa
de televisión Elementos básicos
de cálculo integral y series
Elementos básicos de cálculo integral y series
29
Capítulo 1: Integral indefinida
b. ∫(3 w+43 w)dw=∫(3w12 +4w13) dw
=3∫w12dw+4∫w13dw (F yF)
2 3
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎢w12+1 ⎥ ⎢w13+1 ⎥
=3⎢ +C ⎥+4⎢ +C ⎥ (F )
1 1 1 2 4
⎢ +1 ⎥ ⎢ +1 ⎥
⎣2 ⎦ ⎣3 ⎦
=2w32 +3C +3w43 +4C
1 2
=2w w+3w3 w+C.
Como 3C +4C es una constante arbitraria, la hemos denotado por C.
1 2
Al aplicar la F para cada ∫ f (x)dx aparece una constante C. Entonces
3 i i
podemos evaluar cada ∫ f (x)dx sin escribir la constante C, pero al final
i i
escribimos C para indicar la suma de todas las constantes.
2
⎛ 1 ⎞
c. ∫⎜x2+ ⎟ dx=∫(x4+2x53 +x−23)dx
⎝ 3 x⎠
=∫x4dx+2∫x53dx+∫x−23dx
x5 3
= + x83 +3x13 +C.
5 4
30