Elementi di Meccanica Quantistica

73 Pages·1982·16.592 MB·Italian

by  P. Maltese, R. Sorrentino

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La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])
P. Maltese - R. Sorrentino
ELEMENTI DI
MECCANICA QUANTISTICA
Introduzione all'Elettronica dello Stato Solido
1 - Fondamenti di Meccanica Quantistica
EDIZIONI INGEGNERIA 2000
La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])
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1. LE PRIME IPOTESI QUANTISTICHE
Nel secolo scorso furono compiuti imponenti progressi
nella conoscenza delle leggi della natura, non solo attraver
so il completamento della scienza della dinamica, iniziata
due secoli prima da Galileo e da Newton, ma anche attraverso
la brillante sintesi delle proprietà dell'elettricità e del
magnetismo nella teoria elettromagnetica di Maxwell. La termo
dinamica divenne una scienza esatta e furono poste le basi del
la teoria cinetica della materia con lo sviluppo della mecca-
nica statistica classica effettuato da Maxwell, Boltzmann,
Gibbs e altri. La comprensione, o potenziale comprensione, del
le leggi della natura appariva così soddisfacente che molti -
fisici ritennero che la ricerca di base avrebbe subìto un ine
vitabile declino.
Tuttavia, proprio l'alto grado di perfezione raggiunto
nelle teorie classiche rese manifeste insolubili contraddizio
ni che sorgevano nell'interpretazione di alcuni dati sperimeE:
tali. Si rese pertanto evidente la necessità di introdurre
nuove leggi, che potessero spiegare una serie di dati speri
mentali che la fisica classica non era in grado di giustifi
care.
La prima ipotesi di tipo quantistico fu proposta da Max
Plank nel 1900 per spiegare la distribuzione spettrale della
emissione di energia elettromagnetica da parte dei corpi ri
scaldati, laddove le teorie classiche portavano a risultati
inaccettabili.
L'emissione termica di una superficie qualunque può es
sere ricondotta all'emissione di un corpo nero ideale, tale
cioè da presentare un coefficiente di assorbimento della ra
diazione pari al a tutte le lunghezze d'onda. E' possibile
realizzare sperimentalmente con grande accuratezza qualcosa di
equivalente ad esso praticando un foro in una cavità avente
temperatura costante.
Lo studio teorico del problema era stato condotto, sul
le basi della termodinamica e della meccanica statistica,
SU.E_
ponendo la radiazione elettromagnetica, contenuta nella cavi
tà, equivalente a un _fluido in equilibrio termico con le par~
ti. Notevoli successi erano stati ottenuti con questo tipo di
studio, che permise di spiegare con accuratezza molti aspetti
del fenomeno. In particolare erano state così stabilite le le~
gi di Stefan-Boltzrnann e di Wien. La rima reve.d_e_che_la. po
tenz-;-;messa per unità di superficie del corpo è proporziona-
lla uarta otenza--aet-1-a _sua temper-_a~ra assoluta T ;\ la
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2.
legge di Wien stabilisce che la distribuzione spettrale della
emissione (cioè la potenza emessa ~ unità di super
ficie nell'intervallo di lunghezza d onda c~mpJesO-tra À e
À + dÀ) è esprimibi e ne a orna:1
I (À, T) = T5 f (À T)
In relazione ai dati sperimentali sull'emissione del corpo ne
ro, schematicamente rappresentati in fig.l, questa legge com~
porta, in particolare, che la lunghezza d'onda a cui e massi
ma l'emissività sia inversamente proporzionale alla tempera
tura assoluta del corpo.
Nel tentativo di de
terminare f (ÀT), però, gli I(,\)
studi i tipo statistico 3000 oK
portavano a conclusioni
inaccettabili. Infatti,
dal punto di vista elettr~
magnetico, una cavità è se.
de di un numero infinito -
di oscillazioni le quali,
nel loro insieme, costitui
scono la radiazione termi~
ca; poichè, per il princi
pio di equipartizione del-
l 2 3
1 'energia termica, a ogni
À( µa)
oscillazione compete una (
energia mecha par~KV_; ,
Fig. l
(K = 1,--:38042- 10~ J I °K, CO
Rappresentazione schematica
stante di Boltzmann), la -
dell'emissività di un corpo
energia totale della radia
nero a varie temperature.
zione sarebbe risultata in
finita. Inoltre, la f (ÀT)
determinata per questa via, pur accordandosi con i risultati
sperimentali per grandi valori di À, non aveva un massimo, ma
tendeva all'infinito al tendere a zero della lunghezza d'on
da (la cosiddetta "catastrofe dell'ultravioletto").
Per giustificare la distribuzione spettrale dell'irrag
giamento del corpo nero, Planck ammise che ogni oscillazione
del campo elettromagnetico interagisse con oscillatori armoni
ci dotati di carica elettrica, contenuti nella materia costi=
tuente le pareti della cavità e tali da poter assorbire ener
gia con continuità dal campo elettromagnetico, ma poterla emet
tere soltanto in forH! di "quanti". Per i quali Planck postu--
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3.
lò l'espressione:
LlE ~\
=
essendo v la frequenza dell'oscillatore eh una çg~~ante in~_o_
~ Sulla base di tale ipotesi, mediante calcoli termodina
miei, egli dimostrò l'espressione (in cui e è la velocità del
la Tuce2__:
l(À,T) 2 1T c2 h
oggi chiamata legge di Planck, che era allora gia nota come
ottima approssimazione della I (l,_f) m:!-su_rat_~_ s erimentalmente.
L ipotesi di partenza, tuttavia, appariva alquanto in
sensata, e Planck trascorse la restante parte della sua vita
cercando invano il modo di prescinderne. Ciò nonostante, qual
che anno dopo, Einstein raccolse le sue idee e le applicò al
fenorneno dell'emissione_ 9-L ?_l_eJ;_p gµi_ _n e_l vuoto_ da_ paLte_c!_i __
un": ~er:fICieill~~ta. \
Dell effetto fotoelettrico si sapeva, da studi allora
1
recentissimi, che il numero di elettroni emessi è proporzio- Il
nale all 1 in~~nsità luminosa, mentre l'energ~tica co
cui vengono emessi non dipende da essa, ma è tanto maggioxe
quanto piu icco a e a lunghezza d'onda dell~ luce Inoltre,
l~'emissi o~'n-e-' "d-i= ~~e~l~e-t=t-r"o--n'i- -c'e-"s'--s'-'-a- =q-u'a-n'd-o- ~l-a- =l-u~n~g~h~~e~z~z-a- 'd 'onda su-
pera un certo valore critico, il quale è tanto più elevato
quanto più elettropositivo (1) è il metallo adoperato come fo
tocatodo. Tutto ciò era assolutamente inspiegabile con le teo
rie classiche.
Planck aveva introdotto l'ipotesi quantistica su onen-
do che i soli oscillatori armonici fossero uantizzati; Ein
stein propose che anche il campo di radiazione potesse esse~e
Auantizzato. Egli suggerì che la luce potesse essere assorbi
\
'ta solo sotto forma di uanti aventi energia'. hv] ("fotoni"),
in cui v è ora la frequenza della ra iazione luminosa, e che
conse uentemente otesse essere-emesSO\ln--e ettrone avente
~ia cinetica:
(1) Cioè quanto più grande e positivo è il potenziale di con
tatto rispetto a un qualunque metallo usato come riferi-
mento.
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4.
in cui v0 è la frequenza di soglia sotto la_ -~ale l'emissione
cessa. La relazione di Einstein si basa sull'ipotesi cheB.I-=-
l'elettrone possa essere ceduta dalla luce una quantità di~
nergia < hv dì""cui una parte (hv0 ) viene pèrduta per superare
Ìa barriera di potenziale _LL superfic · e_del metallo.(- --
Nel 1905, anno in cui fu pubblicata questa teoria, non
vi erano dati quantitativi sufficienti per avvalorare o con
futare l'ipotesi di Einstein. Successivamente, tuttavia, furo
no eseguite misure molto precise che permisero di verificare -
completamente e definitivamente questa relazione, -rendendo
quindi estremamente fondata l'ipotesi quantistica. Essa p~rmi
s~i__misur.ar:.e_i_n maniera mol t_o __ JJ~eci_s~ il valore d~
la costante di Planck (h = 6,6252x10-:i4 Js).
successo della teoria di Einstein mise in evidenza
il carattere corpuscolare della radiazione, facendo risorgere
l 'antica questione riguardante la vera natura della luce, es
sendo a quel tempo ben accertato che la radiazione è un f eno
meno on ulatorio., i poneva dunque il problema della dualità
onda-particella per la luce, per risolvere il quale--si rende
va necessaria un'elettrodinamica quantistica che rendesse co~
to di entrambi questi aspetti. Incidentalmente, è il caso di
sottolineare che il fatto che la radiazione si comporti sia
1come una- partice la che--comelin'onda no-n signiffra che entra.m
1b_i_ questi aspetti debb@Q___g_ssere -e-s-plici•t amente trattati• i• n --=-
c-iascun problema pratico. - - ·
Un altro- fenomeno,- che risultava inspiegabile con le
teorie classiche, è il fatto che la capacità termica dei so
lidi, al diminuire della temperatura assoluta, diminuisce ten
dendo a zero con essa.
Nei solidi costituiti da atomi uguali, le posizioni de
gli atomi del reticolo cristallino possono oscillare secondo
un numero di modi indipendenti pari a tre volte il numero to
tale di atomi. Il principio di equipartizione dell'energia ter
mica, assegnando a ogni modo un'energia media pari a (1/2)KT,
conduceva a valutare un calore specifico (a volume costante,
per chilogrammo-mole) costante con la temperatura e uguale per
tutti i solidi del tipo suddetto. Ciò si verifica tuttavia
solo asintoticamente a temperature abbastanza elevate (legge
sperimentale di Dulong e Petit, 1818).
Un'ulteriore giustificazione quantistica fu necessaria.
Considerando gli atomi come oscillatori aventi tutti una fre
quenza di oscillazione v e ipotizzando che la loro energia
0
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5.
potesse variare solo di multipli interi di hv0 , Einstein, nel
1907, mostrò che la capacità termica dei solidi doveva varia
re con la temperatura in un modo molto simile a quello cono
~c~u_to ,_ ~~dendo _a Z~E_c:_~o.::_ la temperatura assoluta. )Si noti
come questa nuova ipotesi di- quantizzazione sia più rigida di
quella formulata da Planck per i suoi oscillatori.
Una teoria più precisa fu sviluppata da Debye nel 1912,
il quale applicò l'ipotesi di quantizzazione ai modi di oscil
e
lazione esistenti nel cristallo arra"i-~lati~;--distr-ib~~-ne
d~ frequenze, ottenen o risu t~i i uon accordo uantitati-::.
VO COrl l'esper~e~za. \
~ LA STRUTTURA CORPUSCOLARE DELLA MATERIA
Fino alla fine del secolo scorso l'ipotesi che la matE
ria fosse costituita da atomi era ritenuta da eminenti scien
ziati, quali Maxwell e il chimico Ostwald, una teoria non pr~
vata dall'esperienza. Forse a ciò contribuì il grande succes
so raggiunto dalle scienze nel secolo diciannovesimo, dovuto
princ· almente a costruzioni matematiche che sembrava impli
c~~e_I_9 la continui_ta d~Jl_ unrver~_J Le equazioni dìfferenzi~
~evano mirabilm~i:_e_ i !:_noi:i_en~ nei me~
)
m~ non sem ~van~ a a~ al~~aescrizione ai strutture discon
l
tinue.
Tuttavia, semplici evidenze della struttura corpuscola
re della materia si hanno in fenomeni ben noti. Ad esempio,
se si esamina un liquido in cui sono in sospensione dei corp.::_
scoli molto leggeri, con un microscopio a forte ingrandimento
si osserva un moto disordinato dei corpuscoli stessi, che fu
scoperto nel 1827 da Robert Brown. Tale moto, detto brownia
no, è dovuto all'agitazione termica delle molecole che costi
tuiscono il liquido e che urtano contro i corpuscoli in esso
sospesi. Lo studio teorico del moto browniano fu sviluppato
nel 1905 da Einstein. Fu tale studio e la spiegazione dell'ef
fetto fotoelettrico che gli valsero il premio Nobel, e non la
enunciazione (sempre nel 1905) della teoria della relatività
ristretta. \Altra semplice evidenza della natura corpuscolare
della materia uò aversi osservando il com2ortamento di una
I>- -------- -- - - - -- ---
goccia d1olio su~l'acqua.I L'olio si spande in un film di sot-
tilisslmo- spessore e di area limitata. Se si tenta di aumenta
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