Elementi Di Analisi Numerica, Parte II

193 Pages·1978·28.68 MB·Italian

by  Giancarlo Pesamosca

•
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UNIVERSITA' DEGLI STUDI DI ROMA
•
Facoltà di Ingegneria
••
•
GIANCARLO PESAMOSCA
ELEMENTI DI
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o PARTE Il - Appunti di calcolo matriciale
Edizione 1983
EDIZIONI
SISTEMA
ROMA
La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])
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La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])
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. .
UNIVERSITA' DEGLI STUDI DI ROMA
,.
Facoltà di Ingegnerie.
GIANCARLO PESAMOSCA
ELEMENTI DI
ANALISI NUMERICA .
PARTE Il - Appunti di calcolo matriciale
Edizione 1983
EDl·ZIONI
SISTEMA
ROMA
La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])
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CAPITOLO VI
ALGORITMI DI CALCOLO MATRICIALE
INTRODUZIONE
In questo capitolo verrano trattati alcuni problemi di cal
colo legati all'uso delle matrici, quali ad esempio il calcolo
del rango, del determinante, dell'inversa e degli autovalori,
la soluzione di sistemi di equazioni lineari algebriche (omo
genee e non omogenee), lo studio delle forme quadratiche, ecc.
La lettura del capitolo presuppone la conoscenza dei fondamen
ti dell'algebra matriciale, di cui si riporta per comodit~ de
gli studenti un breve riassunto in Appendice A.
Gli algoritmi esposti nel seguito risultano validi, salvo
avviso contrario, per matrici su un campo numerico K qualsia
si (in pratica reale, complesso o razionale).
6.1 - TRASFORMAZIONI ELEMENTARI SULLE MATRICI
Molti degli algoritmi che operano su matrici sono decom
ponibili in operazioni di tipo particolarmente semplice, dette
trasformazioni elementari. Tra le piu' importanti trasformazio
ni elementari di una matrice ricordiamo le seguenti:
a) Scambio di due righe (o due colonne)
b) Somma alla i-esima riga della j-esima moltiplicata per una
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costante c (od operazio~e analoga sulle colonne)
c) Moltiplicazione de'lla riga i-esima per una c'ostante c :j O
·'
(od operazione analoga sulle colonne).
Le trasformazioni elementari possono ottenersi moltipli
7
ca-ndo la matrice A per opportu'ne matrici, dette matrici tra
sformanti elementari •. Si dovra' moltiplicare a sinistra se si
tratta di oper,azioni sulle righe, a destra ·per operaz,ioni sul
le colonne. Definiamo or:a le matrici trasformanti elementari al
modo seguente, nello stesso ordine con cui si sono definite le
'
trasformazioni elementari:
a) Sia P.-. la matrice che si ottiene dalla matrice unita'
]. J
scambiando la riga i-esima con la riga j-esima. Ad esempio: '
o o o
1
o o o
1
P2 s
o o o
1
o o o
1
Si pud dimostrare éhe le matrici P .. godono delle se-
]. J
guenti proprietà:
- Moltiplicando a s·inistra una mat·rice A (m x·n) per u lr ma trite·
I
P .. (mx m) si ottiene una ma.trice uguale alla A ~ ma, con le r i.""
l.J ..
' ~e i e j scambi.ate tra loro. )
- M·oltiplicando a destra .una matrice A (in x n') .per una matrice
\\:pi .
(n X n) si ottiene una matrice uguale alla. A, mac on le co-
\\ lon:ne. 'i e j scambiate [oro.q
- Si ha immediatamente
PA · Pn = E
0
l(V
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cioe' le matrici P .. sono regolari, e coincidono con la pro-
lJ
pria inversa.
- Si ha anche evidentemente
det P .. = - 1
lJ
- E' anche immediato verificare che le Pij sono simmetriche
ed ortogonali (cioe' e P . . = P~. = P~~ ):
lJ lJ lJ
b) Sia E .. (c) la matrice che si ottiene dalla matrice unita'
]. J
ponendo al posto di indici i e J (i f j) la costante c .
Ad esempio:
I
o o
1
o
E2 :i ( c ) . 1 ©
o o 1
Si pud dimostrare che le matrici E .. ( c) godono delle se- ,
lJ
guenti propriet~:
~oltiplicare
a'\sinistra};na matrjce A Cmx nl per una matrice
E . . (c) (mx m) equivale a sommare alla riga i-esima della ma
\I ~~ce A la riga j -esima moltiplicata per c \.
))-Moltiplicare a destra una matrice A mx n er una matrice
li E .. (c) (nxn) equivale a sommare alla colonna ·-esima<• di A
l:J co onna ·i-esima moltiplicata per c .
- Si verifica facilmente che
E .. (c) · E . . (-c) = E
]. J ]. J
cioe' le matrici E .. (c) sono regolari, e si ha E:~(c)=E .. (-c).
lJ l.J ~
(•) Si noti lo scambio del ruolo degli indici i e j nelle operazio
ni su righe e su colonne.
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' , .
' '
~.
i ..
8.
t
. Si ha anche immediatamente:
E1 . (c) =E .. (c) de t E .. ( c ) = 1 .
l J J l l J '
c) Sia Mi (c) la matrice che si ottiene dalla matrice un~ti
ponendo nella i-esima riga la costante c non nulla sulla
diagonale principale. Ad esempio:
o o
1
o o (c f O)
o o
1
Si ha immediatamente che le matrici Mi (c) godono delle
pr~priet~ seguenti:
~ foltiplicare a sinistra lmél-mavjce A(m x n) per una matri.ft~
11. Mi (c·) (mx m) équiva·le à moltiplicare la riga i-esima di A pe11
1
I
la costante c ~
r.
I•
I
- lMoltiplicar e a. destra una m'atrice A(m x n) per unà màtrice
1·
I M. (.e) (n x.n) equivale a moltiplicare la colonna i-esim_,!!...-.di
l .
I /per la costante e
- Vale la relazione
!
Mi ( c ) · Mi (1 / c ) = E
cio~ Mi(c) ~regolare, ed~ Mi 1 (e)= Mi(l/c)
- Si ha anche
de t Mi ( c ) = c .
Un quarto tipo di trasformazione elementare ~ la rotazio
ne, che ha importanz~ nel calcolo degli autovalori. -
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~ - CALCOLO DEL RANGO. GENER'ALITA' SUL METODO DI ELIMINAZIONE
Sussiste il seguente fondamentale
Teorema 6.1: Se" la matrice ~A(mxn)J ha rango (@ e le matrici
P(mxm) e Q(nxn) sono regolari, allora lamatriceB(mxn) ta
le che
B PAQ
ha lo stesso rango della A.
Omettiamo la dimostrazione.
Si dice che una matrice B(m x n) e' equivalente rispetto al
s-t
rango od r-equivalente ad una matrice A(mx n) (e si scrive A)
se esistono due matrici regolari P(mxn) e Q(nxn) tali che(•)
B = PA Q
Dal teorema 6.1 segue che matrici r-equivalenti hanno lo
stesso rango.
(•) La relazione di r-equivalenza soddisfa alle tre proprietà che in
matematica caratterizzano le equivalenze, cioè:
1) Proprietà riflessiva:
cioe' A .t A
2) Propri eta' simmetrica. Se B = P A Q si ha:
p-1 B 0-1 p-1 p A Q 0-1 =A
cioè da B ~ A segue A .t B
3) Proprietà transitiva. Se B P A Q e C = P' B Q' s1 ha:
e = P' P A Q Q' = P" A o"
con P" e Q" matrici regolari. Pertanto da B{A e C{B segue
C~A.
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