Elemente der Linearen Algebra und der Analysis

383 Pages·2009·2.491 MB·German

by  Prof. Dr. Harald Scheid, Prof. Dr. Wolfgang Schwarz (auth.)

Elemente der Linearen Algebra und der Analysis
Harald Scheid / Wolfgang Schwarz
Elemente der Linearen Algebra
und der Analysis
Autoren
Prof. Dr. Harald Scheid und
Prof. Dr. Wolfgang Schwarz
Bergische Universität Wuppertal
Fachbereich Mathematik
Gaußstr. 20
42097 Wuppertal
E-Mail: [email protected]
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09 10 11 12 13 5 4 3 2 1
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Planung und Lektorat: Dr. Andreas Rüdinger, Barbara Lühker
Herstellung: Crest Premedia Solutions (P) Ltd, Pune, Maharashtra, India
Umschlaggestaltung: SpieszDesign, Neu–Ulm
Satz: Autorensatz
ISBN 978-3-8274-1971-2
Vorwort
Von den aktuellen Reformbemu¨hungen um die Verbesserung der Qualit¨at und
derInhalteuniversit¨arerAusbildungistdieLehrerausbildunginbesonderemMa-
ße betroffen. Die Abl¨osung der grundst¨andigen Lehrerausbildung durch konse-
kutiv strukturierte Modelle, in denen ein (polyvalent angelegtes) Bachelorstu-
dium durch einen passend gestalteten Masterstudiengang zu einem Hochschul-
abschluss komplettiert werden kann, welcher nach den Bestimmungen der Lehr-
amtspru¨fungsordnungen als erste Staatspru¨fung anerkannt wird, ist an den meis-
tenUniversit¨atenbereitserfolgt.DabeinutzendieHochschulenihreGestaltungs-
spielr¨aume fu¨r individuell konzipierte Bachelor-Master-Modelle, deren Vielfalt
sichnurschweru¨berschauenl¨asst.OrdnendwirktaberderLeitgedankederPoly-
valenz der Bachelorphase, welche eine breitere fachwissenschaftliche Ausbildung
erfordert, die – insbesondere im Bereich der Lehr¨amter fu¨r die Klassen 5 bis 13
(bzw.12)–zumTeildeutlichu¨berdieStandardseinergrundst¨andigenLehreraus-
bildunghinausgeht.Derzeitgiltdiesauchnochfu¨rdasLehramtanGrundschulen,
allerdings ist zu erwarten, dass hier eine Verselbst¨andigung erfolgen wird, infol-
ge derer dann die Inhalte der Studieng¨ange fu¨r die Klassen 5 bis 10 n¨aher an
die Inhalte der Studieng¨ange fu¨r die gymnasiale Oberstufe und das Berufskolleg
heranru¨cken – entsprechende Entwu¨rfe liegen im Land NRW bereits vor.
Der Mathematikunterricht in der Oberstufe besteht haupts¨achlich aus den bei-
den Gebieten Lineare Algebra“ und Analysis“, so dass man zu Beginn eines
” ”
Studiums schon einige Vorkenntnise zu diesen Themen mitbringt. Diese beiden
Gebiete sind von zentraler Bedeutung fu¨r die weiterfu¨hrenden Themenbereiche,
ebenso aber fu¨r fast alle Anwendungsfelder der Mathematik. Es ist also sinnvoll
und auch Tradition, der Linearen Algebra und der Analysis einen breiten Raum
im Grundstudium eines jeden mit Mathematik befassten Studiengangs bereitzu-
stellen, womit gleichzeitig auch unsere Zielgruppe definiert w¨are.
ImvorliegendenBuchsindbeideGebieteinzweiunabh¨angigenTeilendargestellt,
so dass man entweder mit der Analysis oder mit der Linearen Algebra beginnen
kann. Natu¨rlich gibt es zahlreiche Bezu¨ge zwischen diesen beiden Gebieten, denn
vielfach stammen Motivationen und Beispiele fu¨r Begiffsbildungen der Linearen
Algebra aus der Analysis, und diese Begriffsbildungen und damit verbundenen
Theorieentwicklungenwiederumerweisensichalsnu¨tzlichinderAnalysis.Trotz-
demsinddiebeidenTeiledesBuchsmitdennotwendigstenGrundkenntnissenaus
demMathematikunterrichtinderOberstufeunabh¨angigvoneinanderzubearbei-
ten. Treten trotzdem ohne weitere Erkl¨arung Begriffe auf, die den Studierenden
VI Vorwort
weder in der Schule noch in anderen einfu¨hrenden Lehrveranstaltungen an der
Hochschule bereits begegnet oder aber in Vergessenheit geraten sind (z.B. der
Begriff des K¨orpers der reellen Zahlen, die trigonometrischen Additionstheore-
me oder das Rechnen mit Logarithmen), dann kann man solche Begriffe leicht
in einem (mathematischen) Lexikon nachschlagen. Man k¨onnte auch die beiden
folgenden einfu¨hrenden Bu¨cher der gleichen Autoren zu Rate ziehen:
• Elemente der Arithmetik und Algebra, Spektrum Akad. Verlag Heidelberg 20085
• Elemente der Geometrie, Spektrum Akad. Verlag Heidelberg 20074
Die noch relativ junge mathematische Disziplin Lineare Algebra“ ist dadurch
”
besonders ausgezeichnet, dass sie mit ihren universellen Begriffsbildungen und
Methoden als Werkzeug in vielen anderen mathematischen Teilgebieten veran-
kert ist. Allerdings mangelt es vielen Kursen zur Linearen Algebra daran, die
außergew¨ohnliche Beziehungshaltigkeit dieser Disziplin aufzuzeigen. Das vorlie-
gende Buch ist gepr¨agt von dem Bemu¨hen, nicht nur die Grundlagen des Fachs
zu vermitteln, sondern die entwickelten Begriffsgefu¨ge und Theorien mit anderen
mathematischen Gebieten zu vernetzen; dies geschieht in umfangreichen Anwen-
dungsbeispielen aus der Arithmetik, der Geometrie, der Zahlentheorie, der Sta-
tistik, der Linearen Optimierung und natu¨rlich der Analysis. Damit bietet das
Buch ein breites Spektrum m¨oglicher Vertiefungsinhalte der Linearen Algebra,
dieGegenstandvonLehrveranstaltungeneinerpolyvalentenmathematischenAu-
bildungseink¨onnten.Gleichesgiltauchfu¨rdenTeilzurAnalysis,dernebendem
Standardprogramm der meisten Einfu¨hrungsveranstaltungen auch einen vorsich-
tigen Einstieg in die Analysis von Funktionen mehrerer Variabler einschließlich
(differenzial-)geometrischer Anwendungen enth¨alt.
DieDarstellungdesLehrstoffsimvorliegendenBuchorientiertsichanderZielset-
zung,dieStudierendeninsbesondereauchbeimSelbststudiumzuunterstu¨tzen,da
diekonsekutivenBachelor-undMasterstudieng¨angeentsprechendeStudienanteile
innichtgeringemUmfangvorsehen.Natu¨rlichsollnichtaufdenn¨otigenFormalis-
mus in der mathematischen Argumentation verzichtet werden, wo immer es sich
aber anbietet, steht die Vermittlung von Einsichten im Vordergrund, auch wenn
diesstellenweisel¨angereErkl¨arungstexteundVeranschaulichungenerfordert.Am
EndeeinesjedenAbschnittsbieteneinigeinderRegelsehreinfacheAufgabendie
Gelegenheit, mit dem entwickelten Begriffsgefu¨ge vertraut zu werden. Mit etwas
anspruchsvolleren Aufgaben soll dann auch das kreative, fantasievolle Verhalten
beim Probleml¨osen gef¨ordert werden, welches seit jeher unabdingbare Vorausset-
zung fu¨r die erfolgreiche Bew¨altigung eines Mathematikstudiums ist. L¨osungen
und L¨osungshinweise zu allen Aufgaben findet man am Ende des Buches, wobei
diese aus Platzgru¨nden sehr knapp gehalten werden mu¨ssen.
Wuppertal, im M¨arz 2009 Harald Scheid
Wolfgang Schwarz
Inhaltsverzeichnis
Lineare Algebra
I Lineare Gleichungssysteme und Vektorr¨aume
I.1 Beispiele fu¨r lineare Gleichungssysteme 3
I.2 L¨osungsverfahren 7
I.3 Der Begriff des Vektorraums 12
I.4 Lineare Mannigfaltigkeiten 21
I.5 Geometrische Interpretation 26
I.6 Konvexe Mengen 28
II Lineare Abbildungen
II.1 Lineare Abbildungen und Matrizen 32
II.2 Verkettung linearer Abbildungen 40
II.3 Anwendungen der Matrizenrechnung 50
III Das Skalarprodukt
III.1 Skalarproduktr¨aume 64
III.2 Anwendungen in der Statistik 70
III.3 Anwendungen in der Geometrie 73
III.4 Vektorprodukt und Spatprodukt 80
IV Determinanten
IV.1 Die Determinante einer Matrix 85
IV.2 Explizite Darstellung und Berechnung 91
V Affine Abbildungen
V.1 Darstellung affiner Abbildungen 97
V.2 Eigenwerte und Eigenr¨aume einer Matrix 105
V.3 Klassifikation der affinen Abbildungen 108
VI Kurven und Fl¨achen zweiter Ordnung
VI.1 Die Kegelschnittkurven 116
VI.2 Fl¨achen zweiter Ordnung 123
VI.3 Regel߬achen 129
VI.4 Kreisschnittebenen 132
VII Projektive Geometrie
VII.1 Homogene Koordinaten 134
VII.2 Projektive Abbildungen 140
VII.3 Kegelschnitte in der projektiven Ebene 151
VIII Lineare Optimierung
VIII.1 Problemstellung und Grundbegriffe 155
VIII.2 Das Simplexverfahren 166
VIII Inhaltsverzeichnis
Analysis
IX Folgen reeller Zahlen
IX.1 Grundlegende Beispiele und Begriffe 181
IX.2 Summen- und Differenzenfolgen 188
IX.3 Das Prinzip der vollst¨andigen Induktion 191
IX.4 Arithmetische, geometrische und harmonische Folgen 195
IX.5 Arithmetische Folgen h¨oherer Ordnung 198
IX.6 Konvergente Folgen 203
IX.7 Die reellen Zahlen 211
IX.8 Potenzen mit reellen Exponenten 219
IX.9 Unendliche Reihen 221
IX.10 Die eulersche Zahl 225
IX.11 Unendliche Produkte 226
IX.12 Abz¨ahlen von unendlichen Mengen 228
X Differenzial- und Integralrechnung
X.1 Stetige Funktionen 231
X.2 Die Ableitung einer Funktion 241
X.3 Die Mittelwerts¨atze der Differenzialrechnung 250
X.4 Iterationsverfahren 254
X.5 Stammfunktionen und Fl¨acheninhalte 260
X.6 Das Riemann-Integral 266
X.7 N¨aherungsverfahren zur Integration 278
X.8 Uneigentliche Integrale 281
XI Potenzreihen
XI.1 Konvergenz von Potenzreihen 289
XI.2 Taylor-Entwicklung 297
IX.3 Numerische Berechnungen 302
XI.4 Weitere Reihenentwicklungen 307
XII Kurven und Fl¨achen
XII.1 Kurvendiskussion 316
XII.2 Implizite Differenziation 323
XII.3 ParameterdarstellungvonKurven, DarstellungmitPolarkoordinaten 331
XII.4 Evoluten und Evolventen 340
XII.5 Kurven und Fl¨achen im Raum 347
L¨osungen der Aufgaben 352
Index 373
Lineare Algebra
I Lineare Gleichungssysteme
und Vektorr¨aume
I.1 Beispiele fu¨r lineare Gleichungssysteme
In vielen Gebieten der Mathematik und ihrer Anwendungen muss man sich mit
linearen Gleichungssystemen besch¨aftigen. Eine algebraische Gleichung heißt li-
near,wenndieVariablenx ,x ,...,x nurindererstenPotenzundnichtalsPro-
1 2 n
duktevorkommen,wenndieGleichungalsodieForma x +a x +...+a x =a
1 1 2 2 n n
hat. Die Koeffizienten a ,a ,...,a ,a stammen dabei aus einem Zahlenbereich
1 2 n
K, welcher wie die Menge IR der reellen Zahlen einen K¨orper bildet, in welchem
man also wie mit reellen Zahlen rechnen kann. Die L¨osungen der Gleichung sind
n-TupelmitElementenausK,geh¨orenalsozuKn.IndenmeistenAnwendungen
ist K der K¨orper IR der reellen Zahlen oder der K¨orper C der komplexen Zahlen
(vgl. II.3). Sollen mehrere solche Gleichungen gleichzeitig erfu¨llt sein, dann liegt
ein lineares Gleichungssystem vor. Da im Folgenden der Ausdruck lineares Glei-
”
chungssystem“ sehr h¨aufig vorkommt, wollen wir ihn mit LGS“ abku¨rzen. Ein
”
LGS mit n Variablen und m Gleichungen hat die Form
a x + a x + ... + a x = a
11 1 12 2 1n n 1
a x + a x + ... + a x = a
21 1 22 2 2n n 2
.
.
.
a x + a x + ... + a x = a
m1 1 m2 2 mn n m
Bei den Koeffizienten a gibt der erste Index i die Nummer der Gleichung und
ij
der zweite Index j die Nummer der Variablen an. Ein LGS hat entweder keine
L¨osung, genau eine L¨osung oder unendlich viele L¨osungen, wie wir im Folgenden
sehenwerden.DieL¨osungsmengeeinesLGS¨andertsichoffensichtlichnicht,wenn
man zwei Gleichungen vertauscht, eine Gleichung mit einer von 0 verschiedenen
Zahl multipliziert oder das Vielfache einer Gleichung zu einer anderen addiert.
Beispiel 1: Edelstahl ist eine Legierung aus Eisen, Chrom und Nickel; bei-
spielsweisebestehtV2A-Stahlaus74%Eisen,18%Chromund8%Nickel.Ausden
in nebenstehender Tabelle angegebenen
Legierungen (1) bis (4) soll 1000 kg V2A-
(1) (2) (3) (4)
Stahl gemischt werden. Um die notwen-
Eisen 70% 72% 80% 85%
digen Anteile x ,x ,x ,x von (1) bis (4)
1 2 3 4 Chrom 22% 20% 10% 12%
(inkg)zubestimmen,mussmanfolgendes
Nickel 8% 8% 10% 3%
LGS l¨osen:
0,70x + 0,72x + 0,80x + 0,85x = 740
1 2 3 4
0,22x + 0,20x + 0,10x + 0,12x = 180
1 2 3 4
0,08x + 0,08x + 0,10x + 0,03x = 80
1 2 3 4
4 I Lineare Gleichungssysteme und Vektorr¨aume
Multipliziert man alle Gleichungen mit 100, um Kommazahlen zu vermeiden,
dann ergibt sich das LGS
70x + 72x + 80x + 85x = 74000
1 2 3 4
22x + 20x + 10x + 12x = 18000
1 2 3 4
8x + 8x + 10x + 3x = 8000
1 2 3 4
Subtrahiert man die dritte Gleichung von der zweiten und das 8fache der dritten
Gleichung von der ersten, so erh¨alt man das LGS
6x + 8x + 0x + 61x = 10000
1 2 3 4
14x + 12x + 0x + 9x = 10000
1 2 3 4
8x + 8x + 10x + 3x = 8000
1 2 3 4
Multipliziert man die erste Gleichung mit 3 und subtrahiert dann von ihr das
2fache der zweiten Gleichung, so ergibt sich
−10x + 0x + 0x + 165x = 10000
1 2 3 4
14x + 12x + 0x + 9x = 10000
1 2 3 4
8x + 8x + 10x + 3x = 8000
1 2 3 4
W¨ahlt man nun fu¨r x einen beliebigen Wert r, dann liefert die erste Gleichung
4
x = 33r−1000. Aus der zweiten Gleichung folgt damit x =−20r+2000. Aus
1 2 2
5
der dritten Gleichung folgt schließlich x = r. Mit r =2s ist
3 2
x =33s−1000, x =−40s+2000, x =5s, x =2s.
1 2 3 4
AufgrunddesSachzusammenhangsdu¨rfendieseWertenichtnegativsein,esmuss
also 1000 ≤s≤50gelten;fu¨rjedenWertvonsindiesemBereichergibtsicheine
33
L¨osung des gestellten Problems. Beispielsweise ergibt sich mit s=40:
x =320, x =400, x =200, x =80.
1 2 3 4
Beispiel 2: Kennt man in einem Gleichstromnetz die Spannungen und die Wi-
derst¨ande, dann kann man die Stromst¨arken in den Widerst¨anden mit Hilfe der
beiden kirchhoffschen Regeln berechnen:
• In jedem Knotenpunkt des Netzes ist die Summe der Stromst¨arken der ankom-
menden Str¨ome gleich der Summe der Stromst¨arken der abfließenden Str¨ome.
• In jeder Masche des Netzes ist die Summe der Spannungen gleich der Summe
der Produkte aus den (gerichteten) Stromst¨arken und den Widerst¨anden.
Es sollen die Stromst¨arken I ,I ,...,I (gemessen in Amp`ere) in dem Netz in
1 2 5
Fig.1 bestimmt werden.