Elementary algebra textbook

2011·3 MB·English

Elementary Algebra Textbook
Second Edition
Department of Mathematics
College of the Redwoods
2012-2013
ii
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Contents
1 The Arithmetic of Numbers 1
1.1 An Introduction to the Integers . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
The Integers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Absolute Value . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Integer Addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Mathematical Properties of Addition. . . . . . . . . . . . . . 6
Integer Subtraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Integer Multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Mathematical Properties of Multiplication. . . . . . . . . . . 9
Exponents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Graphing Calculator: Negating versus Subtracting . . . . . . 11
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2 Order of Operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Grouping Symbols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Absolute Value Bars as Grouping Symbols . . . . . . . . . . 20
Nested Grouping Symbols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Evaluating Algebraic Expressions. . . . . . . . . . . . . . . . 21
Evaluating Fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Using the Graphing Calculator . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.3 The Rational Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Reducing Fractions to Lowest Terms . . . . . . . . . . . . . . 31
Multiplying Fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Dividing Fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Adding Fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Order of Operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Fractions on the Graphing Calculator . . . . . . . . . . . . . 39
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
iii
iv CONTENTS
1.4 Decimal Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Adding and Subtracting Decimals . . . . . . . . . . . . . . . 49
Multiplication and Division of Decimals . . . . . . . . . . . . 51
Order of Operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Rounding Using the Graphing Calculator . . . . . . . . . . . 55
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
1.5 Algebraic Expressions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
The Distributive Property. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Speeding Things Up a Bit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Distributing a Negative Sign . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Combining Like Terms. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Order of Operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2 Solving Linear Equations and Inequalities 73
2.1 Solving Equations: One Step . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
Equivalent Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
Wrap and Unwrap, Do and Undo. . . . . . . . . . . . . . . . 75
Operations that Produce Equivalent Equations . . . . . . . . 76
More Operations That Produce Equivalent Equations . . . . 79
Writing Mathematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
2.2 Solving Equations: Multiple Steps . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Variables on Both Sides of the Equation . . . . . . . . . . . . 90
Simplifying Expressions When Solving Equations . . . . . . . 92
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
2.3 Clearing Fractions and Decimals . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
Canceling is More Efficient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
Clearing Fractions from an Equation . . . . . . . . . . . . . . 101
Clearing Decimals from an Equation . . . . . . . . . . . . . . 106
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
2.4 Formulae . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
Clearing Fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
Geometric Formulae . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
2.5 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
2.6 Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
Ordering the Real Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
CONTENTS v
Set-Builder Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
Interval Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
Equivalent Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
Reversing the Inequality Sign . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
Multiple Steps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
Summary Table of Set-Builder and Interval Notation. . . . . 146
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
3 Introduction to Graphing 151
3.1 Graphing Equations by Hand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
The Cartesian Coordinate System . . . . . . . . . . . . . . . 152
Plotting Ordered Pairs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
Equations in Two Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
Graphing Equations in Two Variables . . . . . . . . . . . . . 157
Guidelines and Requirements . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
Using the TABLE Feature of the Graphing Calculator . . . . 160
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
3.2 The Graphing Calculator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
Reproducing Calculator Results on Homework Paper . . . . 174
Adjusting the Viewing Window . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
3.3 Rates and Slope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
Measuring the Change in a Variable . . . . . . . . . . . . . . 184
Slope as Rate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
The Steepness of a Line . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
The Geometry of the Slope of a Line . . . . . . . . . . . . . . 192
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
3.4 Slope-Intercept Form of a Line . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
3.5 Point-Slope Form of a Line . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
Parallel Lines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
Perpendicular Lines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
3.6 Standard Form of a Line . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
Slope-Intercept to Standard Form . . . . . . . . . . . . . . . 230
Point-Slope to Standard Form . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
Intercepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
Horizontal and Vertical Lines . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
vi CONTENTS
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
4 Systems of Linear Equations 245
4.1 Solving Systems by Graphing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
Exceptional Cases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
Solving Systems with the Graphing Calculator . . . . . . . . 253
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
4.2 Solving Systems by Substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
Exceptional Cases Revisited . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
4.3 Solving Systems by Elimination . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
Exceptional Cases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
4.4 Applications of Linear Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
5 Polynomial Functions 293
5.1 Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
Mapping Diagrams . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
Function Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
Mapping Diagram Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
Function Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
Interchanging y and f(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
5.2 Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
Ascending and Descending Powers . . . . . . . . . . . . . . . 309
The Degree of a Polynomial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
Polynomial Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
The Graph of a Polynomial Function . . . . . . . . . . . . . 313
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
5.3 Applications of Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
Zeros and x-intercepts of a Function . . . . . . . . . . . . . . 325
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
5.4 Adding and Subtracting Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . 334
Negating a Polynomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
Subtracting Polynomials. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
Some Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
CONTENTS vii
Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
5.5 Laws of Exponents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
Multiplying With Like Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344
Dividing With Like Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
Raising a Power to a Power . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
Raising a Product to a Power . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
Raising a Quotient to a Power . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353
Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
5.6 Multiplying Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
The Product of Monomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
Multiplying a Monomial and a Polynomial . . . . . . . . . . 357
Multiplying Polynomials. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
Speeding Things Up a Bit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360
Some Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366
Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368
5.7 Special Products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370
The FOIL Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370
The Difference of Squares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373
Squaring a Binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
An Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380
Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382
6 Factoring 385
6.1 The Greatest Common Factor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
Finding the Greatest Common Factor of Monomials . . . . . 388
Factor Out the GCF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390
Speeding Things Up a Bit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392
Factoring by Grouping. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396
Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398
6.2 Solving Nonlinear Equations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399
Linear versus Nonlinear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400
Using the Graphing Calculator . . . . . . . . . . . . . . . . . 404
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410
Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411
6.3 Factoring ax2+bx+c when a=1 . . . . . . . . . . . . . . . . 413
The ac-Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413
Speeding Things Up a Bit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416
Nonlinear Equations Revisited . . . . . . . . . . . . . . . . . 417
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424
Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425
6.4 Factoring ax2+bx+c when a(cid:2)=1 . . . . . . . . . . . . . . . . 427
Speeding Things Up a Bit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428
viii CONTENTS
Nonlinear Equations Revisited . . . . . . . . . . . . . . . . . 431
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437
Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438
6.5 Factoring Special Forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440
Perfect Square Trinomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440
The Difference of Squares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444
Factoring Completely . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446
Nonlinear Equations Revisited . . . . . . . . . . . . . . . . . 447
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452
Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454
6.6 Factoring Strategy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456
Using the Calculator to Assist the ac-Method . . . . . . . . . 462
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464
Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465
6.7 Applications of Factoring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474
Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475
7 Rational Expressions 477
7.1 Negative Exponents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478
Laws of Exponents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480
Raising to a Negative Integer . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482
Applying the Laws of Exponents . . . . . . . . . . . . . . . . 484
Clearing Negative Exponents . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488
Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 490
7.2 Scientific Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492
Multiplying Decimal Numbers by Powersof Ten . . . . . . . 493
Scientific Notation Form. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495
Placing a Number in Scientific Notation . . . . . . . . . . . . 495
Scientific Notation and the Graphing Calculator . . . . . . . 497
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502
Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504
7.3 Simplifying Rational Expressions . . . . . . . . . . . . . . . . . 505
Multiplying and Dividing Rational Expressions . . . . . . . . 505
Adding and Subtracting Rational Expressions . . . . . . . . 507
The Least Common Denominator . . . . . . . . . . . . . . . 508
Dividing a Polynomial by a Monomial . . . . . . . . . . . . . 511
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513
Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514
7.4 Solving Rational Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516
Solving Rational Equations with the Graphing Calculator . . 518
Numerical Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523
Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524
7.5 Direct and Inverse Variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525
CONTENTS ix
Inversely Proportional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531
Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533
8 Quadratic Functions 535
8.1 Introduction to Radical Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . 536
Using the Graphing Calculator . . . . . . . . . . . . . . . . . 539
Approximating Square Roots . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545
Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546
8.2 Simplifying Radical Expressions. . . . . . . . . . . . . . . . . . 547
Simple Radical Form. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 548
The PythagoreanTheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 549
Proof of the PythagoreanTheorem. . . . . . . . . . . . . . . 550
Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555
Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 557
8.3 Completing the Square . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 558
Perfect Square Trinomials Revisited . . . . . . . . . . . . . . 561
Completing the Square . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562
Solving Equations by Completing the Square . . . . . . . . . 563
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 568
Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 569
8.4 The Quadratic Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 580
Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582
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