Elementare Zahlentheorie [Lecture notes]

116 Pages·2009·0.897 MB·German

by  K. Halupczok

Manuskript zur Vorlesung
Elementare Zahlentheorie
gehalten von
PD Dr. K. H
ALUPCZOK
im
Sommersemester 2009
an der
Dieses Manuskript wurde unter LAT X gesetzt von
E
Dipl.–Math. S. FEILER
undbasiertaufdemvonM.GILG geTEXten
ManuskriptzurVorlesungElementareZahlentheorieSS2005
vonProf.Dr.D. WOLKE.
Seite 2 Einleitung
Inhaltsverzeichnis
Einleitung 2
1 Teilbarkeit 3
2 Kongruenzen und Restsysteme 18
Etwas Algorithmische Zahlentheorie 36
3 Kongruenzen in einer Unbekannten 41
4 Summen aus Quadraten und höheren Potenzen 66
5 Zahlentheoretische Funktionen 77
6 Elementare Primzahltheorie 99
Index 114
Einleitung
Über elementare Zahlentheorie
Die Vorlesung gibt eine Einführung in die Da einerseits die Bausteine, die Elemente
elementare Zahlentheorie. Das Wort „ele- von , begrifflich leicht zugänglich sind, an-
Z
mentar“ bedeutet dabei erstens, dass die dererseits so viele höchst schwierige, zum
Fragestellungen sich fast ausschließlich auf Teil noch ungelöste Probleme bestehen, ge-
Eigenschaften der natürlichen und der gan- hörte die Zahlentheorie stets zu dem bevor-
zen Zahlen beziehen. Zweitens sollen außer zugten Arbeitsgebiet der Mathematiker. Ei-
Grundkenntnissen in Analysis und Algebra nige der bekanntesten Namen, wie Euler,
keine weiteren Hilfsmittel verwandt werden. Lagrange oder Gauss, werden im Folgen-
den mehrfach auftreten. Durch die Entwick-
Die Zahlentheorie ist neben der Geometrie
lung schneller Rechner sind zahlentheoreti-
der älteste Teil der Mathematik. Aus Baby-
sche Methoden in den letzten Jahrzenten
lonien, dem alten Ägypten, und China sind
auch für Anwendungen, z.B. die Kryptogra-
erste theoretische Quellen überliefert (z.B.
fie, sehr wichtig geworden.
die Darstellung einer rationalen Zahl a/q
∈
(0,1] als Summe 1 + + 1 mit n
n1 ··· nk j ∈ N Mit dem Ausbau der Mathematik, vor allem
für alle j mit j k, 1 < n < ... < n
1 k
∈ N ≤ seit Beginn des 19. Jahrhunderts, erweiterte
und k , „ägyptische Brüche“).
∈ N sich die Zahlentheorie in Bezug auf Frage-
Die alten Griechen untersuchten Probleme, stellungen und Methoden erheblich. Die Un-
die teilweise noch heute aktuell sind, z.B. tersuchung von algebraischen, transzenden-
„diophantische Gleichungen“, d.h. die Suche ten und p–adischen Zahlen, von Folgen gan-
nach ganzzahligen Lösungen von Gleichun- zer Zahlen, unendlichen Reihen mit zahlen-
gen wie x2 + y2 = z2 („pythagoräische Tri- theoretisch interessanten Koeffizienten und
pel“), oder das höchst rätselhafte Verhalten vielem anderen gehört heute zu den Zweigen
der Folge der Primzahlen. des uralten, aber immer noch rasch wach-
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Teilbarkeit Seite 3
senden Baumes der Zahlentheorie. Dement- In Freiburg werden regelmäßig Fortset-
sprechend werden Hilfsmittel aus nahezu al- zungsveranstaltungen angeboten, insbeson-
len Teilen der Mathematik verwandt, vor al- dere über transzendente Zahlen, algebrai-
lem aus Algebra (algebraische Zahlentheo- sche und analytische Zahlentheorie. Hier-
rie) und komplexer Analysis (analytische für ist der elementare Teil die verbindende
Zahlentheorie). Grundlage.
Literatur
Es gibt zahllose Einführungen in die Zahlentheorie.
Bei den folgenden Büchern handelt es sich um bewährte „Klassiker“.
„An Indroduction to the Theory of Numbers“, G. H. Hardy and E. M. Wright,
•
Clarendon Press (Oxford — 1979 (fifth edition))
„Introduction to number theory“, Hua L. K., Springer–Verlag (Berlin, Heidelberg,
•
New York — 1982)
Notation
bezeichnet die Menge der komplexen Zahlen.
C
bezeichnet die Menge der reellen Zahlen.
R
+ bezeichnet die Menge der positiven reellen Zahlen (exklusive der 0).
R
bezeichnet die Menge der rationalen Zahlen.
Q
bezeichnet die Menge der ganzen Zahlen.
Z
bezeichnet die Menge der natürlichen Zahlen (inklusive der 0).
0
N
bezeichnet die Menge der natürlichen Zahlen (exklusive der 0).
N
bezeichnet die Menge der Primzahlen.
P
Für eine Menge bezeichnet # die Anzahl der Elemente von .
0
A A ∈ N ∪{∞} A
Bei Gleitkommazahlen wird der ganzzahlige Anteil vom gebrochenen Anteil stets mit einem
Punkt „ . “ getrennt.
Kapitel 1: Teilbarkeit
Während die Umkehrung der Addition, die Subtraktion, in unbeschränkt ausführbar ist,
Z
lässt sich die Division nicht immer durchführen. , , 0 und sind bezüglich der
0
N N Z \ { } Z
Multiplikation nur Halbgruppen. Der wesentliche Begriff hierzu ist der der Teilbarkeit.
Definition 1.1 (Teiler und Vielfache)
a) a teilt b (oder: a ist Teiler von b, b wird von a geteilt, b ist Vielfaches
∈ Z ∈ Z
von a), falls es ein c mit b = a c gibt.
∈ Z ·
c heißt dann Gegenteiler von a bezüglich b.
Kurz: a b : c mit b = ac
| ⇐⇒ ∃
Andernfalls a b (a teilt b nicht)
6 |
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Seite 4 Kapitel 1
b) a heißt echter Teiler von b , falls a b und a < b gelten.
∈ Z ∈ Z | | | | |
Dann heißt b echtes Vielfaches von a.
Beispiel 1 5, 5 5, 2 5, 10 0, 2 6, 0 0, 0 a a = 0.
| | 6 | | − | | 6 | ∀ 6
Folgerung 1.2
Für alle a , alle b und alle c gilt
∈ Z ∈ Z ∈ Z
(1) a b = z : a (bz)
| ⇒ ∀ ∈ Z |
(2) a b b c = a c
| ∧ | ⇒ |
(3) a b a c = x,y : a (xb+yc)
| ∧ | ⇒ ∀ ∈ Z |
(4) a b b a = a = b
| ∧ | ⇒ | | | |
(5) a b b = 0 = a b
| ∧ 6 ⇒ | | ≤ | |
(6) a b = z : (za) (zb)
| ⇒ ∀ ∈ Z |
Beweis: (von Folgerung (4))
Es gibt ein c und ein c mit b = c a und a = c b. Also ist b = c c b.
1 2 1 2 1 2
∈ Z ∈ Z
Im Fall b = 0 folgt a = 0. Im Fall b = 0 folgt c c = 1, also c 1,1 und c 1,1 .
1 2 1 2
6 ∈ {− } ∈ {− }
Definition 1.3 (Gauss–Klammer)
: R → Z heißt Gauss’sche Größte–Ganze–Funk-
⌊·⌋ t t := max a ;a t
tion. ((cid:26)Kurz: G7→au⌊s⌋s–Klamm{er∈)Z ≤ } (cid:27)
( t ist die größte ganze Zahl kleiner oder gleich t .
⌊ ⌋ ∈ R
Kurz: Größtes Ganzes von t oder Gauss–Klammer von t)
Hinweis
Häufig findet man auch die Schreibweise [ ] für die Gauss–Klammer.
·
Beispiel a = a n , π = 3, π = 4.
⌊ ⌋ ∀ ∈ Z ⌊ ⌋ ⌊− ⌋ −
Satz 1.4 (Division mit Rest)
Behauptung:
a
a n r mit r < n und a = n+r.
0
∀ ∈ Z ∀ ∈ N ∃ ∈ N n
j k
In der Darstellung a = bn+r mit b , r und r < n sind b und r für
0
∈ Z ∈ N
alle a und alle n eindeutig festgelegt.
∈ Z ∈ N
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Teilbarkeit Seite 5
Beweis:
a a a a
Nach Definition von ist < +1, also 0 a n < n.
⌊·⌋ n ≤ n n ≤ − n
Dies ist die Ungleichung fürjr uknd es foljgt kdie erste Behauptunjg.k
Seien a und n . Es existieren somit b und r mit a = bn+r und r < n.
0
∈ Z ∈ N ∈ Z ∈ N
Seien b und r mit a = bn+r und r < n.
′ ′ 0 ′ ′ ′
∈ Z ∈ N
Dann ergibt sich 0 = (b b) n+(r r ), wobei n < r r < n.
′ ′ ′
− · − − −
Dies ist nur möglich mit b = b und r = r .
′ ′
Das zu a und n eindeutig bestimmte r heißt der kleinste nichtnegative
0
∈ Z ∈ N ∈ N
Rest von a bei Division durch n.
Es kann r auch durch die Forderung r n (absolut kleinster Rest) festgelegt werden.
| | ≤ 2
Dann ist es nicht immer eindeutig festgelegt (30 = 7 4+2 = 8 4 2).
· · −
Definition 1.5 (Gemeinsame Teiler)
Für diese Definition seien a , b , n 1 und a für alle j mit j n.
j
∈ Z ∈ Z ∈ N\{ } ∈ Z ∈ N ≤
a) d heißt gemeinsamer Teiler von a und b, falls d a und d b gelten.
∈ N | |
b) Ist a2+b2 = 0, so heißt ggT(a,b) := max c ;c a und c b größter gemeinsamer
6 { ∈ N | | }
Teiler von a und b.
Kurz: (a,b) := ggT(a,b).
c) Ist a = 0, so sei ggT(a) := a .
6 | |
n 1
Sind n = 2 und − a2 = 0, so seien
6 j 6
j=1
P
ggT(a ,...,a ) := ((a ,...,a ),a )
1 n 1 n 1 n
−
und
ggT(0,...,0,a ) := a ,falls a = 0 ist.
n n n
| | 6
Kurz: (a ,...,a ) := ggT(a ,...,a )
1 n 1 n
n
Sind n = 2 und a2 = 0, so heißt ggT(a ,...,a ) größter gemeinsamer Teiler
6 j 6 1 n
j=1
von a ,...,a .
1 n P
d) a und b heißen teilerfremd oder relativ prim, wenn (a,b) = 1 und a2 +b2 = 0 sind.
6
n
a ,...,a heißen teilerfremd, wenn ggT(a ,...,a ) = 1 und a2 = 0 sind.
1 n 1 n j 6
j=1
P
a ,...,a heißenpaarweise teilerfremd,wenn # j ;j n und a = 0 1und
1 n j
{ ∈ N ≤ } ≤
(a ,a ) = 1 für alle j und alle k mit j < k n gilt.
j k
∈ N ∈ N ≤
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Seite 6 Kapitel 1
Aus der paarweisen Teilerfremdheit folgt die Teilerfremdheit.
Die Umkehrung braucht nicht zu gelten.
Beispiel Es ist (6,10,15) = 1, aber es sind (6,10) = 2, (6,15) = 3 und (10,15) = 5.
Satz 1.6 (Minimaleigenschaft des ggT / Darstellung des ggT als –Linearkombination)
Voraussetzungen: Z
n
Seien n und a für alle j mit j n derart, dass a2 = 0 ist.
∈ N j ∈ Z ∈ N ≤ j 6
j=1
Behauptung: Es ist P
(a ,...,a ) = min d ; z ... z mit d = z a +...+z a .
1 n 1 n 1 1 n n
{ ∈ N ∃ ∈ Z ∃ ∈ Z }
Dieser Satz wird später bewiesen.
Folgerung 1.7
Seien a , b , d , n , a für alle j mit j n, := m ;m n
j
∈ Z ∈ Z ∈ N ∈ N ∈ Z ∈ N ≤ N { ∈ N ≤ }
n
und σ : N → N bijektiv derart, dass a2+b2 = 0 und a2 = 0 sind. Dann gilt
m σ(m) 6 j 6
(cid:26) 7→ (cid:27) j=1
P
(1) d = (a,b) d a und d b und c gilt (c a c b = c d)
⇐⇒ | | ∀ ∈ N | ∧ | ⇒ |
(2) (ca,cb) = c (a,b) c 0
| | ∀ ∈ Z\{ }
(3) (a ,...,a ) = a ,...,a
1 n σ(1) σ(n)
(cid:0) (cid:1)
Beweis:
(i) Zu (1) „= “
⇒
Es gelte d = (a,b), so gilt d a und d b und nach Satz 1.6 gibt es ein z und ein z
1 2
| | ∈ Z ∈ Z
mit d = z a+z b.
1 2
Für alle c mit c a und c b, gibt es ein d mit a = d c und ein d mit b = d c,
1 1 2 2
∈ Z | | ∈ Z ∈ Z
woraus folgt
d = z a+z b = z d c+z d c = (z d +z d ) c.
1 2 1 1 2 2 1 1 2 2
·
Also ist c auch ein Teiler von d für alle c mit c a und c b.
∈ Z | |
(ii) Zu (1) „ =“
⇐
Es gelte d a, d b und c d für alle c mit c a und c b.
| | | ∈ Z | |
Sei c := max c ;c a und c b . Dann ist c = (a,b).
′ ′
{ ∈ N | | }
Nach Voraussetzung gilt c d.
′
|
Wegen d a, d b und d ist aber d c nach Definition von c.
′ ′
| | ∈ N ≤
Damit folgt also d = c = (a,b).
′
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Teilbarkeit Seite 7
(iii) Zu (2)
Sei c 0 . Es gelte d = (a,b). Zu zeigen ist also c d = (ac,bc).
∈ Z\{ } | |
Nach Satz 1.6 gibt es ein z und ein z mit d = z a + z b, d a und d b. Nach
1 2 1 2
∈ Z ∈ Z | |
Folgerung 1.2 (6) auf Seite 4 ist c d ein Teiler von a c und von b c .
| | | | | |
Dann teilt c d aber auch ac und bc.
| |
Sei e mit e (ac) und e (bc). Dann teilt e auch
∈ Z | |
c d = c (z a+z b) = z a c +z b c = sign(c)z (ac)+sign(c)z (bc).
1 2 1 2 1 2
| | | |· | | | |
Nach (1) ist c d = (ac,bc).
| |
(iv) Zu (3)
(a ,...,a ) = a ,...,a ist klar nach Satz 1.6.
1 n σ(1) σ(n)
(cid:0) (cid:1)
(1) kann auch folgendermaßen ausgedrückt werden:
Für alle a sei (a) die Menge der Teiler von a. ( (0) = , (a) < für alle
∈ Z T T Z |T | ∞
a 0 )
∈ Z\{ }
Dann gilt für alle a und alle b mit a2 +b2 = 0
∈ Z ∈ Z 6
(a) (b) = ((a,b)).
T ∩T T
(3) bedeutet, dass die Berechnung eines größten gemeinsamen Teilers von beliebig vielen
Zahlen nicht auf die Reihenfolge der Zahlen ankommt.
Der Beweis zu Satz 1.6 beruht auf dem „Euklidischen Algorithmus“, dem ersten nicht auf der
Hand liegenden algorithmischen Verfahren der Mathematik.
Algorithmus 1.8 (Euklidischer Algorithmus)
(Eukleides von Alexandria, um 300 vor Christus)
Zu gegebenen n und n finde man ein k und für alle j mit j < k ein
1 2
∈ N ∈ N ∈ N ∈ N
a und ein n , so dass das folgende Schema von Divisionen mit Rest gilt:
j j+2
∈ N ∈ N
n = a n +n 0 < n < n
1 1 2 3 3 2
n = a n +n 0 < n < n
2 2 3 4 4 3
.
.
.
n = a n +n 0 < n < n
j j j+1 j+2 j+2 j+1
.
.
.
n = a n +n 0 < n < n
k 2 k 2 k 1 k k k 1
− − − −
n = a n
k 1 k 1 k
− −
Behauptung: Es ist n = (n ,n ).
k 1 2
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Seite 8 Kapitel 1
Beweis:
(i) n (n ,n )
k 1 2
≥
Sei d ein gemeinsamer Teiler von n und n .
1 2
∈ N
Aus der ersten Zeile des Schemas folgt d n , aus der zweiten d n , also
3 4
| |
d n und d n = d n .
1 2 k
| | ⇒ |
Also ist (n ,n ) ein Teiler von n und insbesondere gilt (n ,n ) n .
1 2 k 1 2 k
≤
(ii) n ist gemeinsamer Teiler von n und n
k 1 2
Umgekehrt ergibt sich
n n , n n , ..., n n und n n .
k k 1 k k 2 k 2 k 1
| − | − | |
Also ist n ein gemeinsamer Teiler von n und n .
k 1 2
Mit (i) folgt die Behauptung.
Zusatzbemerkungen
1. Für die Praxis ist es wichtig, bei Paaren großer Zahlen rasch festzustellen, ob sie teiler-
fremd sind. Der Euklidische Algorithmus ist hierfür gut geeignet.
Am Beweis sieht man, dass statt mit den kleinsten positiven Resten auch mit abso-
lut kleinsten Resten gerechnet werden kann, d.h. in jedem Schritt erfolgt mindestens
Halbierung, der Algorithmus stoppt nach C ln(min n ,n ) Divisionen.
1 2
≤ · { }
2. Auch bei den kleinsten positiven Resten stoppt er ähnlich schnell. Nach spätestens zwei
Divisionen erfolgt Halbierung.
Ist n < n , dann ist n 1 n :
2 1 3 ≤ 2 · 1
Ist bereits n 1 n , dann ist es klar. Im Fall n > 1 n lautet die erste Zeile
2 ≤ 2 · 1 2 2 · 1
1
n = n +n mit n < n .
1 2 3 3 1
2 ·
Ebenso bei den weiteren Divisionen.
Zur Erinnerung sei der noch zu beweisende Satz 1.6 hier noch einmal angegeben.
Satz 1.6 (Minimaleigenschaft des ggT / Darstellung des ggT als –Linearkombination)
Voraussetzungen: Z
n
Seien n und a für alle j mit j n derart, dass a2 = 0 ist.
∈ N j ∈ Z ∈ N ≤ j 6
j=1
Behauptung: Es ist P
(a ,...,a ) = min d ; z ... z mit d = z a +...+z a .
1 n 1 n 1 1 n n
{ ∈ N ∃ ∈ Z ∃ ∈ Z }
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Teilbarkeit Seite 9
Beweis:
(i) Anwenden des Euklidischen Algorithmus’
Seien n und n mit n2 +n2 = 0.
Aus dem1 ∈EZuklidisc2h∈enZAlgorit1hmus216 .8 auf Seite 7 entnimmt man
x x mit (n ,n ) = x n +x n . (G)
1 2 1 2 1 1 2 2
∃ ∈ Z ∃ ∈ Z
(Denn nach der ersten Zeile läßt sich n als ganzzahlige Linearkombination von n und n
3 1 2
schreiben, nach der zweiten n , usw.)
4
(ii) „n = 1“
Der Beweis wird induktiv geführt.
Es ist (a ) = a = min d ; z mit d = z a .
1 1 1 1 1
| | { ∈ N ∃ ∈ Z }
Sei nun also n > 1 vorausgesetzt.
(iii) Triviale Fälle
Ist a = 0 für alle j mit j < n, so ist a = 0 und es folgt
j n
∈ N 6
(0,...,0,a ) = a = min d ; z ... z mit d = z 0+...z 0+z a .
n n 1 n 1 n 1 n n
| | { ∈ N ∃ ∈ Z ∃ ∈ Z · − · }
n 1
Ist a = 0, so folgt − a2 = 0 und die Induktionsvoraussetzung liefert
n j 6
j=0
P
(a ,...,a ,0) = (a ,...,a )
1 n 1 1 n 1
− −
=min d ; z ... z mit d = z a +...z a
1 n 1 1 1 n 1 n 1
{ ∈ N ∃ ∈ Z ∃ − ∈ Z − − }
=min d ; z ... z mit d = z a +...z a +z 0 .
1 n 1 1 n 1 n 1 n
{ ∈ N ∃ ∈ Z ∃ ∈ Z − − · }
(iv) Nichttrivialer Fall
Es gelte nun a = 0 und a = 0 für ein j mit j < n.
n j
6 6 ∈ N
Seien dann
d := (a ,...,a ) > 0 und d := (d ,a ) > 0.
n 1 1 n 1 n n 1 n
− − −
Aus (G) entnimmt man
z z mit d = z d +z a .
′ n n ′ n 1 n n
∃ ∈ Z ∃ ∈ Z −
Die Induktionsvoraussetzung für a ,...,a liefert
1 n 1
−
z ... z mit d = z a +...+z a .
1 n 1 n 1 1 n n
∃ ∈ Z ∃ − ∈ Z
Ist k das im Satz genannte Minimum, dann folgt 0 < k d .
n
≤
Da umgekehrt d a ,...,d a gilt, folgt d k. Damit bleibt nur d = k.
n 1 n n n n
| | |
Lemma 1.9
Voraussetzungen:
Seien a , b und c mit b2 +c2 = 0.
∈ Z ∈ Z ∈ Z 6
Behauptung: (1) Aus (a,c) = (b,c) = 1 folgt (ab,c) = 1, sofern a2 +c2 = 0 ist.
6
(2) Aus c (ab) und (b,c) = 1 folgt c a.
| |
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Seite 10 Kapitel 1
Beweis:
(i) Zu (2)
Es gilt c (ac). Gilt c (ab) und (b,c) = 1, so teilt c auch (ab,ac) = a (b,c) = a , also c a.
| | | |· | | |
(ii) Zu (1)
Es gelte a2 +c2 = 0 und (a,c) = (b,c) = 1. Sei d := (ab,c).
6
Mit Folgerung 1.7 (1) auf Seite 6 sieht man d (ab,ac) wegen d (ab) und d c bzw. d (ac).
| | | |
Nach Folgerung 1.7 (2) ist (ab,ac) = a (b,c) = a und somit ist d ein Teiler von a.
| |· | |
Mit d c und Folgerung 1.7 (1) folgt d (a,c). Wegen (a,c) = 1 bleibt nur d = 1.
| |
Definition 1.10 (Kleinstes gemeinsames Vielfaches)
Sind n und a 0 für alle j mit j n, so heißt
j
∈ N ∈ Z\{ } ∈ N ≤
kgV(a ,...,a ) := min m ; j mit j n gilt a m
1 n j
{ ∈ N ∀ ∈ N ≤ | }
kleinstes gemeinsames Vielfaches von a ,...,a .
1 n
Kurz: [a ,...,a ] := kgV(a ,...,a ).
1 n 1 n
Hinweis
Wird die Gauss–Klammer auch mit eckigen Klammern geschrieben, so darf im Fall n = 1
das kleinste gemeinsame Vielfache nicht mit der Gauss–Klammer verwechselt werden.
Für alle a ist kgV( a ) = a , aber a = a .
1 1 1 1 1
∈ N − ⌊− ⌋ −
Satz 1.11 (Satz über das kleinste gemeinsame Vielfache)
Voraussetzungen:
Seien n , a 0 für alle j mit j n und b .
j
∈ N ∈ Z\{ } ∈ N ≤ ∈ Z
Behauptung: (1) b ist gemeinsames Vielfaches von a ,...,a (d.h. a b,...,a b) genau
1 n 1 n
| |
dann, wenn b Vielfaches von [a ,...,a ] ist.
1 n
(2) Es ist [a ,a ] (a ,a ) = a a , falls n = 2 ist.
1 2 1 2 1 2
· | |
Folgerung 1.7 (1) auf Seite 6 und Satz 1.11 entsprechen einander:
a) Die Menge der gemeinsamen Teiler von a ,...,a ist gleich der Menge der Teiler von
1 n
(a ,...,a ).
1 n
b) Die Menge der gemeinsamen Vielfachen von a ,...,a ist gleich der Menge der Vielfa-
1 n
chen von [a ,...,a ].
1 n
Beweis:
(i) zu (2)
Für diesen Beweispunkt gelte n = 2.
Sei m ein Vielfaches von a und a .
1 2
∈ N
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