Elementare und algebraische Zahlentheorie: Ein moderner Zugang zu klassischen Themen

262 Pages·2011·4.73 MB·German

by  Stefan Müller-Stach

Stefan Müller-Stach | Jens Piontkowski
Elementare und algebraische Zahlentheorie
Stefan Müller-Stach | Jens Piontkowski
Elementare und
algebraische Zahlentheorie
Ein moderner Zugang zu klassischen Themen
2., erweiterte Auflage
STUDIUM
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Prof. Dr. Stefan Müller-Stach
Johannes Gutenberg-Universität Mainz
Institut für Mathematik
Staudinger Weg 9
55099 Mainz
[email protected]
Priv.-Doz. Dr. Jens Piontkowski
Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf
Mathematisches Institut
Universitätsstraße 1
40225 Düsseldorf
[email protected]
1. Auflage 2006
2., erweiterte Auflage 2011
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© Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011
Lektorat: Ulrike Schmickler-Hirzebruch | Barbara Gerlach
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Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier
Printed in Germany
ISBN 978-3-8348-1256-8
Fu¨r unsereEltern,EvijaundSiggi
Vorwort
DerAusgangspunktdiesesBucheswareingemeinsamentwickeltesVorlesungsskriptderbei-
den Autoren, das eine anschaulicheDarstellung der Grundbegriffeder elementarenund al-
gebraischenZahlentheoriezumZielhatte.DabeistandendietheoretischenAspektezwarim
Vordergrund,aberderStoffsollteimmerdurchBeispieleundexpliziteAlgorithmenkonkre-
tisiertwerden.
Der rote Faden dieses Buches ist die Lo¨sungstheorie diophantischer Gleichungen, d.h. die
Suche nach ganzzahligen oder rationalen Lo¨sungen von Polynomgleichungenin mehreren
Variablen. Dabei stehen die quadratischen Gleichungen im Mittelpunkt, um den Stoff ele-
mentarzuhalten.DasBuchfu¨hrtdazuinmehrereTechnikenein.InderKongruenzrechnung
versuchtman,eineGleichungzuerstmoduloeinernatu¨rlichenZahlnzulo¨sen.Dabeibietet
essichan,fu¨rneinePrimzahlpotenzpkzuwa¨hlen,weilmandieLo¨sungenzuverschiedenen
PrimzahlpotenzenmitdemchinesischenRestsatzzusammensetzenkann.DerGrenzu¨bergang
vonk nachunendlichfu¨hrtzu den p–adischenZahlen.An HandderquadratischenFormen
wirddemonstriert,wieausLo¨sungenu¨berden p–adischenZahlenaufeineLo¨sungu¨berden
rationalenZahlengeschlossenwerdenkann.EinigediophantischeGleichungenwerdendurch
spezielle Techniken effektivergelo¨st, so helfen Kettenbru¨chebei der Lo¨sung der Pellschen
Gleichung x2 dy2 1fu¨rd .
(cid:0) (cid:0)
Eine andere M(cid:0)ethode neben(cid:2)der Kongruenzrechnung besteht darin, solche Gleichungen
zuna¨chstnichtu¨berdenganzenZahlen,sondernu¨bereinemetwasgro¨ßerenRingzubetrach-
ten. Zum Beispiel faktorisiertdie Pellsche Gleichung bereits u¨ber dem Zahlring d als
x dy x dy 1.DurchdieBeobachtung,dassbeideFaktorenEinheiten(cid:2)sin(cid:2)(cid:3)d,w(cid:3) ird
(cid:4)aus(cid:5)d(cid:3)er S(cid:6)u(cid:4)che (cid:3)nach(cid:6)L(cid:0)o¨sungen eine Suche nach Einheiten in d . Welche Erweiterungs-
ringevon f(cid:0)u¨rsolcheBetrachtungengeeignetsindundwelch(cid:2)e(cid:2)(cid:3)Eig(cid:3)enschaftendiesehaben,
(cid:2)
wird in der algebraischen Zahlentheorie studiert. Der Schwerpunkt liegt darauf zu bestim-
men, welche dieser algebraischenErweiterungsringefaktoriellsind, bzw.ihre Abweichung
davonmitHilfederKlassengruppezumessen.
Das vorliegende Buch kann auf verschiedene Weisen gelesen und zu Vorlesungen benutzt
werden.DieAbschnitte 1– 9bildendieGrundlagederelementarenZahlentheorieundsoll-
tenaufjedenFallgru¨ndlichbearbeitetwerden.AnschließendkannaufdreiverschiedeneWei-
(cid:4) (cid:4)
senfortgefahrenwerden,wennmaneineAuswahltreffenwill:EineMo¨glichkeitbestehtdar-
in,direktquadratischeFormenbiszumSatzvonHasse–Minkowskizubehandeln( 13– 15).
AndererseitskannmanauchKettenbru¨che( 10)erarbeitenunddaraufaufbauendentweder
(cid:4) (cid:4)
mit Primzahltests und Faktorisierungsalgorithmen ( 11– 12) oder mit den Grundbegriffen
(cid:4)
der algebraischen Zahlentheorie ( 16– 19) fortfahren. Die Kombination 1– 9 zusammen
(cid:4) (cid:4)
(cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:4)
mit 10– 12bietetsichfu¨reineeinsemestrigeVorlesung(Modul)imBachelor–Studiengang
an;m(cid:0)ank(cid:0)anndenRestdesBuchesdannfu¨reinenVertiefungsmodulimRahmendesMaster–
Studiengangesnutzen.SollderSchwerpunktschonfru¨hauf diealgebraischeZahlentheorie
gelegtwerden,soliestman 1– 10mit 16– 19,wasabernurmiteinigenVorkenntnissenin
einemSemesterbehandeltw(cid:0)erd(cid:0)enkann(cid:0). (cid:0)
Im AnhangdesBuchesko¨nnenGrundkenntnisseu¨berGruppen,RingeundKo¨rpernachge-
schlagenwerden.EinekurzeEinfu¨hrungindasfreieComputeralgebrasystemPARI/GPla¨dt
zuzahlentheoretischenExperimentenein.EbensobefindensichdortdieLo¨sungshinweisezu
denAufgaben.
Wir bedankenunsbei Ralf Gerkmann,Jens Mandavid und Oliver Petras fu¨r viele wertvol-
le Hinweise zu vorla¨ufigen Fassungen des Textes und die tatkra¨ftige Unterstu¨tzung beim
U¨bungsbetriebzudenbeidenVorlesungsreihenin2004/2005und2005/2006.Allenunseren
Studenten sind wir sehr dankbarfu¨r die aktive Teilnahme an den vier Veranstaltungenund
fu¨rihrezahlreichenKorrekturhinweise.
Mainz STEFAN MU¨LLER–STACH
September2006 JENS PIONTKOWSKI
Vorwort zur zweiten Auflage
InderzweitenAuflagewurdenDruckfehlerdererstenAuflageberichtigtundweitereVerbes-
serungenimTextvorgenommen.AußerdemhabenwirzahlreicheneueAufgabenausVorle-
sungen und Staatsexamensklausurenzusammen mit Lo¨sungshinweisen aufgenommen.Wir
dankenHenningHollbornundallen anderen,die unsdabeiunterstu¨tzthaben.Daru¨berhin-
aus haben wir einen Anhang u¨ber Minkowskitheoriehinzugefu¨gt,um die bisher fehlenden
BeweisederEndlichkeitderKlassenzahlsowiedesSatzesvonDirichletgebenzuko¨nnen.
MainzundDu¨sseldorf STEFAN MU¨LLER–STACH
April2011 JENS PIONTKOWSKI
Inhaltsverzeichnis
1 Primzahlen 1
2 Teilbarkeitstheorie 5
3 DerggTunddereuklidischeAlgorithmus 13
4 Kongruenzrechnung 19
5 DieRinge n 25
(cid:0)(cid:0) (cid:0)
6 EndlicherzeugteabelscheGruppen 33
7 DieStrukturderEinheitengruppenU 43
n
8 QuadratischeReste 51
9 Quadratsa¨tze 61
10 Kettenbru¨che 67
11 Primzahltests 85
12 Faktorisierungsalgorithmen 97
13 p–adischeZahlen 107
14 QuadratrestklassenundHilbert–Symbole 121
15 DerSatzvonHasse–Minkowski 137
16 Zahlko¨rper 145
17 TeilertheorieimRingganzerZahlen 165
18 DieIdealklassengruppe 183
19 DieKlassenzahlquadratischerZahlko¨rper 195
A ElementareGruppentheorie 217
B ElementareRingtheorie 221
C ElementareKo¨rpertheorie 225
D Minkowskitheorie 227
E Einfu¨hrunginPARI/GP 243
F Lo¨sungshinweisezudenAufgaben 245
Literaturverzeichnis 257
Stichwortverzeichnis 259
1 Primzahlen
Einer der Hauptgegensta¨ndeder Zahlentheoriesind die Primzahlen,die wir als die natu¨rli-
chenZahlenungleich1definierenko¨nnen,die nurdurch1undsich selbstteilbar sind.Die
wichtigstenFragenu¨berPrimzahlensind:
1. Wiekannmanfeststellen,obeinenatu¨rlicheZahl peinePrimzahlist?
2. KannmanaufeinfacheWeiseeinesehrgroßePrimzahlfinden?
3. WievielePrimzahlengibtes?
4. WiesinddiePrimzahlenindennatu¨rlichenZahlenverteilt?
Wir wollenindiesemersten Abschnittdiese Fragenansprechen—inspa¨terenAbschnitten
werdenwirdieAntwortendannnochweitervertiefen.
Fallseinenatu¨rlicheZahlnkeinePrimzahlist,alsoineinProduktn abmita b 1zerfa¨llt,
(cid:0)
dannmussaoderbgro¨ßergleich nsein.DieseU¨berlegungfu¨hrtzueinemer(cid:0)ste(cid:2)nPrimzahl-
test: (cid:0)
NaiverPrimzahltest
Sein gegeben.Teste,obndurcheinederganzenZahlenzwischen2und nteilbarist.
Fallsnei(cid:0)n,istnprim.Fallsja,istnnichtprim. (cid:0)
(cid:2)
Wirwerdenspa¨terimAbschnitt11wesentlichschnellerePrimzahltestskennenlernen.
Um alle Primzahlen von 2 bis zu einer Zahl N zu finden, benutzt man das folgende
(cid:0)
Verfahren:
(cid:2)
SiebdesEratosthenes
1. SchreibealleZahlenvon2bisN auf.
2. BetrachtejedeZahlnzwischen2undN inaufsteigenderReihenfolge:Fallsdie Zahl
nichtgestrichenist,streichealleVielfachenderZahlmitAusnahmederZahlselber.
3. Dieverbleibendennicht–gestrichenenZahlensinddiePrimzahlen.
S. Müller-Stach, J. Piontkowski, Elementare und algebraische Zahlentheorie,
DOI 10.1007/978-3-8348-8263-9_1,
© Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011
2
Dieses Sieb funktioniert aus zwei Gru¨nden: Erstens werden durch das Streichen der ech-
ten Vielfachen von n nur Nicht–Primzahlen entfernt. Zweitens, da man bei den kleinsten
Zahlenanfa¨ngt,wirdeineNicht–Primzahlgestrichen,sobaldngleichihremkleinstenTeiler
ungleich1ist.
BestimmenwiralsBeispieldiePrimzahlenbis50:
2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 1(cid:0)4 15 1(cid:0)6 17 1(cid:0)8 1(cid:0)9 2(cid:0)0
21 2(cid:0)2 23 2(cid:0)4 2(cid:0)5 2(cid:0)6 27 2(cid:0)8 29 3(cid:0)0
3(cid:0)1 3(cid:0)2 33 3(cid:0)4 3(cid:0)5 3(cid:0)6 3(cid:0)7 3(cid:0)8 39 4(cid:0)0
41 4(cid:0)2 4(cid:0)3 4(cid:0)4 4(cid:0)5 4(cid:0)6 47 4(cid:0)8 4(cid:0)9 5(cid:0)0
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
Obwohl bei diesem Algorithmusbei den großenZahlen viel gestrichen wird, gilt doch der
folgendeSatz:
Satz1.1(Euklid) EsgibtunendlichvielePrimzahlen.
Beweis: Angenommen,esgibtnurdieendlichvielenPrimzahlen p p p .Wirsetzen
1 2 n
P ∏n p 1.NachDefinitionistPgro¨ßeralsjedePrimzahl,kanna(cid:0)lso(cid:0)(cid:2)s(cid:2)e(cid:2)l(cid:0)berkeinePrim-
za(cid:0)hlseii(cid:0)n1. Dia(cid:0)herwirdPvoneinerZahl1 a Pgeteilt.Wirwa¨hlendaskleinstesolchea
und behaupten, dass a dann eine Primzah(cid:3)l sei(cid:3)n muss. Wa¨re a na¨mlich keine Primzahl, so
ha¨tteaeinenTeiler1 b a.Dieserwa¨redannaucheinTeilervonP,imWiderspruchzu
Minimalita¨tvona.Als(cid:3)oist(cid:3)derTeileravonPgleicheinemp fu¨rein j 1 n .Nunteilt
j
p dasProdukt∏n p,abernichtdie1,somitkann p nichtP ∏n(cid:0)p(cid:2) (cid:0)(cid:2)1(cid:2)(cid:2)(cid:0)tei(cid:3)len.Dieser
j i 1 i j i 1 i
Widerspruchimpli(cid:0)ziertdieExistenzvonunendlichvielenPrimza(cid:2)hlen(cid:0). (cid:0)
(cid:0)
Aufgabe1.2 Modifizieren Sie den Beweis des Satzes von Euklid, um zu zeigen, dass es
unendlichvielePrimzahlenderForm4k 1(bzw.4k 1)gibt.
(cid:4) (cid:0)
GanzallgemeingiltdervieltieferliegendeSatz:
Satz1.3(Dirichlet) Seiena b teilerfremd.DanngibtesunendlichvielePrimzahlender
Formak b,wobeik . (cid:0) (cid:0)(cid:2)
(cid:0) (cid:0)(cid:2)
Beweis: Siehe[F,S.110].
(cid:0)
Damannichterwartenkann,dasseseineeinfache,schnelleMo¨glichkeitgibt,allePrimzahlen
aufzuza¨hlen,suchtmanzumindestFunktionen,derenWerteha¨ufig—oderbesserimmer—
Primzahlensind.Ambekanntestenistdie1637vonFermataufgestellteVermutung,dassdie
ZahlenF 22k 1allePrimzahlensind.Erberechnetedamalsdieerstenfu¨nfGlieder
k
(cid:2) (cid:0)
F 3 F 5 F 17 F 257 F 65537
0 1 2 3 4
(cid:2) (cid:0) (cid:2) (cid:0) (cid:2) (cid:0) (cid:2) (cid:0) (cid:2)
undstellte fest, dass diese alle Primzahlensind.Doch1732entdeckteEuler denTeiler 641
von F 4294967297.Mittlerweile kennt man die Faktoren der Fermatzahlen bis F und
5 15
(cid:2)
weiß, dass F bis F sowie einige gro¨ßere Fermatzahlen zusammengesetzt sind. Deshalb
16 36