Elementare Stochastik: Eine Einführung in die Mathematik der Daten und des Zufalls (Mathematik für das Lehramt) (German Edition)

580 Pages·2008·8.13 MB·German

by  Andreas Büchter

Mathematik für das Lehramt
MathematikfürdasLehramt
†
K.Reiss/G.Schmieder :BasiswissenZahlentheorie
A.Büchter/H.-W.Henn:ElementareStochastik
Herausgeber:Prof.Dr.KristinaReiss,Prof.Dr.RudolfScharlau,
Prof.Dr.ThomasSonar,Prof.Dr.Hans-GeorgWeigand
Andreas Büchter Hans-Wolfgang Henn
Elementare
Stochastik
Eine Einführung in die Mathematik
der Daten und des Zufalls
Zweite,überarbeiteteunderweiterteAuflage
Mit260Abbildungenund45Tabellen
123
AndreasBüchter
MinisteriumfürSchuleundWeiterbildung
desLandesNordrhein-Westfalen
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Referat72:Entwicklungsarbeiten
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MathematicsSubjectClassification(2000):60-01,62-01
ISBN 978-3-540-45381-9 SpringerBerlinHeidelbergNewYork
ISBN 978-3-540-22250-7 1.Aufl.SpringerBerlinHeidelbergNewYork
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diederÜbersetzung,desNachdrucks,desVortrags,derEntnahmevonAbbildungenund
Tabellen,derFunksendung, derMikroverfilmungoderderVervielfältigungaufanderen
WegenundderSpeicherunginDatenverarbeitungsanlagen,bleiben,auchbeinurauszugs-
weiserVerwertung,vorbehalten.EineVervielfältigungdiesesWerkesodervonTeilendieses
WerkesistauchimEinzelfallnurindenGrenzendergesetzlichenBestimmungendesUr-
heberrechtsgesetzesderBundesrepublikDeutschlandvom9.September1965inderjeweils
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trachtenwärenunddahervonjedermannbenutztwerdendürften.TextundAbbildungen
wurdenmitgrößterSorgfalterarbeitet.VerlagundAutorkönnenjedochfüreventuellver-
bliebenefehlerhafteAngabenundderenFolgenwedereinejuristischeVerantwortungnoch
irgendeineHaftungübernehmen.
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Einbandgestaltung:WMXDesignGmbH,Heidelberg
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Vorwort zur zweiten Auflage
Liebe Leserin, lieber Leser,
wirfreuenuns,IhnendiezweiteAuflageunsererEinf¨uhrungindieMathema-
tikderDatenunddesZufalls pr¨asentieren zu k¨onnen. Unser Dank gilt dabei
zun¨achst dem Verlag,der unser Konzept eines fachwissenschaftlichenBuchs,
dasprim¨arunterdidaktischenGesichtspunktenmiteinemausfu¨hrlichenLehr-
text geschrieben ist, mitgetragen hat – und natu¨rlich auch den Leserinnen
undLesern,diedurchdenKaufunseresBuchseinezweiteAuflageerm¨oglicht
haben. Die breite Zustimmung, die wir zu unserem Konzept erfahrenhaben,
hat uns ermutigt die alten“ Bestandteile der ersten Auflage im Wesentli-
”
chenredaktionellzuu¨berarbeiten,diezitiertenInternet-Adressenzuaktuali-
sieren, einige hilfreiche Anregungen von Leserinnen und Lesern aufzugreifen
unddemWerkeinweiteresTeilkapitelMarkov-Kettenimbew¨ahrtenStilhin-
zuzufu¨gen. Besonders danken m¨ochten wir – stellvertretend fu¨r alle, die uns
Ru¨ckmeldungen gegeben haben – Hans Schupp, der uns u¨ber seine wohl-
wollende Rezension (Schupp 2005) hinaus eine Vielzahl wertvoller Hinweise
gegeben hat.
DenOnline-ServicezumBuchmiteinerReiheerg¨anzenderMaterialienhaben
wird ebenfalls u¨berarbeitet. Sie finden diese Internetseiten unter
http://www.elementare-stochastik.de .
Dortmund, November 2006 AndreasB¨uchter
Hans-WolfgangHenn
Vorwort zur ersten Auflage
Liebe Leserin, lieber Leser,
herzlich Willkommen zu diesem Einstieg in die Welt der Daten und des Zu-
falls und damit in die elementareStochastik. Der Brockhaus nennt das Wort
elementar im Zusammenhang mit den grundlegenden Begriffen und S¨atzen
einer wissenschaftlichenTheorie. Die alte Elementarschule wollte die fu¨r das
Leben nach der Schule grundlegende Bildung und Ausbildung vermitteln. In
diesemSinnewollenwirSieindemvorliegendenBuchmitdengrundlegenden
Ideen, Zusammenh¨angenundErgebnissender Statistik und derWahrschein-
lichkeitsrechnungvertrautmachen.DabeiwollenwirSiebeiIhremVorwissen
und Ihren intuitiven stochastischen Vorstellungen abholen und die Theorie
VI Vorwort
vonrealenSituationenausentwickeln.EsgehtunsdahernichtinersterLinie
um einen (wie normalerweise bei Mathematikbu¨chern u¨blichen) systemati-
schen und axiomatisch-deduktiv gepr¨agten Aufbau einer Theorie.
Vermutlich studieren Sie das Fach Mathematik fu¨r ein Lehramt in den Se-
kundarstufen. Die Auswahl der Inhalte wurde unter anderem anhand der
FragederRelevanz fu¨r denUnterrichtindiesenSchulstufengetroffen.Dieses
Buchistaberebensogutgeeignet,umStudierendendesLehramtsfu¨rdiePri-
marstufeeinentieferenEinblickindieelementareStochastikzuerm¨oglichen.
Daru¨berhinauskannesMathematik-StudierendenmitdemZielDiplomoder
BA/MA dazu dienen, einen Zugang zur Stochastik zu finden, der fu¨r wei-
terfu¨hrendeStochastik-Vorlesungensinngebendwirkenkann.DieDarstellung
dieser Inhalte erfolgt nicht auf dem Niveau schulischen Unterrichts, sondern
aus der ,,h¨oheren“ Sicht der Hochschulmathematik. Hier standen uns die
beru¨hmten Vorlesungen ,,Elementarmathematik vom h¨oheren Standpunkte
aus“ vonFelixKlein (1849–1925)vorAugen. Klein hatdiese beiden auchals
Buch erschienenenVorlesungen(Klein1908,1909;im Internet verfu¨gbar)im
Wintersemester 1907/08 und im Sommersemester 1908 in G¨ottingen gehal-
ten. Im Vorwort beschreibt er seine Ziele:
,,Ich habe mich bemu¨ht, dem Lehrer – oder auch dem reiferen Stu-
denten – Inhalt und Grundlegung der im Unterricht zu behandelnden
Gebiete vom Standpunkte der heutigen Wissenschaft in m¨oglichst ein-
facher und anregender Weise u¨berzeugend darzulegen.“
DasvorliegendeBuchsetzteinegewisse,,mathematischeGrundbildung“vor-
aus, wie sie z.B. in den ersten beiden mathematischen Studiensemestern er-
worben wird. Vor jedem gr¨oßerenAbschnitt steht ein kurzer U¨berblick u¨ber
das, was den Leser im Folgenden erwartet. Nicht alles, was behandelt wird,
wird auch ausfu¨hrlich bewiesen. Ein fundierter U¨berblick mit dem Ziel einer
,,mathematischen Allgemeinbildung“ oder – wie es der fru¨here Pr¨asidentder
Deutschen Mathematiker Vereinigung (DMV) GernotStroth einmal als Auf-
gabe der Schule genannt hat – ein ,,stimmiges Bild von Mathematik“ waren
uns wichtiger als ein deduktiver Aufbau im Detail. Dieser bleibt mathema-
tischen Spezialvorlesungen vorbehalten. M¨oglichst oft haben wir historische
Zusammenh¨ange als Ausgangspunkt genommen und immer wieder konkrete
Anwendungssituationen der behandelten Inhalte beschrieben.
Getreu dem chinesischen Sprichwort ,,ein Bild sagt mehr als tausend Wor-
te“ haben wir versucht, viele Zusammenh¨ange zu visualisieren und damit
verst¨andlicher zu machen sowie unser Buch durch viele Bilder aufzulockern
und interessanter zu gestalten. Viele der Abbildungen haben wir mit Hil-
fe der Computer-Algebra-Systeme Maple und Derive, der dynamischen
Geometrie-SoftwareDynaGeo und der speziellen SoftwareStochastik er-
Vorwort VII
stellt.Fu¨r BilderdiesesBuches,dienichtvonuns selbsterstelltwordensind,
wurde soweitm¨oglichdie Abdruckerlaubniseingeholt.Inhaber vonBildrech-
ten, die wir nicht ausfindig machen konnten, bitten wir, sich beim Verlag zu
melden.
Die vonunszitiertenInternet-AdressenhabenwirnocheinmalimNovember
2004kontrolliert;wirk¨onnenkeineGarantiedafu¨ru¨bernehmen,dasssienach
diesem Zeitpunkt unver¨andert zug¨anglich sind.
Trotz aller Mu¨hen und Anstrengungen beim Korrekturlesen kommt es wohl
beijedemBuch(zumindestinderErstauflage)vor,dassderFehlerteufelden
sorgf¨altig arbeitenden Autoren ins Handwerk pfuscht. Daher werdenauch in
diesem Buch wahrscheinlich einige kleinere Rechtschreib-, Grammatik- oder
Rechenfehler stecken.Umso mehr freuen wir unsu¨ber jede Reaktionaufdie-
ses Buch, u¨ber kritische inhaltliche Hinweise, u¨ber Hinweise auf (hoffentlich
kleine)Fehler,abernatu¨rlichauchu¨berLob.WennSieAnregungen,Hinweise
oder Kommentare haben, so schicken Sie bitte einfach eine E-Mail an
[email protected] .
Wir bemu¨hen uns, jede Mail umgehend zu beantworten!Sollte es einmal ein
paarTagedauern,soruhenwirunsgeradevomSchreibeneinesBuchsaus...
In jedem Fall bearbeiten wir jede Mail. Sollte uns an irgendeiner Stelle trotz
sorgf¨altigenArbeitens derFehlerteufeleinenganzgroßenStreichgespieltha-
ben, so werden wir eine entsprechende Korrekturanmerkung auf der Home-
page zu diesem Buch ver¨offentlichen. Sie finden diese unter
http://www.elementare-stochastik.de .
Zu guter Letzt bedanken wir uns herzlich bei allen, die uns unterstu¨tzt
haben. Das sind insbesondere unsere Kollegen Privatdozent Dr. Hans Hu-
menberger (Dortmund), Prof. Dr. Timo Leuders (Freiburg), Dr. J¨org Meyer
(Hameln) und StR i.H. Jan Henrik Mu¨ller (Dortmund), die uns ungez¨ahlte
wertvolleHinweiseundVerbesserungsvorschl¨agegegebenunddasManuskript
sorgf¨altigdurchgesehenhaben.UnserDankgiltauchHerrnLarsRiffert(Dort-
mund), der als ,,Zielgruppen-Leser“ mit dem Manuskript gearbeitet hat und
uns ebenfalls viele Hinweise und Anregungen gegeben hat. Unser besonde-
rer Dank gilt unseren Familien, die monatelang zwei ungeduldige Autoren
geduldig ertragenhaben.
Dortmund, November 2004 AndreasB¨uchter
Hans-WolfgangHenn
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
1.1 Warumdieses Buch?............................................ 4
1.2 Was ist ,,Elementare Stochastik“?............................ 5
1.3 Klassische Probleme und typische Fragen................... 6
1.4 Historische Bemerkungen....................................... 8
1.5 Zum Umgang mit diesem Buch............................... 9
2 BeschreibendeStatistik
2.1 VerschiedeneArten von Daten................................ 17
2.1.1 Daten gewinnen als Messvorgang............................. 18
2.1.2 Skalenniveaus:Nominal, ordinalund metrisch............. 19
2.1.3 Skalenniveaus und Transformationen ........................ 24
2.2 Reduktion und Darstellung von Daten....................... 27
2.2.1 Absolute und relative H¨aufigkeiten
sowie ihre Darstellung........................................... 28
2.2.2 Kumulierte H¨aufigkeiten
und empirische Verteilungsfunktion.......................... 33
2.2.3 Klassierte Daten und daraufbasierendeDarstellungen... 37
2.2.4 Weitere graphische Darstellungen ............................ 44
2.2.5 Was ist eine gute Darstellung?................................ 49
2.3 Kennwerte von Datenreihen................................... 60
2.3.1 ,,Wo ist die Mitte der Welt?“: Mittelwerte ................. 61
2.3.2 Vergleich der Mittelwerte....................................... 71
2.3.3 Mittelwerte fu¨r klassierte Daten
und gewichtete Mittelwerte.................................... 75
2.3.4 Mittelwerte anwenden........................................... 79
2.3.5 Nicht nur die Mitte ist interessant:Weitere Lagemaße... 80
2.3.6 Verteilungvon Daten um die Mitte: Streuungsmaße..... 82
2.3.7 Die Tschebyscheff’scheUngleichung fu¨r Datenreihen.... 89
2.3.8 Darstellung von Datenreihen mit Kennwerten.............. 92
2.4 Datenreihen vergleichen: Standardisierung.................. 99
2.4.1 Wie verhalten sich Kennwerte bei Transformationen?.... 100
2.4.2 Standardisierungvon Datenreihen............................ 102
2.4.3 Normierungvon Datenreihen.................................. 108
2.5 Spezielle Kennwerte: Indexzahlen............................. 110
2.6 Zusammenh¨angezweier Merkmale:
Korrelation und Regression .................................... 117
2.6.1 LinearerGleichklang zweier Merkmale:
Korrelationsrechnung............................................ 118
2.6.2 Grenzen der Korrelationsrechnung............................ 128
X Inhaltsverzeichnis
2.6.3 Ursache-Wirkungs-Vermutungen:Regressionsrechnung.. 132
2.6.4 Nichtlineare Regression......................................... 139
2.7 Das kann doch nicht wahr sein! Paradoxes................. 143
2.8 Grenzender beschreibendenStatistik........................ 147
2.9 Weitere U¨bungen zu Kapitel 2................................ 148
3 Wahrscheinlichkeitsrechnung
3.1 Entwicklung des Wahrscheinlichkeitsbegriffs ............... 160
3.1.1 Zufallsexperimente............................................... 160
3.1.2 Laplace-Wahrscheinlichkeiten.................................. 167
3.1.3 FrequentistischeWahrscheinlichkeiten....................... 171
3.1.4 Subjektive Wahrscheinlichkeiten.............................. 179
3.1.5 Vergleich der Ans¨atze........................................... 182
3.1.6 Axiomatisierung fu¨r endliche Ergebnismengen............. 183
3.1.7 Erweiterungauf abz¨ahlbar unendliche Ergebnismengen.. 187
3.1.8 Ausblick auf ¨uberabz¨ahlbareErgebnismengen.............. 189
3.1.9 Stochastische Modellbildung................................... 198
3.2 Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten........................... 200
3.2.1 Bedingte Wahrscheinlichkeiten................................ 200
3.2.2 Stochastische Unabh¨angigkeit................................. 205
3.2.3 Baumdiagrammeund Pfadregeln............................. 209
3.2.4 Satz von Bayes................................................... 218
3.3 Hilfsmittel aus der Kombinatorik............................. 230
3.3.1 Toto 11er-Wette................................................. 230
3.3.2 Rennquintett...................................................... 232
3.3.3 Lotto............................................................... 233
3.3.4 Das Gummib¨archen-Orakel.................................... 238
3.3.5 Kombinatorische Formeln...................................... 239
3.4 Tu¨cken der stochastischen Modellbildung .................. 245
3.4.1 Stochastische Modellbildung................................... 245
3.4.2 Stochastische Paradoxa......................................... 249
3.4.3 Schau genau hin: Interpretation von Fragestellungen..... 260
3.4.4 Naheliegende,aber untaugliche Modellbildungen.......... 267
3.4.5 L¨osungsans¨atzebei Urnen-Aufgaben......................... 269
3.4.6 Die GenueserLotterie und die Keno-Lotterie............... 272
3.5 Zufallsvariable.................................................... 276
3.5.1 Einfu¨hrungvon Zufallsvariablen............................... 277
3.5.2 Erwartungswertund Varianz von Zufallsvariablen......... 283
3.5.3 Verknu¨pfungenvon Zufallsvariablen.......................... 290
3.5.4 Stochastische Unabh¨angigkeit von Zufallsvariablen....... 294