Elementare Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung: Mit 82 Beispielen und 73 Übungsaufgaben mit vollständigem Lösungsweg

199 Pages·1979·5.788 MB·German

by  Dr. habil. Karl Bosch (auth.)

Karl Bosch
Elementare Einfuhrung
in die
Wahrscheinlichkeitsrechnung
Mit 82 Beispielen
und 73 Obungsaufgaben mit
vollstandigem Losungsweg
Basiswissen
Vieweg
Dr. habil. Karl Bosch ist Professor am
Institut fUr Angewandte Mathematik und Statistik
der Universitat Stuttgart-Hohenheim
(Eine Kurzbiographie des Autors steht auf Seite 190)
1.-5. Tausend Mlirz 1976
6.-9. Tausend Mlirz 1979
Aile Rechte vorbehalten
© Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig 1979
Softcover reprint of tbe hardcover 1s t edition 1979
Die Vervielfaitigung und Ubertragung einzelner Textabschnitte, Zeichnungen oder Bilder, auch
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Buchbioder: W. Langeliiddecke, Braunschweig
ISBN-13: 978-3-528-17225-1 e-ISBN-13: 978-3-322-84167-4
DOl: 10.1007/978-3-322-84167-4
III
Vorwort
Dieser Band ist aus dem ersten Teil einer zweisemestrigen Vorlesung entstanden,
die der Autor wiederholt flir Studenten der Fachrichtungen Biologie, Padagogik,
Psychologie und Betriebs-und Wirtschaftswissenschaften an der Technischen Uni
versitiit Braunschweig gehalten hat. In ihm sollen moglichst anschaulich die wich
tigsten Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung eingeflihrt werden, die flir
ein sinnvolles Studium der Statistik unentbehrlich sind.
Da die Statistik bei irnmer mehr Wissenschaftszweigen benotigt wird, ist der Auf
bau und die Darstellung so gewiihlt, d~ ein moglichst breiter Leserkreis ange
sprochen werden kann. So wird bei den Zufallsvariablen zunlichst der "diskrete"
Fall behandelt, weil zu deren Verstlindnis nur wenig mathematische Vorkenntnisse
benotigt werden. Erst anschlie~end werden "stetige" Zufallsvariable betrachtet.
Hliufig werden neue Begriffe tiber ein Beispiel anschaulich eingeflihrt, bevor sie
allgemein definiert werden. Zahlreiche Beispiele und Obungsaufgaben, deren Lo
sungswege im Anhang vollstiindig angegeben werden, sollen zum besseren Ver
stlindnis beitragen.
Die mit * versehenen Stellen erfordem einige mathematische Vorkenntnisse. Sie
konnen jedoch iiberlesen werden, ohne d~ dadurch eine Liicke entsteht. Ent
sprechend sind etwas schwierige Obungsaufgaben mit einem * gekennzeichnet.
Das Ende eines Beweises wird mit dem Zeichen ., das Ende eines Beispiels mit •
gekennzeichnet.
Auf Mengensysteme und auf den Begriff der Me~barkeit soU in diesem Rahmen
nicht eingegangen werden. Dazu sei auf die weiterflihrende Uteratur verwiesen.
Als Fortsetzung dieses Bandes ist die Angewandte Mathematische Statistik gedacht.
Das Manuskript wurde von Herm Prof. Dr. E. Henze und Herm Akad. Direktor
Dr. H. Wolff durchgesehen. Beiden bin ich fUr wertvolle Hinweise und Ratschllige
sowie fUr das Oberlassen zahlreicher Obungsaufgaben zu gro~em Dank verpflichtet.
Den Herren Kruse, Moller, Scholz und Stegen danke ich flir die Mithilfe beim
Korrekturenlesen.
Schlie~lich sei dem Verlag flir die vorbildliche Zusammenarbeit gedankt. In einer
sehr kurzen Zeit wurde dieser Band in einer ansprechenden Form von ihm heraus
gebracht. Jedem Leser bin ich flir Verbesserungsvorschllige dankbar.
Braunschweig, im Januar 1976 Karl Bosch
IV
Inhalt
1. Der WabrscheinIichkeitsbegriff
1.1. Z ufaIlige Ereignisse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Die relative HaufJgkeit . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 5
1.3. Axiomatische Defmition der Wahrscheinlichkeit nach Kolmogoroff . . . . . . . .. 8
1.4. Der Begriff der Wahrscheinlichkeit nach Laplace und kombinatorische Methoden
zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten ....................... 12
1.5. Geometrische Wahrscheinlichkeiten . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . .. 25
1.6. Bedingte Wahrscheinlichkeiten und unabhiingige Ereignisse. . . . . . . . . . . . .. 29
1. 7. Bernoulli-Experimente und klassische Wahrscheinlichkeitsverteilungen . . . . . " 36
1. 7.1. Die Binomialverteilung ..............................•... 37
1. 7.2. Die Polynomialverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . • . . . . . .. 39
1. 7.3. Die geometrische Verteilung ...........•.................•• 40
1.8. Der Satz von der vOllstandigen Wahrscheinlichkeit und die Bayessche Formel . •. 42
1.9. Das Bernoullische Gesetz der gro1'.en Zahlen . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . .. 45
1.10. Obungsaufgaben...................................... 49
2. Zufallsvariable 55
2.1. Definition einer Zufallsvariablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 55
2.2. Diskrete Zufallsvariable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 56
2.2.1. Definition einer diskreten Zufallsvariablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 56
2.2.2. Verteilungsfunktion einer diskreten Zufallsvariablen ................. 58
2.2.3. Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 61
2.2.4. Varianz und Streuung einer diskreten Zufallsvariablen ................ 69
2.2.5. Paare diskreter Zufallsvariabler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 72
2.2.6. Summen und Produkte diskreter Zufallsvariabler ................... 74
2.2.7. Erzeugende Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 80
2.3. Spezielle diskrete Verteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 82
2.3.1. Die geometrische Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 82
2.3.2. Die hypergeometrische Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 83
2.3.3. Die Binomialverteilung .................................. 86
2.3.4. Vergleich der hypergeometrischen-und der Binomialverteilung ........... 90
2.3.5. Die Poisson-Verteilung als Grenzwert der Binomialverteilung ............ 92
2.3.6. Ubungsaufgaben tiber diskrete Zufallsvariable ..................... 96
2.4. Stetige Zufallsvariable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 98
2.4.1. Definition einer stetigen Zufallsvariablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 98
2.4.2. Erwartungswert und Varianz einer stetigen Zufallsvariablen ............. 104
2.4.3. Stetige zweidimensionale Zufallsvariable .................... 113
2.4.4. Summen und Produkte stetiger Zufallsvariabler . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
2.5. Spezielle stetige Verteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
2.5.1. Die gleichmii1'.ige Verteilung ............................... 128
2.5.2. Die N (O;I)-Normalverteilung als Grenzwert standardisierter Binomial-
verteilungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
2.5.3. Die allgemeine Normalverteilung ............................. 134
2.5.4. Die Exponentialverteilung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
2.5.5. Ubungsaufgaben tiber stetige Zufallsvariable ................•..•.. 141
2.6. Allgemeine Zufallsvariable ..........•..................... 143
2.6.1. Verteilungsfunktion, Erwartungswert und Varianz einer beliebigen
Zufallsvariablen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
2.6.2. Median und Quantile einer Zufallsvariablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
2.6.3. Ubungsaufgaben tiber allgemeine ZufaUsvariable ................... 148
v
3. Gesetze der grof3en Zahlen 149
3.1. Die Tschebyscheffsche Ungleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . .. 149
3.2. Das schwache Gesetz der gro~en Zahlen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 150
3.3. Der zentrale Grenzwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
3.4. Obungsaufgaben. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 153
4. Testvertellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
4.1. Die Chi-Quadrat-Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
4.2. Die Studentsche t-Verteilung . . . • . . . . . . . . . • . . . . . . • . . . . . . . . . . 155
4.3. Die F -Verteilung von Fisher ....................•........•. 156
s. Ausblick 158
6. Anbang 159
6.1. Losungen der tibungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
6.2. Tafel der Verteilungsfunktion II> der N(O;l)-Verteilung ............... . 188
6.3. Weiterflihrende Literatur ................................ . 190
6.4. Narnens-und Sachregister ................................ . 191
1. Der Wahrscheinlichkeitsbegriff
Bevor wir den Begriff "Wahrscheinlichkeit" einfuhren, beschaftigen wir uns mit
den Grundbausteinen der Wahrscheinlichkeitsrechnung, den sogenannten zufaIligen
Ereignissen.
1.1. Zufallige Ereignisse
Bei der Durchfiihrung vieler Experimente kann eines von mehreren moglichen
Ergebnissen eintreten. Dabei sind zwar die verschiedenen Ergebnisse, die eintreten
konnen, bekannt, vor der Durchfuhrung des Experiments we~ man jedoch nicht,
welches Ergebnis tatsachlich eintreten wird. In einem solchen Fall sagt man, das
Ergebnis hangt vom Zufall abo Experimente dieser Art nennen wir Zulallsexperi
mente.
Beispiele von Zufallsexperimenten sind: das Werfen einer Miinze oder eines Wiirfels,
das Verteilen der 32 Skatkarten, die Lotto-Ausspielung, das Messen der Korper
grof),e, des Blutdrucks und des Gewichts einer zufallig ausgewiihlten Person oder
die Feststellung des Intelligenzquotienten eines Kindes.
Vnter einem zullilligen Ereignis (oder kurz Ereignis) verstehen wir einen Versuchs
ausgang, der bei der Durchfuhrung eines Zufallsexperiments eintreten kann, aber
nicht unbedingt eintreten muf.t Dabei muf), von einem Ereignis nachjeder Versuchs
durchflihrung feststellbar sein, ob es eingetreten ist oder nicht. Ereignisse, die stets
gemeinsam eintreten oder nicht eintreten, werden als gleich angesehen. Wir be
zeichnen Ereignisse mit grof),en lateinischen Buchstaben A, B, C, D, E, ... ; AI, A2, ...
Das Ereignis, das beijeder Durchfuhrung des Zufallsexperiments eintritt, nennen
wir das sichere Ereignis und bezeichnen es mit n. Das sichere Ereignis n besteht
somit aus allen moldichen Versuchsergebnissen. Ein Ereignis, das nie eintreten kann,
heif),t unm6gliches Ereignis und wird mit fI bezeichnet.
Beispiel 1.1. Beim Werfen eines Wiirfels konnen als mogliche Versuchsergebnisse
die Augenzahlen 1,2,3,4,5,6 eintreten. Es gilt also n = {I, 2, 3, 4,5, 6}. 1st G
das Ereignis "eine gerade Augenzahl wird geworfen", so tritt G genau dann ein,
wenn eine der Augenzahlen 2,4,6 geworfen wird, es gilt also G = {2, 4, 6}.
Das Ereignis V "eine ungerade Augenzahl wird geworfen" besitzt die Darstellung
V = {I, 3, 5} und fur das Ereignis A "die geworfene Augenzahl ist mindestens
gleich vier" erhalt man A= {4, 5, 6}. Jede Zusammenfassung von Versuchsergeb
nissen stellt ein Ereignis dar. Vnmogliche Ereignisse sind Wer z.B. fI = {7}, fI = {OJ,
fI = {IS, I6}. •
Beispiel 1.2. Ein Ball werde auf eine rechteckige Wand geworfen. Dabei sei die
Wand und der Standort des Werfers so gewiihlt, dallJ dieser bei jedem Wurf sicher
2 1. Der Wahrscheinlichkeitsbegriff
Bild 1.1. Ereignisse
trifft. Versuchsergebnisse sind dann die Beriihrungspunkte des Balles mit der Wand,
die wir (Bild 1.1) symbolisch als Punkte eines Rechtecks darstellen kennen.
n besteht somit aus allen Punkten des eingezeichneten Rechtecks. Betriigt der
Abstand des Beriihrungspunktes vom Mittelpunkt der Wand hOchstens r Einheiten,
so tritt das Ereignis K ein. Das Ereignis L tritt ein, wenn die linke Hiilfte der Wand
getroffen wird, und das Ereignis A, wenn der Abstand des Beriihrungspunktes yom
rechten unteren Eckpunkt der Wand hOchstens s Einheiten betriigt. Jeder Figur
(z.B. F) kann ein Ereignis zugeordnet werden. •
Aus den Ereignissen A, B gewinnen wir neue Ereignisse durch folgende Vorschriften:
1. Das Ereignis An B = AB (sprich "A und B") tritt genau dann ein, wenn sowohl
A als auch B, wenn also beide eintreten. Man nennt An B den Durchschnitt
oder das Produkt von A und B.
2. Das Ereignis AU B (sprich "A oder B") tritt genau dann ein, wenn A oder B
oder beide eintreten, wenn also mindestens eines der Ereignisse A, B eintritt.
AU B he~t die Vereinigung von A und B.
3. Das Ereignis A (sprich "A nicht") tritt genau dann ein, wenn das Ereignis A
nicht eintritt. Man nennt A das zu A entgegengesetzte Ereignis oder das
Komplementiirereignis von A.
4. Das Ereignis A \ B = AB tritt genau dann ein, wenn A eintritt und B nicht.
A \ B hei~t die Differenz von A und B.
Spatere wahrscheinlichkeitstheoretische Betrachtungen werden durch folgende
Verabredungen wesentlich erleichtert:
5. Man sagt: A zieht B nach sich oder aus A folgt B, im Zeichen A C B, wenn aus
dem Eintreten des Ereignisses A auch das von B folgt. Gilt A C B und B C A,
so sind die Ereignisse A und B gleich, d.h. A = B.
6. Zwei Ereignisse A und B he~en unvereinbar (oder unvertriiglich oder disjunkt),
wenn sie nicht beide gleichzeitig eintreten kennen, wenn also gilt An B = 0.
Fur unvereinbare Ereignisse A, B schreibt man anstelle von A U Bauch A + B und
nennt A + B die Summe von A und B.
1.1. Zufallige Ereignisse 3
Die Sehreibweise C = A + B bedeutet also foigendes: die beiden Ereignisse A und B
sind unvereinbar und C ist die Vereinigung von A und B.
Ein Ereignis, das nieht als Summe zweier disjunkter, von fJ verschiedenen Ereignisse
darstellbar ist, heiI!JtElementarereignis. Elementarereignisse lassen sieh also nieht
mehr zedegen.
Beispiel 1.3 (vgl. Beispiel 1.1). Beim Werfen eines Wiirfeis seien foigende Ereignisse
betraehtet
n = {I, 2, 3, 4, 5, 6}, G = {2, 4, 6}, U = {l, 3, 5}, M = {4, 5, 6},
A={2,3,4}, B={2,4,5}, C={2,4}.
Das Ereignis AB tritt ein, wenn entweder eine 2 oder eine 4 geworfen wird. Der
Durehschnitt AB besteht also aus allen Augenzahlen, die sowohl in A als aueh in B
enthalten sind; damit gilt AB = {2, 4}. Ferner erhalten wir Gnu = fJ und
un M = {5}. Die Vereinigung A U B besteht aus allen Zahlen, die in A oder B
oder in beiden enthalten sind, es ist also AU B = {2, 3, 4, 5}.
Weiter gilt
A = {I, 5, 6}, G= {I, 3, 5} = U, U= {2, 4, 6} = G,
M={1,2,3}, n=G+u,
A \ B = AB = {2, 3, 4} n {I, 3, 6} = {3},
ceG.
Die Beziehung BeG gilt nieht, wir schreiben dafiir B ¢ G.
•
Die seehs Elementarereignisse lauten: {I}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}.
Beispiel 1.4. Das Zufallsexperiment bestehe im Messen der KorpergroSe einer
zuflillig ausgewiihlten Person. Ais Versuehsergebnis tritt eine Zahl x auf, welehe
die KorpergroSe der gemessenen Person angibt. 1st A das Ereignis "die Korper
groSe betriigt mindestens 165 und hOehstens 175 em", so besteht A aus allen
reellen Zahlen x mit 165 ~ x ~ 175. Das Ereignis A konnen wir somit darstellen
als A= {x 1165 ~ x ~ 175}. Ferner betrachten wir die Ereignisse
B = {x 1170 ~ x ~ ISO} und C = {x 1150 ~ x ~ lL 1}.
Damit erhalten wir
An B = {x 1170 ~x ~ 175},
AUB= {x 1165 ~ x ~ ISO},
AnC=fJ.
Das Ereignis A tritt ein, wenn die KorpergroSe kleiner als 165 oder groSer als 175
ist. A besteht also aus allen Werten x mit x < 165 oder x> 175, es gilt also
A={xlx< 165}U{xlx>175}. •
4 1. Der Wahrscheinlichkeitsbegriff
Beispiel 1.5 (vgl. Beispiel 1.2 und Bild 1.2)
A = "Kreisflache";
B = ,,Rechtecksfliiche";
C = ,,Dreiecksflache";
AB = "schraffierte Flache";
AC =BC =~;
AU B = "stark umrandete Flache";
A \ B = "nichtschraffierte Teilfliiche des Kreises";
B \ A = "nichtschraffierte Teilfliiche des Rechtecks".
J2
BUd 1.2. Ereignisse
Aus dem Bild 1.2 erkennt man die Identitiit
•
AU B =AB + AB + AB.
Die Operationen n und U konnen unmittelbar auf mehrere Ereignisse
Ai> A2, ... , An ubertragen werden.
n
7. Das Ereignis Al n A2 n A3 n ... n An = n Ai tritt genau dann ein, wenn aile
i=l n
Ereignisse AI, A2 , ... , An eintreten. Das Ereignis Al U A2 U '" U An = U Ai
i=l
tritt genau dann ein, wenn mindestens eines der Ereignisse AI, A2 , ... , An ein
tritt.
In den bisher betrachteten Beispielen haben wir Ereignisse stets durch Teilmengen
A, B, ... einer Grundmenge n dargestellt. Ferner benutzten wir bei der Definition
der Ereignisoperationen die Symbole der Mengenoperationen. Man wird daher ver·
muten, d~ zwischen zuflilligen Ereignissen dieselben Beziehungen bestehen wie
zwischen Mengen. Tatsachlich kann man samtliche Eigenschaften, die fUr Mengen
gelten, direkt auf zufallige Ereignisse ubertragen, wenn man die Grundmenge durch
das sichere Ereignis n und die leere Menge durch das unmogliche Ereignis 0 ersetzt.
Dabei konnen samtliche Gesetze direkt in der Sprache der Ereignisse bewiesen
werden, wobei viele Eigenschaften unmittelbar einleuchtend sind.
Als Beispiel zeigen wir die sog. De Morganschen Regeln.
1.2. Die relative Haufigkeit 5
EsgiJt
AUB=AnB,
flir alle Ereignisse A, B. (Ll)
AnB=AuB
Das Ereignis AU B tritt nach Definition genau dann ein, wenn das Ereignis AU B
nicht eintritt, wenn also weder A noch B, d.h. wenn A und S eintreten.
Das Ereignis An B tritt genau dann ein, wenn das Ereignis An B nicht eintritt,
wenn also von den Ereignissen A und B nicht beide eintreten. Diese Bedingung ist
genau dann erftillt, wenn mindestens eines der Ereignisse A, B nicht eintritt, wenn
also AU S eintritt, womit (1.1) bewiesen ist.
Als nachstes zeigen wir flir beliebige Ereignisse A und B die Identitat
AU B = AB + AB + AB, (1.2)
die wir in Beispiel 1.5 fUr zwei spezielle Ereignisse A, B aus Bild 1.2 direkt abgelesen
haben. Das Ereignis AU B tritt genau dann ein, wenn mindestens eines der Ereig
nisse A, B eintritt. Dies ist genau dann der Fall, wenn entweder beide Ereignisse
(d.h. das Ereignis AB), oder nur B (also AB) oder nur A (d.h. AS) eintritt. Ferner
sind die drei Ereignisse AB, AB, AS paarweise unvereinbar, d. h. je zwei von ihnen
kannen zusammen nicht eintreten, woraus (1.2) folgt.
Abschliefl.end geben wir einige Rechengesetze an, die sich in der Sprache der Ereig
nisse sehr einfach beweisen lassen.
AnB=BnA,
(Kommutativgesetze)
AUB=BUA,
An (B n C) = (A n B) n C ,
(Assoziativgesetze)
AU (B U C) = (A U B) U C ,
An (B U C) = AB U AC , (Distributivgesetz)
A11.=A,
ArIA=A,
A=A,
Q=t», 0=11.,
A (B \ C) = AB \ AC ,
AuA=11..
'_2_
Die relative Hiiufigkeit
Beispiel 1.6. Wir wahlen zufaIlig 10 Personen aus und bestimmen deren Karper
gra~en. Wir ftihren also das in Beispiel 1.4 beschriebene Zufallsexperiment 10-mal
durch. Dabei ergeben sich folgende auf cm gerundete Me~werte:
172, 169, 178, 183, 175, 159, 170, 187, 174, 173.