Elementare Einführung in die angewandte Statistik

219 Pages·1982·4.689 MB·German

by  Karl Bosch (auth.)

Karl Bosch
Elementare Einführung
in die
angewandte Statistik
wiewag stucrlUlll
ßasiswissen
Diese Reihe wendet sich an den Studenten
der mathematischen, naturwissenschaftlichen
und technischen Fächer. Ihm - und auch
dem Schüler der Sekundarstufe II - soll die
Vorbereitung auf Vorlesungen und Prüfungen
erleichtert und gleichzeitig ein Einblick in die
Nachbarfächer geboten werden. Die Reihe
wendet sich aber auch an den Mathematiker,
Naturwissenschaftler und Ingenieur in der
Praxis und an die Lehrer dieser Fächer.
Zu der Reihe gehören folgende Abteilungen:
Basiswissen, Grundkurs und Aufbaukurs
Mathematik, Physik, Chemie, Biologie
Karl Boseh
Elementare Einführung
in die
angewandte Statistik
2., überarbeitete Auflage
Mit 41 Abbildungen
Friedr. Vieweg & Sohn
Braunsehweig / Wiesbaden
Dr. rer. nato Karl Bosch ist O. Professor am Institut flir Angewandte Mathematik und Statistik
der Universität Stuttgart-Hohenheim
(Eine Kurzbiographie des Autors steht auf Seite 192)
Die 1. Auflage erschien unter dem Titel
Angewandte Mathematische Statistik
1.-5. Tausend September 1976
6.-7. Tausend Januar 1982
Alle Rechte vorbehalten
© Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig 1982
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54 URG ausdrücklich erwähnten Ausnahmen.
Satz: Vieweg, Braunschweig
ISBN 978-3-528-17227-5 ISBN 978-3-322-88804-4 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-322-88804-4
Inhalt
Ä. Eindimensionale Darstellungen
1_ Elementare Stichprobentheorie (Beschreibende Statistik) ......... .
1.1. Häufigkeitsverteilungen einer Stichprobe .............. . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Mittelwerte (Lageparameter) einer Stichprobe ......................... 12
1.2.1. Der ( empirische) Mittelwert ....................................... 12
1.2.2. Der (empirische) Median ........ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.3. Die Modalwerte ................................................ 20
1.3. Streuungsmaße einer Stichprobe ........ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3.1. Die Spannweite ............................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3.2. Die mittlere absolute Abweichung .................................. 21
1.3.3. Die (empirische) Varianz und Standardabweichung ..................... 25
2. Zufallsstichproben ............................................ 34
3. Parameterschätzung ........................................... 36
3.1. Beispiele von Näherungswerten flir unbekannte Parameter .. . . . . . . . . . . . . . 36
3.1.1. Näherungswerte ftir eine unbekannte Wahrscheinlichkeit p = P(A) .......... 36
3.1.2. Näherungswerte ftir den relativen Ausschuß in einer endlichen Grundgesamtheit
(Qualitätskontrolle) ........................ ..................... 38
3.1.3. Näherungswerte ftir den Erwartungswert Il und die Varianz a2 einer Zufalls-
variablen ...................................................... 40
3.2. Die allgemeine Theorie der Parameterschätzung ........................ 43
3.2.1. Erwartungstreue Schätzfunktionen .................................. 43
3.2.2. Konsistene Schätzfunktionen ...................................... 44
3.2.3. Wirksamste (effiziente) Schätzfunktionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.3. Maximum-Likelihood-Schätzungen .................................. 45
3.4. Konfidenzintervalle (Vertrauensintervalle) ............................ 51
3.4.1. Der Begriff des Konfidenzintervalls ................................. 51
3.4.2. Konfidenzintervalle ftir eine unbekannte Wahrscheinlichkeit p ............ 53
3.4.3. Konfidenzintervalle ftir den Erwartungswert Il einer normalverteilten
Zufallsvariablen . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.4.4. Konfidenzintervalle flir die Varianz a2 einer normalverteilten Zufallsvariablen . 62
3.4.5. Konfidenzintervalle ftir den Erwartungswert Il einer beliebigen Zufallsvariablen
bei großem Stic)1probenumfang n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 64
4. Parametertests 65
4.1. Ein Beispiel zur Begriffsbildung (Hypothese p = Po) .................... . 65
4.2. Ein einfacher Alternativtest (Ho: p = Po gegen H I: p = p I mit PI f Po) ..... . 69
4.3. Der Aufbau eines Parametertests bei Nullhypothesen ................... . 73
4.3.1. Nullhypothesen und Alternativen .....................' ............ . 73
4.3.2. Testfunktionen ............................................... . 74
4.3.3. Ablehnungsbereiche und Testentscheidungen ......................... . 74
4.3.4. Wahl der Nullhypothese ......................................... . 83
4.4. Spezielle Tests ................................................ . 83
4.4.1. Test des Erwartingswertes Il einer Normalverteilung ................... . 83
4.4.2. Test der Varianz a2 eine' Normalverteilung .......................... . 85
4.4.3. Test einer beliebigen Wahrscheinlichkeit p = P(A) ..................... . 87
4.5. Vergleich der Parameter zweier (stochastisch) unabhängiger Normal-
verteilungen ............................................. 87
4.5.1. Vergleich zweier Erwartungswerte bei bekannten Varianzen .............. 88
4.5.2. Vergleich zweier Erwartungswerte bei unbekannten Varianzen .. . . . . . . . . . . . 88
4.5.3. Vergleich zweier Varianzen .......•................................ 89
5. Varianzanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.1. Einfache Varianzanalyse 91
5.2. Doppelte Varianzanalyse 98
6. Der Chi-Quadrat-Anpassungstest 102
6.1. Der Chi-Quadrat-Anpassungstest ftir die Wahrscheinlichkeiten
Pt, P2, ... , Pr einer Polynomialverteilung ............................ 103
6.2. Der Chi-Quadrat-Anpassungstest ftir vollständig vorgegebene Wahrscheinlich-
keiten einer diskreten Zufallsvariablen ............................... 106
6.3. Der Chi-Quadrat-Anpassungstest ftir eine Verteilungsfunktion Fo
einer beliebigen Zufallsvariablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
6.4. Der Chi-Quadrat-Anpassungstest ftir eine von unbekannten Parametern
abhängige Verteilungsfunktion Fo .................................. 108
7. Verteilungsfunktion und empirische Verteilungsfunktion.
Der Kolmogoroff-Smirnov-Test ................................. ll2
7.1. Verteilungsfunktion und empirische Verteilungsfunktion ................ 112
7.2. Das Wahrscheinlichkeitsnetz ...................................... 114
7.3. Der Kolmogoroff-Smirnov-Test ........... ......................... 117
B. Zweidimensionale Darstellungen 121
8. Zweidimensionale Stichproben .... ............................. 121
9. Kontingenztafeln (Der Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest) . . . . . . . . . . . 124
10. Kovarianz und Korrelation ..................................... 128
10.1. Kovarianz und Korrelationskoeffizient zweier Zufallsvariabler ............. 128
10.2. (Empirische) Kovarianz und der (empirische) Korrelationskoeffizient einer
zweidimensionalen Stichprobe ..................................... 133
10.3. Schätzfunktionen ftir die Kovarianz und den Korrelationskoeffizienten
zweier Zufallsvariablen 138
10.4. Konfidenzintervalle und Tests des Korrelationskoeffizienten bei
normalverteilten Zufallsvariablen ....... ............................ 140
10.4.1. Konfidenzintervalle ftir den Korrelationskoeffizienten ................... 141
10.4.2. Test eines Korrelationskoeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 142
10.4.3. Test auf Gleichheit zweier Korrelationskoeffizienten ... . . . . . . . . . . . . . . . . 144
11. Regressionsanalyse 145
11.1. Die Regression erster Art ......................................... 146
11.1.1. Die (empirischen) Regressionskurven 1. Art einer zweidimensionalen Stichprobe 146
11.1.2. Die Regressionskurven 1. Art zweier Zufallsvariabler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
11.2.1 Die (empirische) Regressionsgerade .. , ....................... . 161
11.2.1. Die (empirischen) Regressionsgeraden .............................. . 161
11.2.2. Die Regressionsgeraden zweier Zufallsvariabler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
11.2.3. Allgemeine (empirische) Regressionskurven 2. Art ..................... . 168
11.3. Test von Regressionskurven ...................................... . 171
11.3.1. Test auf lineare Regression ....................................... . 171
11.3.2. Test auf Regressionskurven, die von I Parametern abhängen .............. . 174
11.4. Konfidenzintervalle und Tests fiir die Parameter 130 -und 0<0 der
Regressionsgeraden beim linearen Regressionsmodell ................... . 175
11.4.1. Konfidenzintervalle und Test fiir den RegressionskoefIlZienten 130 ••••.••••• 175
11.4.2. Konfidenzintervalle und Test des Achsenabschnitts 0<0 ••••••••••••••••••• 178
11.5. Konfidenzbereiche für die Regressionsgerade beim linearen Regressionsmodell . 179
11.6. Test auf Gleichheit zweier Regressionsgeraden bei linearen Regressionsmodellen 181
11.6.1. Vergleich zweier Achsenabschnitte ................................. . 182
11.6.2. Vergleich zweier RegressionskoefflZiellten ...................•........ 182
11.7. (Empirische) Regressionsebenen ................................... . 182
12. Verteilungsfreie Verfahren .................................... . 184
12.1. Der Vorzeichentest ............................................. . 184
12.2. Test und Konfidenzintervall für den Median .......................... . 186
12.3. Wilcoxonscher Rangsummentest für unverbundene Stichproben ........... . 188
13. Ausblick .................................................... . 190
Weiterfiihrende Literatur ................................................ . 191
Kurzbiographie des Autors .............................................. . 192
Anhang ............................................................. . 193
Namens-und Sachregister ............................................... . 209
Vorwort
In dem vorliegenden Band sollen die wichtigsten Grundbegriffe und Methoden der
beschreibenden und beurteilenden Statistik anschaulich beschrieben werden. Das
Buch ist aus einer Vorlesung entstanden, die der Autor wiederholt ftir Studenten
der Fachrichtungen Biologie, Pädagogik, Psychologie sowie Betriebs-und Wirtschafts
wissenschaften an der Technischen Universität Braunschweig abgehalten hat.
Aufbau und Darstellung sind so gewählt, daß mit diesem elementaren Einführungs
band ein möglichst breiter Leserkreis angesprochen werden kimn. Zahlreiche Bei
spiele sollen zum besseren Verständnis beitragen. Ziel des Autors ist es, die ein
zelnen Verfahren nicht nur mitzuteilen, sondern sie auch - soweit möglich - zu
begründen. Dazu werden einige Ergebnisse der Wahrscheinlichkeitsrechnung be
nutzt. Demjenigen Leser, der sich mit Wahrscheinlichkeitsrechnung näher beschäf
tigen möchte, wird der ebenfalls in dieser Reihe erschienene Band 25 Elementare
Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung zur Lektüre empfohlen.
Das Ende eines Beweises wird mit dem Zeichen -, das Ende eines Beispiels mit.
gekennzeichnet.
Den Herren Ass. Prof. Dr. W. Brakemeier, Prof. Dr. E. Henze und Akad. Direktor
Dr. H. Wolff danke ich sehr fUr die zahlreichen Ratschläge, die sie mir beim Durch
lesen des Manuskriptes gaben. Hervorzuheben ist die gute Zusammenarbeit mit dem
Verlag während der Entstehungszeit des Buches. Schließlich bin ich jedem Leser
fUr Verbesserungsvarschläge dankbar.
Stuttgart, im Juli 1981 Karl Bosch
A. Eindimensionale Darstellungen
1. Elementare Stichprobentheorie (Beschreibende Statistik)
In der elementaren Stichprobentheorie sollen Untersuchungsergebnisse übersichtlich
dargestellt werden. Danach werden daraus Kenngrößen abgeleitet, die über die zu
grunde liegenden Untersuchungsergebnisse möglichst viel aussagen sollen. Diese
Maßzahlen erweisen sich später in der beurteilenden Statistik als sehr nützlich.
1.1. Häufigkeitsverteilungen einer Stichprobe
Wir beginnen unsere Betrachtungen mit dem einflihrenden
Beispiel 1.1. Die Schüler einer 25·köpfigen Klasse erhielten in alphabetischer Rei
henfolge im Fach Mathematik folgende Zensuren: 3,3,5,2,4,2,3,3,4,2,3,3,
2,4,3,4, I, 1,5,4,3, 1,2,4,3. Da die Zahlenwerte dieser sog. Urliste völlig un
geordnet sind, stellen wir sie in einer Strichliste oder Häufigkeitstabelle übersicht·
lieh dar (Tabelle 1.1). In die erste Spalte werden die möglichen Zensuren einge·
tragen. Danach wird für jeden Wert der Urliste in der entsprechenden Zeile der
Tabelle ein Strich eingezeichnet, wobei wir der übersicht halber 5 Striche durch
mr
darstellen. Die Anzahl der einzelnen Striche ergibt schließlich die absoluten
Häu/ifkeiten der jeweiligen Zensuren. Diese Darstellung ist wesentlich übersicht·
Iicher als die Urliste. In graphischen Darstellungen kann die Übersichtlichkeit noch
erhöht werden. Im Stabdiagramm (Bild 1.1) werden über den einzelnen Werten
Stäbe aufgetragen, deren Längen gleich den entsprechenden Häufigkeiten sind.
Durch geradlinige Verbindungen der Endpunkte der Stäbe erhält man das sog.
Häufigkeitspolygon. Das Histogramm besteht schließlich aus Rechtecken, deren
Grundseiten die Längen Eins und die verschiedenen Zensuren als Mittelpunkte be·
sitzen, während die Höhen gleich den absoluten Häufigkeiten der entsprechenden
TabeUe 1.1. Strichliste und Häufigkeitstabelle
absolute relative prozentualer
Zensur Strichliste
Häufigkeit Häufigkeit Anteil
1 111 3 0,12 12
2 llit 5 0,20 20
3 llit 1111 9 0,36 36
4 .J.Ht1 6 0,24 24
5 11 2 0,08 8
6 0 0 0
n = 25 Summe = 1,00 Summe = 100
2 1. Elementare Stichprobentheorie (Beschreibende Statistik)
!
"
~2 2
~1 1
2 3 4 5 6 Zensuren 2 3 4 5 6 Zensuren
Stabdiagramm Häuf ig keitspolygon
Bild 1.1. Absolute Häufigkeiten
2 3 4 5 Zensuren
Histogramm
Zensuren sind. Die Zensur wird im allgemeinen aus mehreren Einzelnoten (Klassen·
arbeiten und mündliche Prüfungen) durch Durchschnittsbildung ermittelt. Liegt
dieser Durchschnitt echt zwischen 2,5 und 3,5, so erhalte der Schüler die Note 3.
Liegt der Durchschnitt bei 2,5, so findet meistens eine Nachprüfung statt. Somit
besagt die Zensur 3 lediglich, daß die Leistung eines Schülers zwischen 2,5 und 3,5
liegt. Hier findet also bereits eine sog. Klasseneinteilung statt, d.h. mehrere Werte
werden zu einer Klasse zusammengefaßt. Diese Klassenbildung wird im Histogramm
von Bild 1.1 anschaulich beschrieben. Dividiert man die absoluten Häufigkeiten
durch die Anzahl der Meßwerte (n = 25), so erhält man die relativen Häufigkeiten
(4. Spalte in Tabelle 1.1), deren Gesamtsumme den Wert Eins ergibt. Multiplikation
der relativen Häufigkeiten mit 100 liefert die prozentualen Anteile (5. Spalte der
Tabelle 1.1). Die graphischen Darstellungen der absoluten Häufigkeiten haben den
Nachteil, daß die entsprechenden Höhen im allgemeinen mit der Anzahl der Beob·
achtungswerte steigen, was bei der Festsetzung eines geeigneten Maßstabes berück·
sichtigt werden muß. Im Gegensatz zu den absoluten Häufigkeiten können die rela·
tiven Häufigkeiten nicht größer als Eins werden. Ihre Summe ist immer gleich Eins.
Daher kann ftir die graphischen Darstellungen der relativen Häufigkeiten stets der·
selbe Maßstab benutzt werden, gleichgültig, ob man die Mathematikzensuren der
Schüler einer bestimmten Schulklasse, einer ganzen Schule oder eines ganzen Landes
betrachtet. In Bild 1.2 sind die relativen Häufigkeiten ftir dieses Beispiel graphisch
dargestellt. •