Elementare Analysis: Von der Anschauung zur Theorie (Mathematik Primar- und Sekundarstufe)

342 Pages·2010·4.12 MB·German

by  Andreas Büchter

Elementare Analysis
Mathematik Primar- und Sekundarstufe
Herausgegeben von
Prof. Dr. Friedhelm Padberg
Universität Bielefeld
Bisher erschienene Bände:
Didaktik der Mathematik
P. Bardy: Mathematisch begabte Grundschulkinder - Diagnostik und Förderung (P)
M. Franke: Didaktik der Geometrie (P)
M. Franke: Didaktik des Sachrechnens in der Grundschule (P)
K. Hasemann: Anfangsunterricht Mathematik (P)
K. Heckmann/F. Padberg: Unterrichtsentwürfe Mathematik Primarstufe (P)
G. Krauthausen/P. Scherer: Einführung in die Mathematikdidaktik (P)
G. Krummheuer/M. Fetzer: Der Alltag im Mathematikunterricht (P)
F. Padberg: Didaktik der Arithmetik (P)
G. Hinrichs: Modellierung im Mathematikunterricht (P/S)
R. Danckwerts/D. Vogel: Analysis verständlich unterrichten (S)
G. Greefrath: Didaktik des Sachrechnens in der Sekundarstufe (S)
F. Padberg: Didaktik der Bruchrechnung (S)
H.-J. Vollrath/H.-G. Weigand: Algebra in der Sekundarstufe (S)
H.-J. Vollrath: Grundlagen des Mathematikunterrichts in der Sekundarstufe (S)
H.-G. Weigand/T. Weth: Computer im Mathematikunterricht (S)
H.-G. Weigand et al.: Didaktik der Geometrie für die Sekundarstufe I (S)
Mathematik
F. Padberg: Einführung in die Mathematik I – Arithmetik (P)
F. Padberg: Zahlentheorie und Arithmetik (P)
K. Appell/J. Appell: Mengen – Zahlen – Zahlbereiche (P/S)
S. Krauter: Erlebnis Elementargeometrie (P/S)
H. Kütting/M. Sauer: Elementare Stochastik (P/S)
F. Padberg: Elementare Zahlentheorie (P/S)
F. Padberg/R. Danckwerts/M. Stein: Zahlbereiche (P/S)
A. Büchter/H.-W. Henn: Elementare Analysis (S)
G. Wittmann: Elementare Funktionen und ihre Anwendungen (S)
P: Schwerpunkt Primarstufe
S: Schwerpunkt Sekundarstufe
Weitere Bände in Vorbereitung
Andreas Büchter • Hans-Wolfgang Henn
Elementare Analysis
Von der Anschauung zur Theorie
Autoren
Dipl. Math. Andreas Büchter Prof. Dr. Hans-Wolfgang Henn
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Planung und Lektorat: Dr. Andreas Rüdinger, Martina Mechler
Herstellung: Crest Premedia Solutions (P) Ltd, Pune, Maharashtra, India
Satz: Autorensatz
ISBN 978-3-8274-2091-6
Vorwort
Liebe Leserin, lieber Leser,
herzlichWillkommenbeiunseremanschaulichenZugangzurTheoriederDifferen-
zial- und Integralrechnung. Unser Buch „Elementare Analysis“ soll elementar im
besten Sinne sein: Der Brockhaus nennt dieses Adjektiv im Zusammenhang mit
dengrundlegendenBegriffenundSätzeneinerwissenschaftlichenTheorie.Diealte
Elementarschule wollte die für das Leben nach der Schule grundlegende Bildung
undAusbildungvermitteln.IndiesemSinnewollenwirSieindiesemBuchmitden
grundlegenden Konzepten und Ergebnissen der Analysis für reellwertige Funktio-
nen einer reellen Variablen vertraut machen.
Dabei möchten wir Sie bei Ihrem Vorwissen und Ihrer mathematisch Intuiti-
on abholen und die Theorie von anschaulichen Situationen aus entwickeln. Im
Gegensatz zu vielen anderen Fachbüchern haben wir daher keinen axiomatisch-
deduktiven Aufbau gewählt, bei dem die zentralen Begriffe am Anfang definiert
werdenundanschaulicheAnwendungenggf.späterfolgen;wirgehenvielmehrvon
der Mathematisierung realer Probleme aus und liefern die Begriffe und Zusam-
menhänge,alsodenTheorieaufbau,hierdurchmotiviertnach.Damitwerdenviele
Definitionen, Sätze und Beweise zum Zeitpunkt ihrer Formulierung anschaulich
bereits klar sein.
VermutlichstudierenSiedasFachMathematikfüreinLehramtindenSekundar-
stufen oder befinden sich bereits im Referendariat oder Schuldienst. Die Auswahl
derInhaltewurdeunteranderemanhandderFragederRelevanzfürdenUnterricht
in diesen Schulstufen getroffen. Dieses Buch kann aber ebenso gut Studierenden
der Mathematik oder ihrer Anwendungsdisziplinen mit dem Abschlussziel Bache-
lor oder Master dazu dienen, einen inhaltlichen Zugang zur Analysis zu finden,
der für weiterführende Analysisvorlesungen sinnstiftend wirken kann.
DieDarstellungderInhalteerfolgtnichtaufdemNiveauschulischenUnterrichts,
sondern aus der „höheren Sicht“ der Hochschulmathematik. Hier standen uns die
berühmten Vorlesungen „Elementarmathematik vom höheren Standpunkt aus“
vonFelixKlein(1849–1925)vorAugen,derdiesedreiauchalsBucherschienenen
Vorlesungen (Klein (1908; 1909); im Internet verfügbar1) in den Jahren 1907 und
1908 in Göttingen gehalten hat. Im Vorwort beschreibt er seine Ziele:
„Ich habe mich bemüht, dem Lehrer – oder auch dem reiferen Stu-
denten – Inhalt und Grundlegung der im Unterricht zu behandelnden
Gebiete vom Standpunkte der heutigen Wissenschaft in möglichst ein-
facher und anregender Weise überzeugend darzulegen.“
1z.B.unterhttp://de.wikipedia.org/wiki/Felix_Klein
vi Vorwort
DasvorliegendeBuchsetzteinegewissemathematischeGrundbildungvoraus,wie
sieüblicherweiseinderSchuleerworbenwird.VorjedemgrößerenAbschnittsteht
ein kurzer Überblick über das, was den Leser im Folgenden erwartet. Nicht al-
les, was behandelt wird, wird auch ausführlich bewiesen, manche Vertiefungen
haben wir auf die Internetseiten zu diesem Buch verlagert. Ein inhaltlich stimmi-
gerTheorieaufbauimWechselspielmittypischenAnwendungenwarunswichtiger
als der lückenlose Beweis jeder – manchmal schon anschaulich evidenten – ma-
thematische Tatsache. Aber gerade weil wir die Theorie von der Anschauung aus
aufbauen, thematisieren wir jeweils auch die Grenzen der Anschauung, insbeson-
dere jene „unbequemen“ Beispiele, die auch historisch zur Weiterentwicklung der
Theorie beigetragen haben.
Mit dem Ziel, auch den Entstehungsprozess der modernen Analysis nachvoll-
ziehbar zu machen, haben wir häufig historische Bemerkungen in den Lehrtext
integriert.UnddabekanntlicheingutesBildoftmehralstausendWorteaussagt,
haben wir versucht, möglichst viele Zusammenhänge suggestiv zu visualisieren.
Für die Bilder dieses Buchs, die nicht von uns selbst erstellt worden sind, haben
wir – soweit möglich – eine Abdruckerlaubnis eingeholt. Inhaber von Bildrechten,
die wir nicht ausfindig machen konnten, bitten wir, sich beim Verlag zu melden.
Die von uns zitierten Internet-Adressen haben wir noch einmal im Oktober
2009 überprüft; wir können natürlich nicht gewährleisten, dass sie nach diesem
Zeitpunkt noch unverändert zugänglich sind.
TrotzallerMühenundAnstrengungenbeimKorrekturlesenkommteswohlbei
jedem Buch (zumindest in der Erstauflage) vor, dass der Fehlerteufel den sorg-
fältig arbeitenden Autoren ins Handwerk pfuscht. Daher werden auch in diesem
Buch vermutlich einige kleine Rechtschreib- oder Grammatikfehler stecken und
auch Rechenfehler sind nicht auszuschließen. Umso mehr freuen wir uns über je-
den sachdienlichen Hinweis, aber natürlich auch über Kritik, Lob, Kommentare,
Anregungen usw., die Sie uns per E-Mail an
[email protected]
zukommen lassen können. Wir bemühen uns, jede Mail umgehend zu beantwor-
ten. Sollte es einmal ein paar Tage länger dauern, so ruhen wir uns gerade vom
Schreiben eines Buchs aus ... In jedem Fall bearbeiten wir aber jede Mail. Sollte
unsanirgendeinerStellederFehlerteufeleinenganzgroßenStreichgespielthaben,
so werden wir eine Korrekturanmerkung auf den Internetseiten zu diesem Buch
unter
http://www.elementare-analysis.de/
veröffentlichen. Dort finden Sie auch einige vertiefende Betrachtungen, das Mate-
rial des „Anhangs“ zu unserem Buch sowie die ausführlichen Lösungshinweise zu
den zahlreichen in den Lehrtext integrierten Aufgaben.
Vorwort vii
Zu guter Letzt bedanken wir uns herzlich bei allen, die uns unterstützt haben.
Das sind insbesondere unsere Freunde und Kollegen Dipl.-Math. Frauke Arndt
(Dortmund),Prof.Dr.HansHumenberger(Wien),StDDr.JörgMeyer(Hameln),
OStR Jan Hendrik Müller (Attendorn/Dortmund) und StD Dr. Andreas Pallack
(Hamm/Soest),dieunsungezähltewertvolleHinweiseundVerbesserungsvorschlä-
ge gegeben und das Manuskript sorgfältig durchgesehen haben. Unser Dank gilt
auch Herrn Raphael Bolinger (Dortmund), der uns redaktionell – vor allem beim
Textsatz mit LaTeX – unterstützt hat sowie Herrn Holger Nadolny (Dortmund),
derals„Zielgruppen-Leser“mitdemManuskriptgearbeitetundzudessenVerbes-
serung beigetragen hat. Besonderer Dank gebührt dem Reihenherausgeber Prof.
Dr. Friedhelm Padberg (Bielefeld) sowie dem Verlag für die Aufnahme unseres
Titels und die hervorragende Betreuung. In tiefer Schuld stehen wir bei unseren
Familien, die einmal mehr monatelang zwei ungeduldige Autoren geduldig ertra-
gen haben.
Dortmund, Oktober 2009
Andreas Büchter & Hans-Wolfgang Henn
Inhaltsverzeichnis
Vorwort .......................................................... v
1 Einleitung..................................................... 1
1.1 Was ist „Elementare Analysis“? ................................... 3
1.2 Wie ist dieses Buch aufgebaut?.................................... 4
1.3 Was ist bei der Lektüre dieses Buchs zu beachten?................... 5
2 Funktionale Zusammenhänge und Funktionen ................. 7
2.1 Funktionale Zusammenhänge ..................................... 8
2.1.1 Eigenschaften funktionaler Zusammenhänge................... 10
2.1.2 Unterschiedliche Tiefen der Betrachtung...................... 11
2.2 Funktionen ..................................................... 16
2.2.1 Funktionsbegriff........................................... 16
2.2.2 Modellieren mit Funktionen................................. 21
2.2.3 Funktionen in unterschiedlichen Bereichen der Mathematik ..... 25
2.3 Grundvorstellungen und Darstellungen von Funktionen............... 30
2.3.1 Grundvorstellungen........................................ 30
2.3.2 Darstellungsarten.......................................... 35
2.4 Elementare Funktionstypen und ihre Charakteristika................. 40
2.4.1 Proportionale, antiproportionale und (affin-)lineare Funktionen.. 40
2.4.2 Potenz- und Wurzelfunktionen .............................. 46
2.4.3 Exponential- und Logarithmusfunktion....................... 50
2.4.4 Trigonometrische Funktionen ............................... 56
2.4.5 Funktionenbaukasten ...................................... 59
2.4.6 Weitere Funktionen........................................ 66
2.4.7 Mit Funktionen arbeiten.................................... 68
2.5 Exkurs: Funktionen und Kurven................................... 76
3 EinanschaulicherZugangzurDifferenzial-undIntegralrechnung 79
3.1 Ableiten: Änderungsraten als fundamentale Idee..................... 81
3.1.1 Von der mittleren zur lokalen Änderungsrate.................. 82
3.1.2 Lokale Änderungsrate und lokale Linearität................... 85
3.1.3 Von lokalen Änderungsraten zur Ableitungsfunktion ........... 88
3.2 Integrieren: Rekonstruktion als fundamentale Idee ................... 92
3.2.1 Von der Änderungsrate zum Bestand......................... 92
3.2.2 Bestandsfunktionen als Rekonstruktionen aus Änderungsraten... 95
3.3 Anschaulicher Zusammenhang von „Ableiten“ und „Integrieren“....... 99
3.4 Grenzen der Anschauung ......................................... 102
4 Mathematische Grundlagen der Analysis...................... 105
4.1 Die vollständige Zahlengerade: reelle Zahlen ........................ 107
4.1.1 Ein kurzer historischer Überblick ............................ 107
4.1.2 Die Entdeckung der irrationalen Zahlen ...................... 110
x Inhaltsverzeichnis
4.1.3 Konstruktion der reellen Zahlen durch Intervallschachtelungen .. 113
4.1.4 Die Mächtigkeit von R ..................................... 129
4.2 Folgen und ihre Grenzwerte....................................... 135
4.2.1 Folgen ................................................... 136
4.2.2 Konvergenz von Folgen..................................... 140
4.2.3 Beispiele konvergenter und divergenter Folgen................. 147
4.2.4 Sätze über Existenz und Bestimmung von Grenzwerten......... 154
4.2.5 Anwendungen von Folgen in der Sekundarstufe I .............. 159
4.3 Grenzwerte von Funktionen und Stetigkeit.......................... 173
4.3.1 Grenzwerte von Funktionen................................. 173
4.3.2 Untersuchung spezieller Funktionen auf Grenzwerte............ 177
4.3.3 Stetigkeit................................................. 181
4.3.4 Anschauung und Stetigkeit ................................. 185
4.3.5 Eigenschaften stetiger Funktionen ........................... 190
5 Grenzwerte von Differenzenquotienten: die Ableitung ......... 195
5.1 Die Ableitung an einer Stelle und die Ableitungsfunktion ............. 196
5.1.1 Differenzierbarkeit......................................... 196
5.1.2 Einfache Beispiele für differenzierbare Funktionen ............. 198
5.1.3 Stetigkeit und Differenzierbarkeit............................ 199
5.1.4 Lokale Linearität und Tangenten ............................ 200
5.1.5 Regel von L’Hospital....................................... 202
5.1.6 Differenzialquotient und Differenziale ........................ 204
5.2 Berechnung von Ableitungen und Ableitungsregeln .................. 205
5.2.1 Typische algebraische Umformungen bei Differenzenquotienten .. 206
5.2.2 Ableitungsregeln .......................................... 207
5.2.3 Weitere Ableitungsfunktionen ............................... 212
5.2.4 Anschauung und Differenzierbarkeit.......................... 215
6 Grenzwerte von Riemann’schen Summen: das Integral ........ 221
6.1 Anschaulicher Standpunkt aus Kapitel 3 ........................... 222
6.2 Das bestimmte Integral und Integralfunktionen...................... 224
6.3 Erste Berechnungen von („einfachen“) Integralen .................... 231
7 Zusammenhang von Differenzial- und Integralrechnung ....... 237
7.1 Stammfunktionen und Richtungsfelder ............................. 237
7.2 Der Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung ................ 240
7.3 Integrieren bedeutet auch Mitteln ................................. 245
7.4 Von Ableitungsregeln zu Integrationsregeln ......................... 246
8 Anwendungen in Theorie und Praxis.......................... 251
8.1 Funktionen untersuchen .......................................... 252
8.1.1 Monotonie und Extrema.................................... 253
8.1.2 Krümmungs- und Wachstumsverhalten....................... 264
8.1.3 Bogenlänge ............................................... 277