Elementare Algebraische Geometrie: Grundlegende Begriffe und Techniken mit zahlreichen Beispielen und Anwendungen PDF
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Klaus Hulek Elementare Aigebraische Geometrie vieweg studium _____-- -------...... Aufbaukurs Mathematik Herausgegeben von Martin Aigner, Gerd Fischer, Michael Griiter,Rudolf Scharlau und Gisbert Wustholz Martin Aigner Diskrete Mathematik Albrecht BeutelspacherjUte Rosenbaum Projektive Geometrie Manfredo P. do Carroo Differentialgeometrie von Kurven und Flachen Wolfgang Fischer und Ingo Lieb Funktionentheorie Wolfgang Fischer und Ingo Lieb Ausgewahlte Kapitel aus der Funktionentheorie Otto Forster Analysis 3 Klaus Hulek Elementare Aigebraische Geometrle Horst Knorrer Geometrie Ulrich Krengel Einfiihrung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik Helmut Koch Zahlentheorie Wolfgang Kuhnel Differentialgeometrie Reinhold Meise und Dietmar Vogt Einfiihrung in die Funktionalanalysis Erich Ossa Topologie Jochen Werner Numerische Mathematik I und II Jfirgen Wolfart Einfiihrung in die Zahlentheorie und Algebra Grundkurs Mathematik Gerd Fischer Otto Forster/Rudiger Wessoly Lineare Algebra Obungsbuch zur Analysis 1 Hannes StoppeVBirgit Griese Otto Forster Obungsbuch zur Linearen Algebra Analysis 2 Gerd Fischer Otto Forster/Rudiger Szymczak Analytische Geometrie Obungsbuch zur Analysis 2 Otto Forster Gerhard Opfer Analysis 1 Numerische Mathematik fiir Anfinger vieweg ________________. ..-/ Klaus Hulek Elementare Aigebraische Geometrie Grundlegende Begriffe und Techniken mit zahlreichen Beispielen und Anwendungen ~ vleweg Prof. Dr. Klaus Hulek Institut filr Mathematik Universitat Hannover Postfach 6009 D-30060 Hannover Germany E-Mail: [email protected] Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme Ein Titeldatensatz filr diese Publikation ist bei Der Deutschen Bibliothek erhaltlich 1. Auflage September 2000 AIle Rechte vorbehalten © Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig/Wiesbaden, 2000 Der Verlag Vieweg ist ein Unternehmen der Fachverlagsgruppe BertelsmannSpringer. Das Werk einschlieBlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschiitzt. Jede Verwertung auBerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulassig und strafbar. Das gilt insbesondere fUr Vervielfaltigungen, Ubersetzungen, Mikroverfilmungen und die Ein speicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. www.vieweg.de Konzeption und Layout des Umschlags: Ulrike Weigel, www.CorporateDesignGroup.de Gedruckt auf saurefreiem Papier ISBN-13 :978-3-528-03156-5 e-ISBN-13 :978-3-322-80221-7 DOl: 10.1007/978-3-322-80221-7 Vorwort Bei dem vorliegenden Buch handelt es sich urn die Ausarbeitung einer Vorle sung tiber Algebraische Geometrie, die ich mehrfach an der Universitat Hannover gehalten habe. Die Vorlesung richtet sich an Studierende, die die einfiihrenden Vorlesungen tiber Algebra und Funktionentheorie gehort haben. Dartiber hin ausgehende Vorkenntnisse sind nicht notwendig. Besonders wichtig war es mir, in diesem Buch das Wechselspiel zwischen allgemeiner Theorie einerseits und konkreten Beispielen und Anwendungen andererseits darzustellen. Der Umfang entspricht dem Stoff einer l-semestrigen 4-sttindigen Vorlesung. Auf Garben- und Kohomologietheorie wurde in diesem Buch verzichtet. Die vorliegende Einftihrung solI aber die Studierenden darauf vorbereiten, sich fortgeschrittenere Texte zu er arbeiten. Von den im Literaturverzeichnis angegebenen Btichern habe ich mich insbeson dere auf das Buch Undergraduate Algebraic Geometry von M. Reid gesttitzt. Vor allem das Kapitel V, in dem ein elementarer Beweis fur die Existenz der 27 Ge raden auf einer glatten kubischen Flache gegeben wird, beruht auf diesem Buch. Ich danke Herrn S. Schroder und Frau S. Guttner sehr herzlich fUr die sorgfaltige Erstellung des 'J:EX-Skriptums und fUr die Anfertigung der Zeichnungen. Herrn Dr. A. Gathmann und Herrn Dr. J. Spandaw danke ich fUr Hilfe beim Korrek turlesen. Ebenso danke ich einigen Horerinnen und Horern meiner Vorlesung fUr Hinweise auf Druckfehler. Hannover, im J uli 2000 Klaus Hulek Inhaltsverzeichnis 0 Einleitung 1 I Affine Varietaten 17 1 Der Nullstellensatz ..................... 17 2 Polynomiale Funktionen und Abbildungen 32 3 Rationale Funktionen und Abbildungen . 41 II Projektive Varietaten 52 1 Projektive Raume ... 52 2 Projektive Vaxietaten . 55 3 Rationale Funktionen und Morphismen 62 III Glatte Punkte und Dimension 80 1 Glatte und singulare Punkte . . ................ 80 2 Algebraische Chaxakterisierung der Dimension 84 IV Ebene kubische Kurven 93 1 Ebene Kurven . . . . . 93 2 Schnittmultiplizitaten . 95 3 Klassifikation glatter Kubiken 102 V Kubische Flachen 116 1 Existenz von Geraden .............. 116 2 Die Konfiguration der 27 Geraden . 122 VIII INHALTSVERZEICHNIS VI Theorie der Kurven 132 1 Divisoren auf Kurven ..... . 132 2 Der Grad von Hauptdivisioren . 136 3 Der Satz von Bezout . . . 145 4 Linearsysteme auf Kurven 146 5 Projektive Einbettungen von Kurven 151 Literaturverzeichnis 162 A Bucher zur kommutativen Algebra 162 B Bucher zur algebraischen Geometrie . 162 C Weitere Literatur .......... . 163 Index 164 A bbildungsverzeichnis Einleitung 1 1 Kreis. 4 2 Parabel 4 3 Hyperbel . 4 4 Entartete Kegelschnitte . 5 5 Kubik mit Doppelpunkt 5 6 Neillsche Parabel . . . . 6 7 Deformationen der Kurven C).. 6 8 Torus........... 9 9 Aufgeschnittene Sphare . 9 10 Verklebung zweier aufgeschnittener Spharen 10 11 Entstehung eines Torus . . . . . . . . . 10 12 Das Gitter AT mit Fundamentalgebiet . 10 13 Torus................... 11 14 Zweischaliges Hyperboloid, einschaliges Hyperboloid, Kugel und Kegel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 13 Affine Varietaten 17 1 Achsenkreuz ala Beispiel einer reduziblen Varietat 19 2 Geometrische Deutung der Noether-Normalisierung 29 3 Vf als affine Varietat . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 x ABBILDUNGSVERZEICHNIS Projektive Varietaten 52 1 Die reelle projektive Gerade Pi. 53 Pi 2 Affiner Teil der reellen projektiven Ebene 53 3 Quadrik im p3 mit Regelscharen . 57 4 Projektion von Po . . . . . . . . . 71 5 A ufblasung der Ebene in einem Punkt 76 6 Strikte Transformierte einer singuHiren Kubik 77 Glatte Punkte und Dimension 80 1 Tangentialraum an eine Varietat V ............. . 81 2 Lokale Koordinaten in der Umgebung eines glatten Punktes 82 Ebene kubische K urven 93 1 Typen von ebenen Kubiken, die in drei Geraden zerfallen . . . .. 95 2 Schnittverhalten der Neillschen Parabel mit den Koordinatenachsen 97 3 Ebene Kubiken, die in einen Kegelschnitt und eine Gerade zerfallen 99 4 Ebene K ubiken mit Singularitaten. . . . 100 5 Gruppenstruktur auf einer ebenen Kubik 112 Kubische Flachen 116 1 Konfigurationen von Geraden in einer Kubik, die in einer Ebene enthalten sind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 2 Zerfallende Hyperebenenschnitte auf einer glatten Kubik 124 3 Quadratischer Kegel ............ . . . . . . . . 128 4 Konstruktion von Transversalen auf einer glatten Quadrik 128 5 Teil der Konfiguration der 27 Geraden auf S . . . . . . . . 129 Theorie der Kurven 132 1 Kurve vom Geschlecht 9 145 KapitelO Einleitung In der linearen Algebra studiert man Losungsmengen von linearen Gleichungssy stemen: wobei aij, bl Elemente eines Korpers k sind. Fiir solche Gleichungssysteme wird eine vollstandige Theorie entwickelt, die genaue Aussagen tiber die Existenz von Losungen und die Struktur der Losungsmenge macht. Mit Hilfe symmetrischer Matrizen klassifiziert man auBerdem affine und projektive quadratische Hyper flachen n n L L aijXiXj + bixi + c = o. i,j=l i=l Wahrend in der Theorie der linearen Gleichungssysteme die Eigenschaften des Grundkorpers k keine wesentliche Rolle spielen, ist bereits die Klassifikation der Quadriken stark abhangig davon, ob man tiber Roder C arbeitet. In der Algebra studiert man die LOsbarkeit von Polynomgleichungen beliebigen Grades: (ai E k). Die Frage nach der LOsbarkeit hangt nun stark von dem Grundkorper k abo Will K. Hulek, Elementare Algebraische Geometrie © Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig/Wiesbaden 2000
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