Electromagnetismo - Teoria

276 Pages·1976·13.622 MB·Portuguese

by  João Resina Rodrigues

Eng. JOAO RESINA RODRIGUES
Nov. 1976

:2UIJJ I -
1 -
n.. nto ele C()isas,
-
~· ,a que as coisas sao corpos, G~lileu (sfc.XVI-
) a
. , - . . , i ·
mou UT!lR pos se1:1.a ern 1i.l-r;ima ana ise
ulas rnateri is. Note-se oue,ainda hoje,
st;;3 t:'_Do ao estudar aqueles ca-
em oue não intervém a lei da gravita-
-
,a noçao 1le C3.2po r1e fo~çr1s~l~c1(1.a r1esses ca-
op~o e sêc.V a.e. per Lsuci~0 G Demó
a. qual o 1_1r1ivfl.1~so é 1.:i.m conJu:nto d_e átornos q_l:te se mo-
vôrr1 e cf1()C.~lm t1r1s com os out~"OS no \,razio.
tJá a lei ela
(JDt-2-1'?27) ~esito~J_ d11r1.111te 10 em oublicar a lei da.
ç~o.orecisamenta nor ela lhe narncer ~uito estranha do o de vis
.. ~ .L ,_
(r!o caso do Sol e da 'l'erra a 150 milhões de km) sem que haja um
meio material qua a e? Não será absurdo que se excrqe instan
ta·neaF1ente? (~ue t de "r~Jalidade11 se uoie trilmir à po-
o do ca.mpo? Newton acabou
-
icqr a sua lei,dcclaran1o que r;ao se obrigado a i;-;i_~
f ,que era sobretudo uma ccnfissão de impotência, :foi
2
erguida pelos discípulos de Newton à dignidade de princiuio de
dologia científica. Era intenção de Newton (e nisso somos _forçado a
apoiá-lo) afirmar que uma lei que 'descreve correctamente a experiêQ
eia deve ser mantida,ainda que não se disponha de uma explicação iQ
tuitiva para ela.Na prática,tal atitude ajudou a que se conservasse
ao longo de todo o séc.XVIII a concepção de Leucipo.Mas eis que sll!:
gem novas dificuldades~trazidas desta vez pela Óptica:as interferên
cias,descobertas nos primeiros anos do séc.XIX,obrigam a considerar
a luz como um processo ondulatório.Ora,qual é a realidade que "ondu
la"?
Veio então ao de cima outra concepção,desde o séc.XVII nrouo~
Descartes: o universo seria um espaço comuletamente nreenchi
ta~por
do por matéria, uma espécie de f2;rande oceano: à. maneira do peixe na
água ou do avião ·no-~ar-; as coisas movem-se afastando a ·matéria à· sua
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frente. Esta conce.:p.ç_ào:.~tem a vantagem de. fornecer um meio onde se
nropaç;:a quer a luz,quer a :força da gravitação.Simplesmente,põe difi
culdades tão árduas ou mais que as anteriores: o estudo do (não) amo.!:
tecinento da luz nermite concluir que ·a meio no qual ela se nropaga
entre o Sol e a 'l'erra~:=:a.ev9 ter uma rü:;idez nuitas vezes superior à
que admitir que;na ausência de forças, um
éorpo se desloca:com-movimento uniforme através deste meio.
E surgiu uma terceira concepção, igualmente estranha do ponto
de vista da nossa e'xperiência diária. O universo será feito, não de
um,mas de dois ingredientes,as partículas e o 9ampo.O camuo é contí
nuo, pode armazenar enerR:ia e transmitir acções físicas~ mas não tem
as propriedades que costumamos reconhecer nas partículas.~ uma pura
questão de terminologia saber se a palavra "matéria" se deve anlicar
ao campo ou unicamente às partículas. O que importa sublinhar é aue
nesta concepção partículas e campo são os constituintes reais do
universo físico. f; ah1da possível admitir,comEinstein eSchrõdinger,
que o campo é a única realidade fundamental, e que as partículas nao
-
sao mais do que singularidades do campo.
rar que est~ terc ira concepçao
er .int
,
te nela muito de bom,e que e e dis
J:,ste bosquejo de hist6ria leva-nos a reJ:'lectir sobre o oue si
s que nerrnita~ descrever
o narece-nos vedaJ0 pela natureza das coi
~XIX,este
descrito à custa de "f
a n.ossr1 intu~ic.;âo "a.lirnentad.a t1es-de El :infância r:~ela experi•Ae nci• a
,
a Mecãnica Quântica BO e; de estudar llTI1
di~ens~es.A vesar dos esfor
BÍ<lO
qus :Je
-
ÇOtJS
ia entre os símbolos e a exneriência sao Rs leis
----·-··------
________ ::.:::..:.:: ..· .. :.:::·:~-_) , e que 38 leis exr)eriment ais se podem decluzir de um pequf_
no sistema de outrns eouações muito gerais (as k~§_ _ .!~1:":S1. .ª i:tJ:e1:i__~~:h_~ ou
e··ois,..ce
. ---
s pelas lnis exnerimentais e S:..'~I"'..:1:'. .Q l?g
pela concord~ncia entre o sistema te6rico e a expari&ncia.
Procurar novos fac.tos, isolar neles
m2dida,criar aparelhos,sstabelecer as quaçons que correlacionam os
resultados das medidas,6 o objecto da f-1ost;r·ar
-
que as leis da J.CR eI.~:~r11e11tal sao si s t en1a d.. cts
leis fundamentais é o ecto (la
-
~ rl;::.'~
&
(que o n so pensam nto as de ~ a muit dj
-
represen aç~o i~tui iva) (( o ds,~::! s
• Em surna,saber Fi i a ~ a t _ e mais s0ber se e clr:ts
,
se articulam com a exo8ri CJ.a; e (; poss
E um facto (e contra factos argumentos ..• ) que as leia
da Física s~o muito e icadas sob a forma de equaç~es
,_
m.:3.s bast.e.. nte s es sob a forTa de equaçoes diferenciais, em
~ essa a raz~o que leva o f 1co a utilizar cons--
tante:nente o cálculo rne.is
ica e e q 1.1a Q o-- e s clifere:nci.!3.is on1-1. na,
rias ,o ElectrorruJ.'':IH:':timno tem de en~1r0,;;ar equar;Ões diferenciais a' s
derivadas parciais (t de ?é~ ordem). Isto resulta de que o movi
menta de uma .:teu.la se faz se o uma lin"ha ~ao passo q•rn o cam
no interessa o espaço segundo todas as direcç~es.
(*) Mais precisament;e .eqn_ações finitas (não diferenc1Jlis)
. ' .
as var:i.aveJ_s n O lJE3 is11 ,)s t.
(3T~) Por !as oquaçoes do movimento dum ta dao r e G em
função de t através de expresé>Ões complicadas. Pelo o, a lei
fundamental da dinâmicR exprime simplesmEmte que a for<~a é
ci· onai a' a eri·v ac1 a d. e 2-.~, oro,e m d2r-J/,c I t2 a t ,cave' s e1 e um coe_r 1· .c·1 en_v.__ e m
que de apüJ1ns da u.lac Ce.ct-;J.!nen.te 011e se r.10·:1.e c·;·;amar ir
mas isso nao resolve o sompre ue integrar duas ·<.rezes
-
,
obter uma expressao em que so as coordenadas e o tempo.
Vala a pena recordar que o e culo infinitesimal foi criado
.
por Newton e por Leibniz com a' I~e;3 ão ele problemas I~ 'J .SlCOS.
l
-
sa.a n.oço s .E'? ;.~iO
~ t s para a f ica e para a t~cn a.
o
)
s
.
que genera' iizar Bff
-
.Adm1t1remos que,salvo mençao "m con-
- • (.;'1, -jS;)
S8.0 eon.t eJ_S •
2.1-
a o casb dum escalar.Para fixar as ideias,suponharnos que se
Q da temoeratura em •·.', .~_e: -·--~._· _ ~:: Ó do esp8ÇQ ·-r' -.; v" , '~r 3. 'nP v"'D~_ -?"V "·u .s G·~-- Il ---
- .
t ao T ='J::(P).Ou,o )
Pil?.r& estudar a maneira como T em torno de o
roduzir a noçio de
r~cti'.i rhifinida por (P 0 , Ü). A t~l!lp~ratnra ao J.ongo dos os de:istl!l.
a ir de P ,poaitivamente no senti-
0
rr.
do de Define-se entio,como babit
mente,a derivada de T em ordem a s.Ch11
e representi-la-ernos cor
Trata-se agora de saber corno ee
relacionam umas com as outras as deri-
vedas em P dirigidas
0
de!'lfinida por ul!i ero real que ~ invari-
510 de coordenadnrs •. A t e ratura, que do
d.~l.S coor·c1~~r1:t:idas z~dg:s 1 é um ___ ~se ,
~ um n r~al,m s nao so de ~ corno ao sis-
é
®8 -
s se o sabe se corr~cta do real deve ou
à custa de
a rl~ ho,j e , lillS oes
:re>corr~ a e1<1.s i:ité que 513'
!!11 + +
e' P :t:r u. . ~:n vet;tor tal que
-+ _..,.
d.T -"" T • clP (1)
(2)
E CliH'O
...
"o T .. _,, "àT ....
e l + ?~'./,;- e2 + ,,,...,,,..,,.,.,,,,.,,..,._ 83 (3)
â rox2 0x3
o,a direcção s~gundo a qua.l
------- -__,,,
d ima ~ a direcçio do vector grad T o valor
absoluto dessa derivada ma é dada pelo m6dulo de
enfim,os T crescem se o sentido de
--------? t- 3
T. No espaço ,o ge rico
:e__,
õS\f
dos ta.ia que 'I'(P) "'cta é um.a :;:;u-
perf!cie (no caso do , 1.una o uper-
de (1) que o
v~ctor é 0'm cada o nornuü à
~4
ie T(P) "'cte que passa por esse ponto.
-
Rec a~seja d~do um vect;or ao dti o-!!{> "" -CS (P) •
P@rgu:nta-se em que ciii.so existirá uma função de ponto escalar U "'U(P)
-----U.
tl!'!.l que -~ (P) "' Sendo cJ. i as componentes ca:rtasis.n&B orto-
(10 í':M coord''.H:rnd@1a ~ o ~vector as componentes cova-
ô'r
caso as,obt e
~~o
onde os . -;;,. , . os vectoras de base e os u--;... aao os ve·:.
tores uJ1itari.os es. i
par~ ~ua ~B o oont ça que
"')
(
\ ~
inte ao longo de \{) .I ter~ s -nca
r ·----:>
os integrais do tipo I -- J~:r> dP.
que o trabalho que uma força relií.li-
IP
Zll. q·.t~ndo de loca o i;,eu po.nto
linha \ y ) ê
u ;
deste tipo.No caso par-
iden),diz-se que o <e, = ~ ;:/ • ~iP 1:>epre
.,1-o
do peecu.ri:rn (f) •
Em .Ulll int de linha depende,na-o apenas do vector --~--'>
(l<.'t)
linha {r) . (Por catna dos os,
entre duas e
-
d~ existir uma ao
•) -------7
tal que e:/. -- _fg r-a--d U, tem--se
------u. d:t
=
:ri
-
..... ;:.:oc• •: c •. -::. .....: :• .: c::.::o.:::c , o i n t e B r at 1 :n & o do p!llrcurso, e fica d.et
o dos valores de U nos inicial @ • Diz--··813
_
___,,
qu.e c::i é UI! v-act or ou linda que U.M
l -..;_ ..
p
dP
(~) ta do que se 1iiz e'-:i 1.2 que P) = • d.10.0 p o
!iX<ildO amente,e o inte o
d.e D!iO a que linha unindo P a P.
o
voz conhecidas as equaçoes para•~ as da linhR,que sao
_i
.... trs-~ns:formrt.l\11 o
8
.EQtencial ee_~. Por razoes de ordem física ,convém i:'ientificar
o p;tencial,não çom U,mas co• V • -U • Tem-se então
";/. • -grad V (6)
(7)
2.3-Fluxo de u• vector através de uma superfície
.°..".. • -'>
Dado illl vector o<(P) e uma superfície elementar d.S ,
define-se !luxo el:=entar de e-:ravés de d.S como o escalar
.... -=t
... d~ • D( • N dS (8)
onde N é o vector unitirio normal a d.S.
Dada a superficie S ,aberta ou rectlada,define-ee !luxo de o~(
,..
através de S coao
11
4> = ~ .N dS (9)
Convencionaremos que, no. c_aeo de S ser fechada, N será em cada. ponto
dirigida do interior para o exterior.
-+
O leitor verificará que,no caso de ~ representar a veloci-
dade ·:f(PJ da·particula de um fluido no ponto P, d~ representa o
volume de fluido que atravessa dS na unidada de teapo,e ~ o exce
dente do volu•e que sai aobre o volume que entra através de S na
·: ,de,11s1d.lde de co4rente~ ·
unidade de te•po. Se ~· fôr o vecto:X J • ~; , e• que ,_ ~ é a :nua15sa
especifica do fluido no ponto P,d~ representa a massa do fluido
que atravessa dS na unidaae de tempo.Definiremos adiante u• vector L,
cha•ado vector de Poynting,tal que d~ representará a energia que
flui atrav~s de dS na unidade de tempo.
2.4-Divergência 4e ua vector.
.....
~
Seja u~ vector ~ • ~(P) e o seu !luxo ~
através de uma superfície fechada S,que deli-
aita ~ voluae v. POr :sio da una superfícia
S' ,dividl.llos o voluae v em·doie volumes v1 e
v2 tais que V n Vl + v2•