Elastizitätstheorie: Grundlagen der linearen Theorie und Anwendungen auf eindimensionale, ebene und räumliche Probleme PDF
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Leitfäden der angewandten Mathematik und Mechanik Hans Georg Hahn Elastizitätstheorie Grundlagen der linearen Theorie und Anwendungen auf eindimensionale, ebene und räumliche Probleme Hans Georg Hahn Elastizitätstheorie Leitfäden der augewandten Mathematik und Mechanik Unter Mitwirkung von Prof. Dr. E. Becker t Prof. Dr. G. Hotz, Saarbrücken Prof. Dr. P. Kall, Zürieh Prof. Dr. Dr.-Ing. E. h. K. Magnus, München Prof. Dr. E. Meister, Darmstadt Prof. Dr. Dr.h . c. F. K. G. Odqvist t herausgegeben von Prof. Dr. Dr. h. c. H. Görtler, Freiburg Band 62 Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH Elastizitätstheorie Grundlagen der linearen Theorie und Anwendungen auf eindimensionale, ebene und räumliche Probleme Von Dr. rer. nat. Hans Georg Hahn o. Professor an der üniversität Kaiserslautern Mit 109 Bildern Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 1985 Prof. Dr. rer. nat. habil. Hans Georg Hahn Geboren 1929 in Augsburg. Studium der technischen Physik an der TH Mlinchen, 1963 Promotion und 1970 Habilitation fUr Technische Mechanik. Assistent, Oberingenieur und wissenschaftlicher Rat am Mechanisch-Technischen Laboratorium der THjTU MUnchen. Seit 1965 Vorlesungstatigkeit Uber Spezialgebiete der Mechanik. Seit 1973 o. Professor fUr Technische ~echanik an der Universităt Kaisers1autern. CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek Hahn, Hans Georg: Elastizitătstheorie : Grundlagen d. linearen Theorie u. Anwenduugen auf eindimensionale, ebene u. răum!. Probleme / von Hans Georg Hahn. (Leitfăden der angewandten Mathematik und Mechanik ; Bd. 62) ISBN 978-3-663-09895-9 ISBN 978-3-663-09894-2 (eBook) DOI 10.1007/978-3-663-09894-2 NE:GT Das Werk ist urheberrechtlich geschtitzt. Die dadurch begrtindeten Rechte, besonders die der Ubersetzung, des Nachdrucks, der Bildentnahme, der Funk sendung, der Wiedergabe auf photomechanischem oder ăhnIichem Wege, der Speicherung und Auswertung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei Verwertung von Teilen des Werkes, dem Verlag vorbehalten. Bei gewerblichen Zwecken dienender Vervielfă1tigung ist an den Verlag gemaf. § 54 UrhG eine Vergiitung zu zahlen, deren Hiihe mit dem Verlag zu verein baren ist. © Springer Fachmcdicn Wicsbadcn 1985 Ursprunglich erschienen bei B. G. Teubner, Stuttgart 1985 Satz: Elsner & Behrens GmbH, Oftersheim Zechnersche Buchdruckerei, Speyer Vorwort Die ,,klassische" lineare Elastizitätstheorie, wie sie in diesem Buch behandelt wird, stellt nach wie vor die wichtigste Grundlage für die meisten festigkeitsmechanischen Berech nungen in der Technik dar. Hierin liegt ihr unbestrittener Wert und auch die Veranlas sung, sie heute noch zu lehren und zu lernen. Ausgehend davon ist dann der Weg frei fiir Erweiterungen und Verbesserungen der Berechnungsrundlagen, wo dies wünschenswert erscheint. Der vorliegende Text fußt auf Vorlesungen, die ich seit langem vor Ingenieurstudenten höherer Semester gehalten habe. Da es sich in diesem Buch um eine Einfuhrung handelt, bin ich bemüht gewesen, stets die Anschaulichkeit vor dem mathematischen Apparat in den Vordergrund zu stellen. Zum Verständnis genügen elementare Kenntnisse der Ana lysis sowie der technischen Mechanik, wie sie im Grundstudium an Technischen Univer sitäten vermittelt werden. Einige Bemerkungen über den Inhalt des Buchs sowie die Art der Behandlung des Stoffs fmden sich in der Einleitung. Bei der Fertigstellung des Manuskripts und der Abbildungen sowie bei der Korrektur wurde ich von meinen Assistenten, insbesondere Herrn Priv.-Dozent Dr. H. A. Richard, bestens unterstützt. Ihnen allen gebührt mein herzlicher Dank, ebenso wie Frau E. Jeblick für die Schreib-und Kopierarbeiten, ferner dem Verlag für sein Eingehen auf meine besonderen Wünsche. Das Buch möge dem Andenken meiner akademischen Lehrer Ludwig Föppl (1887-1976) Walther Kaufmann (1887-1965) Winfried Otto Schumann (1888-1974) gewidmet sein! Kaiserslautern, im Herbst 1984 H. G. Hahn Inhaltsverzeichnis 0 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1 Statische und kinematische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.1 Kontinuum und Bewegungen des Kontinuums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2 Spannungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.2.1 Spannungsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.2.2 Spannungstensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.2.1.1 Normal-und Tangentialspannungen. 1.2.2.2 Spannungs- zustand in einem Punkt. 1.2.2.3 Eigenschaften des Spannungs- tensors. 1.2.2.4 Transformation der Komponenten des Spannungstensors 1.2.3 Gleichgewichtsbedingungen der Spannungen . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.2.3.1 Kräfte-und Momentengleichgewicht am infinitesimalen Element. 1.2.3.2 Alternative Herleitung der Gleichgewichts bedingungen. 1.2.3.3 Gleichgewichtsbedingungen am Rand 1.2.4 Hauptrichtungen und Rauptspannungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.2.4.1 Hauptnormalspannungen. 1.2.4.2 Hauptschubspannungen 1.2.4.3 Oktaederspannungen 1.3 Verschiebungen und Verzerrungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1.3.1 Bewegungen eines Kontinuums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1.3.2 Lagrange sehe und Eu 1 er sehe Darstellung . . . . . . . . . . . . 37 1.3.3 Verzerrungstensoren als Maß für die Verformung . . . . . . . . . . . . 38 1.3.3.1 Lagrange scher und Eu 1 er scher Verzerrungstensor. 1.3 .3 .2 Physikalische Deutung der Verzerrung. 1.3 .3 .3 Infinite- simale Verzerrungen 1.3.4 Hauptrichtungen und Hauptdehnungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 1.3.5 Infmitesimale Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 1.3.6 Berechnung der Verschiebung aus .den Verzerrungen . . . . . . . . . . 48 1.3.6.1 Verträglichkeitsbedingungen. 1.3.6.2 Ces a r o -Integral. 1.3.6.3 Anzahl der Verträglichkeitsbedingungen 2 Stoffgesetz der Elastizitätstheorie (Beziehung zwischen Spannungen und Verzerrungen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.1 Allgemeines über Stoffgesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.2 Elastisches Materialverhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.2.1 Verzerrungsenergie und elastisches Potential . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.3 Linear-elastisches oder Ho o k e sches Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 2.3.1 Verallgemeinertes Ho o k e sches Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 8 Inhaltsverzeichnis 2.3.2 C 1 a p e y r o n sehe Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.3.3 Alternative Herleitung des verallgemeinerten Ho o k e sehen Gesetzes aus dem elastischen Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 2.4 Verallgemeinertes Ho o k e sches Gesetz ftir isotropes Material . . . . . . . . . 62 2.4.1 Zusammenhang mit der Verzerrungsenergie . . . . . . . . . . . . . . . . 64 2.4.2 Formulierung mit alternativen elastischen Konstanten . . . . . . . . . 65 2.4.3 Deviatorkomponenten von Spannung und Verzerrung . . . . . . . . . 66 2.5 Thermoelastisches Stoffgesetz flir isotropes Material . . . . . . . . . . . . . . . 68 3 Grundgleichungen der Elastizitätstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.1 Randwertprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.2 Na vier sehe Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 3.3 B e 1 t r a mi-M ich e 11 sehe Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 3.4 Formulierung der Grundgleichungen in krumm1inigen Koordinaten . . . . . 76 3.4.1 Zylinderkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 3.4.2 Kugelkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.5 Eindeutigkeit und Existenz der Lösungen elastischer Randwertprobleme . . 79 3.5.1 SatzvonClapeyron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 3.5 .2 Eindeutigkeitsbeweis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 4 Energiebetrachtungen (Energiesätze der Elastizitätstheorie) . . . . . . . . . . 82 4.1 Thermodynamische Zusammenhänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 4.2 Verzerrungsenergie für linear-elastisches Material . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 4.3 Prinzip der virtuellen Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 4.3.1 Virtuelle Verschiebungen, virtuelle Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 4.3.2 Prinzip der virtuellen Verschiebungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 4.3 .3 Prinzip der virtuellen Kräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 4.3.4 Bedeutung der Prinzipien der virtuellen Arbeit . . . . . . . . . . . . . . 92 4.4 Folgerungen aus dem Prinzip der virtuellen Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . 94 4.4.1 Prinzip vom stationären Wert der potentiellen Energie . . . . . . . . . 95 4.4.2 Prinzip vom stationären Wert der Ergänzungsenergie . . . . . . . . . . 98 4.4.3 Sätze von Cast i g 1 i an o, Engesser und M e n ab r e a. . . 100 4.4.4 Reziprozitätssätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 4.4.4.1 Satz von B e t t i. 4.4.4.2 Satz von M a x w e1 1 5 Allgemeine Lösungsansätze für die Grundgleichungen . . . . . . . . . . . . . . 105 5.1 Verschiebungsfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 5 .1.1 Skalar-und Vektorpotentiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 e 5 .1.2 L a m sches Dehnungspotential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 Inhaltsverzeichnis 9 5.1.3 Ga 1 er kinscher Vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 5.1.4 Sonderfälle des Ga 1 er kinsehen Vektors, Love sehe Verschiebungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 5.1.5 LösungsansatzvonPapkovich und Neuber .......... 114 5 .1.6 Rotationssymmetrische Probleme, Lösungsansatz von Boussinesq .................................. 117 5.2 Spannungsfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 5 .2.1 M a x w e 11 sehe Spannungsfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 5.2.2 Morerasehe Spannungsfunktionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 5.2.3 Allgemeiner Ansatz von Be 1 t r a m i, F in z i und Weber 120 6 Überblick über weitere Lösungsverfahren der Elastizitätstheorie . . . . . . . 122 6.1 Inverse und serni-inverse Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 6.2 Methode der komplexen Spannungsfunktionen in der ebenen Elastizi tät sthe orie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 6.3 Lösungen mit Integraltransformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 6.3 .1 Allgemeines über Integraltransformationen .......... : . . . . . 125 6.3.2 Anwendungen auf Elastizitätsprobleme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 6.4 Näherungs-und numerische Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 6.4.1 Analytische Näherungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 6.4.1.1 Ritz sches Verfahren. 6.4.1.2 Erweiterungen und Abwandlungen desRitz sehen Verfahrens 6.4.2 Methode der finiten Elemente (MFE) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 6.4.2.1 Verschiebungsmethode der MFE. 6.4.2.2 Die MFE als Variationsmethode 6 .4.3 Randintegralgleichungsverfahren ("Boundary Element Method", kurz BEM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 7 Eindimensionale Probleme: Axialbelastung, Biegung und Torsion prismatischer Stäbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 7.1 Problem von S t. V e n an t für homogene prismatische Körper (Zylinder) 144 7.2 Axialbelastung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 7 7.3 Reine Biegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 7.3.1 Verformungen bei reiner Biegung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 7.4 Torsion prismatischer Stäbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 7.4.1 Elementare Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 7 .4.2 Nichtkreisförrnige Querschnitte, Verwölbungsfunktion . . . . . . . . 156 7 .4.3 Pr an d t 1 sehe Torsionsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 7.4.4 Zusammenhang zwischen Verwölbungsfunktion und P r a n d t 1 scher Torsionsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 10 Inhaltsverzeichnis 7 .4.5 Beispiele für Lösungen des Torsionsproblems flir verschiedene Querschnittsformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 7 .4.5 .1 Elliptischer Querschnitt. 7 .4.5 .2 Näherung für schmales Rechteck. 7 .4.5 .3 Gleichseitiger Dreieckquerschnitt. 7.4 .5 .4 Rechteckquerschnitt 7.5 Formulierung des Torsionsproblems mit Funktionen komplexer Veränderlicher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 7.5 .1 Komplexe Veränderliche und analytische Funktionen . . . . . . . . . 170 7.5 .2 Grundgleichungen der Torsion in komplexer Darstellung . . . . . . . 172 7.5 .3 Beispiele zur Ermittlung des komplexen Potentials . . . . . . . . . . . 173 7.6 Querkraftbiegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 7.6.1 Allgemeine Formulierung des Biegeproblems und Berechnung der Schubspannungsverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 7 .6.2 Schubmittelpunkt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 7.6.3 Verformungen bei Querkraftbiegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 7 .6.4 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 7 .6.4.1 Kreisquerschnitt. 7 .6.4.2 Ellipsenquerschnitt. 7 .6.4.3 Rechteckquerschnitt 8 Ebene (zweidimensionale) Probleme der Elastizitätstheorie. . . . . . . . . . . 192 8.1 Grundgleichungen der Elastizitätstheorie flir EVZ und ESZ . . . . . . . . . . 193 8 .1.1 Ebener Verzerrungszustand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 8 .1. 2 Ebener Spannungszustand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 8.1.3 Grundgleichungen flir EVZ und ESZ in ebenen Polarkoordinaten. . 198 8.2 A i r y sehe Spannungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 8.2.1 Darstellung in Kartesischen Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 8.2.2 Darstellung in ebenen Polarkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 8.3 Verschiebungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 8.3.1 Darstellung in Kartesischen Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 8.3.2 Darstellung in Polarkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 8.4 Methode der komplexen Spannungsfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 8.4.1 Grundgleichungen der ebenen Elastizitätstheorie in komplexer Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 8.4.1.1 Ho o k e sches Gesetz und Gleichgewichtsbedingungen. 8.4.1.2 K o 1 o s soff sehe Formeln. 8.4.1.3 Randbedingungen. 8.4.1.4 Drehung des Koordinatensystems. 8.4.1.5 Transforma- tion auf Polarkoordinaten 8.4.2 Allgemeine Struktur der komplexen Spannungsfunktionen . . . . . . 215 8.4.2.1 Einfach zusammenhängender endlicher Bereich. 8.4.2.2 Mehrfach zusammenhängender endlicher Bereich. 8.4.2.3 Unendlicher Bereich
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