Elastizität und Festigkeit im Rohrleitungsbau: Statische Berechnung der Rohrleitungen und ihrer Einzelteile

388 Pages·1953·16.232 MB·German

by  Dipl.-Ing. Helmut von Jürgensonn VDI (auth.)

Elastizität und Festigkeit
im Rohrleitungsbau
Statische Berechnung der Rohrleitungen
und ihrer Einzelteile
Von
Dipl.-Ing. Helmut von Jürgensonn, VDI
Obel'ingenieur, Diisseldorf
Zweite neubearbeitete Auflage
Mit 236 Abbildungen, 38 Zahlentafeln
und 31 Zahlenbeispielen
Springer -Ver lag
Berlin / Göttingen / Heidelberg
1953
ISBN 978-3-642-52904-7 ISBN 978-3-642-52903-0 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-642-52903-0
Alle Rechte, insbesondere das der Übersetzung
in fremde Sprachen, vorbehalten_
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dieses Buch odm' Teile daraus auf photomechanischem Wege (Photokopie,
::\1ikrokopie) zu vervielfältigen.
Copyright 1940 and 1953 by Springer-Verlag OH G., BerlinfGöttingenfHeidelberg.
Softcover reprint ofthe hardcover 2nd edition 1953
Vorwort zur zweiten Auflage.
Trotz der starken Nachfrage, die im Zusammenhang mit dem Wie
deraufbau der deutschen Industrie bald nach dem Kriegsende ein
setzte, konnte die längst fällige zweite Auflage dieses Buches aus
verschiedenen Gründen leider erst jetzt fertiggestellt werden. Die
Bearbeitung der vierten Auflage des für einen noch größeren Leserkreis
bestimmten "Handbuch der Rohrleitungen" hatte zweifellos den Vor
rang. Außerdem behinderten längere Auslandstätigkeit sowie starke
berufliche Inanspruchnahme die Durchführung dieser Aufgabe.
In der zweiten Auflage dieses Buches sind einige weniger wichtige
Abschnitte über die als bekannt anzusehenden Grundbegriffe der
Festigkeitslehre sowie verschiedene theoretische Entwicklungen wesent
lich gekürzt worden, um mehr Raum für neue inzwischen aufgetauchte
Probleme zu gewinnen, wie z. B. zeitabhängige Festigkeitseigenschaf
ten bei hohen Temperaturen, der Spannungszustand in dickwandigen
Rohren unter Berücksichtigung der voll- bzw. teilplastischen Ver
formungen, Formfaktoren für Berechnung von Abzweigstücken usw.
Auf vielseitigen Wunsch ist auch ein Abschnitt der Berechnung räum
lich schiefwinkliger Systeme gewidmet, der durch ein vollständig
durchgerechnetes Beispiel veranschaulicht ist. Im übrigen blieb die
bewährte Gliederung des Buches bestehen.
Es ist für mich eine selbstverständliche Pflicht, an dieser Stelle
meines verehrten, auf so tragische Weise ums Leben gekommenen Vor
gesetzten und langjährigen Mitarbeiters - des Herrn Direktors
F. SCHWEDLER, - zu gedenken, dem ich stets verständnisvolles
Entgegenkommen und bereitwillige Unterstützung meiner Arbeiten
zu danken habe.
Desgleichen möchte ich auch meinem Mitarbeiter, Herrn Dipl.-Ing.
R. FRANZL, für seine Unterstützung bei der Untersuchung verschiedener
theoretischer Fragen und bei der Sichtung und Auswertung auslän
dischen Schrifttums danken.
Dem Springer-Verlag gebührt mein besonderer Dank für die Aus
stattung des Buches und das verständnisvolle Eingehen auf meine
Wünsche.
Düsseldorf, im März 1953.
H. Y. JÜrgensonn.
Aus dem Vorwort zur ersten Auflage.
Die in den letzten Jahren erfolgte äußerst rasche Entwicklung
des Hochdruck-Rohrleitungsbaues und die starke Inanspruchnahme
aller, besonders der technischen Fachkräfte, machte das Fehlen eines
zusammenfassenden Werkes über die statische Berechnung von Rohr
leitungen und ihrer Einzelteile besonders unangenehm bemerkbar. Die
genaue Kenntnis der Elastizität der Rohrleitung gewinnt mit steigenden
Betriebsdrücken und Temperaturen an Bedeutung. So vielseitig und
umfangreich zum Teil die in dieser Beziehung auftauchenden Probleme
sind, so wenig Zeit hat gewöhnlich der in der Praxis stehende Ingenieur,
sich die erforderlichen Berechnungsgrundlagen selbst zu schaffen.
"Aus der Praxis für die Praxis" war der Leitfaden für die Ent
wicklung dieser Arbeit. Das Buch ist daher auch in erster Linie für den
mit dem Entwurf oder der Bauleitung einer Rohrleitungsanlage beauf
tragten Ingenieur bestimmt. Deswegen sind bei der Behandlung des
Stoffes nur die notwendigsten theoretischen Entwicklungen berück
sichtigt. Es wurde der größte \Vert darauf gelegt, solche Berechnungs
verfahren auszuwählen bzw. zu entwickeln, die ein Mindestmaß an Zeit
und Mühe erfordern und eine hohe Genauigkeit besitzen. Gleichzeitig
war es wichtig, die Rechenarbeit selbst in eine Norm einzufügen, die an
die Überlegung und Aufmerksamkeit des Rechnenden die geringsten
Anforderungen stellt.
Soweit wie möglich wurden dafür auch Linientafeln ausgearbeitet.
Zahlreiche Rechenbeispiele erläutern die praktische Anwendung der
gegebenen Richtlinien.
Es erschien nicht angebracht, den theoretischen Aufbau der Berech
nungsverfahren ganz fallen zu lassen, da sonst das Verständnis der
inneren Zusammenhänge beeinträchtigt und die Beurteilung der Gren
zen der Gültigkeit und Genauigkeit erschwert wäre. Besonders bei einem
eingehenderen Studium dieses Gebietes würde man das Fehlen der
theoretischen Grundlagen als Mangel empfinden.
Es muß zugegeben werden, daß ungeachtet der weit fortgeschrit
tenen technischen Entwicklung doch noch einige Fragen offen bleiben,
die einer gründlichen Erforschung wert sind. Als Beispiel sei nur die
einwandfreie, auf wirklichkeitsgetreuen Annahmen aufgebaute Berech
nung fester Flansche, oder die genaue Spannungsermittlung in Falten
rohrbogen genannt, wofür bisher fast keine theoretisch nachprüfbaren
Versuchswerte vorliegen. Das sind Aufgaben, die einer späteren ruhi
geren Entwicklungszeit vorbehalten bleiben.
Berlin, im Oktober 1940.
H. v. JÜrgensonn.
Inhaltsverzeichnis.
Seite
Einführung. . . . . . . . . . . . 1
A. Festigkeitsberechnung der Rohre 3
I. Allgemeine Grundlagen. 3
1. Grundbegriffe der Festigkeitslehre 3
2. Einfluß der Temperatur und der Zeit 4
3. Kerbschlagzähigkeit . . . . . . . . . 10
11. Rohrwerkstoffe und ihre Eigenschaften 10
1. Unlegierte und legierte Rohrstähle 10
2. Elastizitätsmodul . . . . . . . . . . . . 15
3. Begriff der Sicherheit. . . . . . . . . . 17
III. Einfluß von Druck und Temperatur auf die Rohrwand 18
1. Ermittlung der Wanddicke für einfache Fälle . 19
2. 'Vanddickenberechnung für dickwandige Rohre 23
3. Spannungsverteilung in dickwandigen Rohren unter Innen·
druck .................. .
4. "\Vanddickenberechnung für Sonderfälle (Abzweigstücke) . 48
5. Einfluß der Wärmespannungen im Rohr . 54
IV. Die Wärmedehnung und ihr Ausgleich 56
1. Allgemeine Grundlagen . . . . 56
2. Künstlicher Dehnungsausgleich . 58
a) Stopfbüchsenausgleicher . 59
b) Linsenausgleicher . . . . . 59
c) Metallschlauchausgleicher . 59
d) Kugelgelenkkompensatoren 62
e) Lyrabogenausgleicher . . . 62
3. Natürlicher Dehnungsausgleich 62
4. Rechnerische Grundlagen für die vYärmedehnung 65
5. Begriff der Vorspannung . . . . 67
B. Elastizitätsberechnung der Rohrleitungen. . . . . . . . 69
I. Berechnungsgrundlagen . . . . . . . . . . . 69
1. Biegungsmoment und BiegnngsspallllUng im Rohr 69
2. Drehmoment und Drehspannung im Rohr. . . . 74
11. Berechnung der Elastizität von ebenen Rohrsystemen 77
1. Grundbegriffe der Berechnung . . . . . . . . . 77
a) Ebene Rohrsysteme mit Gelenkfestpunkten . . . . . .. 78
b) Ebene Rohrsysteme mit Einspannfestpunkten . . . .. 89
c) Ebene Systeme einerseits eingespannt, andererseits mit Ge·
lenkfestpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
d) Zusammenfassender Vergleich der bisherigen Annahmen 95
2. Biegungsverhältnisse im gekrümmten Rohr . . . . . . . 97
a) Querschnittsabplattung und KARMANsche Zahl . . . . 98
b) Einfluß der KARMAN·Theorie auf die Spannungsverhältnisse
in Bogenrohren . . . . . . . . . . . 104
c) LORENzsche Zahl . . . . . . . . . . III
d) Berechnungsgrundlagen für Bogenrohre 112
VI Inhaltsverzeichnis.
Seite
3. Verschiedene Berechnungsverfahren ebener Rohrsysteme 116
a) Berechnungsvorschlag des Verfassers. . . . . . . 117
b) Berechnungsverfahren nach MARBEC . . . . . . . 154
c) Berechnungsart nach M. CUTCHAN und S. CROCKER 165
d) Verfahren nach C. T. MITCHELL . . . . . 188
e) Verfahren nach F. PEITER und M. J. FISH . . . . 195
f) Berechnung von Sondel'fällen . . . . . . . . . . 197
g) Kritischer Vergleich der behandelten Berechnungsverfahren. 206
IH. Berechnung der Elastizität räumlicher Syste me 211
1. Berechnungsgrundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
2. Berücksichtigung der Bogen in räumlichen Systemen. . . . . 215
3. Verschiedene Berechnungsverfahren für räumliche Rohrsysteme 219
a) Berechnung nach ABEL. . . . . . . . . . . 219
b) Berechnungsvorschlag des Verfassers. . . . . 236
c) Berechnung nach M. CUTCHAN und S. CROCKER 261
d) Berechnung nach MITCHELL. . . . . . . . . 278
e) Berechnung windschiefer Systeme nach MÜLLENHOFF 282
f) Kritischer Vergleich der Berechnungsverfahren . . . 299
IV. Zusammenfassende Beurteilung der Elastizitätsberech-
nung . . . . . . . . . . . . . . . . 300
1. Einfluß von Druck und Temperatur . 300
2. Zusammensetzung der Beanspruchungen 304
a) Größtspannungshypothese. . . 304
b) Größtdehnungshypothese . . . . 304
c) Größtschubspannungshypothese . 305
d) Gestaltsänderungsenergiehypothese 306
e) Praktische Anwendung . . . . . 308
C. Berechnung der Flansche und Flanschvcrbindungcn 311
1. Allgemeine Grundlagen . . . . . . . 311
1. Grundsätzliche Bauarten . . . . . . . . 311
2. Vorspannung mit Betriebsbelastung . . . . 313
a) Belastungsfall mit gleichen Federwerten 316
b) Belastungsfall mit ungleichen Federwerten :31 7
3. Der Dichtungsdruck . . . . . . . . . . . . 323
4. Werkstoffauswahl und Eigenschaften . . . . 327
5. Temppraturverteilung innerhalb der Flanschverbindung. 329
11. Elastizität innerhalb der Flanschverbindung 333
1. Federwert der Schrauben 334
2. Federwert des Gewindes 335
3. Federwert der Flanschen 338
a) Lose Flanschen. . . . 339
b) Feste Flanschen . . . 340
4. Federwert der Dichtung und der sonstigen Teile. 344
IH. Beanspruchung innerhalb der Flanschverbindung 351
1. Beanspruchung der Schrauben. . . . . . 351
2. Beanspruchung der Flanschen . . . . . . 357
a) Berechnung nach DIN 2506 bzw. 2505 . 357
b) Vorschlag vpn TIMOSHENKO. . . . . . 359
c) Vorschlag von E. SIEBEL und SCHWAIGERER 361
d) Einige weitere Berechnungsvorschläge 362
3. Wärmespannungen in einem Flansch 365
4. Lebensdauer der Flanschverbindung . . 369
Verzeichnis der Zahlenbeispiele. VII
Verzeichnis der Zahlenbeispiele.
I
Beispiel Gegenstand Seite
1. Wanddicke für DIN-Rohr NW 200 für 50 atü 100° C . . 20
2. Wanddicke für Hochdruckrohr NW 150 für 80 atü 475° C 30
3. Wanddicke für Hochdruckrohr NW 200 für 130 atü 5350 C 31
4. Spannungsverteilung im dickwandigen Rohr bei 600° unter teil-
plastischer Verformung. . . . . . . . . . . . . . . .. 43
5. Berechnung eines Abzweigstückes NW 300 mit Abzweig NW 200 54
6. Temperaturspannung in der Rohrwand . , . . . . . . . .' 55
7. Z-Bogen beiderseits mit Gelenkfestpunkten ......... ! 88
8. Z-Bogen einerseits eingespannt andererseits mit Gelenkfestpunkt 94
9. Querbiegespannungen nach KARMAN für Z-Bogen aus Beispiel 7 109
10. Aufnahmefähigkeit eines U-Bogen-Kompensators. . . . . .. 132
11. Winkelbogen beiderseits mit Einspannfestpunkten (Berechnung
mittels Linientafeln) . . . . . . . . . . . . . . . . .. 135
12. Unsymmetrischer Z-Bogen sonst wie Beispiel II . . . . . .. 140
13. Z-Bogen aus Beispiel 7 jedoch genaue Berechnung unter Berück-
sichtigung der Bogenabflachung mit Einspannfestpunkten .. 145
14. Schwanenhalsbogen bestehend aus 2 Teilen mit verschiedenen
Rohrdurchmessern . . . . . . . .. ....... 147
15. Z-Bogen aus Beispiel 13 mit Hilfe des MAltBEc-Verfahrens . 161
16. Winkelbogen aus Beispiel II mit Hilfe des Verfahrens von
CUTCHAN (biegungssteife Ecken). .......... 174
17. Turbinenanschlußbogen nach dem Verfahren von CUTCHAN (un-
ter Berücksichtigung der Rohrbiegungen) . . . . . . . .. 179
18. Bogen aus Beispiel 7 mit Hilfe des Verfahrens von MITCHELL 194
19. Z-Bogen aus Beispiel 18 mit Hilfe des Verfahrens von PEITER
und FISH " ................ _ . . . .. 196
20. Sonderfall eines Verteilungssystems mit 3 Festpunkten nach dem
Verfahren von CUTCHAN . . . . . . . . . . . . . . . .. 198
21. Räumliches System nach dem Vorschlag von ABEL (mit biegungs-
steifen Ecken) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
22. Räumliches System nach dem Vorschlag des Verfassers unter
Berücksichtigung der Bogen . . . . . . . . . . _ . . 244
23. i Räumliches System aus Beispiel 22 nach dem Verfahren von
CUTCHAN. . . . . . . . . . . _ . . . . . . . . " .. 264
24. Räumliches System in Anlehnung an das Verfahren von MITCHELL 28(}
25. Räumliches System mit windschiefen Bogenteilen nach dem Ver-
fahren von MÜLLENHOFF. . . . . . . . . . . . . . . .. 283
26. Zusammensetzung der Beanspruchungen nach den verschiedenen
Hypothesen . . . . . . . . . . 310
27. Durchbiegung eines losen Flansches. . . . . . . . . . . .. 342
28. Durchbiegung eines festen Flansches . . . . . . . . . . " 343
29. Verspannungsverhältnis einer Flanschverbindung gemäß Beispiel
27 und 28. . . . . . . . . . . . 346
30. Wärmespannungen im Flanschteller . . 368
31. Lebensdauer einer Flanschverbindung. 372
Yln Yerzeichnis der Zahlentafeln.
Verzeichnis der Zahlentafeln.
Nr. Gegenstanu Seite
1 Kerbschlagzähigkeit. ........... 10
2 Röhrenstähle ; Eigenschaften aus Kurzversuch . . 12
3 Röhrenstähle ; Eigenschaften aus Langzeitversuch 14
4 Werkstoff-Kennwerte und Sicherheits-Beiwerte. . . . 29
5 Berechnu·ngsschema für die Kriechspannung in dickwandigen
Rohren unter Innendruck . . . . . . . . . . . . . . . .. 44
6 Gemessene Dehnungs-Höchstwerte an Rohraushalsungen . .. 51
7 Reaktionskräfte und Biegungsspannungen für ebene Rohrsysteme I
mit Gelenkfestpunkten . . . . . . . . . . . . . . . . . I 86
8 Zusammenstellung von Trägheits- und Zentrifugalmomenten für
beliebige Bogen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 114
9 Trägheits-, Zentrifugal- und statische Momente für Bogen und
gerade Teile ebener Systeme (Vorschlag des Verfassers) . .. 120
10 Formel für verschiedene Belastungen eines einerseits eingespann-
ten Rohres. . . . . .. ........ _ . . . . .. li 1
11 Normal vorkommende Rohrbogenbelastungen im rechtwinkligen
System _ . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
12 Rohrbogenbelastungen im schiefwinkligen System . . 222
13 Beiwerte nach ABEL für räumliche Systeme . . . . . 22fi
14 Formelzusammenstellung für Berechnung räumlicher Systeme
nach dem Vorschlag des Verfassers . . . . . . . . 231:'
15 Zuordnung der Momente und Wirkungsebenen . . . . 25;5
16 Zusammenstellung der Belastungsfälle für ebene und räumliche
1
Systeme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
17 Zusammenstellung der Integrale nach MÜLLENHoFF. . . . .. 284
18 Auswertung der Integrale . . . . . . . . . . . . . . . .. 293
19 Schema für die Aufstellung der Gleichungen nach MÜLLENHoFF 29tj
20 Faktoren der Elastizitätsgleichungen für Beispiel 25 . . . .. 297
21 Lösung der Elastizitätsgleichungen mittels des GAussschen Al-
gorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
22 Ermittlung der Faktoren (zu Zahlentafel 21) . . . . . . 298
23 Aufstellung der auftretenden Spannungen im Rohr. . . 309
24 Zulässige Betriebsdrücke nach dem Berechnungsvorschlag von
SIEBEL und SOHWAIQERER (VGB) . . . . . . . . . 327
25 Eigenschaften der Flanschenstähle und von Stahlguß . . . :330
26 Eigenschaften von Bolzen- und Muttern-Stählen . . . . . 330
27 Temperaturverteilung in der Flanschverbindnng bei guter Iso-
lierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33:1
28 Federwerte für Whitworth-Gewinde nach DIN 11 337
29 Beiwerte für Gewindeberechnung nach MADuscHKA . 35:3
30 Belastung der Gewindegänge für 3/4" bis F/s" DIN 11 353
:31 Biegungs- und Schubspannungen im Gewinde DIN 11 354
32 Dichtungskennwerte nach VGB . . . . . . . 36:3
33 Formänderungsfestigkeit von Dichtungswerkstoffen nach VGB :363
34 Vergleich der Ergebnisse verschiedener Flanschberechnungen 364
35 Trägheitsmomente von Rohrquerschnitten . 376
36 Trägheitsmomente von Rohrquerschnitten . . . . . . . .. 377
37 Trägheitsmomente von Rohrquerschnitten . . . . . . . .. 378
38 Bogenlängen (R = 1) und die wichtigsten zugehörigen Integrale 379
Einführung.
Die Verwendung höchster Drücke und Temperatur im Rohrleitungs.
bau bedingt eine genaue Kenntnis aller auftretenden Kräfte und Span.
nungen, die einerseits durch den Betriebsdruck und andererseits durch
die Wärmedehnung hervorgerufen werden. Schon beim Entwurf der
Rohrleitungsanlage soll der Konstrukteur jeden einzelnen Teil nach
wirtschaftlichen Gesichtspunkten genau prüfen, um ein Höchstmaß an
Betriebssicherheit mit einem Mindestmaß an Aufwand zu erzielen.
Dazu ist eine genaue Berechnung der Anlage unerläßlich.
Die im folgenden behandelten Fragen verdanken ihre ausführliche
Klärung in erster Linie der Entwicklung der Höchstdrucktechnik. Hier
besteht in besonderem Maße die Notwendigkeit, die zu erwartenden
Kräfte und Beanspruchungen rechnerisch so genau wie möglich zu er·
fassen, um die Bemessung und die Werkstoff aus wahl sinnvoll vor
nehmen zu können. Dieses Buch soll dazu dienen, diese Aufgabe schnell
und sicher durchzuführen. Auch die Verwendung der DIN-Normen
entbindet den Konstrukteur nicht von der Verpflichtung zur rechneri
schen Nachprüfung, soweit es sich um Anlagen für Temperaturen über
4000 C handelt.
Selbstverständlich können die gleichen Berechnungsverfahren sinn
gemäß auch für Rohrleitungen niederer und mittlerer Drücke und
Temperaturen angewandt werden.
Der Höchstdruck-Rohrleitungsbau hat sich den Forderungen der
Industrie entsprechend äußerst rasch und stetig entwickelt. Die in
zwischen gesammelten Erfahrungen und durchgeführten theoretischen
Untersuchungen haben es ermöglicht, auch Hochdruckanlagen für
mehr als 6000 C Dampft emperatur erfolgreich zu bauen. Es ist klar, daß
Anlagen für so hohe Temperaturen und entsprechend hohen Druck
(160 atü) nur bei sorgfältigster Berechnung jedes einzelnen Teiles ohne
Risiko gebaut werden können.
Der Wärmedehnungsausgleich erfordert aber bei allen Rohrlei
tungsanlagen für Heißdampf eine sehr genaue Kenntnis der auftreten
den Beanspruchungen und Kräfte, und diesem Aufgabengebiet ist daher
ein breiter Raum im vorliegenden Buch gewidmet.
v. Jürgensonn, Elastizität. 2. Auf!. 1
2 Einführung.
Die besonderen Bedingungen des deutschen Rohstoffmarktes
fordern nach wie vor ein sparsames und wirtschaftliches Bauen. enter
Zuhilfenahme der theoretischen Erkenntnisse müssen die zur Ver
fügung stehenden Werkstoffe sorgsam ausgewählt und ihren Eigen
schaften entsprechend soweit wie möglich ausgenutzt werden. Trotz
dem muß höchste Betriebssicherheit als oberster Grundsatz gewähr
leistet sein, was eben nur durch genaue Berechnung jedes Teiles der
Anlage möglich ist.
Im folgenden sind die für den Konstrukteur wichtigen Grundlagen
und Berechnungsverfahren gezeigt. Größter Wert wurde auf die Er
fordernisse der Praxis gelegt, indem der einfachste Rechnungsgal1g
unter Angabe der Genauigkeit und der Anwendungsgrenzen erläutert
wird. Bei der Entwicklung einzelner Formeln, die zum Verständnis
notwendig sind, mußten allerdings die Grundbegriffe der technischen
Mechanik und der höheren Mathematik als bekannt vorausgesetzt
werden. Für die praktische Anwendung ist aber eine durchaus einfache,
allgemeinverständliche Form gewählt, die durch zahlreiche Linien
tafeln noch anschaulicher und für den Benutzer bequemer gemacht ist.
An durchgerechneten Beispielen kann die Anwendung leicht verfolgt
werden.
In dem in- und ausländischen Schrifttum finden sich verstreut in
Zeitschriften und Abhandlungen mehr oder weniger zweckmäßige Be
rechnungsverfahren für die Ermittlung der Wärmespannungen in
Rohren, Beanspruchungen in Flanschen usw. Diese sind vielfach sehr
umständlich und eignen sich daher wenig für die praktische Anwendung.
Aufgabe dieses Buches ist es, in erster Linie solche Rechnungsarten
zu entwickeln, die möglichst bequem und einfach im Gebrauch sind
und trotzdem eine genügende Genauigkeit besitzen. Neben eigenen
werden au eh die im Schrifttum behandelten Berechnungsarten be
sprochen und die Gründe für etwaige Abweichungen in den Ergeb
nissen aufgezeigt. Die Beispiele wurden nach Möglichkeit so gewählt,
daß an Hand der zahlenmäßigen Ergebnisse die Gleichartigkeit oder
Verschiedenheit der Verfahren deutlich wird. Auch läßt sich auf Grund
der zahlenmäßigen Durchrechnung am besten beurteilen, welche
Rechnungs\veise in bezug auf Einfachheit und Genauigkeit den jewei
ligen Erfordernissen am besten entspricht. Außerdem sind besonders
interessante und lehrreiche Fälle aus der Praxis des Verfassers zahlen
mäßig durchgerechnet.