El agujero negro de Kerr

36 Pages·2017·0.66 MB·Spanish

TrabajoFindeGradoenF´ısica
El agujero negro de Kerr
Juan Antonio Guerrero Montero
UniversidaddeGranada
Juniode2017
Tutor:BertJanssen
DepartamentodeF´ısicaTeo´ricaydelCosmos
UniversidaddeGranada
Abstract
The Kerr metric is a solution of Einstein’s equations that describes
spacetime around a rotating black hole. In this project, we will apply
the laws and techniques of General Relativity to describe it in depth.
Firstly, we will present the theoretical foundations that will be needed
throughouttheproject,illustratingthemwithexamplesextractedfrom
the simplest case, Schwarzschild’s black hole. We will emphasize the
importance of Killing vectors as tools for describing the structure of a
black hole and the constants of motion of particles moving in its sur-
roundings. Secondly, all these concepts will be applied to Kerr’s black
holeinordertodescribeitsgeometryandcausalstructure,payingespe-
cial attention to regions like the event horizon and the ergosphere and
phenomena like frame dragging. Lastly, we will find the constants of
motion of test particles around Kerr’s black hole using the formalism
ofKillingvectorsandtensors,withourmainfocusbeingCarter’scons-
tant, its origin and its physical meaning. We will apply our findings to
thestudyofgeodesics,thetrajectoriesoftestparticlesintheKerrspace-
time.
´
Indice
1 Introduccio´n 3
2 Fundamentos:ElagujeronegrodeSchwarzschild 4
2.1 Me´tricaycurvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 VectoresdeKillingysimetr´ıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2.1 Simetr´ıasyleyesdeconservacio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2.2 Observadoresestacionariosyesta´ticos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3 Estructuracausal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3.1 Singularidadesf´ısicasydecoordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3.2 Horizontedesucesos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3.3 Superficiedel´ımiteestacionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.4 Geode´sicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3 ElagujeronegrodeKerr 11
3.1 Lame´tricadeKerrendistintossistemasdecoordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.1.1 LascoordenadasdeBoyer-Lindquist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.1.2 LascoordenadasdeKerr-Schild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.2 VectoresdeKillingysimetr´ıasenKerr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.3 EstructuracausaldelagujeronegrodeKerr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.3.1 Singularidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.3.2 Horizontesdesucesos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.3.3 Arrastredesistemasinerciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.3.4 Superficiesdel´ımiteestacionario:Ergosfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.3.5 ElprocesodePenrose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.3.6 Aproxima´ndonosalagujeronegrodeKerr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4 TensoresdeKillingylaconstantedeCarter 22
4.1 TensoresdeKilling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.2 EltensordeKillingdelame´tricadeKerrylaconstantedeCarter . . . . . . . . . . . 24
4.2.1 Ca´lculodeltensordeKillingdelespaciodeKerr . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.2.2 L´ımitesdeltensordeKilling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.2.3 LaconstantedeCarter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5 Geode´sicasenelespaciodeKerr 27
5.1 Geode´sicasenelplanoecuatorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5.1.1 Geode´sicasecuatorialesnulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5.1.2 Geode´sicasecuatorialestemporales:3ªLeydeKepler . . . . . . . . . . . . . . 32
5.2 Geode´sicasgenerales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
6 Conclusiones 34
3 1 INTRODUCCIO´N
1 Introduccio´n
Losagujerosnegrosfueronteorizadosporprimeravezenelmarcodelameca´nicaNew-
toniana.AfinalesdelsigloXVIII,Laplaceformulo´ laideadeque,siunobjetoeralosufi-
cientemente denso, la velocidad de escape en su superficie fuera mayor que la de la luz,
loquesupondr´ıaquefueracompletamentenegroparaunobservadorlosuficientemente
lejano. Sin embargo, al imponerse a lo largo del siglo XIX el concepto de luz como onda
sinmasa,estaideafuedescartada.
Estehecho,meramenteanecdo´ticoenelmarcodelameca´nicacla´sica,cobro´ unnuevo
significadocuandoEinsteinpropusosuteor´ıadelaRelatividadGeneralen1915.Enesta
teor´ıa la gravedad es modelada como un efecto geome´trico que afecta al movimiento de
la luz y no so´lo al de la materia masiva, y que viene modelada por las ecuaciones de
Einstein.Enella,existensoluciones(posiblesgeometr´ıasdelespacio-tiempo)queposeen
unasingularidad,unpuntodedensidadycurvaturainfinitas.Enestassolucioneslazona
alrededordelasingularidadtieneunacurvaturatanelevadaquenisiquieralaluzpuede
escapardeellayporlotantosemuestranegraaalexterior:sonagujerosnegros.
La primera solucio´n obtenida de las ecuaciones de Einstein fue la obtenida por Karl
Schwarzschilden1916,ydescribeelagujeronegroma´ssencillo,queposeesimetr´ıaesfe´ri-
cayesesta´tico.Pocodespue´s,en1918,ReissneryNordstro¨mdescubrieronlasolucio´nque
llevasusnombres,quedescribeunagujeronegroesfericoyesta´ticoqueposeeunacarga
ele´ctricanonula.Durantevariasde´cadas,lainvestigacio´nteo´ricaenelterrenodelosagu-
jerosnegrosquedo´ estancada,enpartedebidoalainfluenciadeEinstein,quesenegabaa
creerquelosagujerosnegrosfueransolucionesf´ısicamenterealistasdesusecuaciones.
Tras la muerte de Einstein, durante los an˜os 60 y 70, s´ı que se produjo un enorme
desarrollo en el campo, con la demostracio´n de numerosos teoremas. Entre ellos esta´n el
teoremadela´rea,demostradoporStephenHawkingen1971yqueafirmaqueela´readel
horizonte de sucesos de un agujero negro nunca puede disminuir en un proceso cla´sico,
yqueayudo´ aenunciarlasLeyesdelaTermodina´micadelosagujerosnegroscla´sicos,en
las que se establec´ıan paralelismos entre caracter´ısticas propias de los agujeros negros y
variablestermodina´micas.Tambie´nHawkingenuncio´ juntoaRogerPenroseunaseriede
teoremassobrelassingularidadesqueestablecenbajoque´ condicionespuedelagravedad
crear puntos de curvatura infinita. Otro teorema de intere´s es el de “no pelo” enunciado
por John Wheeler con su famosa frase “A black hole has no hair”, y que afirma que todo
agujero negro esta´ un´ıvocamente determinado por su masa, carga ele´ctrica y momento
angular alrededor de su propio eje. Fue en este contexto de grandes avances cuando, en
1963, el matema´tico neozelande´s Roy Kerr descubrio´ una solucio´n de agujero negromu-
cho ma´s compleja que la de Schwarzschild o la de Reissner-Nordstro¨m, que describe un
agujeronegroenrotacio´n.En1965,EzraNewmanfueunpasoma´salla´ yhallo´ unasolu-
cio´nparaunagujeronegroqueesta´ ele´ctricamentecargadoyrotandosimulta´neamente.
Enlosor´ıgenesdelaRelatividadGeneral,losagujerosnegrosfueron,pues,considera-
doscomosolucionespuramenteteo´ricas,ynoobjetosf´ısicosreales.Sinembargo,apartir
de la segunda mitad del siglo XX los astrof´ısicos han observado numerosos feno´menos
que pueden ser explicados de forma convincente mediante la existencia de agujeros ne-
gros. Se propone que e´ste puede ser uno de los posibles desenlaces de la vida de una
estrella supermasiva tras un colapso gravitacional. Se teoriza adema´s que las ondas gra-
vitacionales detectadas por LIGO en 2016 provienen de la fusio´n de dos agujeros negros
2 FUNDAMENTOS:ELAGUJERONEGRODESCHWARZSCHILD 4
devariasmasassolares.Existeevidenciaadema´squeexistenagujerosnegrossupermasi-
vos(demillonesdemasassolares)enloscentrosdemuchasgalaxias.Lautilidadpra´ctica
deestosconceptosteo´ricossehacepatente.
Ma´sau´n,losagujerosnegrossonconceptosimportantestambie´nenlavanguardiade
laf´ısicateo´rica.Lainvestigacio´nenposdeunateor´ıadegravedadcua´ntica,elmayorreto
de la f´ısica teo´rica de nuestro siglo, se centra en el estudio cua´ntico e informacional de
losagujerosnegros,yaquee´stossonloslugaresdeluniversodondelosefectoscua´nticos
de la gravedad ser´ıan ma´s apreciables. Ya en los an˜os 70 se dieron los primeros pasos
en la caracterizacio´n cua´ntica de los agujeros negros con la radiacio´n de Hawking, y se
hanalcanzadoresultadosdegranimportanciaenlosu´ltimosan˜os,comoelprincipioho-
logra´fico, que relaciona la informacio´n contenida en un agujero negro con el a´rea de su
horizontedesucesos.Sindudalosagujerosnegrosseguira´nsiendountemacentralenla
f´ısicateo´ricaenlospro´ximosan˜os.
A lo largo de este trabajo, estudiaremos en profundidad la solucio´n de Kerr para un
agujeronegroenrotacio´n.E´staconstituyelasolucio´nma´sf´ısicamenterealistadetodaslas
mencionadasanteriormente,yaquelosobjetosastrof´ısicosengeneralnosonesta´ticosni
tienen carga ele´ctrica neta. En primer lugar, presentaremos los fundamentos teo´ricos de
laRelatividadGeneralilustra´ndolosconsuaplicacio´nalagujeronegrodeSchwarzschild.
Acontinuacio´n,estudiaremoslame´tricadeKerrylaestructuracausalypropiedadesque
emanan de ella. Posteriormente, describiremos el movimiento de part´ıculas test alrede-
dor del agujero negro en trayectorias geode´sicas, haciendo incapie´ en las constantes de
movimientoquedefinensustrayectoriasyensuobtencio´nformal.
2 Fundamentos: El agujero negro de Schwarzschild
En esta primera seccio´n nos disponemos a introducir los conceptos fundamentales que
sera´n necesarios en la descripcio´n completa de un agujero negro (o un espacio-tiempo
cualquiera)enelmarcodelaRelatividadGeneral.Paraello,acompan˜aremostodosestos
conceptos de su aplicacio´n al caso no trivial ma´s sencillo: el agujero negro de Schwarz-
schild,caracterizadoporseresta´ticoyesfe´ricamentesime´trico.
En la teor´ıa de la Relatividad General, la interaccio´n gravitatoria se modela como un
efecto geome´trico de la curvatura del espacio-tiempo cuatridimensional. La descripcio´n
matema´tica se realiza pues en el marco de la geometr´ıa diferencial y a trave´s del tensor
me´trico g ,quedeterminadichacurvatura.
µν
LasecuacionesdecampodeEinstein,herramientafundamentalenlaRelatividadGe-
neral,relacionanestadescripcio´ngeome´tricadelespacio-tiempoconsuspropiedadesf´ısi-
cas:
1
R g R = 8πG T . (2.1)
µν µν N µν
− 2 −
En ellas, R y R = R gµν son el tensor y el escalar de Ricci, respectivamente, que
µν µν
sonfuncionesdeltensorme´tricoydesusderivadasparciales, G eslaconstantedegra-
N
vitacio´n Newtoniana y T es el tensor de energ´ıa momento, que describe el contenido
µν
deenerg´ıaymateriadelespacio-tiempo.Todoslostensoresinvolucradossonsime´tricos.
Se trata de un sistema de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales, cuadra´ticas y
de segundo orden, por lo que cuando Einstein las enuncio´ (en 1915) penso´ que nunca
se encontrar´ıa una solucio´n. Sin embargo, tan so´lo un an˜o despue´s, Karl Schwarzschild
6 CONCLUSIONES 34
Tenemos pues que la constante de Carter surge de forma natural como constante de
separacio´nalaplicarelformalismodeHamilton-JacobialLagrangianogeode´sicodeKerr
encoordenadasdeBoyer-Lindquist,ydehechoe´staeslaformaenlaquefuedescubierta
porprimeravez.Estehechosedebealagranadecuacio´ndeestesistemadecoordenadasa
lassimetr´ıasdeKerr.Cabesen˜alarquesibienlaconstantesurgedeunaformamuchoma´s
directaatrave´sdeesteme´todo,suaparicio´nescompletamenteaccidental:so´loelforma-
lismo de Killing nos permite atribuirle un origen matema´tico profundo y un significado
f´ısico(algodifuso).
Siahorahacemoslassiguientesdefiniciones,
R(r)Θ=(θ)Q= Qr2−δ+a2c1os2rθ2δ+−aa222siEn22+θEa22−L2L2Zs4iMn−a2rθL E , (5.35)
− − Δ Z− Z
� �
� �
podemosexpresarnuestrosresultadoscomo
∂Sθ = √Θ = Σθ˙
∂θ (5.36)
∂Sr = √R = Σr˙,
∂r Δ
quesonlasecuacionesdiferencialesdeprimerordenaresolvernume´ricamentesisedesea
simular el movimiento de part´ıculas en el espacio de Kerr, junto con las ecuaciones 5.2
para t y ϕ. En ellas, los signos de las ra´ıces cuadradas pueden ser elegidos independien-
temente.
Porotrolado,continuandoconnuestroestudioanal´ıtico,laexpresio´nparaSteniendo
encuentalasecuaciones5.36quedadelasiguientemanera:
1 r θ
S(t,r,θ,ϕ;τ) = δτ+Et L ϕ+ √Rdr+ √Θdθ. (5.37)
Z
−2 −
� �
Tenemosunafuncio´nprincipalquedependedecuatroconstantesdemovimiento:δ,E,
L y Q.DelformalismodeHamilton-Jacobi,sabemosquelasecuacionesdemovimiento
Z
de nuestra part´ıcula se obtienen de igualar a cero las derivadas de S respecto a estas
constantes.Lascondicionesdeducidassonlassiguientes:
∂S = 0 = θ 1 dθ = r 1 dr
∂Q ⇒ √Θ √R
∂∂Sδ = 0 =⇒ τ = −� θ a2√coΘs2θd�θ− r √r2Rdr
∂S = 0 = t = θ a2sin2θ�Edθ r 2(r2+a�2)2E−4MarLZdr (5.38)
∂E ⇒ √Θ − Δ√R
∂S = 0 = ϕ =� θ LZsin−2θd�θ+ r 2a2LZ−2MarEdr.
∂LZ ⇒ − √Θ Δ√R
� �
El estudio teo´rico de una familia de geode´sicas concreta se podr´ıa continuar a partir
deaqu´ıimponiendosobreesteconjuntolascondicionesparticularespertinentes.
6 Conclusiones
El agujero negro de Kerr presenta numerosas caracter´ısticas de intere´s. A nivel teo´rico,
es una de las soluciones de las ecuaciones de Einstein con una estructura causal ma´s ri-
ca, presentando caracter´ısticas que no podemos encontrar en agujeros negros ma´s sen-
cillos, como el de Schwarzschild. Entre estas caracter´ısticas esta´n el arrastre de sistemas
35 6 CONCLUSIONES
inerciales,queprovocaquepart´ıculassinmomentoangularorbitalrotenalrededordela
singularidad, o la separacio´n entre el horizonte de sucesos y la superficie de l´ımite esta-
cionario,quesuponelaexistenciadeunaergosferaylaposibilidaddeextraertrabajodel
agujero negro a trave´s del proceso de Penrose. Sus geode´sicas presentan caracter´ısticas
muy complejas tambie´n, como la barrera de potencial que aparece en el plano ecuatorial
para part´ıculas sin masa. Ma´s au´n, el agujero negro de Kerr ha impulsado el desarrollo
formaldelaRelatividadGeneralencuestionescomolostensoresdeKilling,graciasalas
preguntasqueabrio´ eldescubrimientodelaconstantedeCarter.
Anivelpra´ctico,lasolucio´ndeKerresunadelasma´su´tilesenladescripcio´ndeobje-
tosastrof´ısicos.Puestoquedescribeelespacio-tiempoalrededordeunobjetomasivo,de
carganeutrayenrotacio´n,esmuyu´tilenladescripcio´ndesistemasconestascaracter´ısti-
cas, tales como estrellas de neutrones o agujeros negros supermasivos. Supone por tanto
unadelasdescripcionesma´sprecisasdelagravedadalrededordeunagranvariedadde
objetosastrof´ısicos.
Ma´sdecienan˜osdespu´esdesuformulacio´nteo´ricaenelmarcorelativista,losaguje-
rosnegroscontinu´ansiendounmisterio.Suobservacio´nesunatareacomplicada,sibien
existen numerosas evidencias observacionales de su existencia. El desarrollo de nuevas
te´cnicas superprecisas, como las que han permitido la observacio´n de ondas gravitacio-
nales por LIGO en 2016, nos permitira´n arrojar luz al respecto, y tal vez nos permitan
estudiar sus caracter´ısticas con mayor precisio´n. En todo ello, las predicciones teo´ricas
otorgada por la Relatividad General de Einstein y en particular por la me´trica de Kerr
ocupara´n,sinduda,unpapelcentral.
REFERENCIAS 36
Referencias
[1] MattVisser
TheKerrspacetime:abriefintroduction
arXiv:0706.0622[gr-qc](2007)
[2] SubrahmanyanChandrasekhar
TheMathematicalTheoryofBlackHoles
OxfordUniversityPress(1983)
[3] CharlesW.Misner,KitS.Thorne,JohnA.Wheeler
Gravitation
W.H.FreemanandCompany(1970)
[4] BertJanssen
Teor´ıadelaRelatividadGeneral
UniversidaddeGranada(Preprint)(2017)
[5] RayD’Inverno
IntroducingEinstein’sRelativity
OxfordUniversityPress(1992)
[6] GabrielaSleza´kova´
GeodesicGeometryofBlackHoles
PhDThesis,UniversityofWaikato(2006)
[7] ValeriaFerrari
GeodesicmotioninKerrspacetime
IstitutoNazionalediFisicaNucleare,SezionediRoma(2017)
[8] MartinWalker,RogerPenrose
OnQuadraticFirstIntegralsoftheGeodesicEquationsforType 22 Spacetimes
{ }
Commun.math.Phys.18,265—274(1970)
[9] LaneP.Hughston,PaulSommers
TheSymmetriesofKerrBlackHoles
Commun.math.Phys.33,129—133(1973)
[10] DavidGarfinkle,EdwardN.Glass
KillingTensorsandSymmetries
arXiv:1003.0019[gr-qc]
[11] FernandodeFelice,GiovanniPreti
OnthemeaningoftheseparationconstantintheKerrmetric
Class.QuantumGrav.162929–2935(1999)
[12] PhysicsStackExchange
https://physics.stackexchange.com/questions/315892/
killing-tensor-in-the-kerr-metric
[13] TexStackExchange
https://tex.stackexchange.com/questions/54830/
tikz-code-for-frame-dragging