Einstieg in die Hochschulmathematik: Verständlich erklärt vom Abiturniveau aus PDF
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Einstieg in die Hochschulmathematik Jürgen Wagner Einstieg in die Hochschulmathematik Verständlich erklärt vom Abiturniveau aus JürgenWagner Dresden Deutschland ISBN978-3-662-47512-6 ISBN978-3-662-47513-3(eBook) DOI10.1007/978-3-662-47513-3 DieDeutscheNationalbibliothekverzeichnetdiesePublikationinderDeutschenNationalbibliografie; detailliertebibliografischeDatensindimInternetüberhttp://dnb.d-nb.deabrufbar. SpringerSpektrum © Springer-VerlagBerlinHeidelberg2016 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklichvomUrheberrechtsgesetzzugelassenist,bedarfdervorherigenZustimmungdesVerlags. Das giltinsbesondere fürVervielfältigungen,Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungenund dieEinspeicherungundVerarbeitunginelektronischenSystemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigtauchohnebesondereKennzeichnungnichtzuderAnnahme,dasssolcheNamenimSinneder Warenzeichen-undMarkenschutz-Gesetzgebungalsfreizubetrachtenwärenunddahervonjedermann benutztwerdendürften. DerVerlag,dieAutorenunddieHerausgebergehendavonaus,dassdieAngabenundInformationenin diesemWerkzumZeitpunktderVeröffentlichungvollständigundkorrektsind.WederderVerlagnoch dieAutorenoderdieHerausgeberübernehmen,ausdrücklichoderimplizit,GewährfürdenInhaltdes Werkes,etwaigeFehleroderÄußerungen. Planung:MargitMaly GedrucktaufsäurefreiemundchlorfreigebleichtemPapier Springer-Verlag GmbH Berlin Heidelberg ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media(www.springer.com) MeineElternhabenmichzum selbstständigenDenkenerzogen,mein BruderbrachtemirdenUnterschied zwischenwesentlichundunwesentlichbei, meinMathematiklehrerLehmannließmich dieSchönheitderMathematikentdeckenund meineFraugabmirdie Zuversichtzum GelingendiesesBuches. DeshalbbinichdeninderReihenfolgeihres hilfreichenWirkensGenanntenzu besonderemDankverpflichtetundwidme ihnensowieunserenKinderndiesesBuch. MeinDankgiltebenfallsdem Springer-Verlagfürdiefreundlicheund kompetenteUnterstützungbeider ÜberarbeitungdesEntwurfsundder Layout-Gestaltung. Dresden,Mai2015 JürgenWagner Vorwort für Studierende LangistderWegdurchLehren, kurzundwirksamdurchBeispiele. LuciusAnnaeusSeneca WelchesZielverfolgtdiesesBuch? Die Zielgruppe für dieses Buch sind Studierende der Mathematik, der Natur- und Technikwissenschaften sowie der Informatik. Es soll helfen, die häufig auf- tretendenSchwierigkeiten imVerständnisderLehrveranstaltungen Mathematikan einerHochschuleamAnfangdesStudiumssowiebeimspätererfolgendenEinstieg inausgewähltezentraleThemenderFachausbildungzuverringern. WiewerdendieAbsichtenumgesetzt? IndenLehrveranstaltungenMathematikaneinerHochschulesowieinderFach- literatur dieser Disziplin ist es üblich, deduktiv vorzugehen und die zu einer DefinitionhinführendenÜberlegungenundAbsichtenmeistnichtzuerwähnen.Für einen Studierenden scheint es so, als ob die Definitionen „vom Himmel fallen“ und es bleibt ihr bzw. ihm nichts weiter übrig, als die eingeführte Begrifflich- keit zunächst zur Kenntnis zu nehmen und darauf zu hoffen, dass aus den danach erarbeiteten Sätzen, Bemerkungen und Anwendungen rückwirkend der Sinn der Begriffsbildungerschlossenwerdenkann. DieErkenntnisgewinnungindiesemBucherfolgtdagegenüberwiegendinduktiv, indemGesetzmäßigkeitenanSonderfällenoderBeispielenerarbeitetundanschlie- ßend verallgemeinert werden. Wir orientieren uns am ersten Satz des folgenden Zitats von Albert Einstein, die begriffliche Präzisierung und theoretische Fundie- rungüberlassenwirderFachausbildung:„Wennwiranetwasarbeiten,dannsteigen wir vom hohen logischen Roß herunter und schnüffeln am Boden mit der Nase herum. Danach verwischen wir unsere Spuren wieder, um die Gottähnlichkeit zu erhöhen.“ Die von uns gewählte Vorgehensweise ist in den Naturwissenschaften etabliert unddortdadurchlegitimiert,dasssiezueinerkonsistentenTheorieführenmuss,die sichinunterschiedlichenAnwendungensowiebeiderHypothesenbildungbewährt. Wir sind der Meinung, dass auch in der Mathematikausbildung in der Phase der ErsterarbeitungneuerInhaltederEinsatzderinduktiveMethodeberechtigtist,weil VII VIII VorwortfürStudierende damit das Erwerben von Verständnis sowie das Entstehen von Erfolgserlebnissen wesentlichgefördertwerdenkönnen. ZurRealisierungderintendiertenZielewirdfolgendermaßenvorgegangen: • Es wird an die in der Schule gelernten mathematischen Inhalte direkt ange- knüpft, indem Begriffserweiterungen benannt und neue Begriffe mit solchen Hintergrundinformationeneingeführtwerden,dasssieeinsichtigsind. • ZurErhöhungderVerständlichkeitwerdenVerfahrenundBegriffeantypischen BeispielenverdeutlichtunddurchvieleAbbildungenillustriert. • ImTextwerdenunterschiedlichegebräuchlicheNotationsformenvorgestelltund differierende Begriffsbildungen in unterschiedlichen Fachrichtungen oder Kon- texten thematisiert, um Verständnisschwierigkeiten zu reduzieren und Quellen vonMissverständnissenzubeseitigen. • Um den zentralen Gedankengang nicht zu zerstören, werden auf eine voll- ständige Theoriebildung sowie die exakte theoretische Fundierung verzichtet. Beweise werden sparsam an den Stellen eingesetzt, die eine zentrale Herange- hensweiseeinermathematischenTeildisziplinverdeutlichen. WassolldiesesBuchnichtleisten? NichtintendiertsindWiederholungendesSchulstoffs,dadiesbezüglicheLücken mithilfe von Schulbüchern und allgemeinen Nachschlagewerken eigenständig geschlossen werden können und müssen. Außerdem soll dieses Buch nicht die Lehrveranstaltungen der Hochschule ersetzen, sondern parallel zu diesen genutzt werden und entsprechend der genannten Zielsetzung helfen, häufig beobachtbare Verständnisschwierigkeitenzureduzieren. WieistdasBuchaufgebaut? DieinhaltlicheSchwerpunktsetzungzudiesemBuchergibtsichausdemerheb- lichenUnterschiedzwischendenimMathematikunterrichtderSchuleerworbenen Kompetenzen und den in vielen Fachbüchern und Vorlesungsskripten vorausge- setzten fachlichen und methodischen Kenntnissen. Auch Studentenforen verschie- denerFachrichtungenzeigendeutlich,wobesondersStudienanfängern„derSchuh drückt“. Das vorliegende Buch gliedert sich in vier Kapitel. Die ersten beiden Kapitel habendenCharakterderBereitstellungvonWerkzeugen,mitdeneninunterschied- lichenKontextengearbeitetwird,währendindenfolgendenbeidenKapitelnInhalte derSchulmathematikschrittweiseerweitertwerdenbiseinNiveauerreichtist,auf demaneinerHochschuleweitergearbeitetwerdenkann. DasersteKapitelerweitertdenZahlbegriff,indemdieausderSchulebekann- ten Zahlenmengen um die komplexen Zahlen ergänzt werden. Den Zugang bildet dasGleichungslösen,umanalogzudeninderSchulethematisiertenZahlbereichs- erweiterungen vorzugehen. Der Schwerpunkt liegt auf den unterschiedlichen Dar- stellungsformen komplexer Zahlen sowie auf der Berechnung komplexer Wurzeln undLogarithmen. VorwortfürStudierende IX ImzweitenKapitelwerdenMatrizenundihreDeterminantenthematisiert.Den AusgangspunktbildendasGauß’scheEliminationsverfahrenunddasGauß-Jordan- VerfahrenzurLösungvonlinearenGleichungssystemen,dieausderSchulebekannt sind. ImdrittenKapitelwerdendieVorkenntnisseausderAnalysisinandererWeise als in der Schulmathematik zusammenfassend strukturiert und erheblich erwei- tert. Dabei stehen der Gedanke der Linearisierung sowie der Begriff Differenzial imMittelpunktderBetrachtungen.DievonunsfavorisierteBetrachtungsweiseder AnalysisweistBezügezudenhistorischenWurzelnderInfinitesimalrechnungauf, besitzteinehoheAnschaulichkeitundistinverschiedeneRichtungendermodernen Mathematikerweiterbar. DasvierteKapitelzumThemaVektorenistdasmitAbstandumfangreichstein diesemBuch.Dasistdadurchbedingt,dassVektoreninunterschiedlichenDiszipli- nenbenutztwerdenunddiesinsehrunterschiedlicherWeiseerfolgt.Deshalbwer- den verschiedene Aspekte dieses Begriffs betrachtet und voneinander abgegrenzt, um Missverständnisse zu vermeiden. Wir knüpfen auch hier an die Vorkenntnisse aus der Schule zur Verwendung von Vektoren in der klassischen Physik und der euklidischenGeometriean. WiekannmitdemBuchgearbeitetwerden? DieeinzelnenAbschnittedesBucheswurdenunterBeachtungfachlicherErfor- dernissesokonzipiert,dasssieweitgehendunabhängigvoneinandersind.Diessoll dasgezielteNachschlageneinesinteressierendenInhaltesermöglichen. DieimTextenthaltenenHervorhebungenmitwesentlichenInhaltenundZusam- menfassungendienenderOrientierungundSchwerpunktsetzung,außerdembieten sie den Nutzern mit knappem Zeitbudget eine Überprüfungsmöglichkeit, ob das AuslassenvonTextpassagenmöglichist. Wenn das Studium des vorliegenden Buches zum Verständnis von Mathematik beiträgt und das Gehirn der Studierenden aus diesem Grund Glückshormone aus- schüttet,dannistseinZweckerfüllt. Dresden,Mai2015 JürgenWagner Vorwort für Dozenten Allesaufeinmaltuntuwollen, zerstörtallesaufeinmal. GeorgChristophLichtenberg DiesesBuchsolldensystematischenWissenserwerbaufdemfachwissenschaftlich notwendigenAbstraktionsgradderLehrveranstaltungenMathematikanHochschu- len unterstützen. Der Versuch, dabei die induktive Methode sowie die genetische Begriffsbildung in der Phase der Erstvermittlung mathematischer Inhalte auch an einerHochschuleeinzusetzen,istambitioniert.EristdurchdieHypothesemotiviert, dass durch dieses didaktische Vorgehen eine größere Anzahl von Studierenden als bisherzuVerständnisundErfolgserlebnissengelangenkönnen. DerAutoristderAnsicht,dassbesondersfürStudienanfängerdieüblicheAlge- braisierung der gesamten Mathematik eine extreme Herausforderung darstellt, da sie nach der Mathematikausbildung an einer allgemeinbildenden Schule weder über den dafür erforderlichen Abstraktionsgrad verfügen noch die Feinheiten der mathematischenFachspracheundNotationsformenbeherrschenkönnen. Insbesondere durch folgende Maßnahmen wird versucht, die Lehrveranstal- tungen der Hochschule zu flankieren, um den Studierenden das Verständnis zu erleichtern: • BeimBildeneinesBegriffswerdenunterschiedlicheAspektedesBegriffsinhalts und des Begriffsumfangs schrittweise eingeführt und es erfolgt ein Perspektiv- wechsel durch Thematisierung der unterschiedlichen Verwendung des Begriffs in verschiedenen Disziplinen. Mit der Definition eines Begriffs wird sparsam umgegangen,wenndiesemitschwerzuerfassendenBedingungenverbundenist oderwennsiediekomplizierteVerknüpfungmehrererandererabstrakterFachbe- griffeerfordert.AmBeispielvonDefinitionendesSkalarproduktsimAbschnitt „VektorenalsElementeeinesVektorraums“wirddenStudierendenexemplarisch gezeigt, wie eine Verknüpfung mit mehreren anderen abstrakten Fachbegriffen zweckmäßiganalysiertwerdenkann. • VordemAufstellenvonBehauptungenwerdeninderRegelHypothesendurch VerallgemeinerungenvonSpezialfällengebildet. XI XII VorwortfürDozenten • DasBegründenvonBehauptungenerfolgthäufigargumentativunterEinbezie- hungvonPlausibilitätsbetrachtungenstattinformellerNotation.IndiesenFällen wird auf den exakten Beweis in der Fachdisziplin hingewiesen. Im Abschnitt „Vektoren als Elemente eines Vektorraums“ werden einige Sätze bewiesen, um dietypischeVorgehensweisebeimFührenalgebraischerBeweisezuillustrieren. Damit die neu erarbeiteten Inhalte in einen an der jeweiligen Hochschule bevor- zugtentheoretischenRahmeneingebettetwerdenkönnen,sindimTextzusätzliche vertiefendeBemerkungenangeführt. Folgende Inhalte des Buches sind für die Studierenden nach dem erfolgrei- chen Abschluss der Schulausbildung neu und so aufbereitet, dass sie an deren Vorkenntnisseanknüpfen: • ImerstenKapitelsinddieEinführungderZahlenmengederkomplexenZahlen unddasRechnenmitdiesenZahlenneueInhalte.DieSchwerpunktsetzungdieses KapitelsorientiertsichanAnwendungen. • Das zweite Kapitel erweitert die Vorkenntnisse der Studierenden hinsichtlich unterschiedlicher Formen der Indexnotation, der Verwendung des Summen- symbols und der Einstein’schen Summenkonvention sowie der Berechnung der Determinante einer Matrix mithilfe des Levi-Civita-Symbols und der Leibniz- Formel. • ImdrittenKapitelwerdenanneuenInhaltenmehrstelligeFunktionen,partielle Ableitungen, Richtungsableitungen und kovariante Ableitungen sowie der Satz vonTaylorbehandelt. ImMittelpunktderBetrachtungenstehenderGedankederLinearisierungsowie der Begriff Differenzial, der sowohl in der Differenzial- als auch der Integral- rechnungalszentralerTerminusbenutztwird,daereineneinheitlichenZugang zurmodernenAnalysis,DifferenzialgeometrieundTopologiebietet. Bei Erfordernis können an der Hochschule Betrachtungen zur Fréchet- und Gâteaux-Ableitung für normierte Räume oder zur Cartan-Ableitung für Diffe- renzialformen direkt angeschlossen werden. Beim Satz von Taylor erfolgen im BuchkeineRestgliedbetrachtungen,deshalbwirdauchaufdieLandau-Symbole verzichtet. Mit der Berechnung des Gradienten eines Skalarfeldes wird ein grundlegen- derInhaltderVektoranalysisbetrachtet.DieBerechnungvonVektorfeldernund MehrfachanwendungendesNabla-OperatorsbauenaufdiesemInhaltauf,doch siewerdenindieFachausbildunganderHochschuleverlagert. • Die Erweiterung der Vorkenntnisse der Studierenden zu Vektoren im vierten Kapitel bezieht sich insbesondere auf die Unterscheidung zwischen kontrava- rianten und kovarianten Vektorkoordinaten, die Betrachtung von Vektoren in nichtaffinen Koordinatensystemen, tensorielle Produkte von Vektoren, Koordi- natentransformationensowieaufVektorenalsTensorenundalsElementeeines Vektorraums.DieBehandlungdualerVektorenindenAbschnitten„Verwendung affiner Koordinaten“ und „Vektoren als Elemente eines Vektorraums“ erfolgt aufunterschiedlichenAbstraktionsebenenundvordemHintergrundderAnwen- dungsorientierungbzw.dermathematischenTheoriebildung.
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