Einstein's General Theory of Relativity: With Modern Applications in Cosmology

539 Pages·2007·16.185 MB·English

by  Øyvind Grøn, Sigbjørn Hervik (auth.)

Einstein’s General Theory of Relativity
Øyvind Grøn Si gbjørn Hervik
Einstein’s General Theory
of Relativity
With Modern Applications in Cosmology
1 3
Øyvind Grøn Sigbjørn Hervik
Oslo University College Department of Mathematics & Statistics
Faculty of Engineering Dalhousie University
PO Box 4, St Olavs Pl. B3H 3J5 Halifax, NS
0130 Oslo Canada
Norway [email protected]
and
Institute of Physics
University of Oslo
PO Box 1048 Blindern
0136 Oslo
Norway

Library of Congress Control Number: 2007923152
ISBN-13: 978-0-387-69199-2 e-ISBN-13: 978-0-387-69200-5
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Contents
ListofProblems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xi
List of Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xv
Preface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. xvii
Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xi.x
I INTRODUCTION:
NEWTONIAN PHYSICS AND SPECIAL RELATIVITY . . . . . 1
1 RelativityPrinciplesandGravitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1 Newtonianmechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Galilei–Newton’sprincipleofRelativity . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 TheprincipleofRelativity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Newton’slawofGravitation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5 LocalformofNewton’sGravitationallaw . . . . . . . . . . . . 8
1.6 Tidalforces. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.7 Theprincipleofequivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.8 Thecovarianceprinciple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.9 Mach’sprinciple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2 TheSpecialTheoryofRelativity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1 CoordinatesystemsandMinkowski-diagrams . . . . . . . . . 21
2.2 Synchronizationofclocks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3 TheDopplereffect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4 Relativistictime-dilatation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.5 Therelativityofsimultaneity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.6 TheLorentz-contraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.7 TheLorentztransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.8 Lorentz-invariantinterval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.9 Thetwin-paradox . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.10 Hyperbolicmotion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.11 Energyandmass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.12 Relativisticincreaseofmass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.13 Tachyons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.14 Magnetismasarelativisticsecond-ordereffect . . . . . . . . . 40
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
vi Contents
II THE MATHEMATICS OF THE
GENERAL THEORY OF RELATIVITY . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3 Vectors,Tensors,andForms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.1 Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2 Four-vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.3 One-forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.4 Tensors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.5 Forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4 BasisVectorFieldsandtheMetricTensor . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.1 Manifoldsandtheircoordinate-systems . . . . . . . . . . . . . 63
4.2 Tangentvectorfieldsandthecoordinatebasisvectorfields . . 65
4.3 Structurecoefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.4 Generalbasistransformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.5 Themetrictensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.6 Orthonormalbasis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.7 Spatialgeometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.8 Thetetradfieldofacomovingcoordinatesystem. . . . . . . . 80
4.9 Thevolumeform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.10 Dualforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5 Non-inertialReferenceFrames . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.1 Spatialgeometryinrotatingreferenceframes . . . . . . . . . . 89
5.2 Ehrenfest’sparadox . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.3 TheSagnaceffect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.4 Gravitationaltimedilatation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.5 Uniformlyacceleratedreferenceframe . . . . . . . . . . . . . . 95
5.6 CovariantLagrangiandynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.7 AgeneralequationfortheDopplereffect . . . . . . . . . . . . 103
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
6 Differentiation,Connections,andIntegration . . . . . . . . . . . . . . 109
6.1 ExteriorDifferentiationofforms . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
6.2 Electromagnetism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
6.3 Integrationofforms. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
6.4 Covariantdifferentiationofvectors . . . . . . . . . . . . . . . . 120
6.5 Covariantdifferentiationofformsandtensors . . . . . . . . . 127
6.6 Exteriordifferentiationofvectors . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
6.7 Covariantexteriorderivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
6.8 Geodesicnormalcoordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
6.9 One-parametergroupsofdiffeomorphisms . . . . . . . . . . . 137
6.10 TheLiederivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
6.11 KillingvectorsandSymmetries . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
7 Curvature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
7.1 Curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
7.2 Surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
Contents vii
7.3 TheRiemannCurvatureTensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
7.4 ExtrinsicandIntrinsicCurvature . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
7.5 Theequationofgeodesicdeviation . . . . . . . . . . . . . . . . 164
7.6 Spacesofconstantcurvature. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
III EINSTEIN’S FIELD EQUATIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
8 Einstein’sFieldEquations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
8.1 FromNewton’slawofgravitationtoEinstein’s
fieldequations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
8.2 DeductionofEinstein’svacuumfieldequationsfromHilbert’s
variationalprinciple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
8.3 Thefieldequationsinthepresenceofmatterandenergy . . . 183
8.4 Energy-momentumconservation . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
8.5 Someenergy-momentumtensors . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
8.6 Someparticularfluids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
8.7 Thepathsoffreepointparticles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
9 TheLinearFieldApproximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
9.1 Thelinearisedfieldequations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
9.2 TheNewtonianlimitofgeneralrelativity . . . . . . . . . . . . 198
9.3 Solutionsofthelinearisedfieldequations . . . . . . . . . . . . 199
9.4 Gravitoelectromagnetism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
9.5 Gravitationalwaves. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
9.6 Gravitationalradiationfromsources . . . . . . . . . . . . . . . 206
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
10 TheSchwarzschildSolutionandBlackHoles . . . . . . . . . . . . . . 215
10.1 TheSchwarzschildsolutionforemptyspace . . . . . . . . . . 215
10.2 RadialfreefallinSchwarzschildspacetime . . . . . . . . . . . 220
10.3 Thelight-coneinaSchwarzschildspacetime . . . . . . . . . . 221
10.4 ParticletrajectoriesinSchwarzschildspacetime. . . . . . . . . 225
10.5 AnalyticalextensionoftheSchwarzschildspacetime. . . . . . 230
10.6 Chargedandrotatingblackholes . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
10.7 BlackHolethermodynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
10.8 TheTolman-Oppenheimer-Volkoffequation. . . . . . . . . . . 252
10.9 TheinteriorSchwarzschildsolution . . . . . . . . . . . . . . . 253
10.10 RelativisticgravitationversusNewtoniangravitation . . . . . 256
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
IV COSMOLOGY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
11 HomogeneousandIsotropicUniverseModels . . . . . . . . . . . . . 267
11.1 Thecosmologicalprinciples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
11.2 Friedmann-Robertson-Walkermodels . . . . . . . . . . . . . . 268
11.3 DynamicsofHomogeneousandIsotropiccosmologies . . . . 271
viii Contents
11.4 CosmologicalredshiftandtheHubblelaw . . . . . . . . . . . 273
11.5 Radiationdominateduniversemodels . . . . . . . . . . . . . . 278
11.6 Matterdominateduniversemodels . . . . . . . . . . . . . . . . 281
11.7 Thegravitationallenseffect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
11.8 Redshift-luminosityrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
11.9 Cosmologicalhorizons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
11.10 BigBanginaninfiniteUniverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
12 UniverseModelswithVacuumEnergy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
12.1 Einstein’sstaticuniverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
12.2 deSitter’ssolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
12.3 ThedeSitterhyperboloid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
12.4 Thehorizonproblemandtheflatnessproblem . . . . . . . . . 310
12.5 Inflation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
12.6 TheFriedmann-Lemaîtremodel. . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
12.7 Universemodelswithquintessenceenergy . . . . . . . . . . . 325
12.8 Darkenergyexploredby meansof supernovaobservations
andthestatefinderdiagnostic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
12.9 Cosmicdensityperturbations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
12.10 Temperaturefluctuationsinthecosmicmicrowave
background(CMB) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
12.11 Mach’sprinciple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
12.12 TheHistoryofourUniverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
13 AnisotropicandInhomogeneousUniverseModels . . . . . . . . . . 367
13.1 TheBianchitypeIuniversemodel . . . . . . . . . . . . . . . . 367
13.2 TheKasnersolutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370
13.3 Theenergy-momentumconservationlawinananisotropic
universe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
13.4 Modelswithaperfectfluid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373
13.5 Inflationthroughbulkviscosity . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376
13.6 Auniversewithadissipativefluid . . . . . . . . . . . . . . . . 377
13.7 TheLemaître-Tolman-Bondiuniversemodels . . . . . . . . . . 379
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383
V ADVANCED TOPICS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .387
14 CovariantDecomposition,Singularities,andCanonicalCosmology 389
14.1 Covariantdecomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389
14.2 Equationsofmotion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392
14.3 Singularities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394
14.4 LagrangianformulationofGeneralRelativity . . . . . . . . . . 399
14.5 Hamiltonianformulation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402
14.6 Canonicalformulationwithmatterandenergy . . . . . . . . . 404
Contents ix
14.7 Thespaceofthree-metrics:Superspace. . . . . . . . . . . . . . 406
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410
15 SpatiallyHomogeneousUniverseModels . . . . . . . . . . . . . . . . 413
15.1 LiegroupsandLiealgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413
15.2 Homogeneousspaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416
15.3 TheBianchimodels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420
15.4 Theorthonormalframeapproachtothenon-tilted
Bianchimodels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423
15.5 The8modelgeometries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428
15.6 Constructingcompactquotients. . . . . . . . . . . . . . . . . . 430
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433
16 Israel’sFormalism:TheMetricJunctionMethod . . . . . . . . . . . . 439
16.1 Therelativistictheoryofsurfacelayers. . . . . . . . . . . . . . 439
16.2 Einstein’sfieldequations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441
16.3 Surfacelayersandboundarysurfaces . . . . . . . . . . . . . . 443
16.4 Sphericalshellofdustinvacuum . . . . . . . . . . . . . . . . . 445
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450
17 Brane-worlds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453
17.1 Fieldequationsonthebrane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453
17.2 Five-dimensionalbranecosmology . . . . . . . . . . . . . . . . 456
17.3 Solutionsinthebulk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459
17.4 Towardsarealisticbranecosmology . . . . . . . . . . . . . . . 461
17.5 Inflationinthebrane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464
17.6 Dynamicsoftwobranes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467
17.7 Thehierarchyproblemandtheweaknessofgravity . . . . . . 469
17.8 TheRandall-Sundrummodels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474
18 Kaluza-KleinTheory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479
18.1 Afifthextradimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479
18.2 TheKaluza-Kleinaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481
18.3 Implicationsofafifthextradimension . . . . . . . . . . . . . . 485
18.4 Conformaltransformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488
18.5 ConformaltransformationoftheKaluza-Kleinaction . . . . . 491
18.6 Kaluza-Kleincosmology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497
VI APPENDICES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501
A ConstantsofNature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503
B PenroseDiagrams . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505
B.1 Conformaltransformationsandcausalstructure . . . . . . . . 505
B.2 Schwarzschildspacetime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507
B.3 deSitterspacetime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507
C Anti-deSitterSpacetime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511
C.1 Theanti-deSitterhyperboloid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511
x Contents
C.2 FoliationsofAdS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512
n
C.3 GeodesicsinAdS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513
n
C.4 TheBTZblackhole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514
C.5 AdS asthegroupSL(2,R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515
3
D HowtoReadThisBook . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517
E SuggestedFurtherReading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519
Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533
List of Problems
Chapter1
1.1 ThestrengthofgravitycomparedtotheCoulombforce . . . . 17
1.2 FallingobjectsinthegravitationalfieldoftheEarth . . . . . . . 17
1.3 Newtonianpotentialsforsphericallysymmetricbodies . . . . 17
1.4 TheEarth-Moonsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5 TheRoche-limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.6 ANewtonianBlackHole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.7 Non-relativisticKeplerorbits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Chapter2
2.1 Twosuccessiveboostsindifferentdirections . . . . . . . . . . . 42
2.2 Length-contractionandtime-dilatation . . . . . . . . . . . . . . 43
2.3 Fasterthanthespeedoflight? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.4 Reflectionanglesofmovingmirrors . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.5 Minkowski-diagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.6 Robb’sLorentzinvariantspacetimeintervalformula . . . . . . 44
2.7 TheDopplereffect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.8 AbberationandDopplereffect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.9 Atrafficproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.10 Thetwin-paradox . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.11 Workandrotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.12 Muonexperiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.13 Cerenkovradiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Chapter3
3.1 Thetensorproduct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.2 Wedgeproductsofforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.3 Contractionsoftensors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.4 Four-vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.5 TheLorentz-Abraham-Diracequation. . . . . . . . . . . . . . . 62
Chapter4
4.1 Coordinate-transformations in a two-dimensional Euclidean
plane. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.2 Covariantandcontravariantcomponents. . . . . . . . . . . . . 86
4.3 TheLevi-Civitásymbol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.4 Propertiesoftransformationsofabasis . . . . . . . . . . . . . . 87
4.5 Dualforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.6 Wedgeproduct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88