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Einstein's general theory of relativity PDF

538 Pages·2010·3.252 MB·English
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Einstein’s General Theory of Relativity ØyvindGrønandSigbjørnHervik ii Version9thDecember2004. cGrøn&Hervik. (cid:13) Contents Preface xv Notation xvii I INTRODUCTION: NEWTONIAN PHYSICS AND SPECIAL RELATIVITY 1 1 RelativityPrinciplesandGravitation 3 1.1 Newtonianmechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Galilei–Newton’sprincipleofRelativity . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 TheprincipleofRelativity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.4 Newton’slawofGravitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.5 LocalformofNewton’sGravitationallaw . . . . . . . . . . . . . 8 1.6 Tidalforces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.7 Theprincipleofequivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.8 Thecovarianceprinciple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.9 Mach’sprinciple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 TheSpecialTheoryofRelativity 21 2.1 CoordinatesystemsandMinkowski-diagrams . . . . . . . . . . 21 2.2 Synchronizationofclocks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.3 TheDopplereffect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.4 Relativistictime-dilatation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.5 Therelativityofsimultaneity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.6 TheLorentz-contraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.7 TheLorentztransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.8 Lorentz-invariantinterval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.9 Thetwin-paradox . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.10 Hyperbolicmotion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.11 Energyandmass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.12 Relativisticincreaseofmass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.13 Tachyons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.14 Magnetismasarelativisticsecond-ordereffect . . . . . . . . . . 40 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 II THE MATHEMATICS OF THE GENERAL THEORY OF RELATIVITY 49 3 Vectors,Tensors,andForms 51 3.1 Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 iv Contents 3.2 Four-vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.3 One-forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.4 Tensors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.5 Forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 4 BasisVectorFieldsandtheMetricTensor 63 4.1 Manifoldsandtheircoordinate-systems . . . . . . . . . . . . . . 63 4.2 Tangentvectorfieldsandthecoordinatebasisvectorfields . . . 65 4.3 Structurecoefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 4.4 Generalbasistransformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 4.5 Themetrictensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 4.6 Orthonormalbasis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 4.7 Spatialgeometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 4.8 Thetetradfieldofacomovingcoordinatesystem . . . . . . . . . 80 4.9 Thevolumeform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 4.10 Dualforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 5 Non-inertialReferenceFrames 89 5.1 Spatialgeometryinrotatingreferenceframes . . . . . . . . . . . 89 5.2 Ehrenfest’sparadox . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 5.3 TheSagnaceffect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 5.4 Gravitationaltimedilatation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 5.5 Uniformlyacceleratedreferenceframe . . . . . . . . . . . . . . . 95 5.6 CovariantLagrangiandynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 5.7 AgeneralequationfortheDopplereffect . . . . . . . . . . . . . 103 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 6 Differentiation,ConnectionsandIntegration 109 6.1 ExteriorDifferentiationofforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 6.2 Electromagnetism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 6.3 Integrationofforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 6.4 Covariantdifferentiationofvectors . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 6.5 Covariantdifferentiationofformsandtensors . . . . . . . . . . 127 6.6 Exteriordifferentiationofvectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 6.7 Covariantexteriorderivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 6.8 Geodesicnormalcoordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 6.9 One-parametergroupsofdiffeomorphisms . . . . . . . . . . . . 137 6.10 TheLiederivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 6.11 KillingvectorsandSymmetries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 7 Curvature 149 7.1 Curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 7.2 Surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 7.3 TheRiemannCurvatureTensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 7.4 ExtrinsicandIntrinsicCurvature . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 7.5 Theequationofgeodesicdeviation . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 7.6 Spacesofconstantcurvature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 Contents v III EINSTEIN’S FIELD EQUATIONS 175 8 Einstein’sFieldEquations 177 8.1 DeductionofEinstein’svacuumfieldequationsfromHilbert’s variationalprinciple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 8.2 Thefieldequationsinthepresenceofmatterandenergy . . . . 180 8.3 Energy-momentumconservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 8.4 Energy-momentumtensors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 8.5 Someparticularfluids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 8.6 Thepathsoffreepointparticles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 9 TheLinearFieldApproximation 191 9.1 Thelinearisedfieldequations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 9.2 TheNewtonianlimitofgeneralrelativity . . . . . . . . . . . . . 194 9.3 Solutionstothelinearisedfieldequations . . . . . . . . . . . . . 195 9.4 Gravitoelectromagnetism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 9.5 Gravitationalwaves. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 9.6 Gravitationalradiationfromsources . . . . . . . . . . . . . . . . 202 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 10 TheSchwarzschildSolutionandBlackHoles 211 10.1 TheSchwarzschildsolutionforemptyspace . . . . . . . . . . . 211 10.2 RadialfreefallinSchwarzschildspacetime . . . . . . . . . . . . 216 10.3 Thelight-coneinaSchwarzschildspacetime . . . . . . . . . . . 217 10.4 ParticletrajectoriesinSchwarzschildspacetime . . . . . . . . . . 221 10.5 AnalyticalextensionoftheSchwarzschildspacetime . . . . . . . 226 10.6 Chargedandrotatingblackholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 10.7 BlackHolethermodynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 10.8 TheTolman-Oppenheimer-Volkoffequation . . . . . . . . . . . . 248 10.9 TheinteriorSchwarzschildsolution . . . . . . . . . . . . . . . . 249 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 IV COSMOLOGY 259 11 HomogeneousandIsotropicUniverseModels 261 11.1 Thecosmologicalprinciples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 11.2 Friedmann-Robertson-Walkermodels . . . . . . . . . . . . . . . 262 11.3 DynamicsofHomogeneousandIsotropiccosmologies . . . . . 265 11.4 CosmologicalredshiftandtheHubblelaw . . . . . . . . . . . . 267 11.5 Radiationdominateduniversemodels . . . . . . . . . . . . . . . 272 11.6 Matterdominateduniversemodels . . . . . . . . . . . . . . . . . 275 11.7 Thegravitationallenseffect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 11.8 Redshift-luminosityrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283 11.9 Cosmologicalhorizons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 11.10BigBanginaninfiniteUniverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290 vi Contents 12 UniverseModelswithVacuumEnergy 297 12.1 Einstein’sstaticuniverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297 12.2 deSitter’ssolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298 12.3 ThedeSitterhyperboloid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301 12.4 Thehorizonproblemandtheflatnessproblem . . . . . . . . . . 302 12.5 Inflation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304 12.6 TheFriedmann-Lemaîtremodel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311 12.7 Universemodelswithquintessenceenergy . . . . . . . . . . . . 317 12.8 Darkenergyandthestatefinderdiagnostic . . . . . . . . . . . . 320 12.9 Cosmicdensityperturbations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327 12.10TemperaturefluctuationsintheCMB. . . . . . . . . . . . . . . . 331 12.11Mach’sprinciple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338 12.12TheHistoryofourUniverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352 13 AnAnisotropicUniverse 359 13.1 TheBianchitypeIuniversemodel . . . . . . . . . . . . . . . . . 359 13.2 TheKasnersolutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362 13.3 Theenergy-momentumconservationlawinananisotropicuni- verse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363 13.4 Modelswithaperfectfluid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365 13.5 Inflationthroughbulkviscosity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368 13.6 Auniversewithadissipativefluid . . . . . . . . . . . . . . . . . 369 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371 V ADVANCED TOPICS 375 14 Covariantdecomposition,Singularities,andCanonicalCosmology 377 14.1 Covariantdecomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377 14.2 Equationsofmotion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380 14.3 Singularities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382 14.4 LagrangianformulationofGeneralRelativity . . . . . . . . . . . 387 14.5 Hamiltonianformulation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390 14.6 Canonicalformulationwithmatterandenergy . . . . . . . . . . 392 14.7 Thespaceofthree-metrics: Superspace. . . . . . . . . . . . . . . 394 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397 15 HomogeneousSpaces 401 15.1 LiegroupsandLiealgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401 15.2 Homogeneousspaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404 15.3 TheBianchimodels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407 15.4 TheorthonormalframeapproachtotheBianchimodels . . . . . 411 15.5 The8modelgeometries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416 15.6 Constructingcompactquotients. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421 16 Israel’sFormalism: Themetricjunctionmethod 427 16.1 Therelativistictheoryofsurfacelayers . . . . . . . . . . . . . . . 427 16.2 Einstein’sfieldequations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429 16.3 Surfacelayersandboundarysurfaces . . . . . . . . . . . . . . . 431 16.4 Sphericalshellofdustinvacuum . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438 Contents vii 17 Brane-worlds 441 17.1 Fieldequationsonthebrane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441 17.2 Five-dimensionalbranecosmology . . . . . . . . . . . . . . . . . 444 17.3 Problemwithperfectfluidbraneworldinanemptybulk . . . . 447 17.4 Solutionsinthebulk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447 17.5 Towardsarealisticbranecosmology . . . . . . . . . . . . . . . . 449 17.6 Inflationinthebrane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452 17.7 Dynamicsoftwobranes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455 17.8 Thehierarchyproblemandtheweaknessofgravity . . . . . . . 457 17.9 TheRandall-Sundrummodels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462 18 Kaluza-KleinTheory 465 18.1 Afifthextradimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465 18.2 TheKaluza-Kleinaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467 18.3 Implicationsofafifthextradimension . . . . . . . . . . . . . . . 471 18.4 Conformaltransformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474 18.5 ConformaltransformationoftheKaluza-Kleinaction . . . . . . 478 18.6 Kaluza-Kleincosmology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483 VI APPENDICES 487 A ConstantsofNature 489 B Penrosediagrams 491 B.1 Conformaltransformationsandcausalstructure . . . . . . . . . 491 B.2 Schwarzschildspacetime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493 B.3 deSitterspacetime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493 C Anti-deSitterspacetime 497 C.1 Theanti-deSitterhyperboloid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497 C.2 FoliationsofAdS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 498 n C.3 GeodesicsinAdS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499 n C.4 TheBTZblackhole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 500 C.5 AdS asthegroupSL(2,R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501 3 D Suggestedfurtherreading 503 Bibliography 507 Index 515 List of Problems Chapter1 17 1.1 ThestrengthofgravitycomparedtotheCoulombforce . . . . 17 1.2 FallingobjectsinthegravitationalfieldoftheEarth . . . . . . . 17 1.3 Newtonianpotentialsforsphericallysymmetricbodies . . . . 17 1.4 TheEarth-Moonsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.5 TheRoche-limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.6 ANewtonianBlackHole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.7 Non-relativisticKeplerorbits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Chapter2 42 2.1 Twosuccessiveboostsindifferentdirections . . . . . . . . . . . 42 2.2 Length-contractionandtime-dilatation . . . . . . . . . . . . . . 43 2.3 Fasterthanthespeedoflight? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.4 Reflectionanglesoffmovingmirrors . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.5 Minkowski-diagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.6 Robb’sLorentzinvariantspacetimeintervalformula . . . . . . 45 2.7 TheDopplereffect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.8 AbberationandDopplereffect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.9 Atrafficproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.10 Thetwin-paradox . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.11 Workandrotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.12 Muonexperiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.13 Cerenkovradiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Chapter3 60 3.1 Thetensorproduct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.2 Contractionsoftensors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.3 Four-vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.4 TheLorentz-Abraham-Diracequation. . . . . . . . . . . . . . . 62 Chapter4 85 4.1 Coordinate-transformations in a two-dimensional Euclidean plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 4.2 Covariantandcontravariantcomponents . . . . . . . . . . . . . 86 4.3 TheLevi-Civitásymbol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 4.4 Dualforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 Chapter5 107 5.1 Geodeticcurvesinspace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 5.2 Freeparticleinahyperbolicreferenceframe . . . . . . . . . . . 107 5.3 SpatialgeodesicsinarotatingRF . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 x ListofProblems Chapter6 147 6.1 Loopintegralofaclosedform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 6.2 Thecovariantderivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 6.3 ThePoincaréhalf-plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 6.4 TheChristoffelsymbolsinarotatingreferenceframewithplane polarcoordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 Chapter7 170 7.1 Rotationmatrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 7.2 InversemetriconSn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 7.3 Thecurvatureofacurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 7.4 TheGauss-Codazziequations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 7.5 ThePoincaréhalf-space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 7.6 Thepseudo-sphere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 7.7 Anon-Cartesiancoordinatesystemintwodimensions . . . . . 172 7.8 Thecurvaturetensorofasphere . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 7.9 Thecurvaturescalarofasurfaceofsimultaneity. . . . . . . . . 172 7.10 Thetidalforcependulumandthecurvatureofspace . . . . . . 172 7.11 TheWeyltensorvanishesforspacesofconstantcurvature . . . 173 7.12 Frobenius’Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 Chapter8 189 8.1 Lorentztransformationofaperfectfluid . . . . . . . . . . . . . 189 8.2 Geodesicequationandconstantsofmotion . . . . . . . . . . . 189 Chapter9 206 9.1 TheLinearisedEinsteinFieldEquations . . . . . . . . . . . . . 206 9.2 Gravitationalwaves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 9.3 Thespacetimeinsideandoutsidearotatingsphericalshell . . 209 Chapter10 251 10.1 TheSchwarzschildmetricinIsotropiccoordinates . . . . . . . 251 10.2 EmbeddingoftheinteriorSchwarzschildmetric. . . . . . . . . 252 10.3 TheSchwarzschild-deSittermetric . . . . . . . . . . . . . . . . 252 10.4 Thelifetimeofablackhole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 10.5 Aspaceshipfallingintoablackhole . . . . . . . . . . . . . . . . 252 10.6 TheGPSNavigationSystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 10.7 PhysicalinterpretationoftheKerrmetric . . . . . . . . . . . . . 253 10.8 Agravitomagneticclockeffect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 10.9 ThephotonsphereradiusofaReissner-Nordströmblackhole. 254 10.10 Curvature of 3-space and 2-surfaces of the internal and the externalSchwarzschildspacetimes . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 10.11ProperradialdistanceintheexternalSchwarzschildspace . . . 255 10.12GravitationalredshiftintheSchwarzschildspacetime . . . . . 255 10.13TheReissner-Nordströmrepulsion . . . . . . . . . . . . . . . . 256 10.14Light-likegeodesicsintheReissner-Nordströmspacetime . . . 256 10.15Birkhoff’stheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256 10.16Gravitationalmass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

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