Einstein's general theory of relativity

538 Pages·2010·3.252 MB·English

by  Øyvind Grøn, Sigbjorn Hervik

Einstein’s
General Theory of Relativity
ØyvindGrønandSigbjørnHervik
ii
Version9thDecember2004.
cGrøn&Hervik.
(cid:13)
Contents
Preface xv
Notation xvii
I INTRODUCTION:
NEWTONIAN PHYSICS AND SPECIAL RELATIVITY 1
1 RelativityPrinciplesandGravitation 3
1.1 Newtonianmechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Galilei–Newton’sprincipleofRelativity . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 TheprincipleofRelativity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Newton’slawofGravitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5 LocalformofNewton’sGravitationallaw . . . . . . . . . . . . . 8
1.6 Tidalforces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.7 Theprincipleofequivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.8 Thecovarianceprinciple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.9 Mach’sprinciple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2 TheSpecialTheoryofRelativity 21
2.1 CoordinatesystemsandMinkowski-diagrams . . . . . . . . . . 21
2.2 Synchronizationofclocks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3 TheDopplereffect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4 Relativistictime-dilatation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.5 Therelativityofsimultaneity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.6 TheLorentz-contraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.7 TheLorentztransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.8 Lorentz-invariantinterval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.9 Thetwin-paradox . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.10 Hyperbolicmotion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.11 Energyandmass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.12 Relativisticincreaseofmass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.13 Tachyons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.14 Magnetismasarelativisticsecond-ordereffect . . . . . . . . . . 40
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
II THE MATHEMATICS OF THE
GENERAL THEORY OF RELATIVITY 49
3 Vectors,Tensors,andForms 51
3.1 Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
iv Contents
3.2 Four-vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.3 One-forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.4 Tensors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.5 Forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4 BasisVectorFieldsandtheMetricTensor 63
4.1 Manifoldsandtheircoordinate-systems . . . . . . . . . . . . . . 63
4.2 Tangentvectorfieldsandthecoordinatebasisvectorfields . . . 65
4.3 Structurecoefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.4 Generalbasistransformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.5 Themetrictensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.6 Orthonormalbasis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.7 Spatialgeometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.8 Thetetradfieldofacomovingcoordinatesystem . . . . . . . . . 80
4.9 Thevolumeform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.10 Dualforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5 Non-inertialReferenceFrames 89
5.1 Spatialgeometryinrotatingreferenceframes . . . . . . . . . . . 89
5.2 Ehrenfest’sparadox . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.3 TheSagnaceffect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.4 Gravitationaltimedilatation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.5 Uniformlyacceleratedreferenceframe . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.6 CovariantLagrangiandynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.7 AgeneralequationfortheDopplereffect . . . . . . . . . . . . . 103
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
6 Differentiation,ConnectionsandIntegration 109
6.1 ExteriorDifferentiationofforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
6.2 Electromagnetism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
6.3 Integrationofforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
6.4 Covariantdifferentiationofvectors . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
6.5 Covariantdifferentiationofformsandtensors . . . . . . . . . . 127
6.6 Exteriordifferentiationofvectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
6.7 Covariantexteriorderivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
6.8 Geodesicnormalcoordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
6.9 One-parametergroupsofdiffeomorphisms . . . . . . . . . . . . 137
6.10 TheLiederivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
6.11 KillingvectorsandSymmetries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
7 Curvature 149
7.1 Curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
7.2 Surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
7.3 TheRiemannCurvatureTensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
7.4 ExtrinsicandIntrinsicCurvature . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
7.5 Theequationofgeodesicdeviation . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
7.6 Spacesofconstantcurvature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
Contents v
III EINSTEIN’S FIELD EQUATIONS 175
8 Einstein’sFieldEquations 177
8.1 DeductionofEinstein’svacuumfieldequationsfromHilbert’s
variationalprinciple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
8.2 Thefieldequationsinthepresenceofmatterandenergy . . . . 180
8.3 Energy-momentumconservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
8.4 Energy-momentumtensors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
8.5 Someparticularfluids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
8.6 Thepathsoffreepointparticles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
9 TheLinearFieldApproximation 191
9.1 Thelinearisedfieldequations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
9.2 TheNewtonianlimitofgeneralrelativity . . . . . . . . . . . . . 194
9.3 Solutionstothelinearisedfieldequations . . . . . . . . . . . . . 195
9.4 Gravitoelectromagnetism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
9.5 Gravitationalwaves. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
9.6 Gravitationalradiationfromsources . . . . . . . . . . . . . . . . 202
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
10 TheSchwarzschildSolutionandBlackHoles 211
10.1 TheSchwarzschildsolutionforemptyspace . . . . . . . . . . . 211
10.2 RadialfreefallinSchwarzschildspacetime . . . . . . . . . . . . 216
10.3 Thelight-coneinaSchwarzschildspacetime . . . . . . . . . . . 217
10.4 ParticletrajectoriesinSchwarzschildspacetime . . . . . . . . . . 221
10.5 AnalyticalextensionoftheSchwarzschildspacetime . . . . . . . 226
10.6 Chargedandrotatingblackholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
10.7 BlackHolethermodynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
10.8 TheTolman-Oppenheimer-Volkoffequation . . . . . . . . . . . . 248
10.9 TheinteriorSchwarzschildsolution . . . . . . . . . . . . . . . . 249
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
IV COSMOLOGY 259
11 HomogeneousandIsotropicUniverseModels 261
11.1 Thecosmologicalprinciples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
11.2 Friedmann-Robertson-Walkermodels . . . . . . . . . . . . . . . 262
11.3 DynamicsofHomogeneousandIsotropiccosmologies . . . . . 265
11.4 CosmologicalredshiftandtheHubblelaw . . . . . . . . . . . . 267
11.5 Radiationdominateduniversemodels . . . . . . . . . . . . . . . 272
11.6 Matterdominateduniversemodels . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
11.7 Thegravitationallenseffect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
11.8 Redshift-luminosityrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
11.9 Cosmologicalhorizons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
11.10BigBanginaninfiniteUniverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
vi Contents
12 UniverseModelswithVacuumEnergy 297
12.1 Einstein’sstaticuniverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
12.2 deSitter’ssolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
12.3 ThedeSitterhyperboloid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
12.4 Thehorizonproblemandtheflatnessproblem . . . . . . . . . . 302
12.5 Inflation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
12.6 TheFriedmann-Lemaîtremodel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
12.7 Universemodelswithquintessenceenergy . . . . . . . . . . . . 317
12.8 Darkenergyandthestatefinderdiagnostic . . . . . . . . . . . . 320
12.9 Cosmicdensityperturbations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
12.10TemperaturefluctuationsintheCMB. . . . . . . . . . . . . . . . 331
12.11Mach’sprinciple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
12.12TheHistoryofourUniverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352
13 AnAnisotropicUniverse 359
13.1 TheBianchitypeIuniversemodel . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
13.2 TheKasnersolutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362
13.3 Theenergy-momentumconservationlawinananisotropicuni-
verse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
13.4 Modelswithaperfectfluid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
13.5 Inflationthroughbulkviscosity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368
13.6 Auniversewithadissipativefluid . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
V ADVANCED TOPICS 375
14 Covariantdecomposition,Singularities,andCanonicalCosmology 377
14.1 Covariantdecomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377
14.2 Equationsofmotion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380
14.3 Singularities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382
14.4 LagrangianformulationofGeneralRelativity . . . . . . . . . . . 387
14.5 Hamiltonianformulation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390
14.6 Canonicalformulationwithmatterandenergy . . . . . . . . . . 392
14.7 Thespaceofthree-metrics: Superspace. . . . . . . . . . . . . . . 394
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397
15 HomogeneousSpaces 401
15.1 LiegroupsandLiealgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401
15.2 Homogeneousspaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404
15.3 TheBianchimodels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407
15.4 TheorthonormalframeapproachtotheBianchimodels . . . . . 411
15.5 The8modelgeometries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416
15.6 Constructingcompactquotients. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421
16 Israel’sFormalism: Themetricjunctionmethod 427
16.1 Therelativistictheoryofsurfacelayers . . . . . . . . . . . . . . . 427
16.2 Einstein’sfieldequations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429
16.3 Surfacelayersandboundarysurfaces . . . . . . . . . . . . . . . 431
16.4 Sphericalshellofdustinvacuum . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438
Contents vii
17 Brane-worlds 441
17.1 Fieldequationsonthebrane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441
17.2 Five-dimensionalbranecosmology . . . . . . . . . . . . . . . . . 444
17.3 Problemwithperfectfluidbraneworldinanemptybulk . . . . 447
17.4 Solutionsinthebulk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447
17.5 Towardsarealisticbranecosmology . . . . . . . . . . . . . . . . 449
17.6 Inflationinthebrane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452
17.7 Dynamicsoftwobranes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455
17.8 Thehierarchyproblemandtheweaknessofgravity . . . . . . . 457
17.9 TheRandall-Sundrummodels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462
18 Kaluza-KleinTheory 465
18.1 Afifthextradimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465
18.2 TheKaluza-Kleinaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467
18.3 Implicationsofafifthextradimension . . . . . . . . . . . . . . . 471
18.4 Conformaltransformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474
18.5 ConformaltransformationoftheKaluza-Kleinaction . . . . . . 478
18.6 Kaluza-Kleincosmology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483
VI APPENDICES 487
A ConstantsofNature 489
B Penrosediagrams 491
B.1 Conformaltransformationsandcausalstructure . . . . . . . . . 491
B.2 Schwarzschildspacetime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493
B.3 deSitterspacetime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493
C Anti-deSitterspacetime 497
C.1 Theanti-deSitterhyperboloid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497
C.2 FoliationsofAdS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 498
n
C.3 GeodesicsinAdS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499
n
C.4 TheBTZblackhole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 500
C.5 AdS asthegroupSL(2,R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501
3
D Suggestedfurtherreading 503
Bibliography 507
Index 515

List of Problems
Chapter1 17
1.1 ThestrengthofgravitycomparedtotheCoulombforce . . . . 17
1.2 FallingobjectsinthegravitationalfieldoftheEarth . . . . . . . 17
1.3 Newtonianpotentialsforsphericallysymmetricbodies . . . . 17
1.4 TheEarth-Moonsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5 TheRoche-limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.6 ANewtonianBlackHole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.7 Non-relativisticKeplerorbits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Chapter2 42
2.1 Twosuccessiveboostsindifferentdirections . . . . . . . . . . . 42
2.2 Length-contractionandtime-dilatation . . . . . . . . . . . . . . 43
2.3 Fasterthanthespeedoflight? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.4 Reflectionanglesoffmovingmirrors . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.5 Minkowski-diagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.6 Robb’sLorentzinvariantspacetimeintervalformula . . . . . . 45
2.7 TheDopplereffect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.8 AbberationandDopplereffect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.9 Atrafficproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.10 Thetwin-paradox . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.11 Workandrotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.12 Muonexperiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.13 Cerenkovradiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Chapter3 60
3.1 Thetensorproduct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.2 Contractionsoftensors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.3 Four-vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.4 TheLorentz-Abraham-Diracequation. . . . . . . . . . . . . . . 62
Chapter4 85
4.1 Coordinate-transformations in a two-dimensional Euclidean
plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.2 Covariantandcontravariantcomponents . . . . . . . . . . . . . 86
4.3 TheLevi-Civitásymbol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.4 Dualforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Chapter5 107
5.1 Geodeticcurvesinspace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.2 Freeparticleinahyperbolicreferenceframe . . . . . . . . . . . 107
5.3 SpatialgeodesicsinarotatingRF . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
x ListofProblems
Chapter6 147
6.1 Loopintegralofaclosedform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
6.2 Thecovariantderivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
6.3 ThePoincaréhalf-plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
6.4 TheChristoffelsymbolsinarotatingreferenceframewithplane
polarcoordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
Chapter7 170
7.1 Rotationmatrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
7.2 InversemetriconSn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
7.3 Thecurvatureofacurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
7.4 TheGauss-Codazziequations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
7.5 ThePoincaréhalf-space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
7.6 Thepseudo-sphere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
7.7 Anon-Cartesiancoordinatesystemintwodimensions . . . . . 172
7.8 Thecurvaturetensorofasphere . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
7.9 Thecurvaturescalarofasurfaceofsimultaneity. . . . . . . . . 172
7.10 Thetidalforcependulumandthecurvatureofspace . . . . . . 172
7.11 TheWeyltensorvanishesforspacesofconstantcurvature . . . 173
7.12 Frobenius’Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
Chapter8 189
8.1 Lorentztransformationofaperfectfluid . . . . . . . . . . . . . 189
8.2 Geodesicequationandconstantsofmotion . . . . . . . . . . . 189
Chapter9 206
9.1 TheLinearisedEinsteinFieldEquations . . . . . . . . . . . . . 206
9.2 Gravitationalwaves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
9.3 Thespacetimeinsideandoutsidearotatingsphericalshell . . 209
Chapter10 251
10.1 TheSchwarzschildmetricinIsotropiccoordinates . . . . . . . 251
10.2 EmbeddingoftheinteriorSchwarzschildmetric. . . . . . . . . 252
10.3 TheSchwarzschild-deSittermetric . . . . . . . . . . . . . . . . 252
10.4 Thelifetimeofablackhole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
10.5 Aspaceshipfallingintoablackhole . . . . . . . . . . . . . . . . 252
10.6 TheGPSNavigationSystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
10.7 PhysicalinterpretationoftheKerrmetric . . . . . . . . . . . . . 253
10.8 Agravitomagneticclockeffect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
10.9 ThephotonsphereradiusofaReissner-Nordströmblackhole. 254
10.10 Curvature of 3-space and 2-surfaces of the internal and the
externalSchwarzschildspacetimes . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
10.11ProperradialdistanceintheexternalSchwarzschildspace . . . 255
10.12GravitationalredshiftintheSchwarzschildspacetime . . . . . 255
10.13TheReissner-Nordströmrepulsion . . . . . . . . . . . . . . . . 256
10.14Light-likegeodesicsintheReissner-Nordströmspacetime . . . 256
10.15Birkhoff’stheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
10.16Gravitationalmass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257