Einführung in Operations Research

225 Pages·1990·7.461 MB·German

by  Professor Dr. Wolfgang Domschke,  Professor Dr. Andreas Drexl (auth.)

Springer-Lehrbuch
Wolfgang Domschke Andreas Drex1
Einführung in
Operations Research
Mit 61 Abbildungen und 60 Tabellen
Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH
Professor Dr. WOLFGANG DOMSCHKE
Lehrstuhl fur Betriebswirtschaftslehre
und Operations Research
Technische Hochschule Darmstadt
Hochschulstraße 1
D-6100 Darmstadt
Professor Dr. ANDREAS DREXL
Lehrstuhl ftir Betriebliche Datenverarbeitung
und Produktionswirtschaft
Christian-Albrechts-Universität
Olshausenstraße 40
D-2300 Kiel
ISBN 978-3-540-53105-0
CIP-Titelaufnahme der Deutschen Bibliothek
Domschke, Wolfgang: Einftihrung in Operations-Research/von Wolfgang Domschke und
Andreas Drexl.
(Springer-Lehrbuch)
ISBN 978-3-540-53105-0 ISBN 978-3-662-06913-4 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-662-06913-4
NE: Drexl, Andreas:
Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere
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berrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils
geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen
unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes.
© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1990
Ursprünglich erschienen bei Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York 1990
Einbandgestaltung: W. Eisenschink, Heddesheim
2142/3140-543210 -Gedruckt auf säurefreiem Papier
Vorwort
Das vorliegende Buch ist aus Vorlesungen zUr Einführung in Operations Research entstanden,
die wir für Studenten der Betriebswirtschaftslehre, der Volkswirtschaftslehre, des Wirtschafts
ingenieurwesens, der (Wirtschafts-)Informatik und der Mathematik an der Technischen Hoch
schule Darmstadt und an der Christian-Albrechts-Universität zu Kiel gehalten haben.
Das Operations Research hat sich in den letzten 20 Jahren stürmisch entwickelt. In allen
grundlegenden Bereichen des Operations Research, mit denen wir uns in den Kapiteln 2 bis 10
dieses Buches näher auseinandersetzen, wurde eine Vielzahl unterschiedlicher Modelle und
leistungsfähiger Verfahren konzipiert. Dasselbe gilt für diejenigen Bereiche, die sich mit
primär anwendungsorientierten Problemen beschäftigen. Ein Ende dieser Entwicklung ist
nicht in Sicht.
Die Ergebnisse dieser Forschungsbemühungen werden in einer Fülle von Fachzeitschriften und
Monographien dokumentiert. Für die meisten dieser Publikationen gilt, daß sie von Fach
leuten für Fachleute verfaßt werden. Für Anfänger ist der Zugang teilweise recht schwierig.
Dieses Buch ist angesichts der oben bereits genannten heterogenen studentischen Zielgruppe
ein einführendes Studienskript mit grundlegenden Modellen und Verfahren des Operations
Research. Im Vordergrund steht damit nicht die Darstellung neuester Forschungsergebnisse,
sondern eine didaktisch günstige Aufbereitung und Vermittlung von Grundlagen dieser jungen
Wissenschaft. Die Ausführungen sind so gehalten, daß sie weitgehend auch zum Selbststudium
geeignet sind. Alle Verfahren werden daher, soweit erforderlich und mit vertretbarem Auf
wand möglich, algorithmisch beschrieben und an Beispielen verdeutlicht. Ein über die in den
Text gestreuten Beispiele hinausgehender Aufgaben- und Lösungsteil befindet sich in
Vorbereitung.
Wir danken unseren Mitarbeitern, insbesondere Frau Dipl.-Math. Birgit Schildt sowie den
Herren Dipl.-Wirtsch.-Inf. Armin Scholl und Dipl.-Math. Arno Sprecher für die kritische
Durchsicht des Manuskripts sowie wertvolle Anregungen und Verbesserungs vorschläge. Herrn
Dr. Werner Müller vom Springer-Verlag danken wir für die Aufnahme dieses Buches in die
Reihe der Springer-Lehrbücher.
Wir widmen dieses Buch Barbara und Ulrike. Ihnen sollte ein OR-Preis verliehen werden:
Während der Wochen und Monate, die wir mit dem Schreiben dieses Buches zugebracht
haben und damit unseren Familien nicht zur Verfügung standen, ist es ihnen gelungen, unsere
Kinder davon zu überzeugen, daß die Beschäftigung mit Operations Research die schönste
und wichtigste Sache im Leben ist.
Wir hoffen, daß unsere Studenten und Kollegen nach der Lektüre des Buches diese Auffassung
teilen.
Darmstadt / Kiel, im August 1990 Wolfgang Domschke
A ndreas Drexl
Inhaltsverzeichnis
v
Vorwort.................... ............ ..........................
Symbolverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. XII
Kapitell: Einführung ............................................ 1
1.1 Begriff des Operations Research 1
1.2 Modelle im Operations Research ...................................... 2
1.2.1 Charakterisierung verschiedener Modelltypen ........................ 2
1.2.2 Optimierungsmodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3
1.2.2.1 Formulierung eines allgemeinen Optimierungsmodells ............ 3
1.2.2.2 Beispiele für Optimierungsmodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4
1.2.2.3 Klassifikation von Optimierungsmodellen ... ,................ 5
1.3 Teilgebiete des Operations Research ................................... 5
1.4 Arten der Planung und Anwendungsmöglichkeiten des OR 7
1.5 Ergänzende Hinweise .............................................. 7
Literatur ....................................................... 8
Kapitel 2: Lineare Optimierung .................................. 9
2.1 Definitionen .................................................... 9
2.2 Graphische Lösung von linearen Optimierungsproblemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 10
2.3 Formen und Analyse von linearen Optimierungsproblemen .................. 12
2.3.1 Optimierungsprobleme mit Ungleichungen als Nebenbedingungen ........ 12
2.3.2 Die Normalform eines linearen Optimierungsproblems ................. 12
2.3.3 Analyse von linearen Optimierungsproblemen ....................... 13
2.4 Der Simplex-Algorithmus .......................................... 17
2.4.1 Der Simplex-Algorithmus bei bekannter zulässiger Basislösung . . . . . . . . . .. 17
2.4.1.1 Darstellung des Lösungsprinzips anhand eines Beispiels .......... 17
2.4.1.2 Der primale Simplex-Algorithmus ......................... 18
2.4.2 Verfahren zur Bestimmung einer zulässigen Basislösung . . . . . . . . . . . . . . .. 22
2.4.2.1 Der duale Simplex-Algorithmus ........................... 22
2.4.2.2 Die M-Methode ...................................... 24
2.4.3 Der revidierte Simplex-Algorithmus .............................. 26
2.4.4 Sonderfälle ................................................ 28
2.5 Dualität .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 30
VIII Inhaltsverzeichnis
26 Untere und obere Schranken für Variablen 32
27 Sensitivitätsanalyse .............................................. 36
28 Optimierung bei mehrfacher Zielsetzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 40
2.8.1 Lexikographische Ordnung von Zielen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 40
2.8.2 Unterteilung in Haupt-und Nebenziele ............................ 41
2.8.3 Zie1gewichtung ............................................. 41
2.8.4 Goal-Programming .......................................... 42
29 Spieltheorie und lineare Optimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 43
Literatur ...................................................... 47
Kapitel 3: Graphentheorie ..... .................................. 48
3.1 Begriffe der Graphentheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 48
3.2 Kürzeste Wege in Graphen ......................................... 52
3.2.1 Baumalgorithmen ........................................... 52
3.2.2 Der Tripel-Algorithmus ....................................... 56
3.3 Minimale spannende Bäume und minimale I-Bäume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 58
3.3.1 Bestimmung eines minimalen spannenden Baumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 59
3.3.2 Bestimmung eines minimalen I-Baumes ........................... 60
Literatur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 60
Kapitel4: Lineare Optimienmgsprobleme mit spezieller Struktur .. 61
4.1 Das klassische Transportproblem .................................... 61
4.1.1 Problemstellung und Verfahrensüberblick .......................... 61
4.1.2 Eröffnungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 63
4.1.3 Die MODI-Methode. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 66
4.2 Das lineare Zuordnungsproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 70
4.3 Umladeprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 71
Literatur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 72
KapitelS: Netzplantechnik.... ............ ...... ................ 73
5.1 Einführung und Definitionen ........................................ 73
5.2 Struktur-und Zeitplanung mit Vorgangsknotennetzplänen . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 76
5.2.1 Strukturplanung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 76
5.2.1.1 Grundregeln ......................................... 77
5.2.1.2 Transformation von Vorgangsfolgen ....................... 78
5.2.1.3 Beispiel ............................................ 79
5.2.2 Zeitplanung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 80
Inhaltsverzeichnis IX
5.2.2.1 Ermittlung frühester und spätester Zeitpunkte ................ 81
5.2.2.2 Pufferzeiten, kritische Vorgänge und Wege ............... . . .. 84
5.2.3 Gantt-Diagramme ........................................... 86
5.3 Struktur-und Zeitplanung mit Vorgangspfeilnetzplänen .................... 87
5.3.1 Strukturplanung ............................................ 87
5.3.1.1 Grundregeln ......................................... 87
5.3.1.2 Beispiel ............................................ 89
5.3.2 Zeitplanung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 89
5.3.2.1 Ermittlung frühester und spätester Zeitpunkte ................ 89
5.3.2.2 Pufferzeiten, kritische Vorgänge und Wege ................... 91
5.4 Kostenplanung .................................................. 92
5.5 Kapazitätsplanung ............................................... 94
Literatur ...................................................... 95
Kapitel 6: Ganzzahlige und kombinatorische Optimierung ........ 96
6.1 Einführung .................................................... 96
6.2 Klassifikation und Beispiele ........................................ 96
6.3 Komplexität von Algorithmen und Optimierungsproblemen ................ 101
6.4 Lösungsprinzipien ............................................... 102
6.5 Branch-and-Bound-Verfahren ...................................... 103
6.5.1 Das Prinzip ........ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 103
6.5.2 Erläuterung anhand eines Beispiels 105
6.5.3 Komponenten von B&B-Verfahren .............................. 106
6.6 Traveling Salesman -Probleme ..................................... 108
6.6.1 Heuristiken ............................................... 109
6.6.1.1 Deterministische Eröffnungsverfahren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 109
6.6.1.2 Deterministische Verbesserungsverfahren ................... 111
6.6.1.3 Ein stochastisches Verfahren ............................ 112
6.6.2 Ein Branch-and-Bound-Verfahren für TSPe in ungerichteten Graphen .... 114
6.6.2.1 Die Lagrange-Relaxation und Lösungsmöglichkeiten ........... 115
6.6.2.2 Das Branch-and-Bound-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 120
6.7 Das mehrperiodige Knapsack-Problem ................................ 122
Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 124
Kapitel 7: Dynamische Optimierung ............................ 126
7.1 Mit dynamischer Optimierung lösbare Probleme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 126
7.1.1 Allgemeine Form von dynamischen Optimierungsmodellen 126
x
Inhaltsverzeichnis
7.1.2 Ein Bestellmengenproblem ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 128
7.1.3 Klassifizierung und graphische Darstellung von dynamischen
Optimierungsmodellen ....................................... 129
7.2 Das Lösungsprinzip der dynamischen Optimierung ....................... 131
7.2.1 Grundlagen und Lösungsprinzip ................................ 131
7.2.2 Ein Beispiel .............................................. 133
7.3 Weitere deterministische, diskrete Probleme ........................... 134
7.3.1 Bestimmung kürzester Wege .................................. 134
7.3.2 Das Knapsack-Problem ...................................... 134
7.3.3 Ein Problem mit unendlichen Zustands-und Entscheidungsmengen . . . . . .. 136
7.4 Ein stochastisches, diskretes Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 138
Literatur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 140
Kapitel 8: Nichtlineare Optimierung ............................ 141
8.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 141
8.1.1 Allgemeine Form nicht linearer Optimierungsprobleme ................ 141
8.1.2 Beispiele für nichtlineare Optimierungsprobleme .................... 142
8.1.3 Typen nicht linearer Optimierungsprobleme ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 144
8.2 Grundlagen und Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 145
8.3 Optimierungsprobleme ohne Nebenbedingungen ......................... 149
8.3.1 Probleme mit einer Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 150
8.3.2 Probleme mit mehreren Variablen .............................. 151
8.4 Allgemeine restringierte Optimierungsprobleme ......................... 154
8.4.1 Charakterisierung von MaximalstelIen ........................... 154
8.4.2 Uberblick über Lösungsverfahren ............................... 159
8.5 Quadratische Optimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 160
8.5.1 Quadratische Form ......................................... 160
8.5.2 Der Algorithmus von Wolfe ................................... 162
8.6 Konvexe Optimierungsprobleme .................................... 165
8.6.1 Die Methode der zulässigen Richtungen bzw. des steilsten Anstiegs 165
8.6.2 Hilfsfunktionsverfahren ...................................... 169
8.7 Optimierung bei zerlegbaren Funktionen .............................. 172
Literatur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 174
Kapitel 9: Warteschlangentheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 175
9.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 175
9.2 Binomial-, Poisson-und Exponentialverteilung .......................... 176
Inhaltsverzeichnis XI
9.3 Wartemodelle als homogene Markovketten ............................. 180
9.3.1 Homogene Markovketten ..................................... 180
9.3.2 Der Ankunftsprozeß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 182
9.3.3 Berücksichtigung der Abfertigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 183
9.4 Weitere Wartemodelle ........................................... 185
Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 187
Kapitel 10: Simulation.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 188
10.1 Einführung .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 188
10.2 Grundlegende Arten der Simulation ................................. 189
10.2.1 Monte-Carlo-Simulation .................................... 189
10.2.2 Diskrete Simulation ....................................... 189
10.2.3 Kontinuierliche Simulation .................................. 190
10.3 Stochastischer Verlauf von Inputgrößen .............................. 191
10.3.1 Kontinuierliche Dichtefunktionen ............................. 191
10.3.2 Diskrete Wahrscheinlichkeitsfunktionen ................ . . . . . . . .. 191
10.3.3 Empirische Funktionsverläufe ................................ 192
10.3.4 Signifikanztests .......................................... 192
10.4 Erzeugung von Zufallszahlen ...................................... 193
10.4.1 Grundsätzliche Möglichkeiten ................................ 193
10.4.2 Standardzufallszahlen ...................................... 193
10.4.3 Diskret verteilte Zufallszahlen ................................ 194
10.4.4 Kontinuierlich verteilte Zufallszahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 195
10.5 Anwendungen der Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 197
10.5.1 Numerische Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 197
10.5.2 Auswertung stochastischer Netzpläne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 198
10.5.2.1 Netzpläne mit stochastischen Vorgangsdauern ............. 198
10.5.2.2 Entscheidungsnetzpläne ............................. 200
10.5.3 Analyse eines stochastischen Lagerhaltungsproblems . . . . . . . . . . . . . . .. 201
10.5.4 Simulation von Warteschlangensystemen ........................ 202
10.6 Simulationssprachen ............................................ 203
Literatur .................................................... 204
Literaturverzeichnis 205
Sachverzeichnis ................................................... 212
Symbolverzeicbnis
definitionsgemäß gleich (Wertzuweisung in Verfahren)
Menge der reellen bzw. der nichtnegativen reellen Zahlen
Menge der ganzen bzw. der nicht negativen ganzen Zahlen
leere Menge
00 unendlich; wir definieren 00 ± p : = 00 für p E IR
i E 1 i ist Element der Menge 1
gJ 1 ist Teilmenge von J (I c J: 1 ist echte Teilmenge von J)
1 U J Vereinigung der Mengen I und J
t:X-t1R Abbildung, die jedem Element von X einen Wert aus IR zuordnet
min {a,,1 i = 1, ... ,m} Minimum aller a1"a2" ... ,a '
1J J J mJ
1b l, 111 Absolutbetrag von b, Mächtigkeit der Menge 1
A = (a. . ) Koeffizientenmatrix
1J
b =( b1, ... ,bm) Vektor der rechten Seiten
C = (c1, ... ,cn) Vektor der Zielfunktionskoeffizienten
C" = c(i,i) = c [i,i] Kosten (Länge, Zeit etc.) auf Pfeil (i,i) bzw. auf Kante [i,i]
1J
c(w) Länge des Weges w
C(G) = (c .. ) Kostenmatrix des Graphen G
1J
E Kanten-oder Pfeil menge
F( ... ) etwa F(x), verwendet für Zielfunktionswert
G = [V,E] ungerichteter, unbewerteter Graph
G = (V,E) gerichteter, unbewerteter Graph
G = (V,E,c) gerichteter Graph mit Kostenbewertung c
GE Geldeinheiten
gj Grad des Knotens i (in ungerichteten Graphen)
m Anzahl der Restriktionen
M hinreichend große Zahl für fiktive Bewertungen
ME Mengeneinheit (en)
n Anzahl der Variablen
H(i) Menge der Nachfolger des Knotens i
NB(i) Menge der Nachbarn des Knotens i
T Baum
V Knotenmenge
V(i) Menge der Vorgänger des Knotens i
x wird vorwiegend als Vektor von Variablen
\j' etwa (xl1, x12, ... ,xmn), verwendet
ZE Zeiteinheiten
vf Gradient der Funktion f