Einfuhrung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik, 2. Auflage (Statistik und ihre Anwendungen)

317 Pages·2004·64.28 MB·German

by  Herold Dehling

Herausgeber: .
Prof. Dr. Holger Dette Prof. Dr. Wolfgang Hardle
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Statistik und ihre Anwendungen
Azizi Ghanbari, S.
Einfuhrung in die Statistik fur Sozial- und Erziehungswissen-
schaftler 2002
Brunner, E.; Munzel U.
Nichtparametrische Datenanalyse 2003
Dehling, H.; Haupt, B.
Einfuhrung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik
2. Auflage 2004
Diimbgen, L.
Stochastik fur Informatiker 2003
Falk, M.; Becker, R.; Marohn, F.
Angewandte Statistik 2004
Franke, T; Hardle, W.; Hafner; C.
Statistik der Finanzmarkte 2. Auflage 2004
Greiner, M.
Serodiagnostische Tests 2003
Handl, A.
Mulitvariate Analysemethoden 2003
Hilgers, R.-D.; Bauer, P.; Scheiber, V.
Einfuhrung in die Medizinische Statistik 2003
Plachky, D.
Mathematische Grundbegriffe der Stochastik 2002
Schumacher, M.; Schulgen, G.
Methodik klinischer Versuche 2002
Steland, A.
Mathematische Grundlagen der empirischen Forschung 2004
Herold Dehling Beate Haupt
Einfu hrung
in die Wahrscheinlichkeits-
theorie und Statistik
2. Auflage
6
Springer
Prof Dr. Herold Dehling
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DipLMath. Beate Haupt
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34474 Diemelstadt-Wethen, Deutschland
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Lehre uns bedenken, dass wir sterben mtissen,
auf dam wir klug werden.
Ps. 90,12
Ein Gebet des Mose, in der ~bersetzungv on Martin Luther
fiir Birte, Wiete, Johannes, Geeske, Malte und Eike
fiir Andrea, Ruben, Benjamin, Corinna, Selma und Peter
Vorwort zur 2. Auflage
Wir freuen uns, dass die in unserem Buch gegebene Darstellung der Grundla-
gen der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik so viele Leser gefunden hat,
dass bereits ein Jahr nach Erscheinen der 1. Auflage diese 2. Auflage gedruckt
werden kann. Wir haben das Buch um ein Kapitel uber Testtheorie erweitert.
Die anderen Kapitel haben wir unverandert libernommen, allerdings haben
wir einige Druckfehler korrigieren kdnnen.
Wir danken an dieser Stelle allen Lesern, die uns auf Fehler im Text auf-
merksam gemacht haben, insbesondere Herrn Stephan Mertmann und Frau
Natalie Neumeyer. SchlieDlich mochten wir ein Wort des Dankes hinzufugen,
das wir leider im Vorwort zur 1. Auflage vergessen haben. Wir danken dem
Verleger Ferdinand Verhulst fiir die groDztigige Ruckgabe des Copyrights an
dem Buch ,Kansrekening - het zekere van het onzekere', Epsilon Verlag, Ut-
recht 1995, in dem groDe Teile des hier veroffentlichten Materials in nie-
derlandischer Sprache erschienen waren.
Bochum, Wethen, im Januar 2004 Herold Dehling
Beate Haupt
Vorwort zur 1. Auflage
Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik, oft auch mit dem Sammelbegriff
St,ochastik genannt, sind noch recht junge Teilgehiete der Mathematik,
die sich in den vergangenen 50 Jahren schnell einen festen Platz in der
Mathematik-Aushildung an den Hochschulen gesichert haben. Einst entstan-
den aus dem Wunsch, Gewinn und Verlust bei Glucksspielen herechnen zu
konnen, ist die Stochastik heute ein unverzichtbares Hilfsmittel zur Mo-
dellierung und Steuernng von Zufallsprozessen in Natur, Technik und im
Wirtschafts- und Gesellschaftslehen. Gleichzeitig legt die Stochastik Verbin-
dungen zu verschiedenen anderen Gebieten der Mathematik, etwa der Ana-
lysis, der Linearen Algebra nnd der Zahlentheorie, deren Methoden sie sich
bedient und die sie gleichzeitig mit neuen Ansatzen hereichert. Der Reiz der
Wahrscheinlichkeitstheorie lie@ in ihrer Position an der Schnit,tstelle zwi-
schen hochaktuellen Anwendungen einerseits und klassischer grundlagenori-
entierter Mathematik andererseits. Stochastik eignet sich auch hervorragend
fiir den Schulunterricht, wo sie heute vielfach neben der Analysis und der ana-
lytischen Geometrie als dritte Saule im Mathematik-Curriculum steht. Die
Verhindungen zwischen konkreten Anwendungen und mathematischen Kon-
zepten konnen das Interesse und die Freude der Schtiler an der Mathematik
wecken und sie in Denk- und Arbeitsweisen der Mathematik einfiihren.
Dieses Buch gibt eine systematische Einfuhrung in die grnndlegenden Ide-
en und Konzepte der Wahrscheinlichkeitstheorie. Die Darstellung ist elemen-
tar, d.h. ohne m&theoret,ische Hilfsmittel und unter Verzicht auf grol3tm6gli-
che Allgemeinheit. Der Weckung eines intnitiven Verstandnisses wird im
Zweifelsfall der Vorzug vor mathematischer Strenge gegeben. Die wesentli-
chen Begriffe und Resultate werden zunachst fur diskrete Experimente ein-
gefiihrt und dahei stets an Beispielen illustriert. Im zweiten Teil des Bu-
ches stehen stetige Zufallsvariahlen im Mittelpunkt. Dabei werden u.a. die
wichtigsten Verteilungen der parametrischen Statistik eingeftihrt und die we-
sentlichen Rechentechniken behandelt. Ein Kapitel iiher Grundbegriffe der
Schatztheorie sol1 die Bedentnng der Wahrscheinlichkeitstheorie in der Sta-
tistik aufzeigen und den ubergang in dieses wichtige Anwendungsgebiet der
Wahrscheinlichkeitstheorie erleichtern. Das Buch sollte Lesern mit Vorkennt-
nissen im Umfang einer Analysis I-Vorlesung zug&nglich sein. An einigen Stel-
X Vorwort
len benatigen wir allerdings Kenntnisse mehrfacher Integrale, wobei der Rie-
mann'sche Integralbegriff ausreicht.
Dieses Buch ist ursprunglich entstanden aus Manuskripten zu Vorlesun-
gen, die der erstgenannte der Autoren in den vergangenen 15 Jahren an den
Universitat,en Groningen, Cottbus und Bochum gehalten hat. Wir machten
an dieser Stelle den vielen Kollegen danken, die bei der Entstehung dieses
Buches behilflich waren. An erster Stelle mochten wir Niels Kalma nennen,
der als Koautor an einer niederlandischen Ausgabe eines groflen Teils des bier
verijffentlichten Materials in dem Bud ,Kansrekening - het zekere van het
onzekere' (Epsilon-Verlag Utrecht, 1995) mitgearbeitet hat. Viele originelle
Beispiele und interessante ubungsaufgaben in diesem Buch gehen auf seine
Anregungen zuruck. Weiter danken wir Aart Stam, ans dessen Vorlesnngs-
skripten wir manche Anregung geschopft haben. Jan van Maanen hat uns
in zahlreichen Gesprachen auf die Anfange der Wahrscheinlichkeitstheorie,
vor allem bei Huygens, hingewiesen und uns auflerdem freundlicherweise die
Auszuge aus Huygens' Tractatus de Ratiociniis in Ludo Aleae zur Verfugung
gestellt. Micbel Dekking, Hans Dwarshuis, Willem Schaafsma und Aart Stam
haben uns auf manche Fehler in der niederlejldischen Version des Textes auf-
merksam gemacht und Anregungen zu einer besseren Darstellung gegeben.
Wir danken Holger Dette ftir die Anregung, dieses Buch in der Reihe
,Statistik und ihre Anwendungen' des Springer-Verlags erscheinen zu lassen
sowie dem Springer-Verlag fiir die verstandnisvolle Zusammenarbeit.
Wir danken Ingeborg Beyer fiir ihre umfangreiche Arbeit, das Manu-
skript in B&' X zu schreiben, Malte Dehling fur seine unermtidliche Hilfe
beim Losen von Computer-Problemen und Andrea HeineJungblut ftir ihre
kreativen Beitrage zur grafischen Gestaltung des Buches. Wir danken Ste-
phan Mertmann und Andrea Schweer fur Hinweise auf Fehler im Manuskript
und Katrin Hofmann-Credner und Axel Munk fiir sorgfaltiges Lesen des ge
samten Manuskripts, Hinweise auf zahlreiche Fehler und ftir Vorschlilge zu
einer klareren Darstellung. Wir denken dankbar an Gundi und Dietmar.
Wahrend wir an diesem Buch gearbeitet haben, haben wir viel an dieje-
nigen gedacht, die sich den Inhalt dieses Buches erarbeiten wollen. So haben
wir uns auch erlanbt, in der ersten Person Plural zu schreiben. Wir haben
uberlegt, wie wir etwas uber die Grundlagen der Wabrscheinlichkeitstheorie
und Statistik so aufschreiben konnen, dass Sie gerne und erfolgreich in dem
Buch arbeiten magen. Wir haben viel gelernt dabei und wir wiinschen uns
sehr, dass das Buch Ihnen beim Kennenlernen dieses Gebietes der Mathe-
matik behilflich ist. Fur Hinweise auf eventuelle Fehler und fur Anregungen
waren wir Ihnen sehr dankbar.
Bochum, Wethen, im Januar 2003 Herold Dehling
Beate Haupt
Inhaltsverzeichnis
Vorwort ...................................................... V
. .
.
1 Emle~tnng. ............................................... 1
1.1 Vorbetracbtungen ...................................... 1
1.2 Terminologie ........................................... 4
1.3 Modellierung von Laplace-Experimenten ................... 7
1.4 Die Axiome der Wahrscheinlicbkeitstheorie ................ 11
1.5 Aufgaben .............................................. 18
.
2 Elementare Kombinatorik ................................ 21
2.1 Urnenmodelle .......................................... 21
2.2 Verteilen von Murmeln auf Zellen ......................... 28
2.3 Binomiale und hypergeometriscbe Verteilungen ............. 34
2.4 Das Stimmzettel-Problem ............................... 37
2.5 Aufgaben .............................................. 39
.
3 Unabhlingigkeit und bedingte Wahrscheinlichkeit ......... 41
3.1 UnabhXngige Ereignisse ................................. 41
3.2 Modellierung von Produktexperimenten ................... 46
3.3 Bedingte Wabrscbeinlicbkeiten ........................... 49
3.4 Ruinproblem ........................................... 57
3.5 Aufgaben .............................................. 60
.
4 Znfallsvariablen und ihre Verteilungen .................... 63
4.1 Zufallsvariablen ........................................ 63
4.2 Wichtige diskrete Verteilungen ........................... 68
4.3 Die Poisson-Verteilung .................................. 75
4.4 Aufgaben .............................................. 79
.
5 Erwartnngswert nnd Varianz ............................. 81
5.1 Erwartungswert ........................................ 81
5.2 Varianz ............................................... 89
5.3 Die Ungleichungen von Chebychev und Markov ............ 95
5.4 Aufgaben .............................................. 98