Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik

292 Pages·2003·22.244 MB·German

by  Prof. Dr. Herold Dehling, Dipl.-Math. Beate Haupt (auth.)

Wissenschaftliche Berater:
Prof. Dr. Holger Dette • Prof. Dr. Wolfg ang Härdle
Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH
Herold Dehling • Beate Haupt
Einführung
in die Wahrscheinlichkeits
theorie und Statistik
, Springer
Prof. Dr. Herold Dehling
Ruhr-Universität Bochum
Fakultät für Mathematik
Universitätsstraße 150
44801 Bochum, Deutschland
Dipl.-Math. Beate Haupt
Laurentiushof
Mittelstraße 4
34474 Diemelstadt-Wethen, Deutschland
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Mathematics Subject Classification (2000): 60-01,62-01
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ISBN 978-3-540-43384-2 ISBN 978-3-662-06893-9 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-662-06893-9
http://www.springer.de
© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2003
Ursprünglich erschienen bei Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York 2003.
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Gedruckt auf säurefreiem Papier 40/3142CK-5 4 321 0
Lehre uns bedenken, dass wir sterben müssen,
auf dass wir klug werden.
Ps. 90,12
Ein Gebet des Mose, in der Übersetzung von Martin Luther
für Birte, Wiete, Johannes, Geeske, Malte und Eike
für Andrea, Ruben, Benjamin, Corinna, Selma und Pete r
Vorwort
Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik, oft auch mit dem Sammelbegriff
Stochastik genannt, sind noch recht junge Teilgebiete der Mathematik,
die sich in den vergangenen 50 Jahren schnell einen festen Platz in der
Mathematik-Ausbildung an den Hochschulen gesichert haben. Einst entstan
den aus dem Wunsch, Gewinn und Verlust bei Glücksspielen berechnen zu
können, ist die Stochastik heute ein unverzichtbares Hilfsmittel zur Mo
dellierung und Steuerung von Zufallsprozessen in Natur, Technik und im
Wirtschafts- und Gesellschaftsleben. Gleichzeitig legt die Stochastik Verbin
dungen zu verschiedenen anderen Gebieten der Mathematik, etwa der Ana
lysis, der Linearen Algebra und der Zahlentheorie, deren Methoden sie sich
bedient und die sie gleichzeitig mit neuen Ansätzen bereichert. Der Reiz der
Wahrscheinlichkeitstheorie liegt in ihrer Position an der Schnittstelle zwi
schen hochaktuellen Anwendungen einerseits und klassischer grundlagenori
entierter Mathematik andererseits. Stochastik eignet sich auch hervorragend
für den Schulunterricht, wo sie heute vielfach neben der Analysis und der ana
lytischen Geometrie als dritte Säule im Mathematik-Curriculum steht. Die
Verbindungen zwischen konkreten Anwendungen und mathematischen Kon
zepten können das Interesse und die Freude der Schüler an der Mathematik
wecken und sie in Denk- und Arbeitsweisen der Mathematik einführen.
Dieses Buch gibt eine systematische Einführung in die grundlegenden Ide
en und Konzepte der Wahrscheinlichkeitstheorie. Die Darstellung ist elemen
tar, d.h. ohne maßtheoretische Hilfsmittel und unter Verzicht auf größtmögli
che Allgemeinheit. Der Weckung eines intuitiven Verständnisses wird im
Zweifelsfall der Vorzug vor mathematischer Strenge gegeben. Die wesentli
chen Begriffe und Resultate werden zunächst für diskrete Experimente ein
geführt und dabei stets an Beispielen illustriert. Im zweiten Teil des Bu
ches stehen stetige Zufallsvariablen im Mittelpunkt. Dabei werden u.a. die
wichtigsten Verteilungen der parametrischen Statistik eingeführt und die we
sentlichen Rechentechniken behandelt. Ein Kapitel über Grundbegriffe der
Schätztheorie soll die Bedeutung der Wahrscheinlichkeitstheorie in der Sta
tistik aufzeigen und den Übergang in dieses wichtige Anwendungsgebiet der
Wahrscheinlichkeitstheorie erleichtern. Das Buch sollte Lesern mit Vorkennt
nissen im Umfang einer Analysis 1-Vorlesung zugänglich sein. An einigen Stel-
VIII Vorwort
len benötigen wir allerdings Kenntnisse mehrfacher Integrale, wobei der Rie
mann'sche Integralbegriff ausreicht.
Dieses Buch ist ursprünglich entstanden aus Manuskripten zu Vorlesun
gen, die der erstgenannte der Autoren in den vergangenen 15 Jahren an den
Universitäten Groningen, Cottbus und Bochum gehalten hat. Wir möchten
an dieser Stelle den vielen Kollegen danken, die bei der Entstehung dieses
Buches behilflich waren. An erster Stelle möchten wir Niels Kalma nennen,
der als Koautor an einer niederländischen Ausgabe eines großen Teils des hier
veröffentlichten Materials in dem Buch ,Kansrekening - het zekere van het
onzekere' (Epsilon-Verlag Utrecht, 1995), mitgearbeitet hat. Viele originelle
Beispiele und interessante Übungsaufgaben in diesem Buch gehen auf seine
Anregungen zurück. Weiter danken wir Aart Stam, aus dessen Vorlesungs
skripten wir manche Anregung geschöpft haben. Jan van Maanen hat uns
in zahlreichen Gesprächen auf die Anfänge der Wahrscheinlichkeitstheorie,
vor allem bei Huygens, hingewiesen und uns außerdem freundlicherweise die
Auszüge aus Huygens' Tractatus de Ratiociniis in Ludo Aleae zur Verfügung
gestellt. Michel Dekking, Hans Dwarshuis, Willem Schaafsma und Aart Stam
haben uns auf manche Fehler in der niederländischen Version des Textes auf
merksam gemacht und Anregungen zu einer besseren Darstellung gegeben.
Wir danken Holger Dette für die Anregung, dieses Buch in der Reihe
,Statistik und ihre Anwendungen' des Springer-Verlags erscheinen zu lassen
sowie dem Springer-Verlag für die verständnisvolle Zusammenarbeit.
Wir danken Ingeborg Beyer für ihre umfangreiche Arbeit, das Manu
skript in Jb.1EX zu schreiben, Malte Dehling für seine unermüdliche Hilfe
beim Lösen von Computer-Problemen und Andrea Heine-Jungblut für ihre
kreativen Beiträge zur grafischen Gestaltung des Buches. Wir danken Stefan
Mertmann und Andrea Schweer für Hinweise auf Fehler im Manuskript und
Katrin Hofmann-Credner und Axel Munk für sorgfältiges Lesen des gesam
ten Manuskripts, Hinweise auf zahlreiche Fehler und für Vorschläge zu einer
klareren Darstellung. Wir denken dankbar an Gundi und Dietmar.
Während wir an diesem Buch gearbeitet haben, haben wir viel an dieje
nigen gedacht, die sich den Inhalt dieses Buches erarbeiten wollen. So haben
wir uns auch erlaubt, in der ersten Person Plural zu schreiben. Wir haben
überlegt, wie wir etwas über die Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie
und Statistik so aufschreiben können, dass Sie gerne und erfolgreich in dem
Buch arbeiten mögen. Wir haben viel gelernt dabei und wir wünschen uns
sehr, dass das Buch Ihnen beim Kennenlernen dieses Gebietes der Mathe
matik behilflich ist. Für Hinweise auf eventuelle Fehler und für Anregungen
wären wir Ihnen sehr dankbar.
Bochum, Wethen, im Januar 2003 Herold Dehling
Beate Haupt
Inhaltsverzeichnis
Vorwort ...................................................... V
1. Einleitung................................................ 1
1.1 Vorbetrachtungen ...................................... 1
1.2 Terminologie........................................... 4
1.3 Modellierung von Laplace-Experimenten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Die Axiome der Wahrscheinlichkeitstheorie ................ 11
1.5 Aufgaben.............................................. 18
2. Elementare Kombinatorik. . . . . . .. . .. .. . . . . . . .. . . .. . . .. ... 21
2.1 Urnenmodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 21
2.2 Verteilen von Murmeln auf Zellen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 28
2.3 Binomiale und hypergeometrische Verteilungen. . . . . . . . . . . .. 34
2.4 Das Stimmzettel-Problem ............................... 37
2.5 Aufgaben.............................................. 39
3. Unabhängigkeit und bedingte Wahrscheinlichkeit.. .. . . . .. 41
3.1 Unabhängige Ereignisse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 41
3.2 Modellierung von Produktexperimenten . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 46
3.3 Bedingte Wahrscheinlichkeiten ........ . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 49
3.4 Ruinproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 57
3.5 Aufgaben.............................................. 60
4. Zufallsvariablen und ihre Verteilungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 63
4.1 Zufallsvariablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 63
4.2 Wichtige diskrete Verteilungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 68
4.3 Die Poisson-Verteilung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 75
4.4 Aufgaben.............................................. 79
5. Erwartungswert und Varianz. . . . . . . . .. . . .. . . . . . . .. . ... . .. 81
5.1 Erwartungswert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 81
5.2 Varianz............................................... 89
5.3 Die Ungleichungen von Chebychev und Markov ............ 95
5.4 Aufgaben.............................................. 98
X Inhaltsverzeichnis
6. Mehrdimensionale Verteilungen ........................... 101
6.1 Gemeinsame und marginale Verteilungen .................. 101
6.2 Unabhängige Zufallsvariablen ............................ 111
6.3 Bedingte Verteilungen ................................... 118
6.4 Kovarianz und Korrelationskoeffizient ..................... 127
6.5 Aufgaben .............................................. 135
7. Analytische Methoden .................................... 137
7.1 Die erzeugende Funktion ................................ 137
7.2 Der Galton-Watson Prozess .............................. 144
7.3 Die moment erzeugende Funktion ......................... 148
7.4 Aufgaben .............................................. 153
8. Stetige Verteilungen ...................................... 155
8.1 Dichtefunktionen ....................................... 155
8.2 Wichtige stetige Verteilungen ............................ 159
8.3 Verteilungsfunktion ..................................... 163
8.4 Thansformation von Dichten ............................. 169
8.5 Erwartungswert und Varianz ............................. 173
8.6 Aufgaben .............................................. 176
9. Mehrdimensionale stetige Verteilungen ................... 177
9.1 Gemeinsame und marginale Dichten ...................... 177
9.2 Unabhängigkeit stetiger Zufallsvariablen ................... 187
9.3 Die momenterzeugende Funktion ......................... 193
9.4 Maximum, Minimum und Ordnungsstatistiken ............. 194
9.5 Geometrische Wahrscheinlichkeiten ....................... 198
9.6 Bedingte Dichten ....................................... 202
9.7 Die mehrdimensionale Normalverteilung ................... 206
9.8 Aufgaben .............................................. 210
10. Der Zentrale Grenzwertsatz .............................. 213
10.1 Motivation und Formulierung des ZGS .................... 213
10.2 Vom lokalen zum zentralen Grenzwertsatz ................. 216
10.3 Der Satz von De Moivre und Laplace ..................... 221
10.4 Aufgaben .............................................. 226
11. Grundbegriffe der Schätztheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
11.1 Terminologie und Beispiele .............................. 227
11.2 Einige Schätzverfahren .................................. 233
11.3 Lineare Regression. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
11.4 Normalverteilte Stichproben ............................. 246
11.5 Aufgaben .............................................. 248