Einfuhrung in die Transporttheorie

217 Pages·1978·6.275 MB·German

by  Dr. Josef Jäckle (auth.)

Aus dem Programm
Physik
Einführungen
Mechanik im Berkeley Physik Kurs, Band 1, von Ch. Kittel,
W. D. Knight und M. Rudermann
Elektrizität und Magnetismus im Berkeley Physik Kurs, Band 2,
von E. M. Purcell
Schwingungen und Wellen im Berkeley Physik Kurs, Band 3,
von F. S. Crawford, jr.
Quantenphysik im Berkeley Physik Kurs, Band 4,
von E. H. Wichmann
Statistische Physik im Berkeley Physik Kurs, Band 5, von F. Reif
Lehrbücher
Einführung in die Grundlagen der Theoretischen Physik,
von G. Ludwig
Band 1: Raum, Zeit, Mechanik
Band 2: Elektrodynamik, Zeit, Raum, Kosmos
Band 3: Quantentheorie
Thermodynamik, von I. Müller
Thermodynamik, Band 1 (Gleichgewichtsthermodynamik),
von H. Stumpf und A. Rieckers
Thermodynamik, Band 2 (Nichtgleichgewichtsthermodynamik),
von A. Rieckers und H. Stumpf
Wärmetheorie, von G. Adam und O. Hittmair
Einführung in die Transporttheorie, von J. Jäckle
Vieweg
Josef Jäckle
Einführung in die
Transporttheorie
Mit 58 Abbildungen
Vieweg
CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek
Jäclde, Josef
Einführung in die Transporttheorie. - 1. Auf!. -
Braunschweig: Vieweg, 1978.
ISBN 978-3-322-99098-3 ISBN 978-3-322-99097-6 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-322-99097-6
Dr. Jose/ Jäckle ist Wissenschaftlicher Rat und Professor im Fachbereich Physik der
Universität Konstanz
Verlagsredaktion: Al/red Schubert
Alle Rechte vorbehalten
© Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig 1978
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Satz: Friedr. Vieweg & Sohn, Braunschweig
Buchbinder: P. Junghans, Darmstadt
Umschlaggestaltung: Peter Kohlhase, Lübeck
ISBN 978-3-322-99098-3
111
Vorwort
Der Plan zu dem vorliegenden Buch entstand im Anschluß an eine Vorlesung über
Transporttheorie, die ich im Studienjahr 1973/74 an der Universität Konstanz hielt.
Angesichts der relativ wenigen vorhandenen Literatur erschien mir eine neue Darstellung
dieses Gebiets wünschenswert, in welcher die auf der Anwendung der Boltzmann Glei
chung basierenden Transporttheorien mit der formalen Theorie der linearen Antwort
verknüpft werden. Dabei wird eine möglichst kohärente Darstellung angestrebt, welche
die allgemeinen Prinzipien und Zusammenhänge besonders betont. So sollen durch die
Gegenüberstellung der kinetischen Gastheorie und der kinetischen Theorie für das "Quasi
teilchengas" der Metallelektronen die Gemeinsamkeiten bei der kinetischer Theorien be
sonders hervorgehoben werden. Andererseits wird auch den Anwendungen auf die ver
schiedenen physikalischen Vorgänge breiter Raum gewidmet. Dazu werden neue experi
mentelle und theoretische Ergebnisse einbezogen, welche aus dem Zeitraum der letzten
zehn bis fünfzehn Jahre stammen. Vollständigkeit wurde nicht angestrebt. So mag der
Leser vielleicht die Behandlung der galvanomagnetischen Effekte oder eine ausflihrlichere
Beschreibung des Phononentransports vermissen. Völlig ausgeklammert wurden andere
kinetische Gleichungen wie die Langevin Gleichung und die Fokker-Planck Gleichung.
Ihre Behandlung würde über den Rahmen des Buches hinausgehen. Verglichen mit der
makroskopischen und der mikroskopischen Beschreibung steht die kinetische Beschrei
bung im Vordergrund, was sich durch die Breite ihrer Anwendungsmöglichkeiten recht
fertigen läßt.
Die Darstellung ist eher knapp gehalten, doch werden besondere Vorkenntnisse nicht
vorausgesetzt, außer Vertrautheit mit einigen grundlegenden Begriffen der Statistischen
Mechanik und der Quantenmechanik.
Herrn Dr. K. Froböse möchte ich für wertvolle Diskussionsbeiträge und bei verschie
denen Gelegenheiten bewiesene Hilfsbereitschaft herzlich danken. Ferner sage ich folgen
den Herren für nützliche Diskussionen und Hinweise Dank: Prof.E. Bucher, Dr. W. Heft,
Dr. S. Hunklinger, Dr. K. Kehr, Prof. R. Klein, Dr. N. Theodorakopoulos. Herren Dipl.
Phys. M. Stachel verdanke ich die Oszillographenaufnahrne von Bild 3.1. Schließlich
danke ich Herrn A. Schubert vom Vieweg Verlag für die gute Zusammenarbeit.
1. Jäckle
Konstanz im April 1978
IV
Inhaltsverzeichnis
Liste der Symbole VII
Einleitung 1
I. Theorie der linearen Antwort 6
1. Lineare passive Systeme . . . . . . . 6
1.1 Exkurs über den klassischen harmonischen Oszillator 6
1.2 Die Funktion der linearen Antwort ..... . 9
1.3 Dispersionsrelationen .................. . 11
1.4 Relaxation.................... .... . 15
2. Die quantenmechanische Berechnung der Funktion der linearen Antwort 16
2.1 Der "retardierte Kommutator" als Funktion der linearen Antwort 16
2.2 Homogene Systeme ...................... . 19
2.3 Die Bewegungsgleichung ........................ . 22
3. Zeitliche Korrelation von Fluktuationen; die Korrelationsfunktion . . . . . 25
3.1 Korrelationsfunktionen und spektrale Intensitätsverteilung am Beispiel des
thermischen Widerstandsrauschens ....................... 25
3.2 Die zeitliche Korrelation der Fluktuationen und makroskopische Gleichungen
(Onsagersche "Regressionsannahme") ................ 28
3.3 Quantenmechanisehe Definition der Korrelationsfunktion . . . . . . . . . 29
4. Das Fluktuations-Dissipations-Theorem ....................... 30
5. Korrelationsfunktionen aus makroskopischen (hydrodynamischen) Gleichungen 32
5.1 Der harmonische Oszillator . . . . . . . . 32
5.2 Der Relaxator ...................... 33
5.3 Schallwellen in Flüssigkeiten und Gasen ....... 34
5.4 Diffusion, Beweglichkeit, statische Leitfähigkeit 36
5.5 Beweis der Onsagerschen Regressionsannahme . . . . . 40
6. Die lineare Antwort von Systemen geladener Teilchen, "Abschirmung" 42
6.1. Die dynamische elektrische Leitfähigkeit . . . . . . . . . . . . . . . 43
6.2 Die dynamische Dielektrizitätskonstante (D.K.) . . . . . . . . . . 44
6.3 Die Antwort der Dichte auf das effektive Potential ........ 47
6.4 Darstellung der longitudinalen dynamischen Leitfähigkeit durch
Korrelationsfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
7. Makroskopische Beschreibung von Systemen geladener Teilchen ..... 48
7.1 Die dynamische Leitfähigkeit ...... . . . . . . . . . . 48
7.2 Plasmaschwingungen ....... 50
7.3 Statische Abschirmung ........ 52
8. Korrelationsfunktionen und StreuulI8 53
8.1 Klassisches Beispiel: Lichtstreuung ....... 53
8.2 Quantenmechanische Beschreibung ..... 56
8.3 Summenregeln . . . . . . . . . . . . . 60
11. Kinetische Theorie ohne Stöße 63
9. Die Verteilull8sfunktion ........... 63
10. Die kinetische Gleichung für ein ideales Gas . 68
10.1 Ableitung aus der Liouvilleschen Gleichung . . . . . . . . 68
10.2 Quantenmechanische Ableitung über die Einteilchen-Dichtematrix 69
10.3 Die kinetische Gleichung für ein Phononensystem . . . . . . . . . . . . . . . . .. 70
Inhaltsverzeichnis v
11. Die lineare Antwort der Dichte eines idealen Gases 72
11.1 Die allgemeine Formel für xn, n (k, z) .... 72
11.2 Energieabsorption und Streuung durch ideale Gase 73
11.3 Ultraschalldämpfung in Metallen ........ .. 76
11.4 Ultraschalldämpfung in dielektrischen Kristallen 77
12. Das Molekularfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
12.1 Quasiteilchen in entarteten Fermionensystemen .. 79
12.2 Die kinetische Gleichung und lineare Antwort der Dichte 81
12.3 Anwendung auf Systeme geladener Teilchen ....... . 82
a) Plasmaschwingungen ................ .. . 83
b) Abschirmung in einem Zweikomponentenplasma: Schallwellen
in Metallen .............. . 84
12.4 "NulIter Schall" in normalflüssigem 3He 87
III. Kinetische Gastheorie .............. . 90
13. Ableitung der Boltzmann Gleichung ..... . 90
14. Allgemeine Eigenschaften der Boltzmann Gleichung 98
14.1 Das H-Theorem ................. . 98
14.2 Die TransportgleiChungen ........... . 102
15. Die linearisierte Boltzmann Gleichung und der lineare Stoßoperator . 104
16. Was leistet die Boltzmann Gleichung? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
17. Anwendung der Boltzmann Gleichung auf den hydrodynamischen Bereich 113
17.1 Hydrodynamik und Boltzmann Gleichung .......... . 113
17.2 Hydrodynamische Gleichungen für reversible Prozesse ... . 114
17.3 Effekte der freien Weglänge: Wärmeleitung, Viskosität und
Diffusion ............................. . 116
18. Berechnung der Abweichung von der lokalen Gleichgewichtsverteilung 122
19. Viskosität und Wärmeleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
19.1 Die hydrodynamischen Gleichungen in der 1. Näherung der Chapman-
Enskog Entwicklung ..•.................... 129
19.2 Das Maximumprinzip rur die Transportkoeffizienten 71 und K ••• 131
19.3 Berechnung von 71 und K •••••••••••••••••••••••• 134
19.4 Vergleich mit den experimentellen Ergebnissen ................... 135
20. Höhere Näherungen der Chapman-Enskog Entwicklung; Schallwellen bei
höheren Frequenzen ••••••••••••••••.•.••••••••.••.••••••• 137
20.1 Schalldispersion und -absorption in der 1. Näherung ..... 137
20.2 Höhere Näherungen .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
20.3 Die linearisierte Boltzmann Gleichung als Eigenwertgleichung . . . 139
21. Anwendung der Boltzmann Gleichung außerhalb des hydrodynamischen
Bereichs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
21.1 Sn n (k, w) als Lösung einer Anfangswertaufgabe der linearisierten
80itzmann Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
22. Bemerkungen zur kinetischen Theorie mehratomiger Gase 142
IV. Elektronen in Metallen .................... . 146
23. Charakterisierung und Vergleich mit der kinetischen Gastheorie 146
23.1 Entartung.... . ..... 146
23.2 Bloch Zustände 147
23.3 Quasiimpuls 148
23.4 Ladung ...... . 149
VI I nhaltsverzeichn is
24. Die Boltzmann Gleichung rur Leitungselektronen in Metallen; Störstellen
und Elektron-Elektron Streuung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
25. Allgemeine Eigenschaften der Boltzmann Gleichung .................... 153
25.1 Der Integralsatz rur das Stoßglied . . . . . . 153
25.2 DasH-Theorem ................................ 154
25.3 Die Transportgleichungen ........................ 155
25.4 Die linearisierte Boltzmann Gleichung und der lineare Stoßoperator 156
26. Der hydrodynamische Bereich . . . . . . . . . . . . . . 157
27. Die Bedeutung der Transportkoeffizienten Lij . . . . . 160
27.1 Die elektrische Leitfahigkeit ......... 160
27.2 Die Wärmeleitfahigkeit ............ 160
27.3 Die Transportwärme und Transportentropie 161
27.4 Die Peltierwärme ........... 162
27.5 Der Seebeckeffekt, die Thermokraft 163
28. StörsteDenstreuung .............. . . . . . . 164
28.1 Die elektrische Leitfähigkeit ..... . . . . . . 166
28.2 Die Wärmeleitfähigkeit; das Wiedemann-Franzsche Gesetz 167
28.3 Die Thermokraft . . . 170
29. Elektron-Elektron Streuung .................. . 171
30. Elektron-Phonon Streuung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
31. Das Maximumprinzip rur die Transportkoeffizienten a und K 176
32. Die MatthieSsensche Regel ................... . 177
33. Die Berechnung der Temperaturabhängigkeit des elektrischen und
thermischen Widerstands der AlkalimetaDe 179
33.1 Der elektrische Widerstand .. . 179
33.2 Der thermische Widerstand .. . 186
34. Phononenmitflihrung ("phonon drag") 188
35. Die Viskosität der Elektronen ....................... . 192
36. Transporttheorie rur Metallelektronen außerhalb des hydrodynamischen
Bereichs ..................................... . 193
36.1 Berechnung der w-und k-Abhängigkeit der dynamischen Leitfähigkeit 194
a) Lokaler Fall (Drude Formel) .......... . 194
b) Nicht-lokaler FaD (Anomaler Skineffekt) ... . 196
Literatur . 197
Sachwortverzeichnis . 199
VII
Liste der Symbole
I. Lateinische Buchstaben
a+k ,ak Erzeugungs-, Vemichtungsoperator
av(v),av(k) Stoßinvariante
A Fläche
A(v), A(k) radialer Anteil von I/> (v) , I/>k
b Stoßparameter
B Beweglichkeit
B(v), B(k) radialer Anteil von I/> (v) , I/>k
B(r, t) magnetische Induktion
c Lichtgeschwindigkeit im Vakuum
c red uzierte Teilchengeschwindigkeit ( dimensionslos)
Cs adiabatische Schallgeschwindigkeit, auch allgemein für
Schallgeschwindigkei t
CT isotherme Schallgeschwindigkeit
elektronische Schallgeschwindigkeit
Ce
c Phasengeschwindigkeit
p
C Kondensatorkapazität
Cp spezifische Wärme (pro Volumen) bei konstantem Druck
Cy spezifische Wärme (pro Volumen) bei konstantem Volumen
C~ spezifische Wärme (pro Masse) bei konstantem Volumen
C;ff(w), C~ff(w) frequenzabhängige spezifische Wärme bei Relaxation
Ci spezifische Wärme innerer Molekülfreiheitsgrade
Ctr spezifische Wärme translatorischer Freiheitsgrade
C~) elektronische spezifische Wärme
d}'h)
spezifische Wärme der Phononen
d Molekiildurchmesser
D Diffusionskonstan te, Selbstdiffusionskoeffizient
Dv(v = 1,2) Diffusionskonstante verschiedener Komponenten
DT Temperaturleitfähigkeit
D1J kinematische Viskosität
Di(z) F ourierkoeffizien t der longitudinalen dielektrischen
Verschiebung
e elektrische Elementarladung (positiv)
e,eI Einheitsvektoren beim Stoß
e(q,a) Polarisationsvektor eines Phonons
e(r, t), ek(z) elastisches Verzerrungsfeld
VIII Liste der Symbole
E, E(r, t) elektrische Feldstärke
E~(t), E~(z) Fouriertransformierte der a-Komponente
der elektrischen Feldstärke
E~(z), E~(z) longitudinale, transversale Komponente des elektrischen Feldes
Eext, Eint, Eeff äußeres, inneres, effektives Feld
f(v, r, t), f(p, r, t), f(k, r, t) Verteilungsfunktionen
f(p, k, t), f(p, k, z) Fouriertransformierte zu f(p, r, t)
fo(v) Maxwell Verteilung
fo(e) Fermi Verteilung
f, (v,r, t), f, (k, r, t) lokale Gleichgewichtsverteilung
fp,p' Wechselwirkungsfunktion fUr Quasiteilchen
F(t) äußere Kraft
F(r,t) Kraftfeld
Fext , Fint , Feff äußeres, inneres, effektives Kraftfeld
F [~], F [~] Funktionale zur Berechnung von TransportkoeffiZienten
1
g(8) Gewichtsfaktor
G(r) Greensche Funktion
G(r), GXi• Xj(r) Funktion der linearen Antwort
Gn.n(k,r) Funktion der linearen Antwort von nk
h Plancksche Konstante
h = h/27r
Ho Harniltonoperator des Systems
Ht(t) Harniltonoperator der Störung
H(p,r,t) Harniltonfunktion fUr ein Teilchen
Hn(t),H(t) Eta-Funktion
j(r, t) Teilchenstromdichte
jk (t),j~(t),jk (z) Fourierkoeffizienten der Teilchenstromdichte
je(r, t) Ladungsstromdichte
je(r, t) Energie~tromdichte
j,,(r, t) Stromdichte zur Eta-Funktion
js(r,t) Entropiestromdichte
Jn(8o/T) Integral (n = 4, 5)
k Wellenvektor
k Betrag des Wellenvektors
k=k/k Einheitsvektor in Richtung von k
k = k' + ik" komplexer Wellenvektor
k auf die 1. Brillouin Zone reduzierter Wellenvektor
kF Fermi Wellenvektor
Liste der Symbole IX
kn Debye Wellenvektor
ks Abschirrnkonstante
kB Boltzmannsche Konstante
Ko Kraftkonstante des intermolekularen Potentials
K(v, v') Kern des Integraloperators in .f. cf>
I, 1 mittlere freie Weglänge
0
Id, le, le -p mittlere freie Weglänge der Leitungselektronen bei Störstellen-,
Elektron-Elektron und Elektron-Phonon Streuung
effektive freie Weglänge für die elektrische und thermische
Leitfähigkeit infolge Elektron-Phonon Streuung
Lorenz Zahl
Transportkoeffizienten
linearer Stoßoperator
Ersatzstoßoperator
linearer Stoßoperator für Leitungselektronen bei Störstellen-,
Elektron-Elektron und Elektron-Phonon Streuung
linearer Stoßoperator für Phononen bei Störstellen-, Phonon
Phonon und Elektron-Phonon Streuung
m Oszillatormasse
m Teilchenmasse
m* effektive Masse der Leitungselektronen
M Ionenrnasse
n Teilchenzahldichte
no mittlere Teilchenzahldichte
n(r,t) lokale Teilchenzahldichte
nk(t), nk(z) Fourierkoeffizient der Teilchenzahldichte
ns (r) Streuteilchendichte
nv(v = 1,2) Teilchendichte im Gasgemisch
nd Störstellendichte
ni(r,t) Ionendichte
n~(t) Fourierkoeffizient der Ionendichte
np,nk Besetzungszahl
n(q,r, t) Phononenverteilungsfunktion (q = (q,a))
n(q,k,z) Fourierkoeffizient der Phononenverteilungsfunktion
n(q,k, t) Wigner Operator (= a~ -k/2 (t) aq +-k/2 (t))
no(w) Bosefunktion
n=n' + in" komplexer Brechungsindex
n Normalenvektor
N Gesamtteilchenzahl