Einführung in die Statik

249 Pages·1968·9.61 MB·German

by  Dr. phil., Dr. techn. Fritz Chmelka, Melan (auth.)

Chmelka - Melan
Einfiihrung in die Statik
A c h t e, erwei terte und verbesserte Auflage
Von
Fritz Chmelka
U nveriinderter N achdruck 1977
Mit 167 Abbildungen
1968
Springer-Verlag
Wien· New York
Dr. phil., Dr. techno FRITZ CHMELKA
O. Professor an der Universitat in Innsbruck
Das Werk 1st urheberrechtlich geschfitzt.
Die dadurch begrfindeten Rechte, insbesondere die der tJbersetzung,
des Nachdruckes, der Entnahme von Abbildungen, der Funksendung, der Wledergabe
auf photcmechanischem oder ithnlichem Wege und der Spelcherung in Datenverarbeltungsanlagen,
blelben, auch bel nur auszugswelser Verwertung, vorbehalten.
© 1942, 1954, 1961, and 1968 by Springer-Verlag/Wlen
Softcover reprint of the hardcover 8th edition 1968
Library of Congress Catalog Card Number 68-27733
ISBN-13: 978-3-211-80855-9 e-ISBN-13: 978-3-7091-8187-4
DOl: 10.1007/978-3-7091-8187-4
Vorwort zur aebten Auflage
Die erste Auflage des vorliegenden Buches, die im Jahre 1942 erschien,
ging von Vorlesungen aus, die zuerst von meinem verehrten Lehrer
ERNST MELAN und spiiter dann von mir an der Architekturfakultiit der
Technischen Hochschule in Wien gehalten wurden. Dieses damals noch
sehr schmale Biichlein soUte in erster Linie dazu dienen, jenen Studie
renden, die durch Kriegsdienst am Besuch der Vorlesungen verhindert
waren, einen Studienbehelf in die Hand zu geben. Das Biichlein wurde
sehr freundlich aufgenommen und erlebte zuniichst fiinf verhiiltnismiiBig
unveriinderte Auflagen. Erst die sechste Auflage steUte eine wesentliche
Erweiterung gegeniiber den vorhergegangenen dar, so daB aus dem
Biichlein schon ein kleines Buch geworden war, wiihrend die siebente
Auflage (1961) wiederum nicht wesentlich von der sechsten abwich.
Die vorliegende achte Auflage unterscheidet sich abermals sehr merk
lich von ihren Vorgiingerinnen. Sie bringt zuniichst eine vollige Neuge
staltung und wesentliche Erweiterung des I. Kapitels, das von den
Kriiften handelt. 1m Gegensatz zu den friiheren Auflagen wurden hier
die Vektoren mit Frakturbuchstaben bezeichnet, und in dieser Bezeich
nung wurden einige ganz einfache Vektoroperationen dargesteUt. Damit
soUte eine Verbindung zu den Lehrbiichern der aUgemeinen Mechanik
hergesteUt werden. Allerdings ergab sich dadurch eine Schwierigkeit hin
sichtlich des in diesem Buch zu behandelnden Sachgebietes, denn kaum
je werden in der technischen Praxis etwa die auf einem Trager stehenden
Lasten sowie seine Auflagerdriicke mit Frakturbuchstaben bezeichnet.
Sie werden vielmehr durch Pfeile gekennzeichnet, und ihre Betriige
werden entweder in Lateinbuchstaben oder in Form spezieUer Zahlen
daneben geschrieben. Der "Obergang von der einen zu der anderen Be
zeichnung, die am Beginn des III. Kapitels vorgenommen wurde, steUt
zweifellos eine gewisse Inkonsequenz dar, die jedoch auch manche andere
Biicher iiber diesen Gegenstand nicht vermeiden konnen; nur sprechen sie
meist nicht so ausfiihrlich dariiber, wie es hier geschieht. Indessen soUsich
der Studierende daran gewohnen, das Wesentliche der Dinge zu eriassen,
und soU nicht an einer bestimmten Bezeichnung kleben. Er wird dann
iiberrascht sein, wie schnell er sich von der einen auf die andere Bezeich
nung umzustellen vermag.
IV Vorwort zur achten Auflage
Eine zweite wesentliche Anderung gegeniiber den friiheren Auflagen
dieses Buches betrifft die Bezeichnung der Krafteinheiten. In der vor
liegenden Auflage wurde ausnahmslos die Bezeichnung Kilopond (kp)
bzw. Megapond (Mp) eingefiihrt und verwendet. Zwar sagt das oster
reichische MaB- und Eichgesetz, daB fiir die Krafteinheit weiterhin die
Bezeichnung Kilogramm (kg) bzw. Tonne (t) verwendet werden darf,
sofern keine Verwechslungsmoglichkeit mit der betreffenden Massen
einheit besteht. Eine solche Moglichkeit besteht nun tatsiichlich in der
Statik nicht. Doch sollte der Leser trachten, stets die neue Bezeichnung
zu verwenden, die sich in der Dynamik bestens bewiihrt hat und die
sich auch in der Statik mehr und mehr einburgert.
In seinem ganzen Aufbau wie auch in den Anwendungsbeispielen ist
das Buch, wie in seinen bisherigen Auflagen, in erster Linie auf das Bau
wesen (Bauingenieurwesen und Architektur) ausgerichtet. Zur Weiter
bildung auf diesem Gebiet konnen die im selben Verlag erschienenen
Bucher Einfiihru1/{/ in die Festigkeitslehre von F. CHMEr. . KA und E. MELAN
sowie Einfiihru1/{/ in die Baustatik von E. MELAN zur Hand genommen
werden. Was beim Leser an mathematischen Vorkenntnissen voraus
gesetzt wird, ist gering, und entspricht etwa dem an einer allgemein
bildenden hOheren Schule vermittelten Lehrstoff. Das Buch ist mit Ab
sicht so ausfuhrlich gehalten, daB auch jene Leser, die keine sonstige
Anleitung erhalten, in den Gegenstand einzudringen vermogen.
Am 10. Dezember 1963 starb vollig unerwartet ERNST MELAN, der
als Mitautor der ersten sieben Auflagen dieses Buches gezeichnet hatte.
Mit ihm schied eine Personlichkeit aus dem Leben, die in geradezu idealer
Form den akademischen Lehrer, den Forscher und den praktischen
Konstrukteur in sich vereinigte. GroBzugig wie er war, lieB er mir schon
bei der Verfassung der ersten Auflage so gut wie vollkommen freie Hand,
stand mir jedoch mit seinem wertvollen Rat stets hilfsbereit zur Seite.
Ich mochte an dieser Stelle seiner in Dankbarkeit gedenken.
Wie schon bei der Herstellung aller bisherigen Auflagen war der Ver
lag auch diesmal in dankenswerter Weise bereit, auf aIle meine Wunsche
einzugehen, und die Zusammenarbeit verlief in angenehmster Weise.
Bad Aussee, im September 1968 FRITZ CHMELKA
Inhaltsverzeichnis
Selte
I. Die Zusammensetzung und das Gleichgewicht von Kriften
1. Zur Definition der Kraft. . . . . . . . . . 1
2. Die Newtonschen Grundgesetze der Mechanik 4
3. Einteilung der Mechanik 7
4. Einheiten 7
5. Kraftsysteme . 9
A. Das zentrale ebene Kraftsystem
6. Zeichnerische Behandlung des zentralen ebenen Kraftsystems 9
7. Zerlegung einer Kraft in zwei Komponenten . . . . . . . . 13
8. Rechnerische Behandlung des zentralen ebenen Kraftsystems . 14
9. Beispiele fUr die Reduktion zentraler ebener Kraftsysteme 18
B. Das allgemeine ebene Kraftsystem
10. Vorbemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . 20
11. Verschiebbarkeit einer Kraft in ihrer Wirkungslinie . . . 21
12. Gleichwertige Kraftsysteme . . . . . . . . . . . . . 22
13. Zeichnerische Reduktion des aligemeinen ebenen Kraftsystems 22
14. Ergebnisse der Reduktion des aligemeinen ebenen Kraftsystems 25
15. Gleichgewicht von zwei und von drei Kriiften 28
16. Moment einer Kraft. . . . 28
17. Moment eines Kriiftepaares 30
18. Gleichwertige Kriiftepaare . 31
19. Zusammensetzung von Kriiftepaaren 33
20. Kriiftepaar und Einzelkraft 34
21. Vorbemerkungen zur rechnerischen Reduktion des allgemeinen
ebenen Kraftsystems . . . . . . . . . . .. ..... 36
22. Rechnerische Behandlung des aligemeinen ebenen Kraftsystems 38
23. Systeme von starren Korpern .............. 42
24. Beispiele fUr die Reduktion allgemeiner ebener Kraftsysteme 43
25. Zerlegung von Kriiften. Gleichgewichtsaufgaben 47
26. Das Erstarrungsprinzip . . . . . . . . . . . . . 50
c. Das riiumliche Kraftsystem
27. Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . 51
28. Das zentrale riiumliche Kraftsystem. . . . . . . . 51
29. Der Winkel zwischen zwei Richtlingen im Raum . . 55
30. Die Reduktion des allgemeinen riiumlichen Kraftsystems 56
VI Inhaltsverzeichnis
Selte
31. Del' Momentenvektor im Hamn. . . . . . . . . . . . . . . . 57
32. Zerlegung des Momentenvektors in Komponentell. . . . . . . . 59
33. Fortfiihrung del' Reduktion des allgemeinen raumlichen Kraft-
systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1
34. Beispiel del' Reduktion eines allgemeinen raumlichcll Kraftsystems 65
II. Schwerpunkte ebener Flachen
35. Definition und Eigenschaften des Schwerpunkts 68
36. Das statische Moment . . . . . . . . . 71
37. Zwei Hilfssatze . . . . . . . . . . . . . . . 71
38. Schwerpunkte technisch wichtigcr Flachen . . . 74
39. Schwerpunkt eines aus Walzprofilen zusammengesetzten Quer-
schnittes. . . . . . . . . . . . . . . . 81
40. Zeichnerische Ermittlung des Schwerpunkts . . . . . . . 81
III. Die einfachsten statisch bestimmten Trager
41. Allgemeines . . . . . 83
42. Arten der Auflagerung . 84
A. Del' Trager auf zwei Stiitzen
43. Vorbemerkung beziiglich del' Bezeichnung . 88
44. Bestimmung del' Auflagerdriicke . . . . . 90
45. Beispiel zur Bestimmung del' Auflagerdriicke 94
46. Auflagerdriicke bei lotrechter Belastung . . 95
47. Beispiele zur Bestimmung del' Auflagerdriicke bei lotrechter Be-
Iastung . . . . . . . . . . . . . 97
48. Die inneren Krafte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
49. Beispiel zur Berechnung von M, N, Q ......... " 102
50. Querkraft- und Momentenverlauf bei Belastung mit Iotrechten Ein
zelkraften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
51. Beispiele zur Ermittlung des Querkraft- und Momentenverlaufs bei
Belastung mit lotrechten Einzelkraften 106
52. Streckenlasten . . . . . . . . . . . 107
53. Beispiele von Tragern mit Streckenlast 109
54. Zusammenhang zwischen M, Q und p . 111
55. Zeichnerische Ermittlung del' Biegemomente bei lotrechter Be-
lastung . . . . . . . . . . . . . . . .. ..... 115
56. Beispiele zur zeichnerischen und rechnerischen Behandlullg von
Tragern mit lotrechter Belastung . . . . . . . . . . . . 119
57. Trager mit nicht lotrechten Lasten . . . . . . . . . . . 130
58. Trager, die mit Momenten bzw. Kraftepaaren belastet sind. 134
B. Del' Krag- odeI' Freitrager
59. Allgemeines ...................... . 135
60. Bestimmung von Auflagerdruck, Einspannmoment, Querkraft und
Biegemoment ..... 137
61. Beispiele von Freitragern 140
Inhaltsverzeichnis VII
Seite
C. Del' Trager auf zwei Stiitzen mit Kragarmen
62. Rechnerische und zeichnerische Behandlung eines Tragers mit
Kragarmen 14fi
IV. Ebene Fachwerke
63. Aligemeines . . . . . . . . . . . . . . . 149
64. Die rechnerische Ermittlung del' Stabkrafte . . . . . 154
65. Beispiel zur rechnerischen Ermittlung von Stabkraften 155
66. Einfache Falle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
67. Formeln fiir die Stabkriifte bei lotrechter Belastung . . 158
68. Beispiel zur Berechnung del' Stabkrafte eines Fachwerks mit lot-
rechter Belastung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
69. Del' Paralleltrager bei lotrechter Belastung. . . . . . . . 164
70. Beispiel zur Berechnung del' Stabkrafte eines Paralleltragers 166
71. Zeichnerische Ermittlung del' Stabkrafte nach CULMANN 167
72. Zeichnerische Bestimmung del' Stabkrafte mittels des Cremona
planes (reziproken Krafteplanes) . . . . . . . . 169
73. Beispiele zur Ermittlung del' Stabkrafte mittels des Cremona
planes sowie zur Berechnung von Stabkraften 172
V. Der Gelenk- oder Gerbertrager
74. Allgemeines ....................... 181
75. Biegemoment und Querkraft bei lotrechter Belastung . . . . . . 183
76. Beispiel zur Ermittlung del' Auflagerdriicke sowie des Momenten-
und Querkraftverlaufs. . . . . . . . . . . . . 186
77. Zeichnerische Behandlung mittels des Seilpolygons 188
78. Gerbertrager auf beliebig vielen Stiitzen . 189
79. Beispiel einer Gelenkpfette. . . . . . . 194
80. Del' Gerbertrager in Fachwerkausfiihrung 195
VI. Der Dreigelenkbogen
81. Aligemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
82. Zeichnerische Ermittlung del' Kampferdriicke. Die Stiitzlinie . . . 203
83. Bestimmung von Biegemoment, Normal- und Querkraft mit Hilfe
del' Stiitzlinie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 205
84. Rechnerische Behandlung des Bogens bei lotrechter Belastung . . 207
85. Beispiel zur rechnerischen Ermittlung von M, N, Q . . . . . . . 210
86. Zeichnerische Bestimmung des Momentenverlaufs bei lotrechter Be-
lastung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 211
87. Beispiel zur zeichnerischen Ermittlung des Momentenverlaufs 213
88. Bogen mit Streckenlast . . . . . . . . . . . . . . . .. 213
89. Rechnerische Behandlung des Dreigelenkbogens bei beliebig gerich.
teter Belastung (1. Methode) . . . . . . . .. ...... 216
90. Rechnerische Behandlung des Dreigelenkbogens mit waagrechter
Belastung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
91. Rechnerische Behandillng des Dreigelenkbogens bei beliebiger Be-
lastung (2. Methode) .................... 222
VIII Inhaltsverzeichnis
Seite
92. Der Dreigelenkbogen in Fachwerkausfiihrung . 225
93. Der Dreigelenkbogen mit Zugband . . . . . 227
VD. Weitere statisch bestimmte Systeme
94. Rahmen und ihre statisch bestimmten Grundsysteme 228
95. Zwei weitere statisch bestimmte Systeme 233
Namen- und Sachverzeichnis ..... 238
I. Die Zusammensetzung und das
Gleichgewicht von Kraften
1. Zur Definition der Kraft. Die Statik, von der das vorliegende Buch
handelt, ist ein Teilgebiet der Mechanik. Diese kann etwa als die Lehre
von den Bewegungen der Korper und ihrem Verhalten unter dem Ein
fluB von Kraften bezeichnet werden. Damit stoBen wir bereits auf den
gar nicht so leicht zu definierenden Begriff der Kraft. Was unter einer
Kraft zu verstehen ist, wird zunachst aus einer subjektiven Empfindung
abgeleitet. Wir wissen, daB es einer Anstrengung, einer Muskelanspan
nung, bedarf, urn einen Korper aus dem Ruhezustand in Bewegung zu
versetzen, und ebenso, urn einen in Bewegung befindlichen Korper an
zuhalten. Aber auch wenn wir bloB die Bewegungsrichtung eines Korpers
andern wollen, ohne den Betrag seiner Geschwindigkeit zu andern, ist
eine solche Anstrengung notig. In allen dieselll Fallen sagen wir, daB wir
auf den Korper eine Kraft ausgetibt haben und daB wir dadurch seinen
Bewegungszustand geandert haben. Unter "Anderung des Bewegungs
zustandes" verstehen wir eine Anderung der GroBe der Geschwindigkeit
oder eine Anderung der Richtung der Geschwindigkeit oder auch beides
zugleich. Denn auch bei einer bloBen Richtungsanderung der Geschwin
digkeit andert sich der Bewegungszustand eines Korpers. Bewegt er sich
etwa gleichformig langs eines Viertelkreises, so hat er am Ende dieses
Wegsttickes eine Bewegung in einer Richtung, in der ursprtinglich keine
Bewegung vorhanden war, wahrend die Bewegung in der Anfangs
richtung aufgehOrt hat.
Wir beobachten ferner, daB wir an ein und demselben Korper mit
einer groBeren Anstrengung, also mit einer groBeren Kraft, eine starkere
Anderung des Bewegungszustandes hervorrufen als mit einer geringeren
Kraft. Wir bringen einen Wagen schneller auf eine bestimmte Geschwin
digkeit, wenn wir kriiftiger anschieben, als wenn wir uns nicht so sehr
anstrengen. Und dann ist auch noch die Richtung, in der wir die Kraft
auf den Korper einwirken lassen, auf die Anderung seines Bewegungszu
standes von EinfluB.
Ziehen wir verschiedene Korper in Betracht, so sehen wir, daB wir an
ihnen mit der gleichen Anstrengung oft sehr verschieden groBe Anderun-
1 Chmelka-MeJan. Statlk. 8. Auf!.
2 1. Die Zusammensetzung und das Gleichgewicht von Kriften
gen des Bewegungszustandes hervorbringen. Als den Grund hiediir sehen
wir die verschiedene M a8sen der Korper an. KorpergroBerer Masse
(etwa ein beladener Wagen) setzen einer Bewegungsanderung einen
groBeren Widerstand entgegen als solche kleinerer Masse (der leere
Wagen).
Soviel iiber das Verhalten von Korpern, auf die wir selbst mit unserer
Muskelkraft einwirken. Nun beobachten wir aber auch Bewegungs
anderungen an Korpern, ohne daB wir selbst daran irgendwie beteiligt
sind. Wir sagen, daB auch diese Bewegungsanderungen durch Krafte
verursacht werden, und objektivieren damit den zunachst rein subjek
tiven Kraftbegriff. Wird etwa ein Ball von einer Wand zuriickgeworfen,
so sagen wir, die Wand habe auf den Ball eine Kraft ausgeiibt, genauso
wie wir es auch mit unserer Hand hiitten tun konnen. Und fallt ein los
gelassener Stein herunter, so bezeichnen wir als Ursache dieser Bewegung
die Anziehungskraft, die die Erde auf den Stein ausiibt, oder kurz die
Schwerkraft.
Wir haben damit die Kraft als die Ursache der Anderung des Bewe
gungszustandes eines Korpers definiert. Es soll nicht verschwiegen wer
den, daB manche Autoren die Kraft nicht in diesel' Weise definiert wissen
wollen und daB sich der Kraftbegriff bei genauer Analyse als ein sehr
schwierig zu fassender Begriff erweist. Doch fiir unsere Zwecke mag die
oben gegebene Elklarung ausreichen.
Wir haben gesehen, daB zur eindeutigen Kennzeichnung einer Kraft
sowohl die Angabe ihrer Grope oder, wie man auch sagt, ihres Betrages
als auch die Angabe ihrer Richtung gehOrt. Physikalische GrOBen diesel'
Art nennt man Vektoren. Physikalische Begriffe, zu deren Kennzeichnung
bloB die Angabe ihres Betrages, also bloB eine einzige Zahl, erforderlich
ist, heiBen Skalare. Beispiele fiir Vektoren sind auBer der Kraft noch die
Geschwindigkeit, die Beschleunigung (das ist die Geschwindigkeits
iinderung in derZeiteinheit) usw. Beispiele fiir Skalare sind die Masse,
die Temperatur.
Ein Vektor laBt sich als gerichtete GroBe vorteilhaft durch einen Pfeil
darstellen, dessen Lange in irgendeinem MaBstab dem Betrag del' be
treffenden physikalischen GroBe entspricht. In den spateren technischen
Anwendungen werden wir jedoch oft so verfahren, daB wir durch einen
Pfeil beliebiger Liinge lediglich die Richtung des Vektors angeben und
seinen Betrag bloB zu dem Pfeil dazuschreiben. In diesem Kapitel hin
gegen, wo wir mit den Vektoren selbst ein wenig rechnen wollen, werden
wir einen Vektor, also den Inbegriff von GrOBe und Richtung, stets durch
einen Frakturbuchstaben bezeichnen, und seinen Betrag mit dem ent
sprechenden LaOOinbuchstaben; also beispielsweise den Kraftvektor '.p,
del' den (soots positiven) Betrag P hat. FUr diesen "absoluten Betrag"
des Vektors '.p schreibt man oft auch l'.p! = P.