Einführung in die Statik

218 Pages·1961·11.871 MB·German

by  Fritz Chmelka, Ernst Melan (auth.)

Einführung in die
Statik
Von
Fritz Chmelka Ernst Melan
und
Dr. phil., Dr. techn., Dipl.-Ing., Dr. techno, o. Professor
a. o. Professor an der Technischen Hochschule in Wien,
Technische Hochschule in Wien wirk!. Mitglied der Österreichischen
Akademie der Wissenschaften
Sie ben t e, verbesserte Auflage
Mit 16l Textabbildungen
Springer-Verlag Wien GmbH 1961
ISBN 978-3-7091-3880-9 ISBN 978-3-7091-3879-3 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-7091-3879-3
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© 1942, 1954 and 196r by Springer-Verlag Wien
Ursprünglich erschienen bei Springer-Verlag in Vienna '96,
Vorwort zur siebenten Auflage.
Die erste Auflage des vorliegenden Buches erschien im Jahre I942,
und zwar hauptsächlich aus der kriegsbedingten Notwendigkeit, jenen
Studierenden, die an den Vorlesungen nicht teilnehmen konnten, einen
Studienbehelf in die Hand zu geben. Dr. CHMELKA hatte es übernommen,
die Vorlesungen, die zuerst von mir und später dann von ihm für die
Hörer des ersten Semesters der Architekturabteilung der Technischen
Hochschule in Wien gehalten wurden, in Form einer "Einführung in die
Statik" herauszugeben. Keiner von uns hätte damals geglaubt, daß das
Buch eine so große Anzahl von Auflagen erleben würde.
Die ersten fünf Auflagen waren, wiederum aus kriegs- und nachkriegs
bedingten Gründen, nicht sehr wesentlich voneinander verschieden. Erst
in der sechsten Auflage war es Dr. CHMELKA möglich, eine Erweiterung
des Buches auf mehr als das Eineinhalbfache seines früheren Umfanges
vorzunehmen. Die Herausgabe der vorliegenden siebenten Auflage stand
leider unter starkem Zeitdruck, so daß es nicht möglich war, weiter
reichende Ergänzungen vorzunehmen. Die Hauptaufgabe bestand darin,
die Bezeichnungen mit der im selben Verlag kürzlich erschienenen vierten
Auflage unserer "Einführung in die Festigkeitslehre" in übereinstimmung
zu bringen.
Wie der Titel besagt, stellt das Buch eine Einführung in die Statik
dar, und es will dem Leser auf möglichst elementarem Wege, aber trotzdem
in aller Strenge mit den Grundlagen der Statik vertraut machen. Von
ihnen ausgehend, mag sich der Leser sodann dem Studium der beiden
Bücher "Einführung in die Festigkeitslehre" und "Einführung in die
Baustatik" zuwenden. Wie alle unsere Bücher wurde auch das vor-
IV Vorwort zur siebenten Auflage.
liegende mit möglichst vielen Anwendungsbeispielen ausgestattet, c
erfahrungsgemäß der Schritt von der Theorie zur Anwendung vom Al
fänger stets als besonders schwierig empfunden wird.
Wien, im Januar 1961.
ERNST MELAN
Wenn der Autor eines Fachbuches dessen Neuauflage in ziemlic
unveränderter Form erscheinen läßt, dann kommt er leicht in den Vel
dacht der Bequemlichkeit, wenn nicht gar der Einfallslosigkeit. Nu
bringt aber eine stark veränderte neue Auflage stets gewisse Schwierig
keiten mit sich. Da ist zunächst einmal die Tendenz jedes Buches, vo
Auflage zu Auflage zu wachsen und sich damit naturgemäß zu verteuerr
Zweitens steht zur Herstellung der neuen Auflage meist nicht sehr vit
Zeit zur Verfügung, soll doch die Zeitspanne, während der das Buc:
vergriffen ist, möglichst kurz sein. Die Herstellung einer verhältnismäßi,
unveränderten Auflage nimmt selbstverständlich die wenigste Zeit il
Anspruch. So muß der Autor viele seiner Wünsche nach Änderungel
und Erweiterungen seines Buches zurückstellen und nimmt sich vor
in der nächsten Auflage ganz bestimmt alles von Grund auf umzustürzel
- wenn es möglich ist!
Trotz allem ging der Verlag bereitwilligst auf alle unbedingt nötigeI
Änderungs- und Verbesserungsvorschläge ein, und es waren ihrer garnich
einmal so wenige. Wie stets bisher herrschte auch bei der Herstellung de:
vorliegenden siebenten Auflage zwischen Verlag, Druckerei und Verfasse!
die beste Zusammenarbeit, wofür ich an dieser Stelle allen Beteiligter
meinen herzlichsten Dank aussprechen möchte.
Wien, im Januar 1961.
FRITZ CHMELKA
Inhaftsverzeidmis.
Seite
I. Die Zusammensetzung und das Gleidlgewidlt von Kräften.
I. Einleitung
A. Das zentrale ebene Kraftsystem.
2. Zeichnerische Behandlung des zentralen ebenen Kraftsystems 5
3. Zerlegung einer Kraft in zwei Komponenten . . . . . . . . 7
4. Rechnerische Behandlung des zentralen ebenen Kraftsystems 9
5. Beispiele für die Reduktion zentraler ebener Kraftsysteme 11
B. Das allgemeine ebene Kraftsystem.
6. Verschiebbarkeit einer Kraft in ihrer Wirkungslinie . . . . 14
7. Zeichnerische Reduktion des allgemeinen ebenen Kraftsystems mit Hilfe
von Teilresultierenden . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
8. Zeichnerische Reduktion des allgemeinen ebenen Kraftsystems mittels des
Seilecks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
9. Ergebnisse der Reduktion des allgemeinen ebenen Kraftsystems 18
10. Gleichgewicht von zwei und von drei Kräften 20
I I. Moment einer Kraft . . . 20
12. Moment eines Kräftepaares . . . 21
13. Gleichwertige Kräftepaare 22
14. Zusammensetzung von Kräftepaaren 23
15. Kräftepaar und Einzelkraft . . . . 24
16. Vorbemerkungen zur rechnerischen Reduktion des allgemeinen ebenen
Kraftsystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
17. Rechnerische Behandlung des allgemeinen ebenen Kraftsystems 27
18. Systeme von starren Körpern. . . . . . . . . . . . . . . 31
,19. Beispiele für die Reduktion allgemeiner ebener Kraftsysteme 32
20. Zerlegung von Kräften. Gleichgewichtsaufgaben 36
C. Das räumliche Kraftsystem.
21. Das zentrale räumliche Kraftsystem . . . . . . . . 38
22. Reduktion des allgemeinen räumlichen Kraftsystems 40
23. Der Momentenvektor . . . . . . . . . . . . . . . 40
24. Ergebnisse der Reduktion des allgemeinen räumlichen Kraftsystems . 43
11. Sdlwel'punkte ebener Flädlen.
25. Definition und Eigenschaften des Schwerpunkts 45
26. Das statische Moment . . . 47
27. Zwei Hilfssätze . . . . .. ....... 48
28. Schwerpunkte technisch wichtiger Flächen. . . 51
29. Schwerpunkt eines aus Walzprofilen zusammengesetzten Querschnittes 57
30. Zeichnerische Ermittlung des Schwerpunkts . . . . . . . . . . .. 58
VI Inhaltsverzeichnis.
IlI. Die einfamsten statism bestimmten Träger. Seite
3 I. Allgemeines . . . . . . . . . . . . . 59
32. Arten der Auflagerung . . . . . . . . . . 61
A. Der Träger auf zwei Stützen.
33. Bestimmung der Auflagerdrücke . . . . . 65
34. Beispiel zur Bestimmung der Auflagerdrücke . . . . . 68
35. Auflagerdrücke bei lotrechter Belastung . . . . . . . 70
36. Beispiele zur Bestimmung der Auflagerdrücke bei lotrechter Belastung 71
37. Die inneren Kräfte. . . . . . . . . . . . . . 72
38. Beispiel zur Berechnung von M, N, Q 76
39. Querkraft- und Momentenverlauf bei Belastung mit lotrechten Einzel-
kräften . . . . . . . . . . . . . . . .. ..... 77
40. Beispiele zur Ermittlung des Querkraft- und Momentenverlaufs bei Be-
lastung mit lotrechten Einzelkräften 80
4 I. Streckenlasten . . . . . . . . . . . . 81
42. Beispiele von Trägern mit Streckenlast 84
43. Zusammenhang zwischen M, Q und p . 85
44. Zeichnerische Ermittlung der Biegemomente bei lotrechter Belastung. 89
45. Beispiele zur zeichnerischen und rechnerischen Behandlung von Trägern
mit lotrechter Belastung . . . . . . . . . . . . . . 93
46. Träger mit nicht lotrechten Lasten . . . . . . . . . . . 104
47. Träger, die mit Momenten bzw. Kräftepaaren belastet sind 108
B. Der Krag- oder Freiträger.
Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
Bestimmung von Auflagerdruck, Einspannmoment, Querkraft- und Biege-
moment ...... . I II
50. Beispiele von Freiträgern . . 114
C. Der Träger auf zwei Stutzen mit Kragarmen.
51. Rechnerische und zeichnerische Behandlung eines Trägers mit Kragarmen II9
IV. Ebene Famwerke.
52. Allgemeines. . . . . . . . . . . . . . . . . 122
53. Die rechnerische Ermittlung der Stabkräfte 127
54. Beispiel zur rechnerischen Ermittlung von Stabkräften 129
55. Einfache Fälle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13l
56. Formeln für die Stabkräfte bei lotrechter Belastung 131
57. Beispiel zur Berechnung der Stabkräfte eines Fachwerks mit lotrechter
Belastung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
58. Der Parallelträger bei lotrechter Belastung. . . . . . . 137
59. Beispiel zur Berechnung der Stabkräfte eines Parallelträgers 139
60. Zeichnerische Ermittlung der Stabkräfte nach CULMANN I41
61. Zeichnerische Bestimmung der Stabkräfte mittels des Cremonaplanes
(reziproken Kräfteplanes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I42
62. Beispiele zur Ermittlung der Stabkräfte mittels des Cremonaplanes sowie
zur Berechnung von Stabkräften . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
V. Der Gelenk= oder Gerberträger.
Allgemeines . . . . . . . . 153
Biegemoment und Querkraft bei lotrechter Belastung. ...... . 156
Beispiel zur Ermittlung der Auflagerdrücke sowie des Momenten- und
Q'uerkraftverlaufs. . . . 159
Inhaltsverzeichnis. VII
Seite
66. Zeichnerische Behandlung mittels des Seilpolygons 161
67. Gerberträger auf beliebig vielen Stützen. 162
68. Beispiel einer Gelenkpfette . . . . . . . 166
69. Der Gerberträger in Fachwerkausführung 168
VI. Der Dreige1enkbogen.
70. Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
71. Zeichnerische Ermittlung der Kämpferdrücke. Die Stützlinie 174
72. Bestimmung von Biegemoment, Normal- und Querkraft mit Hilfe der
Stü tz linie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
73. Rechnerische Behandlung des Bogens bei lotrechter Belastung 178
74. Beispiel zur rechnerischen Ermittlung von M, N, Q 182
75. Zeichnerische Bestimmung des Momentenverlaufs bei lotrechter Belastung 183
76. Beispiel zur zeichnerischen Ermittlung des Momentenverlaufs . . . . . 184
77. Bogen mit Streckenlast. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
78. Rechnerische Behandlung des Dreigelenkbogens bei beliebig gerichteter
Belastung . . . . . . . . . . . . . . . 188
79. Der Dreigelenkbogen in Fachwerkausführung . 194
80. Der Dreigelenkbogen mit Zugband 195
VII. Einige weitere statisdt bestimmte Systeme.
8!. Rahmen und ihre statisch bestimmten Grundsysteme 196
82. Zwei weitere statisch bestimmte Systeme 202
Namen- und Sachverzeichnis 2°7
I. Die Zusammensetzung und das Gleimgewimt
von Kräften.
1. Einleitung. Die Statik ist ein Teilg'ebiL't der Mechanik. Diese'
beschäftigt sich mit den B('wegungen der Körper und ihrem Verhalten unter
dem Einfluß von Kräften. Zum Begriff der Kraft werden wir durch unsere
tägliche Erfahrung geführt. Wir wissen, daß es einer Anstrengung bedarf,
um einen Körper in Bewegung zu setzen oder seine Bewegung abzubremsen.
Wir sehen ferner, daß auf alle Körper unser('r Umgebung die Schwerkraft
wirkt, wir nennen sie das" Gewicht" des Körpers, und daß wir die Wirkung
dieser Kraft unter emständen durch unsere :\Iuskelkraft aufheben können.
Wir haben hi('r t'in einfacllC's Beispiel vor uns, wie eine Kraft durch eine
andere ins "Gl('ichgewicht" gesetzt werden kann, wodurch der Körper,
an dem die Kräft(' wirken, wenn er ursprünglich in Ruhe war, auch weiter
hin in Ruhe bleibt. Schon de'r gewöhnliche Sprachgebrauch drückt durch
das Wort "Gleichgewicht" aus, daß in diesem speziellen Fall das Gewicht
des Körpers durch eine andt're Kraft, welche "gleich dem Gewicht" ist.
ausgeglichen wurde.
Bei allen ruhenden Körpern unserer Umgebung wird die Schwerkraft
durch die Unterlage der Körper (odrr durch irgendeine Befestigung)
aufgehoben. Der Körper drückt mit seinem Gewicht auf die Unterlage
und diese drückt somit mit der gleichen, aber entgegengesetzt gerichteten
Kraft auf den Körper zurück.
Hier haben wir bereits Beispiele für die drei Grundgesetze (Axiomf')
vor uns, auf denen NEwTm;l die :\lechanik aufbaute. Sie lauten:
I • Jeder Körper beharrt in seil/Oll Z1Istand der Ruhe oder der gleichiör
migeu geradlinigen Bewegung, we1t1t er nicht durch einwirkende Kräite ge
ZWI/1/gen wird, seinen Zustand ZII ändern. Dipses Gesetz wird nach
NEWTONS großf'ffi Vorgänger als Galileisches Trägheitsgesetz bezeichnct2.
1 ISAAC NEWTO:-; (1643 bis 1727), englischer Physiker und :\lathematiker, ver
öffentlichte diese Axiome in sdnem 'Verk "Philosophiae naturalis principia mathe
matica" (London, 1687) in lateinischer Sprache. '''ir bringen sie in der Übersetzung,
,lie ERNST MACH in seinem Buch "Die Mechanik in ihrer Entwicklung" (Leipzig.
1908) gibt.
2 GALILEO GALILEI (Ijf,-{ bis IU-{Z), italienischer Physiker. Ihm war das Träg
heitsgesetz bereits bekannt.
Chmelka-Melan, Statik, ,. Aull.
2 I. Die Zusammensetzung und das Gleichgewicht von Kräften.
2. Die AndeYltng der Bewegung ist der Einwirkung der bewegenden
Kraft proportional und geschieht nach der Richtung derjenigen geraden
Linie, nach welcher jene Kraft wirkt. Es ist dies das Bewegungsgesetz, das
uns in der Form: "Kraft ist gleich Masse mal Beschleunigung" bekannt
istl•
3. Die IVirklmg ist stets der Gegenwirkung gleich, oder die Wirkungen
zu'eier Körper au/einander sind stets gleich und von entgegengesetzter Richtung.
Dieses Gesetz wird als Gegenwirklmgssatz oder Reaktionsprinzip bezeichnet
und besagt, daß Kräfte immer paarweise auftreten. Wirkt ein Körper,
wir wollen ihn als den Körper I bezeichnen, auf einen anderen, den
Körper 2, mit einer Kraft, so wirkt gleichzeitig der Körper 2 auf den
Körper I mit dl'r gleich großen, aber entgegengesetzt gerichteten Kraft
zurück.
Es folgen dann bei NEWTO!ol noch einige Zusätze, von denen einer
für uns besonders wichtig ist und dem die Bedeutung eines selbständigen
Axioms zukommt, nämlich der Satz vom Kräfteparallelogramm.
'Wir müssen zunächst erläutern, wie wir Kräfte geometrisch darstellen
können. Jeder Kraft kommt ja außer ihrer Größe noch eine bestimmte
Richtung zu. Wir nennen solche Größen, die zu ihrer eindeutigen Kenn
zeichnung außer der Angabe ihres Betrages (auch absoluter Betrag genannt,
da er stets ein positiver Zahlwert ist) noch eine Richtungsangabe erfordern,
l'ektoren, zum Unterschied von den Skalaren, die bloß durch die Angabe
ihres Betrages schon ausreichend beschrieben sind. (Vektoren sind z. B.
die Kräfte, Geschwindigkeiten, Beschleunigungen; Skalare etwa die
)lasse, die Temperatur.) Vektoren kann man in einfacher Weise durch
gerichtete Strecken (Pfeile) anschaulich darstellen, deren Länge den
1 Dieses Gesetz gilt zunächst für einen Körper von ganz geringer Ausdehnung,
den man als einen J!assenpunl/t bezeichnet. Aus dem zweiten Grundgesetz im
Verein mit dem folgenden dritten können dann die Bewegungsgesetze für eine
Gruppe von Massenpunkten bzw. für einen ausgedehnten Körper hergeleitet werden.
Eines dieser Gesetze, der sogenannte Schwerpunktssatz, besagt, daß sich der Schwer
punkt eines Körpers oder eines Systems von Massenpunkten so bewegt, als wäre die
Gesamtmasse des Körpers in ihm vereinigt und als griffen sämtliche auf den Körper
wirkenden Kräfte an diesem Massenpunkt an (wozu die Kräfte allenfalls parallel
zu verschieben sind). Greift also alJ einem Körper eine von Null verschiedene Kraft
an, so erfährt der Schwerpunkt des Körpers eine Beschleunigung, die der Kraft
proportional ist, und für die gilt: Kraft = Masse X Beschleunigung. Mit der Bewegung
des Schwerpunkts ist jedoch im allgemeinen noch nicht die Bewegung des ganzen
Körpers beschrieben. Dies ist nur dann der Fall, wenn sämtliche Punkte eines soge
nannten starren Körpers (s. unten) gleiche Bahnen beschreiben. Da dieser Fall
in der Praxis häufig vorkommt, findet man das zweite Grundgesetz oft so formuliert,
daß ein Körper, auf den eine Kraft wirkt, eine dieser Kraft proportionale Beschleu
nigung erfährt. Dies ist jedoch nicht streng richtig, denn wenn z. B. der Körper
gleichzeitig auch in Drehung versetzt wird, gilt das Gesetz nur mehr für die Bewegung
des Schwerpunkts des Körpers.