Einführung in die Quantenmechanik: Skriptum für Elektrotechniker ab 5. Semester

182 Pages·1969·3.45 MB·German

by  W. Schultz (auth.)

uni-texte
Lehrbücher
J. Barner, Der Wald Begründung, Aufbau und Erhaltung
G. M. Barrow, Physikalische Chemie I
H. Dallmann/K.-H. Elster, Einführung in die höhere Mathematik
D. Geist, Physik der Halbleiter I
S. G. KreinlV. N. Uschakowa, Vorstufe zur höheren Mathematik
H. Lau/W. Hardt, Energieverteilung
R. Ludwig, Methoden der Fehler- und Ausgleichsrechnung
E. Meyer/E.-G. Neumann, Physikalische und technische Akustik
E. Meyer/R. Pottei, Physikalische Grundlagen der Hochfrequenztechnik
L. Prandtl/K. Oswatitsch/K. Wieghardt, Führer durch die Strömungslehre
W. Rieder, Plasma und Lichtbogen
y". Tutschke, Grundlagen der Funktionentheorie
H.-G. Unger, Elektromagnetische Wellen I, 11
H.-G. Unger, Quantenelektronik
H.-G. Unger, Theorie der Leitungen
H.-G. Unger/W. Schultz, Elektronische Bauelemente und Netzwerke I, 11
W. Wuest, Strömungsmeßtechnik
In Vorbereitung:
Barrow, Physikalische Chemie 11, 111
Bontsch-Brujewitsch/Swaigin/Karpenko/Mironow, Aufgabensammlung
zur Halbleiterphysik
Czech, Obungsaufgaben aus der Experimentalphysik
Dewar, Einführung in die moderne Chemie
Geist, Physik der Halbleiter 11
Hilla/Boublik, Einführung in die statistische Thermodynamik
Meyer/Guicking, Schwingungslehre
Meyer/Zimmermann, Elektronische Meßtechnik
Taegen, Elektrische Maschinen I, 11
w.
Schultz
Einführung
in die
Quantenmechanik
Skriptum für
Elektrotechniker ab 5. Semester
Mit 37 Bildern
Friedr. Vieweg + Sohn· Braunschweig
IISSBBNN 997788--33--332222--9988336622--66 IISSBBNN 997788--33--332222--9999110011--00 ((eeBBooookk))
DDOOII I100.1.1000077/9/97788--33--332222--9999110011--00
11996699
CCooppyyrriigghhtt ©© 11996699 bbyy VVeerrllaagg FFrriieeddrr.. VViieewweegg ++ SSoohhnn GGmmbbHH·· BBrraauunnsscchhwweeiigg
AAllllee RReecchhttee vvoorrbbeehhaalltteenn
BBeesstt..--NNrr..3333oooo
IInnhhaalltt
11.. EEiinnlleeii ttuunngg
22.. SScchhrrööddiinnggeerrgglleeiicchhuunngg uunndd eeiinnffaacchhee BBeeiissppiieellee 33
22..11.. DDuuaalliissmmuuss vvoonn PPaarrttiikkeell uunndd WWeellllee 33
22..22.. SSttaattiioonnäärree SScchhrrööddiinnggeerrgglleeiicchhuunngg 66
22..33.. EElleekkttrroonn iimm PPootteennttiiaallttooppff 99
22..44.. ZZeeiittaabbhhäännggiiggee SScchhrrööddiinnggeerrgglleeiicchhuunngg 2200
22..55.. WWeelllleennppaakkeett 2222
22..66.. TTuunnnneelleeffffeekktt uunndd RReefflleexxiioonn aann PPootteennttiiaallsscchhwweellllee 3300
22..77.. HHaarrmmoonniisscchheerr OOsszziillllaattoorr 3311
22..88.. WWaasssseerrssttooffffaattoomm 3355
22..99.. EElleekkttrroonn iimm ppeerriiooddiisscchheenn PPootteennttiiaall 3399
33.. SScchheemmaa ddeerr QQuuaanntteennmmeecchhaanniikk 4433
33..11.. OOppeerraattoorreenn 4444
33..22.. AAuuffsstteelllleenn ddeerr SScchhrrööddiinnggeerrgglleeiicchhuunngg 4455
33..33.. EEiiggeennffuunnkkttiioonneenn uunndd EEnnttwwiicckklluunnggssssaattzz 5566
33..44.. MMeeßßbbaarree GGrröößßeenn,, EEiiggeennwweerrttee uunndd EErrwwaarrttuunnggsswweerrttee 5588
33..55.. DDiirraaccsscchhee SScchhrreeiibbwweeiissee 6622
33..66.. QQuuaanntteennmmeecchhaanniisscchhee BBeeddeeuuttuunngg ddeerr ""MMeessssuunngg"" 6655
33..77.. VVeerrttaauusscchhuunnggssrreellaattiioonneenn 6666
33..88.. EEhhrreennffeessttsscchheess TThheeoorreemm 6688
33..99.. UUnnsscchhäärrffeerreellaattiioonn 6699
44.. DDrreehhiimmppuullss 7744
44..11.. VVeerrttaauusscchhuunnggssrreellaattiioonneenn,, EEiiggeennwweerrttee uunndd
EEiiggeennffuunnkkttiioonneenn 7744
44..22.. BBoohhrrsscchheess MMaaggnneettoonn 7788
44..33.. EElleekkttrroonneennssppiinn 7799
55.. NNäähheerruunnggssvveerrffaahhrreenn 8844
55..11.. SSttaattiioonnäärree SSttöörruunnggssrreecchhnnuunngg 8855
55..22.. ZZeeiittaabbhhäännggiiggee SSttöörruunnggssrreecchhnnuunngg 9911
55..22..11.. PPrriinnzziipp 9911
55..22..22.. DDiissppeerrssiioonn 9966
55..22..33.. ÜÜbbeerrggaannggsswwaahhrrsscchheeiinnlliicchhkkeeiitteenn 9988
55..33.. WWKKBB--MMeetthhooddee 110011
55..44.. VVaarriiaattiioonnsspprriinnzziipp 110055
66.. QQuuaanntteenntthheeoorriiee ddeerr SSttrraahhlluunngg 110088
66..11.. KKllaassssiisscchhee BBeesscchhrreeiibbuunngg ddeess SSttrraahhlluunnggssffeellddeess 110088
66 .. 22.. EEiinnffüühhrruunngg vvoonn LLii cchhtt qquuaann tteenn 1111 22
66..33.. ZZuussttaannddssddiicchhttee 111155
66..44.. BBoosseessttaattiissttiikk 111155
77.. WWeecchhsseellwwiirrkkuunngg zzwwiisscchheenn SSttrraahhlluunngg uunndd MMaatteerriiee 111177
77..11.. HHaammiillttoonnooppeerraattoorr 111177
77..22.. FFoorrmmaalliissmmuuss ddeerr SSttöörruunnggssrreecchhnnuunngg 111188
77..33.. EEnneerrggiieessaattzz 112200
77..44.. MMaattrriixxeelleemmeennttee 112211
77..44..11.. MMaattrriixxeelleemmeennttee ddeess AAttoommss 112211
77..44..22.. MMaattrriixxeelleemmeennttee ddeess SSttrraahhlluunnggssffeellddeess 112222
77..44..33.. MMaattrriixxeelleemmeennttee ffüürr EEmmiissssiioonn uunndd AAbbssoorrppttiioonn 112244
77..55.. ÜÜbbeerrggaannggsswwaahhrrsscchheeiinnlliicchhkkeeii tteenn 112244
77..66.. HHaallbbkkllaassssiisscchhee RReecchhnnuunngg 112277
77..77.. DDoopppplleerreeffffeekktt 112299
88.. MMeehhrreelleekkttrroonneennssyysstteemmee 113322
88..11.. PPaauulliipprriinnzziipp 113344
88..22.. AAuuss ttaauuss cchhkkrrääff ttee 113366
88..33.. WWaasssseerrssttooffffmmoolleekküüll 114411
99.. AAnnhhaanngg 114499
99..11.. FFoorrmmaalleess SScchheemmaa ddeerr QQuuaanntteennmmeecchhaanniikk 114499
99..11..11.. AAxxiioommee 1155''00
99..11..22.. HHaarrmmoonniisscchheerr OOsszziillllaattoorr 115511
99..22.. DDiicchhtteemmaattrriixx 115544
99..22..11.. PPrriinnzziipp 115555
99..22..22.. DDiippoollmmoommeenntt oohhnnee DDäämmppffuunngg 115566
99..22..33.. DDiippoollmmoommeenntt mmiitt DDäämmppffuunngg 115599
99..33.. OOrrtthhooggoonnaallee FFuunnkkttiioonneennssyysstteemmee 116633
99..33..11.. FFoouurriieerrrreeiihheenn 116655
99..33..22.. KKuuggeellffuunnkkttiioonneenn 116666
99..33..33.. HHeerrmmiitteesscchhee PPoollyynnoommee 116699
LLiitteerraattuurr 117711
- 1 -
1. Einleitung
Das Ziel dieser im 6. Semester gehaltenen Vorlesung ist es,
den Studenten der Fachrichtung "Elektronik und Elektrophysik"
eine erste Einführung in die Quantenmechanik zu geben. Für den
Elektroingenieur kann die Quantentheorie nur eine Hilfswissen
schaft unter vielen anderen darstellen; es wird unterstellt,
daß er nicht selbständig auf diesem Gebiet weiterarbeiten will,
sondern lediglich an einfachsten Anwendungen auf seinem spezi
ellen Fachgebiet interessiert ist. Demzufolge steht hier nicht
das eigentliche Begriffssystem der Quantenmechanik im Vorder
grund; vielmehr befaßt sich der vorliegende Text im wesentli
chen mit der Schrödingergleichung und ihrer Auswertung. Der
Elektroingenieur soll in die Lage versetzt werden, den quanten
mechanischen Überlegungen, welche in seiner Fachliteratur "am
Rande" vorkommen, folgen zu können. In diesem Sinne handelt es
sich mehr um eine "Vorstufe" als um eine "Einführung". Der Zu
satz "für Elektrotechniker" soll klarstellen, daß nicht alle
Anwendungen und Prinzipien diskutiert werden, sondern nur die
jenigen, die für die Elektrotechnik von besonderem Interesse
sind. Die Vervielfältigung dieser Niederschrift als Skriptum
bedeutet, daß an vielen Stellen ausführlichere Abhandlungen
und eingehendere Erläuterungen fehlen, welche für ein Lehr
buch unerläßlich wären.
Die Darstellung ist nicht axiomatisch aufgebaut, sondern
soll anhand möglichst einfacher Beispiele sowohl in Begriffs
system als auch in Rechentechnik der Quantenmechanik einführen.
Der Student wird eine zwar logische, aber zunächst doch unge
wohnte Denkweise kennenlernen, deren Ergebnisse mit den klas
sisch-anschaulichen Vorstellungen keineswegs immer übereinstim
men. Um in der ersten Einführung diese Begriffsbildung so weit
wie möglich plausibel zu machen, wird auf Analogien zu bekann
ten Erscheinungen aus der Elektrotechnik hingewiesen. Ein sol
ches Vorgehen bringt die Gefahr mit sich, daß der Leser zwar
selbständig aber unzulässig diese Analogiebetrachtungen weiter
ausbaut und damit zu falschen Schlüssen gelangt. Vor einer
selbständigen Weiterführung der als Plausibilitätserklärung ge
dachten Analogien muß daher ausdrücklich gewarnt werden.
, Schultz
- 2 -
Es zeigt sich, daß die quantenmechanische Behandlung selbst
einfacher Probleme einen erheblich größeren Rechenaufwand be
dingt und weit höhere Anforderungen an die mathematischen Kennt
nisse stellt als die analoge klassische Untersuchung. Der Stu
dent sieht sich daher einer zweifachen Schwierigkeit gegenüber
gestellt. Die Einführung in das ihm ungewohnte Begriffssystem
der Quantenmechanik ist - außer in den allertrivialsten Fällen -
fast zwangsweise mit dem Auftreten spezieller Funktionen der
mathematischen Physik gekoppelt. Es wurde versucht, durch Anfü
gen eines Anhangs über orthogonale Funktionensysteme so weit
wie möglich eine Koinzidenz beider Schwierigkeiten zu vermei
den. Eine sichere Handhabung der praktischen Rechentechnik, wie
sie für jeden Ingenieur selbstverständlich sein sollte, ist je
doch für das Verständnis dieser Niederschrift unerläßlich.
Die Übungsaufgaben sollen nicht nur zur Vertiefung und prak
tischen Beherrschung des schon erarbeiteten Stoffes dienen, son
dern sie stellen teilweise eine unmittelbare Fortführung und Er
gänzung der im Text behandelten Probleme dar. Da sie somit zum
wesentlichen Bestandteil der Vorlesung gehören, auf deren Ergeb
nisse im weiteren Verlauf aufgebaut wird, wurden sie in den
Text mit eingearbeitet. Eine bewußt knappe Formulierung soll da
zu beitragen, stärker Lösungsmethoden und -ansätze zu üben als
Rechenaufgaben nach vorgegebenem Schema zu lösen. Um zur selb
ständigen Mitarbeit anzuregen, hat die Darstellung häufig mehr
den Charakter einer Anleitung als den eines Lehrbuchtextes; es
wurde stellenweise darauf verzichtet, auf alle Einzelheiten und
Schlußfolgerungen explizite hinzuweisen.
Zu der hier verwendeten Schreibweise sei noch erwähnt, daß
Vektoren durch Unterstreichung gekennzeichnet werden, z.B. E.
Operatoren werden durch eine Tilde markiert, beispielsweise be
deutet p einen skalaren Operator und E_ einen Vektoroperator.
~x
Soweit es erforderlich schien, wurden Matrizen durch doppelte
Unterstreichung gekennzeichnet, z.B. ~.
Abschließend seien noch kurz die wichtigsten Bereiche der
Elektrotechnik erwähnt, in denen quantenmechanische Effekte von
Bedeutung sind:
1. Elektronische Bauelemente, die auf Effekten in Festkör
pern beruhen; hierhin gehören neben Halbleiter-Bauelemen-
- 3 -
ten Anwendungen dielektrischer und magnetischer Effekte.
Zum weitergehenden Verständnis der Wirkungsweise solcher
Bauelemente werden diejenigen Verfahren der Quantentheo
rie benötigt, die für die Festkörperphysik von Bedeutung
sind.
2. Mit der Entwicklung von Masern und Lasern sind quantenme
chanische Vorgänge unmittelbar in den Arbeitsbereich des
Elektroingenieurs getreten. Ohne auf die Wirkungsweise
selbst einzugehen, werden die quantenmechanischen Grund
lagen, die zur Vertiefung des Verständnisses erforderlich
sind, behandelt.
Mit diesen Problemkreisen ist die Ausrichtung dieser Vorle
sungsniederschrift festgelegt.
2. Schrödingergleichung und einfache Beispiele
So wie man das Verhalten von elektromagnetischen Wellen und
Feldern aus den Maxwellschen Gleichungen berechnen kann, läßt
sich analog das Verhalten eines Elektrons aus der Schrödinger
gleichung ermitteln. Die Maxwellschen Gleichungen muß man letz
ten Endes als Erfahrungsgesetz auffassen, welches die Experi
mente richtig beschreibt; dasselbe gilt auch für die SChrödin
gergleichung: man kann diese zwar nicht ableiten, wohl aber auf
grund der vorliegenden Experimente plausibel machen. Das soll
in diesem Abschnitt geschehen.
2.1. Dualismus von Partikel und Welle
Eine der ersten Erscheinungen, die sich auf klassischer
Grundlage nicht mehr verstehen lassen, ist der Dualismus von
Partikel und Welle. Das sei zunächst am Beispiel des Lichtes
diskutiert. Man weiß, daß Licht eine elektromagnetische Welle
ist, deren Ausbreitung durch eine aus den Maxwellschen Glei
chungen abzuleitende Wellengleichung beschrieben wird. Aus Beu
gung und Interferenzerscheinungen kann man unmittelbar auf die
Wellennatur schließen. Andererseits kennt man aber auch Experi
mente, bei denen sich das Licht so verhält als bestünde es aus
Partikeln, denen man eine Energie und ,einell Impuls zuordnen
kann.
Es sei beispielsweise an den äußeren photoelektrischen Ef-
- 4 -
fekt erinnert. Läßt man auf eine Metalloberfläche Licht einer
bestimmten Frequenz auffallen, wer
~a)
den Elektronen emittiert (Bild
2.1a). Die kinetische Energie ~
Metall der Elektronen hängt von der Kreis
frequenz w des Lichtes ab (Bild
2.1b), aber nicht von der Lichtin
tensität. Man findet experimentell
b) einen Zusammenhang der Form
m 2
hw = X + 20 v (2.1)
Bild 2.1. Äußerer photo wobei h und X Konstanten sind, die
elektrischer Effekt
aus dem Experiment entnommen werden
können, mo die Elektronenmasse und v die Geschwindigkeit bedeu
ten. Wie kann (2.1) interpretiert werden? Zunächst stellt man
fest, daß diese Gleichung eine Energierelation ist, da mov2/2
eine Energie darstellt. hWist die Energie, welche vom Licht ge
liefert wird. Diese Energie muß einmal die Austrittsarbeit X
aufbringen, d.h. das Elektron muß aus dem Kristallverband gelöst
werden. Die restliche Energie wird dazu verwendet, dem Elektron
eine Geschwindigkeit zu erteilen. Diese Interpretation bedeutet
aber, daß sich in diesem Fall das Licht so verhält als bestände
es aus einzelnen Partikeln, welche die Energie hwhaben: es
tritt immer nur ein "Lichtquant" mit einem Elektron in Wechsel
wirkung.
Die Konstante h, die man aus diesem Experiment bestimmen kann,
ist das durch 2rrdividierte Plancksche Wirkungsquantum+)
Die Energie eines Lichtquants
E = hw (2.2)
ist proportional der Frequenz.
Ferner weiß man, daß mit einer elektromagnetischen Strahlung
der Energiedichte U auch ein Strahlungsdruck und damit - ähnlich
+) Zur Vereinfachung der Schreibweise wird der sonst übliche
Querstrich beim h weggelassen.
- 5 -
wie in der klassischen Gastheorie - ebenfalls ein Impuls der
Dichte U/co verknüpft ist, wobei Co die Lichtgeschwindigkeit
bedeutet. Wenn nun die Strahlung
aus einzelnen Partikeln, den Licht
quanten, besteht, welche die Ener
gie (2.2) haben, muß man diesen
Teilchen auch einen Impuls der
Größe
p = hl.l1 (2.3)
Bild 2.2. Comptoneffekt
zuordnen.
Diese Beziehung kann beispielsweise durch den Comptoneffekt
experimentell geprüft werden. Trifft ein Lichtquant hW auf ein
Elektron (Bild 2.2), entsteht nach dem Stoß ein Lichtquant h~'
geringerer Energie, das sich unter einem Winkel gegenüber der
Richtung des einfallenden Lichtquants bewegt; das Elektron hat
teilweise Energie und Impuls übernommen. Man kann diese Vorgän
ge nach den Stoßgesetzen der klassischen Mechanik (Energie- und
Impulserhaltung) quantitativ beschreiben, wenn man für die
Lichtquanten die Beziehungen (2.2) und (2.3) ansetzt.
Dies zeigt, daß man das Licht einmal als Welle ansehen muß,
zum andern aber auch als Partikel mit bestimmter Energie und be
stimmtem Impuls. Vom klassisch - anschaulichen Standpunkt aus be
trachtet ist das Licht entweder eine Welle oder eine Korpuskel;
mit einem einheitlichen anschaulichen Modell kann man das gesam
te Verhalten des Lichtes nicht deuten. Um aber eine gewisse An
schaulichkeit in der Beschreibung beizubehalten, wird man wahl
weise entweder das Wellenbild oder das Partikelbild als Mo-
d e 11 vorstellung heranziehen. Dann ist nur noch eine Regel auf
zustellen, unter welchen Bedingungen das eine oder das andere
Bild anzuwenden ist. Diese läßt sich für den hier vorliegenden
Zweck recht einfach formulieren:
Der Wellencharakter ist für alle Ausbreitungsvorgänge entschei
dend, diese werden durch die Wellengleichung beschrieben; für
Wechselwirkungen mit Materie ist dagegen der Partikelcharakter
maßgebend: hier muß man die Existenz der Lichtquanten, deren
wesentlichste Eigenschaften durch (2.2) und (2.3) festgelegt