Einführung in die Operative Logik und Mathematik

305 Pages·1955·7.45 MB·German

by  Paul Lorenzen (auth.)

DIE GRUNDLEHREN DER
MATHEMATISCHEN
WISSENSCHAFTEN
IN EINZELDARSTELLUNGEN MIT BESONDERER
BERUCKSICHTIGUNG DER ANWENDUNGSGEBIETE
HERAUSGEGEBEN VON
R. GRAMMEL . E. HOPF . H. HOPF . F. RELLICH
F. K. SCHMIDT· B. L. VAN DER W AERDEN
BAND LXXVIII
EINFUHRUNG IN DIE
OPERATIVE LOGIK UND MATHEMATIK
VON
PAUL LORENZEN
Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH
1955
EINFUHRUNG
IN DIE OPERATIVE LOGIK
UND MATHEMATIK
VON
PAUL LORENZEN
APL. PROFESSOR DER MATHEMATIK AN DER UNIVERSITAT BONN
MIT 1 TEXTABBILDUNG
Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH
1955
ALLE RECHTE,
INSBESONDERE DAS DER CBERSETZUNG IN FREMDE SPRACHEN,
VORBEHALTEN
OHNE AUSDRUCKLICHE GENEHMIGUNG DES VERLAGES
1ST ES AUCH NICHT GESTATTET, DIESES BlJCH ODER TEILE DARAUS
AUF PHOT01IECHANISCHE}[ WEGE (PHOTOKOPIE, MIKROKOPIE) ZU VERVIELFALTIGEN
ISBN 978-3-662-01540-7 ISBN 978-3-662-01539-1 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-662-01539-1
COPYRIGHT 1955
BY SPRINGER-VERLAG BERLIN IIEIDELBERG
Urspriinglich erschienen bei Springer Verlag oHG Berlin Gottigen Heidelberg 1955.
Vorwort.
Der Plan, meine bisherigen Untersuchungen zu einer neuen - hier
"operativ" genannten - Begrundung der Mathematik systematisch
auszuarbeiten und zusammenfassend darzustellen, geht auf die freund
liche Initiative der Herausgeberdieser Sammlung zuruck. Ich danke
insbesondere Herrn F. K. SCHMIDT fUr seine Forderung des Planes.
Das Buch ist so geschrieben, daB es keine speziellen Kenntnisse
weder der Logik noch der Mathematik voraussetzt. Ich hoffe, daB es
daher von jedem, der die mathematischen Anfangervorlesungen gehort
hat, verstanden werden kann. Wer sich nicht fur Logik interessiert und
also bereit ist, alles Logische als "selbstverstandlich" hinzunehmen,
braucht Teil I nur fluchtig zu lesen. Zur Erleichterung fur solche Leser
sei auf die Erklarung der wichtigsten Bezeichnungen hingewiesen.
Fur viele gute Ratschlage bei der Abfassung des Manuskriptes und
bei den Korrekturen bin ich den Herren H. GERICKE, G. MULLER und
G. PICKERT dankbar. Herrn E. WETTE verdanke ich daruber hinaus
noch das Sachverzeichnis.
Mein besonderer Dank gilt auch dem Verlag fUr seine entgegen
kommende Mitarbeit.
Bonn, den 1. Marz 1955.
PAUL LORENZEN.
Inhaltsverzeichnis.
Seite
ErkHirung der wichtigsten Bezeichnungen VII
Einleitung. . . . . . . . . . .
I. Logik.
1. Protologik.
S 1. Schematisches Operieren . 9
§ 2. Ableitbarkeit und ZuHissigkeit 17
§ 3. Eliminationsverfahren . . . . 21
§ 4. Induktion und Inversion. . . 26
§ 5. Unableitbarkeit und Gleichheit 31
2. Logische Partikeln.
§ 6. Konsequenzlogik 38
§ 7. Konjunktion und Disjunktion ...... . . 55
§ 8. Negation ................ . 74
3. Erweiterungen der Logik.
§ 9. Gleichheit und Kennzeichnungen . . . . 84
§ 10. Abstraktion, Relationen und Funktionen . 99
§ 11. Modalitiit und Wahrscheinlichkeit. . . . 105
II. Konkrete Mathematik.
4. Arithmetik.
§ 12. Systeme und endliche Mengen 119
§ 13. Grundzahlen . . . . . . . . . . 132
§ 14. Lange und Kardinalzahl . . . . . 141
§ 15. Rationale und algebraische Zahlen. 150
5. Sprachkonstruktionen.
§ 16. Die elementare Sprache ..... . 165
§ 17. Sprachschichten . . . . . . . . . . . 182
6. Analysis.
§ 18. Reelle Zahlen. . . . . . . 194
§ 19. Mengen und Abbildungen 207
§ 20. Erweiterungen der Analysis. 219
III. Abstrakte Mathematik.
7. Allgemeine Strukturtheorie.
§ 21. Gebilde und Strukturen . . . . . . . . . 239
§ 22. Elementare und nichtelementare Strukturen . 247
8. Spezielle Strukturen.
§ 23. Algebra . . . . . . 255
§ 24. Topologie . . . . . 264
Li tera tu rver zeichnis 274
Bezeichnungen . 276
Sachverzeichnis ... 280
Erklarung der wichtigsten Bezeichnungen.
(1) Logik: M engenlehre:
Implikation Subtraktion '-
-i>- (.-)
Aquivalenz ++ (~) BOoLEsche Addition
nx
Konjunktion A, Ax (fUr alle x) Durchschnitt r.,
Disjunktion v, Vx (fUr manche x) Vereinigung u, Ux
Negation --, Komplement '--
(2) ~ bezeichnet die definitorische Gleichheit oder Aquivalenz.
(3) Fur Formeln A(x) bezeichnet
txA(x) dasjenige x mit A(x) (falls es genau ein so1ches gibt),
xxA(x) die Menge der x mit A(x).
Mit M=xxA(x) wird gesetzt: xEM~A(x).
(4) Fur Terme Y(x) bezeichnet
Ax Y(x) die Funktion, die fur x den Wert Y(x) annimmt.
Mit I=AxY(x) wird gesetzt: 11 x~Y(x).
(5) In Xl' X2, ... deutet ... an, daB endlich viele Glieder folgen.
In Xl' X2, •.... deutet ..... an, daB unendlich viele Glieder folgen.
(6) *, t, t werden als Nennvariable fUr Grundzahlen benutzt, so daB
z. B. X * die F olge An Xn, also Xl' X 2, . .. .. bezeichnet.
(7) Die benutzte Methode, die Zusammensetzung von Formeln oder
Termen mit Punkten statt mit Klammern zu bezeichnen, ist in
§ 1 erkHirt, z. B.
AABvC statt (AAB)vC,
+ +
Ln·X Yn· statt L,,(X Yn)·
Einleitung.
Dies Buch enthalt eine neue Begrtindung der fundamentalen Teile der
Mathematik - es sei daher hier der Versuch gemacht, die verwendete
Methode in die gegenwartige Situation der Grundlagenforschung ein
zuordnen.
Das Begrtindungsproblem als die radikale Frage nach dem Woher
jedes mathematischen Wissens (Woher wissen wir, daB 2 X 2 = 4 gilt,
daB "A oder B" aus "A" folgt, daB es zu je zwei Mengen eine Ver
einigungsmenge gibt, usw. ?) findet historisch seine erste L6sung in der
griechischen Philosophie. Der Mensch hat teil an den unveranderlichen
Ideen. Diese Teilhabe bedeutet insbesondere, daB er im Besitz des
Wissens mehrerer fundamentaler Satze ist. Es gibt "Axiome", deren
Wahrheit jedem, der an der Idee der Zahl, des Punktes, usw. teil hat,
unmittelbar gewiB, "evident" ist. Diese antike Auffassung der Mathe
matik als eines Systems von Satzen, das seine unerschtitterliche Grund
lage in evidenten Axiomen hat, hat in der abendlandischen Entwicklung
bis zur Entdeckung der nichteuklidischen Geometrien im vorigen Jahr
hundert wohl unbestritten geherrscht.
Mit der Entwicklung der Infinitesimalrechnung verlaBt allerdings
schon das 17. und 18. Jahrhundert die strenge Methode der Antike.
Die Analysis arbeitet auf Grund einer "Anschauung" des Unendlich
Kleinen, deren mathematischer Inhalt nirgendwo in Axiomen prazise
erfaJ3t wird. Die gleichzeitig entstehende Dynamik ist bis heute noch
nicht zu einer Theorie more geometrico geworden.
Die Widerspriiche, die beim unkritischen Operieren mit unendlichen
Reihen, z. B.
+ + ... + + ... + + ...
1 - 1 1 - 1 = (1 - 1) (1 - 1) = 0 0 = 0
=1-(1-1)- (1-1)-··· =1-0-0-... = 1,
auftraten, fiihren im 19. Jahrhundert zu einer "ersten Reform" der
Analysis, die mit der Definition der reellen Zahlen als gewisser "Mengen"
von rationalen Zahlen (z. B. der DEDEKINDschen Schnitte) abschlieI3t.
Das Unendlich-Kleine ist dadurch auf den Mengenbegriff zurtickgefiihrt
und dieser bildet - als scheinbar nicht mehr zurtickftihrbarer Grundbe
griff - die wieder nur "anschauliche" Grundlage der CANToRschen
Mengenlehre.
Diesmal stellten sich jedoch sehr schnell Widerspriiche ein. 1st z. B.
M die Menge aller Mengen, N die Menge aller Elemente x von M mit
Lorenzen, Operative Logik.
2 Einleitung.
x Ef X, dann gilt N =f= x fiir aIle x EM, d. h. N ist eine Menge und ist
keine Menge. Ebenso: Aus N Ef N folgt N EN, aus N EN folgt N Ef N,
also gilt N EN und N Ii N.
Vor dem Bekanntwerden dieser und ahnlicher Widerspriiche hatte
FREGE 1893 eine Formalisierung der Mathematik ausgearbeitet, deren
logische Axiome zugleich eine Basis fiir die Mengenlehre zu liefern ver
sprachen. Aber auch in dieser Formalisierung lie Ben sich die Wider
spriiche ableiten.
Seit etwa 1900 besteht daher die Aufgabe einer "zweiten Reform"
der Analysis. Diese wird zumeist als die Aufgabe aufgefaBt, ein wider
spruchsfreies Axiomensystem fiir·d ie Mengenlehre (= Logik) zu finden.
Die eleganteste Losung hat zuletzt QUINE 1951 gegeben.
Aber wie weit sind wir heute davon entfernt, die Axiome und Ab
leitungsregeln einer solchen Theorie fiir "evident" zu halt en ! Seit den
Untersuchungen iiber das euklidische Parallelenaxiom im 19. Jahrhun
dert, aus denen die nichteuklidischen Geometrien (die nicht nur als
logische Moglichkeiten aufgefaBt werden) hervorgegangen sind, ist das
Vertrauen auf Erkenntnis durch Evidenz weitgehend verloren gegangen.
So entstand das HILBERTsche Programm des "Formalismus". Eine
formalisierte Theorie wird mit ihren Axiomen und logischen Regeln als
ein Kalkiil betrachtet, also als etwas, was ein bloBes Figurenspiel sein
konnte (aber nicht ist), und mit diesen Kalkiilen als Gegenstand der
"metamathematischen" Untersuchung soIl ihre Widerspruchsfreiheit
(d. h. fiir keine Formel A sind A und non-A ableitbar) bewiesen werden.
Dies Programm hat sich fiir die formalisierte Arithmetik und dariiber
hinaus fiir die sog. verzweigte Typenlogik durchfiihren lassen [GENTZEN
1936, LORENZEN 1951 (1)]. Die Metamathematik fiihrte aber auch zu dem
Resultat (GODEL 1931), daB jeder Kalkiil, der eine Formalisierung der
Arithmetik enthalt, unvollstandig ist (d. h. fiir manche Formeln A ist
weder A noch non-A ableitbar).
Schon vor der Entwicklung der formalistischen Auffassung setzte
mit BROUWER 1908 eine ganz andere Richtung in der Grundlagen
forschung ein: der Intuitionismus. Ihr Ansatzpunkt ist die Frage, ob
das Unendliche wirklich (aktual) oder bloB moglich (potentiell) sei.
Wahrend fUr die Antike das Unendliche nur etwas potentielles war, ist
fiir das mittelalterliche und neuzeitliche Denken weitgehend die aktuale
Auffassung des Unendlichen (in der jeweiligen Interpretation als Jen
seits oder Diesseits) charakteristisch. Erst der Intuitionismus bringt
- auf der Grundlage der KANTischen Philosophie - die Ruckkehr zur
potentiellen Auffassung. Die axiomatische Begrundung wird verworfen,
und an die Stelle der Evidenz der Axiome tritt eine bei jedem Beweis
schritt erforderliche Intuition.
Einleitung. 3
Der Leser braucht aber nicht zu fiirchten, daB unsere Diskussion
des Begriindungsproblems jetzt die unkontrollierbaren Formen eines
Meinungsstreites annimmt. Das vorliegende Buch vermeidet vielmehr
diesen Streit giinzlich durch eine strenge Beschriinkung auf das, was von
jedem Mathematiker anerkannt werden kann - unabhiingig von seiner
Meinung liber das, was Mathematik sei oder sein solIe.
Trotz der vielen Diskrepanzen zwischen Intuitionismus und Formalis
mus iiber das Wesen der Mathematik sind sich beide Parteien niimlich
praktisch (beinahe) einig. Jede "mathematische" Ableitung eines For
malisten kann von jedem Intuitionisten kontrolliert werden, und sogar
jeder "metamathematische" Beweis eines Formalisten wird von jedem
Intuitionisten anerkannt. Denn der Formalismus beschriinkt sich fiir
seine metamat hemat ischen Beweise auf die "finiten" Beweismit tel, die wie
die intuitionistischen das Unendliehe nur als etwas Potentielles auffassen.
Ein Unterschied besteht allerdings darin, daB nicht auch umgekehrt
alle intuitionistischen Beweise von der formalistischen Seite anerkannt
werden konnen. Der Intuitionist "beweist" z. B. die Widerspruehsfrei
heit der iiblichen Formalisierung der Arithmetik dureh Interpretation:
A v B wird durch ---, ( ---,A A ---, B), Vx A (x) durch ---, Ax ---,A (x), ---,A durch
A-i>-1 =1=1 ersetzt und die entstehenden Siitze, die nur noeh mit -i>-, A,
Ax zusammengesetzt sind, sind dann in der gewohnlichen Interpretation
"intuitionistisch wahr". Wie liiBt sich diese Wahrheit aber kontrollieren ?
Der Gegenstand dcr finiten Metamathematik sind gewisse Kalkiile,
was ist aber der Gegenstand der intuitionistischen Mathematik? Ohne
dem Intuitionismus daraus einen Vorwurf zu machen, wird man fest
stellen konnen, daB in der Frage des Gegenstandes und der Beweismittel
die finite Metamathematik dem Verstiindnis des Mathematikers keine
Schwierigkeiten bietet, wiihrend dagegen der Intuitionismus ohne Ein
arbeitung in die BROUWERsche Auffassung von Denken, Sprache,
Mathematik usw. nicht verst and en werden kann.
Vom Intuitionismus und Formalismus gemeinsam anerkannt bleibt
also eine "finite Mathematik", insbesondere die rekursive Arithmetik.
Dieser Ausweg aus dem Dilemma des Grundlagenstreites wurde von
SKOLEM 1923 beschritten. Wie SKOLEM 1950 feststellen mume, hat
dieser Ausweg jedoch nur wenig Interesse gefunden.
Mit der "operativen" Mathematik wird ein neuer Ansatz in Riehtung
dieses Auswegs gemacht. Wie der Gegenstand der Metamathematik
gewisse Kalkiile sind (namlieh die "Formalisierungen" mathematischer
Theorien), hat die operative Mathematik beliebige Kalkiile als ihren
Gegenstand. Die These, daB Mathematik nichts als die Theorie der
Kalkiile (= formal systems) sei, wurde von CURRY 1951 aufgestellt.
Wir benutzen von dieser These Bur die eine Hiilfte, naeh der die Theorie
1*