Einführung in die numerische Berechnung von Finanz-Derivaten: Computational Finance

163 Pages·2000·5.33 MB·German

by  Professor Dr. Rüdiger Seydel (auth.)

Springer-Lehrbuch
Springer
Berlin
Heidelberg
New York
Barcelona
Hong Kong
London
Mailand
Paris
Singapur
Tokyo
Rudiger Seydel
Einfiihrung in die
numerische Berechnung
von Finanz-Derivaten
Computational Finance
Mit 34 Abbildungen, 4 Tabellen
und 36 Ubungsaufgaben
t
Springer
Professor Dr. Rudiger Seydel
Mathematisches Institu t
Universitat zu Kaln
Weyertal86-90
50931 Kaln, Deutschland
e-mail: [email protected]
Mathematics Subject Classification (1991): 65-01, 90-01, 90A09
Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme
Seydel, Riidiger:
Einfiihrung in die numerische Berechnung von Finanz-Derivaten: computational finance 1 Riidiger Seydel. -
Berlin; Heidelberg; New York; Barcelona; Hongkong; London; Mailand; Paris; Singapur; Tokio: Springer, 2000
(Springer-Lehrbuch)
ISBN 978-3-54Offll89-3
ISBN-13: 978-3-540-66889-3 e-ISBN-13: 978-3-642-59733-6
DOl: 10.1007/978-3-642-59733-6
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Vorwort
Der Umgang mit modernen Finanz-Derivaten erfordert den Einsatz von Ma
thematik. In den letzten Jahren sind eine Vielzahl von Buchern zu dem
Thema Mathematical Finance erschienen. Die Themenwahl entnimmt ihre
Schwerpunkte aus einem breiten Gebiet, von der ErkHirnng und Anwendung
der Finanzprodukte bis hin zur Aufarbeitung tiefer mathematischer Fragen.
Das Spektrum reicht von der Beschreibung von Hebeln bis zur Martingaltheo
rie. In der Finanzmathematik ist ein Zugang uber Stochastik ublich.
Ein Aspekt von Finanz-Derivaten wird eher selten geschildert: Letztlich
mussen die Finanz-Werte so gut es geht mit dem Computer berechnet werden.
Die hier benotigten Methoden der Computational Finance sind in Software
paketen installiert. Relativ wenig Insider wissen, was in solchen black boxes
passiert. Das Wissen urn die numerischen Methoden fUr Finanz-Derivate liegt
in Hiinden von Spezialisten, die zum Teil als rocket scientists mit einer Aura
des Geheimnisvollen umgeben wurden. Solche Bezeichnungen deuten an, dass
die Numerik von Finanz-Derivaten schwer zuganglich sein konnte. Hier setzt
dieses Buch an. Es versucht, eine Einfuhrung in Computational Finance zu
geben.
Der interdisziplinaren Thematik entsprechend solI das Buch lesbar sein fUr
Finanzwirtschaftler, fUr Stochastiker, und fUr die Klientel der Numerischen
Mathematik und des Wissenschaftlichen Rechnens. Dieser fachubergreifende
Anspruch bedingt eine Konzentration auf die Diskussion allgemeiner Prinzi
pien unter Verzicht auf spezielle Details. Eine Moglichkeit der Stoffauswahl
ware der Versuch, umfassend die Methoden aller drei Teilgebiete zu diskutie
ren. Einen sOlchen Weg geht dieses Buch nicht. Der Schwerpunkt liegt eindeu
tig auf der numerisehen Seite. Dieses Bueh solI andere Bucher erganzen urn die
Grundlagen der Numerischen Berechnung von Optionen. Die EinfUhrung in
die Finanz-Derivate beschrankt sich auf einen Kern von Standard-Optionen,
und der Einblick in die Theorien der Finanzmathematik ist minimal gehal
ten. Es werden weder cxotische Optionen erklart noch Martingaltheorie oder
It6-Integrale eingefUhrt. Trotzdem ist die Darstellung nicht so knapp, dass
sie nicht aus sich heraus zu verstehen ware.
Der schnelle Einstieg dieses Buches grundet auf einem experimentellen
Zugang. Die Algorithmen werden so weit erklart, dass der Leser wichtige
numerische Instrumente im Rechner implementieren kann. Mit diesen eigenen
Werkzeugen soll der Leser mit Experimenten selbst auf Entdeckungsreise
gehen und so ein anschauliches Gefiihl fUr Aspekte der Stochastik und fUr
VI Vorwort
die Dynamik von Optionen erhalten. Mit diesem learning by calculating kann
auch ein Leser ohne Kenntnis von Finanzmathematik hier einsteigen, dabei
hoffentlich auf den Geschmack kommen und dann motiviert tiefer eindringen.
So ist dieses Buch auch als Anregung gedacht. WeiterfUhrende Literatur winl
jeweils angegeben.
Der Leser braucht als Voraussetzung eine mathematische Grundausbil
dung, wie man sie in viclen Fachrichtungen in den erst en 3 Semestern erfahrt.
Der Stil ist eher informell. Ubungsaufgaben unterschiedlicher Schwierigkeit
dienen der Abrundung und Einubung. Losungshinweise finden sich im Inter
net unter http://www.mi.uni-koeln.de/numerik/compjin.
Das Buch gliedert sich in fUnf Kapitel und sechs Anhange. Das Kapitel
1 fUhrt in die Thematik ein und stellt auch gleich einen einfachen Baum
Algorithmus vor, urn Optionen berechnen zu konnen. Das Kapite12 diskutiert
die Berechnung von Zufallszahlen im Rechner, was letztlich in determinist i
scher Weise geschieht. 1m Kapitel3 wird in die Integration Stochastischer Dif
ferentialgleichungen eingefUhrt und damit eine Grundlage von Monte-Carlo
Verfahren vorgestellt. Die Berechnung von Black-Scholes-Gleichungen und
Ungleichungen ist das grof3e Thema von Kapitel 4; hier werden als Grundla
ge finite Differenzen verwendet. Das letzte Kapitel5 gibt einen Einblick in das
umfangreiche Gebiet der Methoden finiter Elemente. Die Anlagen schlieBlich
stellen einige Grundlagen und Erganzungen zusammen. Die Literaturanga
ben konzentrieren sich zumeist auf die Anmerkungen am Schluf3 der Kapitel.
Dieses Buch beschreibt Algorithmen zur Berechnung von Finanz-Deriva
ten. Hier ist eine Warnung am Platz. Numerische Resultate konnen nicht
besser sein als die zugrundeliegenden Modelle. Die Numerik sorgt fUr eine
gute Auswertung der Modelle, die nach Moglichkeit schnell und genau erfolgt.
Die numerischen Resultate konnen bei der Verbesserung der Modelle hilfreich
sein. Dieses Buch ist jedenfalls kein Ratgeber fUr den praktischen Handel mit
Optionen.
Das vorliegende Buch enstand aus Vorlesungen, die der Autor unter dem
Titel Numerical Finance an der Universitat Ulm gelesen hat und gerade an
der Universitat zu Koln liest. Motiviert wurde er durch Roland Seydel, der
die Daten zu Figur l.10 gesammelt hat. Der Text wurde von Petra Hilde
brand mit grof3em Konnen und unermudlichem Einsatz in TEX gesetzt. Dank
gebuhrt auch Jorg Berns-Muller, Peter Kloeden, Karl Riedel und Ulrich Rie
der, die in verschiedenen Phasen des Projekts hilfreiche Hinweise gegeben
haben.
Koln, im Oktober 1999 Rudiger Seydel
Inhalt
Vorwort .................................................... v
Bezeichnungen .............................................. Xl
Kapitel 1 Grundlagen ....................................... 1
1.1 Optionen ............................................ 1
1.2 Partielle Differentialgleichungen ........................ 6
1.3 Numerische Methoden ................................. 8
1.4 Binomial-Baume ...................................... 10
1.5 Stochastische Prozesse ................................. 17
1.6 Stochastische Differentialgleichungen .................... 20
1.6.1 Ito-Prozess .................................... 20
1.6.2 Anwendung auf Aktien .......................... 23
1. 7 Ito-Lemma und Folgerungen ........................... 26
Anmerkungen ............................................. 29
Ubungsaufgaben .......................................... 31
Kapitel 2 Berechnung von Zahlen nach vorgebenen
Verteilungen ................................................ 35
2.1 Pseudo-Zufallszahlen .................................. 35
2.1.1 Lineare Kongruenz-Methoden .................... 36
2.1.2 Zufalls-Vektoren ................................ 36
2.1.3 Fibonacci-Generatoren 40
2.2 Transformierte Zufallsvariable .......................... 42
2.2.1 Inversion ...................................... 42
2.2.2 Transformation im lRl .......................... 43
2.2.3 Transformation im lRn .......................... 45
2.3 Normalverteilte Zufallsvariable ......................... 45
2.3.1 Methode von Box-Muller (1958) .................. 45
2.3.2 Methode von Marsaglia ......................... 46
2.3.3 Korrelierte Zufallsvariable ....................... 47
2.4 Zahlenfolgen mit niedriger Diskrepanz ................... 49
2.4.1 Monte-Carlo-Integration ......................... 49
2.4.2 Diskrepanz .................................... 51
2.4.3 Beispiele von Folgen niedriger Diskrepanz .......... 53
VIII Inhalt
Anmerkungen ............................................. 55
Ubungsaufgaben .......................................... 56
Kapitel 3 Integration von Stochastischen
Differentialgleichungen ...................................... 61
3.1 Genauigkeit .......................................... 62
3.2 Stochastische Taylorentwicklungen ...................... 64
3.3 Beispiele Numerischer Methoden ........................ 66
3.4 Zwischenwerte ........................................ 70
3.5 Monte-Carlo-Simulation ............................... 70
Anmerkungen ............................................. 74
Ubungsaufgaben .......................................... 75
Kapitel 4 Black-Scholes und Finite Differenzen ............ 77
4.1 Vorbereitungen ....................................... 77
4.2 Grundlagen von Differenzenverfahren .................... 80
4.2.1 Differenzen-Approximationen .................... 80
4.2.2 Das Gitter ..................................... 81
4.2.3 Explizites Verfahren ............................ 82
4.2.4 Stabilitat ...................................... 84
4.2.5 Implizite Methode .............................. 86
4.3 Crank-Nicolson Verfahren .............................. 88
4.4 Randbedingungen .................................... 91
4.5 Amerikanische Optionen als freie Randwertprobleme ...... 93
4.5.1 Freie Randwertprobleme ......................... 93
4.5.2 Black-Scholes-Ungleichung ....................... 95
4.5.3 Hindernis-Probleme ............................. 96
4.5.4 Lineare Komplementaritat fUr Amerikanische Put
Optionen ...................................... 98
4.6 Berechnung amerikanischer Optionen .................... 100
4.6.1 Diskretisierung mit Finiten Differenzen ............ 100
4.6.2 Iterative Losung ................................ 102
4.6.3 Algorithmus zur Berechnung von Amerikanischen
Optionen ...................................... 104
4.7 Zur Genauigkeit ...................................... 105
Anmerkungen ............................................. 107
Ubungsaufgaben .......................................... 108
Kapitel 5 Finite-Element-Methoden ....................... 111
5.1 Gewichtete Residuen .................................. 111
5.1.1 Prinzip der gewichteten Residuen ................. 113
5.1.2 Beispiele fUr Gewichtsfunktionen ................. 114
5.1.3 Beispiele fUr Basisfunktionen ..................... 115
5.2 Galerkin-Ansatz mit Hutfunktionen ..................... 116
Inhalt IX
5.2.1 Hutfunktionen 116
5.2.2 Eine einfache Anwendung ........................ 119
5.3 Anwendung auf Optionen .............................. 121
5.4 Fehlerabschiitzungen .................................. 124
5.4.1 Klassische und schwache Losungen ................ 125
5.4.2 Approximation auf endlich-dimensionalem Teilraum . 127
5.4.3 Lemma von Cea ................................ 128
Anmerkungen ............................................. 130
Ubungsaufgaben .......................................... 131
Anhange .................................................... 133
Al Finanz-Derivate und ihr Umfeld ........................ 133
A2 Wichtiges aus Wahrscheinlichkeit und Statistik ........... 134
A3 Die Black-Scholes-Gleichung ........................... 136
A4 Methoden der Numerik ................................ 138
A5 Iterative Verfahren fUr Ax = b .......................... 141
A6 Funktionenraume ..................................... 144
Literatur 147
Index ....................................................... 151
Bezeichnungen
Elemente von Optionen:
t Zert
T Verfallsdatum
S, St Kurs des Basiswertes
E Basispreis, Ausiibungspreis
V Wert einer Option (Vc Wert eines Call, Vp Wert eines Put)
a Volatilitat
r kontinuierlicher Zinssatz (Anhang AI)
allgemeine mathematische Symbole:
lR Menge der reellen Zahlen
IN Menge der natiirlichen Zahlen
'll Menge der ganzen Zahlen
E enthalten in
C Teilmenge von
[a,b] abgeschlossenes Intervall a S x S b
[a, b) halboffenes Intervall a S x < b (analog (a, b], (a, b))
p Wahrscheinlichkeit
E Erwartungswert (vgl. Anhang A2)
Var Varianz
Cov Kovarianz
log natiirlicher Logarithmus
per definitionem gleich
gleich bis auf Rundungsfehler
Implikation
Aquivalenz
Landau-Symbol:
f(h) = O(hk) fl;~) ist beschrankt
¢=}
rv N(f.L, a2) normalverteilt mit Erwartungswert f.L und Varianz a2
U[O, 1] gleichverteilt auf [0, 1]
rv
Llt kleine Schrittweite in t
tr transponiert
Menge der auf [a, b] stetigen Funktionen
k-mal stetig differenzier bar