Einführung in die moderne Mathematik: Das Werkzeug der Algebra [Lecture notes, ]

146 Pages·2000·0.705 MB·German

by  Dieter Blessenohl

Einfu(cid:127)hrung in die moderne Mathematik
Das Werkzeug der Algebra
1
Dieter Blessenohl
Sommersemester 2000
1
Mathematis
hes Seminar, Christian-Albre
hts-Universit(cid:127)at,Kiel
Einleitung
Unter allen Fa
hspra
hen ist diejenige der Mathematik am h(cid:127)o
hsten ent-
wi
kelt, was ni
ht bedeutet, da(cid:25) sie au
h die verst(cid:127)andli
hste ist. Um eine
kurze Formel wie
Z
b
f(x)dx =F(b)(cid:0)F(a)
a
zu verstehen, bedarf es vieler Vorbereitungen.Au
h der Fu(cid:127)nf-Worte-Satz
Alleendli
henS
hiefk(cid:127)orpersindkommutativ\istni
htvomAlltagsgebrau
h
"
der Spra
he her zu ers
hlie(cid:25)en. Wer si
h zum Fa
hmann in dieser Wissen-
s
haft ausbildenwill,hat eszuallererstmitdieserunzug(cid:127)angli
henVers
hlos-
senheit der Fa
hspra
he zu tun.
Eine weitere S
hwierigkeit liegt fu(cid:127)r den Anf(cid:127)anger in der axiomatis
h de-
duktiven Form, in der ihm Mathematik an der Universit(cid:127)at entgegentritt.
Warum um alles in der Welt sollte er si
h fu(cid:127)r Gruppen, Ringe, K(cid:127)orper,
Vektorr(cid:127)aume interessieren? Da(cid:25) Mathematik der Prototyp einer axioma-
tis
h deduktiven Wissens
haft sei, in der aus vorgegebenen Axiomen na
h
strengen Regeln Folgerungen gezogen werden, geh(cid:127)ort zu den popul(cid:127)aren Al-
lerweltsweisheiten und tri(cid:11)t prima vista si
herli
h zu. Zumindest ist die
zeitgen(cid:127)ossis
he Mathematik so organisiert, undder Gewinnan Klarheitund
Dur
hsi
htigkeit, den das axiomatis
h deduktive Vorgehen fu(cid:127)r das Geb(cid:127)aude
der Mathematik bringt, kann gar ni
ht u(cid:127)bers
h(cid:127)atzt werden, weshalb man
sie dem Anf(cid:127)anger au
h in dieser Form zeigen mu(cid:25).
L(cid:127)a(cid:25)t man aber als eine vorl(cid:127)au(cid:12)ge De(cid:12)nition einmal gelten, Mathema-
tik sei das, was die Mathematiker ma
hen, so zeigt si
h s
hnell, da(cid:25) die
wesentli
he T(cid:127)atigkeit des Mathematikers - das, was ihn zum Mathematiker
ma
ht -Fors
hungist.Diekodi(cid:12)zierteForm, inderMathematik inBu(cid:127)
hern,
Aufs(cid:127)atzen und Vorlesungen ers
heint, verdankt si
h immer s
hon der An-
strengung, si
h anderen mitteilen zu mu(cid:127)ssen - und zu wollen. Viellei
ht hat
die S
hule Ihnen den Eindru
k vermittelt, da(cid:25) in der Mathematik alles er-
fors
htsei.Siehabenm(cid:127)ogli
herweisegeh(cid:127)ort,da(cid:25)au
hdieletzten,entlegenen
Spezialprobleme (Fermats
he Vermutung, Klassi(cid:12)kation der endli
hen ein-
fa
hen Gruppen)ku(cid:127)rzli
herledigt worden seien. Ni
hts istfals
heralsdieser
Eindru
k; das Gegenteil ist der Fall. Die angebli
hen Erledigungen werfen
mehrFragenauf,alssiebeantworten.Jemehrwirwissen,umsowenigerwis-
1
sen wir, k(cid:127)onnte man in u(cid:127)bertreibender Zuspitzung sagen. Der grunds(cid:127)atzli
h
o(cid:11)ene und unabges
hlossene Charakter der Mathematik hat beinahe mehr
mit ihrem Wesen zu tun als die axiomatis
h deduktive Methode. Deshalb
ist es so wi
htig, im Laufe des Studiums mit mathematis
her Fors
hung in
Beru(cid:127)hrung zu kommen.
2
Inhaltsverzei
hnis
I Mengen und natu(cid:127)rli
he Zahlen 5
1 Mengen, Relationen, Paare 6
2 Spezielle Relationen: Funktion, A(cid:127)quivalenz, Ordnung 16
3 Vollst(cid:127)andige Induktion 30
4 Grundlegende Kombinatorik 38
5 Fakult(cid:127)aten 47
6 Das Pas
als
he Dreie
k 51
II Verknu(cid:127)pfungen, algebrais
he Strukturen 58
7 Produkte von Relationen, das Na
heinander von Funktio-
nen 59
8 Magmen, Halbgruppen, Monoide, Gruppen 66
9 Homomorphismen und Homomorphies(cid:127)atze 77
10 Kongruenzrelationen und Faktorstrukturen 85
11 Potenzre
hnung in Halbgruppen, Monoiden und Gruppen 92
P Q
12 , et al. 98
13 Bildweise Verknu(cid:127)pfung von Funktionen 105
14 Universelle Eigens
haften von N, N0 und Z 111
3
III Ringe 119
15 Ringe 120
16 Ringhomomorphismen 127
17 Ideale und Faktorringe 132
IV U(cid:127)ber den Aufbau des Zahlensystems 137
V Aufgaben 138
4
Teil I
Mengen und natu(cid:127)rli
he
Zahlen
5
Kapitel 1
Mengen, Relationen, Paare
Soweit es den streng logis
hen Aufbau der Mathematik angeht, kommen
wir mit den drei Grundbegri(cid:11)en 'Menge', 'Relation', 'Paar' aus. Zwar las-
sen si
h au
h die Zahlen darauf zuru(cid:127)
kfu(cid:127)hren, do
h wollen wir uns zun(cid:127)a
hst
auf den naiven Standpunkt stellen, da(cid:25) die natu(cid:127)rli
hen, ganzen, rationalen
und reellen Zahlen und das Re
hnen mit ihnen bekannt seien. Ein korrekter
Aufbau des Zahlsystems erfordert mehr U(cid:127)bung im Umgang mit abstrakter
Begri(cid:11)sbildung, als wir sie bei unseren Lesern voraussetzen wollen. Im drit-
ten Teil dieser Vorlesung, na
hdem das geh(cid:127)orige begri(cid:15)i
he Arsenal ni
ht
nur bereitgestellt, sondern dem Leser ho(cid:11)entli
h au
h vertraut ist, kommen
wir darauf zuru(cid:127)
k.
a. Mengen
1
Cantors De(cid:12)nition\ des Begri(cid:11)s 'Menge'
"
Eine Menge M ist eine Zusammenfassung von wohlbestimm-
tenundwohlunters
hiedenenObjektenunsererAns
hauungoder
unseres Denkens (wel
he die Elemente von M genannt werden)
zu einem Ganzen.
Wir erhalten, so fu(cid:127)gen wir hinzu, dadur
h ein neues wohlbestimmtes und
wohlunters
hiedenes Objekt unserer Ans
hauung oder { eher no
h { unse-
res Denkens, mit dem wir dann in glei
her Weise verfahren k(cid:127)onnen. Es mag
uns einleu
hten, da(cid:25) in einem Korb voller A(cid:127)pfel diese sol
he wohlbestimm-
ten und wohlunters
hiedenen Objekte unserer Ans
hauung sind, und da(cid:25)
der Korb gewisserma(cid:25)en die Zusammenfassung zu einem Ganzen darstellt.
A(cid:127)hnli
h ers
heinen uns die, von Kindesbeinen an vertrauten, natu(cid:127)rli
hen
Zahlen 1;2;3;::: jede fu(cid:127)r si
h wohlbestimmt, wohlunters
hieden von allen
anderen, und ihre Zusammenfassung zu einem Ganzen { einem Objekt frei-
li
hnurunseresDenkens,daswirmitdemBu
hstabenN bezei
hnenunddie
1
Georg Cantor 1845 -1918
6
Menge der nat(cid:127)urli
hen Zahlen nennen { bereitet uns keine S
hwierigkeiten.
Die Zusammenfassung deuten wir dur
h die Klammern f und g an, also
N =f1;2;3;:::g:
Einmal im Zuge fu(cid:127)hren wir weiter ein
N0 = f0;1;2;:::g | Menge der natu(cid:127)rli
hen Zahlen mit 0
Z = f(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)2;(cid:0)1;0;1;2;:::g | Menge der ganzen Zahlen
Q | Menge der rationalen Zahlen
R | Menge der reellen Zahlen
Fu(cid:127)r jede natu(cid:127)rli
he Zahl n setzen wir zur Abku(cid:127)rzung
n =f1;2;:::;ng:
Na
h Cantors Vors
hlag k(cid:127)onnten wir nun au
h
fN;Zg oder f1;2;3;:::;Ng oder fN;Z;Q;Rg
bilden. Sogar alle denkbaren Mengen k(cid:127)onnten wir wieder zusammenfassen
wollen und { was sollte uns hindern? {
die Menge M aller Mengen
bilden.In dieser Zusammenfassungmu(cid:127)(cid:25)te M selbst wieder als Element vor-
kommen, da M ja alle Mengen als Elemente enth(cid:127)alt, also au
h si
h selbst.
Es sei dahingestellt, ob diese Bildung no
h im Sinne von Cantors De(cid:12)nition
ist. Immerhin ist jede Menge erst na
h der T(cid:127)atigkeit des Zusammenfas-
sens da, w(cid:127)ahrend bei der Bildung von M dur
h Zusammenfassen M s
hon
vorhanden sein mu(cid:25), da es ja mit allen anderen Mengen zu einem neuen
Ganzen zusammengefasst werden soll. Hinter diesem vorsi
htigen Einwand
(cid:127)o(cid:11)net si
h ein logis
her Abgrund. Mengen, die si
h selbst als Element ent-
halten, sind ohnehin sehr unheimli
h. Es gibt au
h gar kein Beispiel dafu(cid:127)r,
das si
h in einfa
her Weise vorstellen lie(cid:25)e. Die Menge f1;2;3g enth(cid:127)alt ge-
nau die Elemente 1 und 2 und 3 und das Objekt f1;2;3g selbst ni
ht. Statt
der etwas ungemu(cid:127)tli
hen Menge aller Mengen betra
hten wir bes
heidener
die Menge X aller weniger unheimli
henMengen, n(cid:127)amli
haller Mengen, die
si
h ni
ht selbst als Element enthalten. Nun gibt es o(cid:11)enbar genau zwei
M(cid:127)ogli
hkeiten:
Entweder ist X eine Menge, die si
h ni
ht selbst als Element
enth(cid:127)alt; dann ist X aber do
h { na
h De(cid:12)nition von X { ein
Element von X. Oder X enth(cid:127)alt si
h selbst als Element, ist also
{erneutna
hDe(cid:12)nitionvonX {eineMenge,diesi
hni
htselbst
als Element enth(cid:127)alt.
7
Das lei
htfertige Experimentieren mit Cantors De(cid:12)nition hat uns in einen
2
unl(cid:127)osbaren Widerspru
h verstri
kt, der na
h seinem Entde
ker Russels
he
Antinomie hei(cid:25)t. Sol
he und (cid:127)ahnli
he Erfahrungen fu(cid:127)hrten im ersten Vier-
tel des 20. Jahrhunderts zur sogenannten Grundlagenkrise der Mathematik.
Dur
h begri(cid:15)i
he Pr(cid:127)azisierung der logis
hen Grundlagen in der mathema-
tis
hen Logik und dur
h die Axiomatisierung der Mengenlehre haben die
Mathematiker si
h aus dieser Krise wieder befreit { vorl(cid:127)au(cid:12)g.
Cantors De(cid:12)nition\istkein Beispiel fu(cid:127)rdas, was wir heutzutage inder Ma-
"
thematik unter einer s
harfen De(cid:12)nition verstehen. Vielmehr wird hier nur
bes
hrieben, was wir uns unter 'Menge' vorstellen.
Wirerkl(cid:127)arendenBegri(cid:11)'Menge' ni
ht,sondernbenutzenihnalseinenni
ht
weiter de(cid:12)nierten Grundbegri(cid:11). Wi
htig sind uns die Eigens
haften dieses
Grundbegri(cid:11)s und zwar vor allem:
fu(cid:127)r jedes Objekt x mu(cid:25) klar sein, ob es zur Menge geh(cid:127)ort oder
ni
ht.
Genauer gesagt haben wir no
h einen weiteren Grundbegri(cid:11):
2
Wir s
hreiben
x2M : xgeh(cid:127)ort zu (ist Element von) M;
x2= M : xgeh(cid:127)ort ni
ht zu (ist ni
ht Element von) M:
Was wir gerade sagten, bedeutet
1.1. Fu(cid:127)r alle Objekte x und alle Mengen M gilt stets
entweder x2M oderx2= M:
Esistdabeiegal,obwirwissen,obxzuM geh(cid:127)ortoderni
ht.Z.B.isteseine
(cid:25)
o(cid:11)ene Frage, ob rational ist. Jeder Mathematiker ist aber selbstverst(cid:127)and-
e
(cid:25) (cid:25)
li
h u(cid:127)berzeugt, da(cid:25) entweder 2Q oder 2= Q gilt.
e e
1.2. Mengen sind genau dur
h die zu ihnen geh(cid:127)orenden Objekte, ihre Ele-
mente bestimmt, d.h. zwei Mengen, die die glei
hen Elemente enthalten,
sind glei
h.
Eine lei
hte Formalisierung von 1.2:
M und N m(cid:127)ogen Mengen bezei
hnen. Dann gilt:
M ist glei
h N genau dann, wenn M die glei
hen Elemente wie
N enth(cid:127)alt.
2
Bertrand Russel 1872 -1970
8
In umgangsspra
hli
h formulierten S(cid:127)atzen wie diesen wird die Phrase 'ge-
nau dann, wenn' oft dur
h 'gdw.' abgeku(cid:127)rzt. Wir fu(cid:127)hren einige Zei
hen der
mathematis
hen Spra
he ein:
= bedeutet 'ist glei
h'
() bedeutet 'genau dann, wenn' oder 'ist (cid:127)aquivalent mit'
Eine weitere Formalisierung von 1.2:
Seien M, N Mengen. Dann gilt:
M =N () M enth(cid:127)alt die glei
hen Elemente wie N.
'M enth(cid:127)alt die glei
hen Elemente wie N' bedeutet:
fu(cid:127)r alle Objekte x gilt:
x geh(cid:127)ort zu M genau dann, wenn x zu N geh(cid:127)ort,
oder, wie wir nun s
hreiben k(cid:127)onnen:
fu(cid:127)r alle Objekte x gilt: x2M ()x2N:
Die Phrase 'fu(cid:127)r alle Objekte x gilt' p(cid:13)egt man inder mathematis
hen Logik
mit
8x
abzuku(cid:127)rzen(undni
htmit'8xgilt',wasKauderwels
hist).Wirerhaltenals
halbwegs endgu(cid:127)ltige Formalisierung von 1.2
1.3. M, N seien Bezei
hnungen fu(cid:127)r Mengen. Dann gilt
8M;N (M =N ()8x(x 2M ()x2N))
Wir benutzen i.a. lieber die Umgangsspra
he und nur gem(cid:127)a(cid:25)igt diese Spra-

he der mathematis
hen Logik. Die Mathematik ist au
h so s
hon s
hwierig
genug. Au(cid:25)erdem ist die umgangsspra
hli
he Formulierung, die allerdings
pr(cid:127)azise sein mu(cid:25), dem na
hvollziehenden Leser zug(cid:127)angli
her.
Mengenwerdengew(cid:127)ohnli
haufz(cid:127)ahlendoderdur
heineEigens
haftbes
hrie-
ben.
Beispiele fu(cid:127)r die Bes
hreibung von Mengen.
f1;2;3g ist die Menge, deren Elemente genau die Zahlen 1, 2 und 3 sind |
aufz(cid:127)ahlende Bes
hreibung.
fnjn ist eine natu(cid:127)rli
he Zahl mit 1 (cid:20) n (cid:20) 3g ist dieselbe Menge bes
hrie-
ben dur
h eine Eigens
haft.
fnjn2N; 1(cid:20)n(cid:20)3g | no
h einmal dieselbe Menge.
1.4. De(cid:12)nition. Seien M, N Mengen. M hei(cid:25)t Teilmenge von N (in Zei-

hen: M (cid:18)N) gdw. jedes Element von M au
h zu N geh(cid:127)ort.
9