Einführung in die mathematischen Methoden der Theoretischen Physik

219 Pages·1976·9.547 MB·German

by  Dr. Hansjörg Dirschmid, Dr. Wolfgang Kummer, Dr. Manfred Schweda (auth.)

Hansjorg Dirschmid
Wolfgang Kummer
Manfred Schweda
EinfOhrung in die
mathematischen Methoden
der Theoretischen Physik
mit 37 Abbildungen
Institut fOr Angewandte Mathematik
der Univ.ersiUit 80nn
Abtellung fur MatheJnatische Methoden der Physik
13 Bonn, Wegelerstr.1D
Vieweg
uni-text
Dr. Hansjorg Dirschmid ist a.o. Professor am Institut fUr Technische Mathematik
der Technischen Universitat Wien
Dr. Wolfgang Kummer ist o. Professor fUr Theoretische Physik an der Technischen
Universitat Wien
Dr. Manfred Schweda ist Univetsitatsdozent fUr Theoretische Physik an der
Technischen Universitat Wien
Verlagsredaktion: Alfred Schubert
1976
AIle Rechte vorbehalten
© Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig 1976
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Satz: Friedr. Vieweg & Sohn, Braunschweig
ISBN-13: 978-3-528-03319-4 e-ISBN-13: 978-3-322-85527-5
001: 10.1007/978-3-322-85527-5
Vorwort
In den letzten Jahren scheint ein altes didaktisches Problem des Physikstudiums noch akuter
geworden zu sein: In den ersten beiden Studienjahren durchliiuft der Student die tiblichen Grund
kurse in Mathematik, wiihrend gleichzeitig im dritten oder vierten Semester ein Vorlesungszyklus
aus theoretischer Physik beginnt. Einerseits steht der vortragende Physiker daher vor dem Problem,
~ gewisse Tellgebiete der Mathematik erst zu spat im Mathematikzyklus aufscheinen, um darauf
in der theoretischen Physik zUrUckgreifen zu konnen; andererseits beginnt heute der Trend zu einer
sehr formalen und tellweise wenig anwendungsorientierten Mathematik bereits in der hOheren
Schule. Dies macht die "Einstimmung" des jungen Physikstudenten auf die mehr intuitive Arbeits
weise des Physikers immer schwieriger.
Um diesem Ubelstand abzuhelfen, existieren an vielen Universitaten - nicht nur des deutschen
Sprachraums - Ubergangsvorlesungen, die im dritten und vierten Semester gehOrt werden. Nach
unserer Meinung ist diese Regelung der mancherorts getibten Praxis vorzuziehen, die Mathematik
ausblldung des Physikstudenten ganz durch Physiker vomehmen zu lassen, denn ein sehr wesentlicher
Tell der modemen mathematischen Physik benotigt den festen Grund weitgehender mathematischer
Strenge.
An der Technischen Universitat in Wien wurde ein derartiger Kursus (zu je zwei Stunden
Vorlesungen und zwei Stunden Ubungen) in den letzten beiden Jahren von einem der Verfasser
(W. K.) gelesen. Dabei stellte sich das Bediirfnis nach einem den gegebenen Umstanden Rechnung
tragenden Vorlesungstext heraus. Zweifellos gibt es eine Vielzahl ausgezeichneter zum Tell schon
klassischer Lehrbiicher der mathematischen Physik, doch haben diese entweder den schwer
wiegenden Nachtell, in mancher Hinsicht zu vollstandig oder zu urnfangreich zu sein, oder aber,
wie in einzelnen College-Texten amerikanischer Autoren, der Einfachheit der Darstellung wird gar
zu viel an Strenge geopfert.
Damit stellt sich dem vortragenden Physiker, schon auch in Hinblick auf den allenfalls noch
nicht vollendeten Grundkurs aus Mathematik, die Frage, wie eine solche Vorlesung tiber mathe
matische Methoden der Physik sinnvoll aufzubauen ist. Er hat zum einen auf den mathematisch
noch ungetibten Studenten Rticksicht zu nehmen, zum anderen mu~ jene mathematische Methodik
dargelegt werden, welche dem Studenten die folgenden Vorlesungen aus theoretischer Physik
verstandlich macht. Unserer Uberzeugung nach kann dieser "Briickenschlag" nur in einer
behutsamen Darlegung der klassischen Methoden bestehen, insbesondere der Reihenentwicklungen
der mathematischen Physik, durchgeflihrt mit der zu Gebote stehenden mathematischen Strenge,
urn dem Studenten den Schritt zur Abstraktion naheliegend und plausibel zu machen. So soIl der
Leser die Grundlagen erarbeitet haben, die ihn befahigen, einen elementaren Grundkurs aus
Quantenmechanik, der die Theorie linearer Funktionenraume (wie der Hilbertraume) in meist
intuitiver Weise verwendet, zu verstehen, bzw. die Zusammenhange mit dem vorliegenden Skriptum
herstellen zu konnen. Wir klammem in unserem Text die explizite Erorterung solcher Methoden
aus, da sie im notigen (elementaren) Ausm~ durchaus im Rahmen eines solchen Kurses aus
Quantenmechanik gebracht werden konnen.
Oem Studienplan Rechnung tragend haben wir uns bemiiht, die mathematischen Voraus
setzungen moglichst gering zu halten, etwa in dem Umfang, den tiblicherweise der Mathematikkursus
des ersten und zweiten Semesters umf~t: Elementare Vektor-und Matrizenrechnung, Analysis
einer Funktion einer reellen Veranderlichen, gewohnliche lineare Differentialgleichungen sowie
die Theorie der Fourierschen Reihen und das Fouriersche Integraltheorem. Da auch einige Grund
tatsachen der komplexen Funktionentheorie verwendet werden, findet sich eine kurze Zusammen
fassung dieses Gebietes im Anhang.
IV Vorwort
Der vorliegende Text beginnt mit der Bereitstellung der elementaren mathematischen
Hilfsmittel und Begriffsbildungen der Feldtheorie, wie sie in Kapitel 2 fUr die Besprechung der
partiellen Differentialgleichungen der mathematischen Physik erforderlich sind. In Kapitel 3 wird
ein erster methodischer Schritt zur Wsung einer Auswahl typischer partieller Differential
gleichungen unternommen, namlich die Trennung der Veriinderlichen, der die Notwendigkeit von
Reihenentwicklungen nach gewissen Funktionensystemen aufzeigt. In Kapitel4 werden deshalb
Sturm-Liouville-Differentialoperatoren studiert; der Entwicklungssatz nach Eigenfunktionen eines
reguliiren Sturm-Liouville-Differentialoperators wird bis auf unwesentliche Nebenrechnungen
bewiesen, kann jedoch vom Leser bei einer ersten Orientierung tibersprungen werden. 1m folgenden
wird demonstriert, ~ dieser Entwicklungssatz die formalen Methoden zur Wsung partieller
Differentialgleichungen mit Anfangs-und Randbedingungen rechtfertigt. Vorbereitende Bemerkungen
tiber die Diracsche Deltafunktion und Greensche Funktionen in den darauffolgenden Abschnitten
sollen die Betrachtungen von Kapitel 7 und 8 motivieren.
In Kapitel 5 erstellen wir die Grundlagen zur Diskussion singullirer Differentialgleichungen,
wie sie durch den Separationsansatz des Laplaceoperators in orthogonalen krummlinigen
Koordinaten entstehen; damit wird in Kapitel6 eine Auswahl der wesentlichen Eigenschaften der
speziellen Funktionen der mathematischen Physik diskutiert und weitere Entwicklungssatze (nach
Kugel-und Zylinderfunktionen) besprochen. In Kapitel 7 wird ein Abr~ der Theorie der verallge
meinerten Funktionen gegeben, wie er zum Verstandnis der Losungstheorie partieller Differential
gleichungen mit Hilfe Greenscher Funktionen in Kapitel 8 notwendig ist.
Soweit methodisches Interesse vorliegt, legen wir die mathematischen Beweise dar; bisweilen
haben wir aber auch von einer vollstiindigen Beweisflihrung abgesehen, urn dem Leser Gelegenheit
zu geben, sein Verstandnis flir die dargelegten Methoden sich selbst vor Augen flihren zu konnen.
Obwohl diese nicht weiter gekennzeichneten "Textbeispiele" tellweise elementarer Natur sind, sei
es dem Leser sehr empfohlen, die fehlenden Schritte zu ergiinzen.
Zum Abschlu~ eines jeden Kapitels fmden sich "Obungsbeispiele, die zum Tell auch Ergiinzungen
des Stoffes sind. Zur deutlichen Abgrenzung von den blo~en Anwendungsbeispielen sind diese mit
einem * gekennzeichnet.
Die Autoren sind Herrn Dipl.-Ing. H. Latsch fUr die sorgfaltige Reinschrift des Manuskriptes
und dem Verlag Vieweg & Sohn insbesondere fUr die bewiesene Geduld zu gro~em Dank verpflichtet.
H. J. Dirschmid / W. Kummer / M Schweda
Wien, Marz 1976
v
Inhaltsverzeichnis
1. Mathematische Grundlagen
1.1. Der Begriff des Feldes und des Gradienten 1
1.1.1. Definition der Feldgro~e 1
1.1.2. Xnderung (Differentiation) der Feldgro~en 4
1.2. Integration der Feldgro~en 8
1.2.1. Kurvenintegrale 8
1.2.2. Fliichenintegrale 11
1.3. Tensoren 17
1.3.1. Der Begriff des Tensorfeldes 17
1.3.2. Rechenregeln fUr Tensoren in kartesischen Koordinatensystemen 19
1.3.3. Der lJ-Tensor und e-Tensor 20
1.4. Koordinatentransformationen 21
1.5. Einfachste Differentialoperatoren 25
1.5.1. Die Divergenz und der Satz von Gau~ 25
1.5.2. Die Rotation und der Satz von Stokes 28
1.5.3. Sprungfliichenoperatoren 30
1.5.4. Divergenz und Rotor in krummlinigen Koordinaten 31
1.6. tlbungsbeispiele zu Kap. 1 32
2. Partielle Differentialgleichungen der Physik 35
2.1. Die Poissonsche Differentialgleichung 35
2.1.1. Beschreibung eines Feldes durch Quellen und Wirbel 35
2.1.2. Eindeutigkeit der Losung. Randbedingungen 36
2.2. Die partielle Differentialgleichung von Schwingungsvorgiingen 37
2.2.1. Die schwingende Saite 37
2.2.2. Die schwingende Membran und riiumllche Schwingungen 40
2.3. Die Differentialgleichungen der Diffusion und Wiirmeleitung 42
2.4. Einfachste Differentialgleichungen der Quantenmechanik 44
2.5. tlbungsbeispiele zu Kap. 2 45
3. Losungsansatze fur partielle Differentialgleichungen 46
3.1. Trennung der Variablen 46
3.2. Die Laplacegleichung 48
3.2.1. Die Laplacegleichung fUr ein Rechteck 48
3.2.2. Die Laplacegleichung in Polarkoordinaten 49
3.3. Die schwingende Saite 51
3.3.1. Die beidseitig eingespannte schwingende Saite 51
3.3.2. Die d'Alembertsche LOsung der schwingenden Saite 52
3.4. tlbungsbeispiele zu Kap. 3 55
4. Rand und Eigenwertaufgaben 56
4.1. Problemstellung 56
4.2. Sturm-Liouville-Differentialoperatoren 57
VI lnhaltsverzeichnis
4.2.1. Selbstadjungierte Differentialoperatoren 57
4.2.2. Sturm-Liouville-Randwertaufgaben 59
4.2.3. Sturm-Liouville-Eigenwertaufgaben 60
4.2.4. Die Sturm-Liouville-Transformation 61
4.3. Der Entwicklungssatz 64
4.3.1. Eigenwerte und Eigenfunktionen 64
4.3.2. Der Entwicklungssatz flir beschrankte Intervalle 71
4.4. Die L6sung der Anfangsrandwertaufgabe 78
4.5. Die inhomogene Randwertaufgabe 82
4.6. Nadelartige Funktionen 87
4.7. Erganzungen und Bemerkungen 90
4.8. Obungsbeispiele zu Kap. 4 99
5_ Singulare Differentialgleichungen 103
5.1. Der Begriff der singularen Differentialgleichung. Differentialgleichungen der
Fuchsschen Klasse 103
5.2. Die hypergeometrische Differentiaigleichung 109
5.3. Die konfluente hypergeometrische Differentialgleichung 116
5.4. Obungsbeispiele zu Kap. 5 117
6. Spezielle Funktionen 120
6.1. Kugelfunktionen 120
6.1.1. Die Laplacegleichung in Kugelkoordinaten 120
6.1.2. Die Legendreschen Polynome und ihre erzeugende Funktion 123
6.1.3. Die Formel vom Rodrigues 126
6.1.4. Die Integraidarstellung von Laplace 127
6.1.5. Die zugeordneten Legendreschen Funktionen 128
6.1.6. Kugeiflachenfunktionen ais Eigenfunktionen 130
6.1.7. Das Additionstheorem der Kugelflachenfunktionen 132
6.1.8. Der Entwicklungssatz nach Kugelflachenfunktionen 133
6.1.9. Die Randwertaufgaben der Potentiaitheorie 137
6.2. Zylinderfunktionen. 140
6.2.1. Die Laplacegleichung in Zylinderkoordinaten 140
6.2.2. Besselfunktionen 141
6.2.3. Besselfunktionen als Eigenfunktionen 143
6.2.4. Integraldarstellung und erzeugende Funktion der Besselfunktion In (p) 145
6.2.5. Das Additionstheorem der Besselfunktionen mit ganzzahligem Zeiger 148
6.2.6. Die Wellengleichung. Spharische Besselfunktionen 149
6.2.7. Entwicklung einer ebenen Welle nach Kugelwellen ISO
6.2.8. Asymptotische Darstellungen flir spharische Besselfunktionen 152
6.3. Hermitesche und Laguerresche Polynome 153
6.3.1. Der harmonische Oszillator (Hermitesche Polynome) 153
6.3.2. Die erzeugende Funktion der Hermiteschen Polynome ISS
6.3.3. Die Schr6dingergleichung flir das Wasserstoffatom (Laguerresche Poly nome) 157
6.4. Obungsbeispiele zu Kap. 6 159
Inhaltsverzeichnis VII
7. Verallgemeinerte Funktionen 164
7.1. Problemstellung 164
7.2. Testfunktionen 166
7.3. Verallgemeinerte Funktionen 168
7.4. Die Diracsche Deltafunktion 170
7.5. Die Derivierte einer verallgemeinerten Funktion 170
7.6. Produkte von verallgemeinerten Funktionen. Das Funktional 6 (g(x» 173
7.7. Die uneigentliche Funktion ll(l/r) 175
7.8. Ergiinzungen und Bemerkungen 176
7.9. 'Obungsbeispiele zu Kap. 7 179
8. Die Methode der Greenschen Funktionen fUr partielle
Differentialgleichungen 181
8.l. Die klassische LOsung der Poissongleichung 181
8.2. Greensche Funktionen und die Deltafunktion 183
8.3. Die Greensche Funktion der Poissongleichung 185
8.3.1. Der eindimensionale Fall 185
8.3.2. Der dreidirnensionale Fall mit natiirlichen Randbedingungen 188
8.4. Die Greensche Funktion der Wiirmeleitung (Diffusion) 188
8.4.1. Die Wiirmeleitung irn unendlich langen Stab 188
8.4.2. Anfangs-und Randbedingungen der homogenen Wiirmeleitungsgleichung 190
8.4.3. Die Wiirmeleitung irn Raum 191
8.5. Die Greenschen Funktionen der Wellengleichung und ihrer Verallgemeinerungen 192
8.5.1. Allgemeine Randbedingungen 192
8.5.2. Greensche Funktionen irn unendlichen Raum 195
8.6. Obungsbeispiele zu Kap. 8 200
Anhang 202
A. Funktionentheorie 202
B. Die Gammafunktion 208
Literatur 210
Sachwortverzeichnis 211
1. Mathematische Grundlagen
1.1. Der Begriff des Feldes und des Gradienten
1.1.1. Definition der Feldgr~
Die mathematische Fassung der Naturgesetze bedient sich des Feldbegriffes. Wir bezeichnen
als Feld eine physikalische Gro~e, die sich von Ort zu Ort, auch in Abbiingigkeit von der Zeit,
iindert*). Es sei etwa in einem gewissen Bereich des dreidimensionalen Raumes eine Temperatur
vertellung gegeben; bezeichnet u die Temperatur, so ~t sich das Temperaturfeld in der Form
(1.1/1)
in Abhangigkeit von Ort und Zeit t darstellen. Ein solches Feld nennt man ein Skalarfek4 well es
mit keiner Richtung behaftet ist. Es hei~t insbesondere instationiir, wenn sich die Temperatur an
ein und demselben Ort mit der Zeit andert. 1st dies nicht der Fall, die Temperatur also an jedem
Ort fUr aile Zeiten gleich, so nennt man (1.1/1) ein stationiires Feld,
u = U(Xl> X2, X3). (1.1/2)
Auch die potentielle Energie V, die ein Massenkorper m im Gravitationsfeld der Erde
besitzt, ist ein Beispiel eines stationaren Skalarfeldes, welches durch
(1.1/3)
gegeben ist. Dabei ist M die Masse der Erde und 'Y die Gravitationskonstante.
Skalarfelder sind nicht die einzigen Erscheinungsformen physikalischer Gro~en. Neben ihnen
sind die sogenannten Vektorfelder, zu denen Kraftfelder und Geschwindigkeitsfelder gehoren, von
eminenter Bedeutung. In jedem Punkt eines Bereiches eines dreidimensionalen Raumes ist ein
Vektor erkliirt, eine Gro~e, behaftet mit einem Betrag (etwa die Starke einer Kraft oder die nume
rische Gro~e einer Geschwindigkeit) und mit einer Richtung (in der die Kraft in diesem Punkt wirkt
bzw. in die die Geschwindigkeit zeigt). Da ein Vektor im dreidimensionalen Raum durch drei
Komponenten (Wirkkomponenten), nicht sehr gliicklich auch Koordinaten genannt, gegeben ist,
namlich den drei Projektionen auf die Achsen Ides fest gedachten (rechtwinkeligen) kartesischen
Koordinatensystems, stellt sich ein Vektorfeld durch
f1 (Xl> X2, X3, t)
f = f(Xb X2, X3, t) = f2(Xb X2, X3, t) (1.1/4)
f3(Xb X2, X3, t)
dar, unter Beachtung der Orts-und Zeitabbiingigkeit der Vektor{Feld}Gro~en. 1m besonderen
nennen wir das Feld wieder instationiir, wenn sich die Vektorgro~e an einem Punkt mit der Zeit
andert, andernfalls stationiir.
Denken wir uns eine Fliissigkeitsmenge, die in irgendeinem Bereich stromt, so ist die Stro
I
mung (qualitativ und quantitativ) erf~t durch das Geschwindigkeitsfeld
V1 (Xl> X2, X3, t)
v = V(Xl> X2, X3, t) = [V2(Xl> X2, X3, t) . (1.1/5)
V3(Xl> X2, X3, t)
*) Damit beruht der Feldbegriff auf einer Idealisierung; geht man niimlich von der Forderung aus, d~ aIles
gemessen werden soli, so stofl,t man auf Schwierigkeiten, denn wie kann man eine Grofl,e in einem "Punkt"
messen? Wir kommen darauf in Kap. 7 zuriick.
2 1. Mathematische Grundlagen
Das bedeutet, d~ jenes Fliissigkeitsteilchen, das zur Zeit t an den Ort P(Xb X2, X3) kommt, dort
die Geschwindigkeit V(Xh X2, X3, t) besitzt.
Es wird also kein Teilchen auf seinem Weg verfolgt. Jedenfalls bewegt sich das Teilchen auf
einem Weg, auf seiner Bahnkurve oder, wie man auch sagt, auf seiner Feldlinie. Diese Feldlinien
wollen wir (fUr den stationaren Fall) bestimmen; wir beachten dabei, d~ injedem Punkt der Feld
linie die Tangentenrichtung in die Richtung der Geschwindigkeit fant. Bekanntlich verschwindet das
liu1\ere Produkt C zweier Vektoren A und B,
(1.1/6)
nur fUr parallele Vektoren A und B*).
...
V
Abb.l.I.
=
Bedeutet nun t den Tangentenvektor und v den Geschwindigkeitsvektor in P, so sind t und
v parallel-folglich mu6 das liu6ere Produkt (1.1/6) verschwinden:
t X v = O. (1.1/7)
1st ~ der Para=me)t er der Bahnkurve, die in einem gewissen Punkt Po (a, b, c) beginnt, so wird
~
t = (:' , = (Xl, X2, X3)**), und man erhlilt fUr die Feldlinien das System von Differential
gleichungen
=
V3X2 -V2 X3 0
VI X3 -V3Xl = 0 (1.1/8)
V2 Xl - VI X2 = O.
Nun lehrt die Theorie der Differentialgleichungssysteme, d~ die allgemeine Uisung von (1.1/8)
von drei willkiirlichen Parametem a, {j und 1 abhlingt, also die Gestalt
Xl = 1P(~;a, (j, 1)
X2 = X(~; a, (j, 1) (1.1/9)
X3 = "'(~; a, (j, 1)
*) Cunningham (1).
**) Oblicherweise nonniert man den Tangentenvektor auf die Liinge 1; dies istjedoch in unserem Fall nicht not
wendig, da es nur auf die Richtung ankommt.
1.1. Der Begriff des Feldes und des Gradienten 3
hat. Wird der Beginn der Bahnkurven durch ~ = 0 festgelegt, so berechnet sich die im Punkt
Po (a, b, c) entspringende Feldlinie aus dem Gleichungssystem
a = <1'(0; ex, (3, 'Y)
b = X(O; ex, (3, 'Y) (1.1/10)
c = 1/1 (0; ex, (3, 'Y).
1st dieses Gleichungssystem nicht losbar, so entspringt in Po keine Feldlinie. Andernfalls liBt sich
aus (1.1/10) ex, {3 und 'Y berechnen; (1.1/9) ergibt dann die Feldlinie durch P.
Es hat natiirlich keinen Sinn, von einer "Anzahl" der Feldlinien in numerischer Hinsicht zu
sprechen, denn durch jeden Punkt des Stromungsfeldes geht eine Feldlinie.
Abb.1.2
Denken wir uns aber ins Stromungsfeld ein Flachenstiick F I gelegt. Zu einem gewissen Zeit
punkt befmden sich auf der Flache Fliissigkeitsteilchen, die wir eine kurze Zeit auf ihren Bahn
kurven verfolgen, urn sie danach gedanklich wieder auf der Flache F2 zu fixieren (Abb. 1.2). Durch
FI und F2 gehen also dieselben Feldlinien und nur die durch FI hindurchgehenden passieren F2
und umgekehrt. Nun werden i. a. die Flachen FI und F2 verschiedene Inhalte haben. Dies recht
fertigt die Sprechweise, daB entsprechend der Abb. 1.2 bei FI die "Feldliniendichte" groBer ist als
bei F2, was seinen analytischen Ausdruck darin fmdet, daB bei FI die Geschwindigkeitsvektoren dem
Betrage nach grOBer sind als bei F2• Man denke etwa an das Stromungsbild einer aus einer Diise aus
tretenden Fliissigkeit!
Die Gravitationskraft ist vielleicht das bekannteste Beispiel eines Kraftfeldes: Injedem Punkt
des Schwerefeldes der Erde greift auf einen Massenkorper m die Kraft k (vgl. (1.1/3)),
av
aXI
av
k=- (Ll/11)
aX2
av
aX3
an. Die Kraftlinien berechnen sich aus (vgl. (Ll/8))
(1.1/12)