Einführung in die Mathematische Optimierung PDF
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Springer-Lehrbuch Rainer E. Burkard · Uwe T. Zimmermann Einführung in die Mathematische Optimierung RainerE.Burkard TUGraz InstitutfürOptimierungundDiskreteMathematik Steyrergasse30 8010Graz Österreich UweT.Zimmermann TUBraunschweig InstitutfürMathematischeOptimierung Pockelsstr.4 38106Braunschweig Deutschland ISSN0937-7433 ISBN978-3-642-28672-8 ISBN978-3-642-28673-5(eBook) DOI10.1007/978-3-642-28673-5 DieDeutscheNationalbibliothek verzeichnet diesePublikation inderDeutschenNationalbibliografie; detailliertebibliografischeDatensindimInternetüberhttp://dnb.d-nb.deabrufbar. MathematicsSubjectClassification(2010):90C05,90C25 SpringerSpektrum ©Springer-VerlagBerlinHeidelberg2012 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklichvomUrheberrechtsgesetz zugelassenist,bedarfdervorherigenZustimmungdesVerlags. Das gilt insbesondere fürVervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und dieEinspeicherungundVerarbeitunginelektronischenSystemen. DieWiedergabevonGebrauchsnamen,Handelsnamen,Warenbezeichnungen usw.indiesemWerkbe- rechtigtauchohnebesondereKennzeichnungnichtzuderAnnahme,dasssolcheNamenimSinneder Warenzeichen-undMarkenschutz-Gesetzgebungalsfreizubetrachtenwärenunddahervonjedermann benutztwerdendürften. Einbandentwurf:WMXDesign,Heidelberg GedrucktaufsäurefreiemundchlorfreigebleichtemPapier SpringerSpektrumisteineMarkevonSpringerDE. SpringerDEistTeilderFachverlagsgruppeSpringerScience+BusinessMedia www.springer-spektrum.de Vorwort Das Bestmöglichezuerreichenoderzumindestin seine hinreichendeNähezu ge- langen,isteinenatürlicheForderung.SportundWissenschaft,IndustrieundWirt- schaft,PolitikundGesellschaftliefernBeispieleohneEnde.Ebensoaltwiedieses Streben ist der Streit darüber,was die beste Lösung eines vorliegendenProblems, die beste Antwort auf eine Herausforderung ist. Unklare Zielsetzungen und ver- schwommeneAnnahmenüberdieRahmenbedingungensindeherdieRegelalsdie Ausnahme,wennmankomplexeProblemeuntermehrerenBeteiligtendiskutiert. Für den Mathematiker liegt gerade hier der erste wesentliche Schritt, bevor er mitseinemInstrumentariumandasProblemherangehenkann,nämlichinderPrä- zisierungvonZielsetzungundRahmenbedingungen.DieseNotwendigkeitzurPrä- zisierungistzweischneidig.EinerseitshilftsieallenBeteiligten,sichRechenschaft überdieeigenenZieleunddieakzeptiertenoderunumgänglichenEinschränkungen beiderLösungeinesProblemsabzulegen.AndererseitszwingtsieinderRegelzur weit gehendenVereinfachungdes „realen“ Problems, es ergibtsich ein mathema- tisches Modell des „realen“ Problems. Die richtige Modellierungist ein kreativer Prozess, beiwirklichenHerausforderungengibtes stets verschiedeneMöglichkei- ten,dasProblemmiteinemmathematischenModellzubeschreiben.StehtdasMo- dell, so scheiden sich die potentiellen Lösungen in die zulässigen Lösungen, die den Rahmenbedingungengenügen,unddie unzulässigen,die eine der Rahmenbe- dingungenverletzen.Wenneine„optimalezulässigeLösung“,alsoeinebestederim RahmendesModellszulässigenLösungengesuchtwird,sprichtmaninderMathe- matikvoneinerOptimierungsaufgabe.ObdasgewähltemathematischeModelldie Wirklichkeitsinnvollwiedergibtoderzuweitgehendvereinfacht,entscheidetsich, wenn die Beteiligten prüfen,ob die mit Hilfe mathematischerMethodengefunde- ne optimale zulässige Lösung der Optimierungsaufgabeeine für das ursprünglich diskutierterealeProblembrauchbare,plausibleundakzeptableLösungliefert. Im Anschluss an die Modellierung ist es die zentrale Aufgabe der Mathemati- schenOptimierung,konstruktiveVerfahrenzurBerechnungvonoptimalenLösun- genderdurchdasModelldefiniertenOptimierungsaufgabezuentwickeln,zuana- lysieren und zu bewerten. Nicht jede Optimierungsaufgabe besitzt eine optimale V VI Vorwort Lösung. Wenn sich die ins Modell aufgenommenen Rahmenbedingungen, die so genannten„Restriktionen“oder„Nebenbedingungen“,widersprechen,gibtesnicht einmalzulässigeLösungen.SelbstwennzulässigeLösungenbekanntsind,kannes sein,dasskeinezulässigeLösungbesseristalsjedeandere.Umgekehrtkönnenauch mehrere,sogarunendlichvielebestezulässigeLösungenvorhandensein,diedann imSinnederZielsetzungalle„optimal“sind. InderhistorischenEntwicklungderMathematikfindetsichdieBestimmungdes größten oder kleinsten Wertes einer Funktion unter den ältesten mathematischen Grundaufgaben.ZumklassischenBestandderMathematikergehörenSätzeüberdie ExistenzvomMaximumundMinimumeinerstetigenFunktionaufeinerkompak- tenMenge.MitHilfederDifferenzialrechnungkannmanExtremadifferenzierbarer Funktionen charakterisieren und die Theorie der Lagrange’schen Multiplikatoren gestattet es, Nebenbedingungenin Form von Gleichungen bei der Extremwertbe- rechnungzuberücksichtigen. Erst relativ spät wurdenExtremwertaufgabenmit Ungleichungenals Nebenbe- dingungenbetrachtet.DieUntersuchungundLösungvonExtremwertaufgabenmit Nebenbedingungenin Form von Ungleichungenzählt heute zum Kernbereichder MathematischenOptimierung.AbgesehenvoneinigensporadischenPublikationen, wiez.B.bereitsimJahr1850derLösungdesZuordnungsproblemsimZusammen- hangmitderBestimmungderkleinstenOrdnungeinesSystemsgewöhnlicherDiffe- renzialgleichungendurchJacobi[44]oderimJahr1926derBestimmungkürzester spannenderBäumedurchBoru˚vka[11],nahmdieMathematischeOptimierungih- ren Ausgangspunktin Arbeiten russischer und amerikanischer Wissenschaftler in den vierziger Jahren des zwanzigsten Jahrhunderts. Sie hat, stimuliert durch den EinsatzeffizienterelektronischerRechenanlagen,seithereinestürmischeEntwick- lunggenommen.ModerneVerfahrenwerdenprofessionellimplementiertundkön- nenOptimierungsaufgabenmitMillionenVariablenundvielentausendenNebenbe- dingungenlösen. ZurrasantenEntwicklungderMathematischenOptimierunghatwesentlichbei- getragen, dass mathematische Optimierungsmodelle in einer ständig wachsenden AnzahlwichtigerBereicheunseresLebenserfolgreicheinsetzbarwerden.Nichtzu- letzt sind darunter etliche, in denen es zuvor nur wenige mathematische Ansätze gab,wieetwaindenWirtschaftswissenschaften.FürdenMathematikerresultieren aus dieser breitenEntwicklungneueinteressantetheoretischeFragen,die die For- schungaufdemGebietderMathematischenOptimierungfruchtbarvorantreiben. DieIntegrationderMathematischenOptimierungindasStudiumderMathema- tikträgtdemseitvielenJahrenRechnung.LineareundKonvexeOptimierunglegen dieGrundlagenfürkomplexereThemenderDiskretenundNichtlinearenOptimie- rung.DiesesBuchbietetStudierendeneineentsprechendeundhoffentlichauchan- sprechendesolideBasisfürweitergehendeStudienimGebietderMathematischen Optimierung. Andererseits werden im vorliegenden Buch nur einige Grundkennt- nissederLinearenAlgebraundAnalysisvorausgesetzt,wiesieindenerstenbeiden SemesternjedesmathematischfundiertenBachelorstudiumsvermitteltwerden. BeiAuswahl,UmfangundAufbaudergewählteneinführendenThemenstützen wir unsauflangjährigeErfahrungenmiteinschlägigenVorlesungenfürStudieren- Vorwort VII deandentechnischenUniversitätenBraunschweigundGraz.DasBucheignetsich dementsprechendetwaalsGrundlageeinervierstündigen(oderzweierzweistündi- gen) Vorlesung(en)zur Linearen Optimierungund einer zweistündigen Vorlesung zurKonvexenOptimierungimBachelorstudium.EsenthältmehrMaterialalshier- fürerforderlich,sodassjedemDozentenRaumundAnreizfürsubjektiveSchwer- punktbildungoderthematischeStraffunggebotenwird. Selbstverständlichsindwirvonetlichenderindenvergangenenmehralsvierzig Jahren erschienenen Bücher zur Linearen und Konvexen Optimierung beeinflusst wordenundmöchtendafürallenAutorenundKollegendanken.Besonderserwäh- nenwollen wir an dieserStelle undausdiesemGrundejedochallein dasinspirie- rendeBuchvonCollatzundWetterling[20],dassichmitErstauflageimJahre1966 alseinesdererstenBücherimdeutschsprachigenRaummitderartigenmathemati- schenOptimierungsaufgabenbeschäftigte.SeinEinflussistauchheutenochinden AbschnittenzuTrennungs-undSattelpunktsätzenerkennbar. TUGraz RainerE.Burkard TUBraunschweig UweT.Zimmermann Dezember2011 Inhaltsverzeichnis TeilI LineareOptimierung 1 LineareOptimierungsmodelle ................................... 3 1.1 Produktionsmodelle........................................ 5 1.2 Mischungsprobleme........................................ 9 1.3 ErnährungsmodellvonStigler ............................... 11 1.4 Transportprobleme......................................... 12 1.5 VomModellzurLösung .................................... 12 2 GeometriederLinearenOptimierung ............................ 15 2.1 LineareFunktionen,Geraden,HalbräumeundPolyeder.......... 17 2.2 KonvexeFunktionenundkonvexeOptimierungsaufgaben ........ 19 2.3 GeometrischeDarstellunginzweiVariablen ................... 21 2.4 SeitenvonPolyedern....................................... 24 2.5 HauptsatzderLinearenOptimierung.......................... 27 3 DasgenerischeSimplexverfahren ................................ 29 3.1 Normalform,BasenundEcken............................... 30 3.2 BasisabhängigeDarstellungderLinearenOptimierungsaufgabe... 33 3.3 SimplexverfahreninTableauform ............................ 38 3.4 Anfangslösung ............................................ 41 3.5 Endlichkeit ............................................... 46 3.6 SimplexinterpretationdesSimplexverfahrens................... 53 4 NummerischeundalgorithmischeAspektedesSimplexverfahrens... 57 4.1 WahlderPivotspalte ....................................... 58 4.2 ExpliziteVariantenundAusgleichsprobleme................... 61 4.3 RevidiertesSimplexverfahren................................ 71 4.4 Faktorisierungstechniken.................................... 77 4.5 RevidiertesSimplexverfahrenmitFaktorisierung ............... 83 IX X Inhaltsverzeichnis 5 AlternativelineareSystemeunddualelineareOptimierungsaufgaben 95 5.1 Alternativsätze ............................................ 95 5.2 DualelineareOptimierungsaufgaben..........................101 5.3 ZurökonomischenInterpretationderDualvariablen .............108 5.4 Matrixspiele ..............................................109 5.5 DualeSimplexverfahren ....................................115 6 PolyederdarstellungundDekomposition..........................125 6.1 DarstellungvonPolyedern ..................................125 6.2 DekompositionlinearerOptimierungsaufgaben.................131 7 SensitivitätundparametrischeOptimierung ......................141 7.1 Sensitivitätsanalyse ........................................141 7.2 ParametrischeKosten ......................................150 7.3 ParametrischeBeschränkungen ..............................162 8 KomplexitätderlinearenOptimierung ...........................173 8.1 Komplexität ..............................................174 8.2 Ellipsoidverfahren .........................................177 8.3 LineareOptimierungsaufgabeninzweiVariablen ...............185 9 EingenerischesInnerePunkteVerfahren .........................189 9.1 SelbstdualelineareOptimierungsaufgaben.....................191 9.2 Endlichkeit ...............................................196 9.3 Innere-Punkte-VerfahrenmitNewton-Schritten.................200 10 GanzzahligePolyeder,Transport-undFlussprobleme ..............205 10.1 GanzzahligePolyeder ......................................205 10.2 Transportprobleme.........................................212 10.3 MaximaleFlüsse ..........................................227 TeilII KonvexeOptimierung 11 NichtlineareModelle ...........................................235 11.1 LineareAusgleichsrechnung.................................236 11.2 Angebotsauswertung.......................................237 11.3 Portfolioplanung...........................................238 11.4 Standortplanung...........................................238 11.5 AllgemeineAufgabenstellungderkonvexenOptimierung ........239 11.6 GeometrischeDarstellunginzweiVariablen ...................240 12 KonvexeMengen...............................................243 12.1 EigenschaftenkonvexerMengen .............................243 12.2 TrennungdurchHyperebenen................................245 Inhaltsverzeichnis XI 13 KonvexeFunktionen............................................251 13.1 NiveaumengenundStetigkeitseigenschaften ...................252 13.2 EpigraphundDifferenzierbarkeitseigenschaften ................253 13.3 DifferenzierbarekonvexeFunktionen .........................257 14 MinimakonvexerFunktionen ...................................263 14.1 MinimierungkonvexerFunktionenohneNebenbedingungen......263 14.2 MinimierungkonvexerFunktionenunterNebenbedingungen .....267 15 VerfahrenzurMinimierungohneRestriktionen ...................275 15.1 Bisektions-undNewton-VerfahreninR .......................275 15.2 AbstiegsverfahreninRn ....................................281 16 Gradienten-undNewton–Verfahren .............................285 16.1 DasGradientenverfahren....................................285 16.2 DasNewton-Verfahren .....................................290 16.3 Quasi-Newton-Verfahren....................................293 17 QuadratischeOptimierung......................................297 17.1 GleichungsbeschränktequadratischeMinimierungsaufgaben......297 17.2 Das Verfahren projizierter Gradienten derQuadratischenOptimierung ..............................299 Literaturverzeichnis ................................................303 Algorithmen .......................................................307 Autorenverzeichnis .................................................309 Stichwortverzeichnis................................................311 Symbolverzeichnis..................................................315
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