Einführung in die mathematische Behandlung der Naturwissenschaften II

373 Pages·1995·8.899 MB·German

by  Hans Heiner Storrer (auth.)

Band
8
Hans Heiner Birkhiiuser
Storrer EinfGhrung in Skripten
die mathematische
Behandlung der
Naturwissenschaften II
Birkhauser Verlag
Basel· Boston· Berlin
Autor Die Deutsche Bibliothek - CIP·Einheitsaufnahme
Hans Heiner Storrer Storrer, Hans Heiner:
Mathematisches Institut EinfOhrung in die mathematische Behandlung der
Universitat ZOrich Naturwissenschaften I Hans Heiner Storrer. -
Winterthurerstrasse 190 Basel; Boston; Berlin: Birkhauser.
8057 ZOrich Literaturangaben
2 (1995)
Das Werk ist urheberrechtlich (Birkhauser-Skripten ; Bd. 8)
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ISBN-13: 978-3-7643-5325-4 e-ISBN-13: 978-3-0348-7392-5
001: 10.1007/978-3-0348-7392-5
C 1995 Birkhiuser Verlag,
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987654321
VORWORT
Der zweite Teil der an der Universitat Ziirich regelmassig gehaltenen Vorlesung
"Einfiihrung in die mathematische Behandlung der Naturwissenschaften" richtet sich
haupts8.chlich an Studierende mit den Hauptflichero Biologie, Geographie und Geolo
gie. Ziel dieser zweistiindigen Lehrveranstaltung ist es, die Horerinnen und Horer mit
den GrundbegrifFen und -gedanken der Wahrscheinlichkeitsrechnung und der Statistik
vertraut zu machen.
Das vorliegende Skript bildet die Grundlage dieser Vorlesung. Es schliesst an die
Einfiihrung in die mathematische Behandlung der Naturwissenschaften I (Birkhauser
Skripten, Band 2, 3. Auflage) an, was sich auch darin aussert, dass die Numerierung
der Kapitel weitergefiihrt wird. Die Abhangigkeit der beiden Skripten ist allerdings
nur gering; der zweite Teil ist auch ohne Kenntnis des erst en verstandlich. Es wer
den ohnehin nur sehr wenige iiber den MittelschulstofF hinausgehende Vorkenntnisse
vorausgesetzt. Der Systematik halber wird allerdings in einigen Fallen (so etwa bei der
Exponentialreihe oder bei uneigentlichen Integralen) auf den erst en Teil Bezug genom
men. Diese Verweise haben die Form "(20.2)", allgemein ausgedriickt die Form "(x.y)"
mit 1 ::; x ::; 28. Das Zeichen ~ bezeichnet weiterhin das Ende eines Beispiels.
Zum Inhalt: Die beschreibende Statistik (Teil H) befasst sich mit der Frage, wie
man Daten auf sinnvolle Weise darstellen und durch Kennzahlen charakterisieren kann.
In der beurteilenden Statistik geht es darum, aus in Form von Stichproben gesammelten
Daten allgemeine Schlussfolgerungen zu ziehen. Sie basiert auf der Wabrscheinlichkeits
rechnung. In Teil I wird daher zuna.chst eine Einfiihrung in dieses reichhaltige und
auch an sich interessante Gebiet gegeben, wobei nur das Notigste, dies aber in einer
gewissen Breite, behandelt wird. Teil J umfasst dann die eigentliche Einfiihrung in
die beurleilende Statistik. Besprochen werden Parameterschatzungen, Konfidenzinter
valle sowie statistische Tests am Beispiel des t-Tests und des X2-Tests, also nur eine
bescheidene Auswahl vonstatistischen Verfahren. Diese werden daIiir sehr ausfiihrlich
dargestellt, mit der Absicht, die zugrunde liegenden Gedanken deutlich aufzuzeigen.
Ein Anhang (Teil K) enthalt eine Rekapitulation der (grundsatzlich als bekannt vor
ausgesetzten) Elemente der Kombinatorik, ein paar Erganzungen zum Stoff (gewisse
Herleitungen und Beweise), die LOsungen samtlicher Aufgaben und schliesslich einige
Tabellen.
Frau Irene Dietrich Eberle, die mit 'lEX grosse Teile des Manuskripts geschrieben
hat, danke ich herzlich fiir ihre Mitarbeit.
Ziirich, im August 1995 H.H. Storrer
INHALTSVERZEICHNIS
H. BESCHREIBENDE STATISTIK
29. Merkmale und Skalen 1
30. Darstellung von Versuchsergebnissen 10
31. Statistische Masszahlen 25
I. WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG
32. Grundbegriffe 39
33. Ergebnisse und Ereignisse 49
34. Rechenregeln und Axiome 59
35. Endliche Wahrscheinlichkeitsraume 70
36. Bedingte Wahrscheinlichkeit 84
37. Diskrete Zufallsgrossen 108
38. Die Binomialverteilung 137
39. Die Poisson-Verteilung 151
40. Stetige Zufallsgrossen 163
41. Die Normalverteilung 179
J. BEURTEILENDE STATISTIK
42. Grundbegriffe 195
43. Schatzen von Parametern 203
44. Das Testen von Hypothesen 224
45. Der t-Test fur eine Stichprobe 241
46. Der t-Test fur zwei unabhangige Stichproben 255
47. Der x2-Test 260
K. ANHANG
48. Das Wichtigste aus der Kombinatorik 279
49. Erganzungen zur Wahrscheinlichkeitsrechnung 287
50. Losungen der Aufgaben 296
51. Tabellen 355
Sachverzeichnis 366
1
H. BESCHREIBENDE STATISTIK
29. MERKMALE UND SKALEN
I I
(29.1) Uberblick
Bei Untersuchungen in den Natur-, Geistes- und Sozialwissenschaf
ten geht es allgemein formuliert stets darum, gewisse Merkmale der zu (29.3)
untersuchenden Objekte zu beschreiben. In diesem Kapitel werden diese
Merkmale genauer klassifiziertj so unterscheidet man etwa qualitative und (29.4)
quantitative Merkmale, letztere werden weiter in stetige und diskrete (29.5)
Merkmale unterteilt.
Fiir die rechnerische Behandlung eignen sich selbstverstiindlich die
durch Zahlen beschreibbaren Merkmale. Diesen Zahlen kann aber ein
mehr oder weniger grosser Informationsgehalt innewohnen, was einen Ein
fluss darauf hat, welche Rechenoperationen mit diesen Zahlen sinnvoll sind
und welche nicht. Diese Unterschiede driicken sich in den sogenannten
Skalen aus: (29.7)
• Nominalskala,
• Ordinalskala,
• Intervallskala,
• Verhiiltnisskala.
Das Ziel dieses Kapitels besteht vor allem darin, Sie darauf aufmerk
sam zu machen, dass beim Umgang mit Daten auf deren Natur Riicksicht
zu nehmen ist.
(29.2) Allgemeines zur beschreibenden Statistik
Eine der Aufgaben der beschreibenden Statistik ist es, Ergebnisse von Beobachtun
gen und Versuchen auf iibersichtliche Weise darzustellen. Diesem Thema wird Kapitel
30 gewidmet sein. Eine weitere Aufgabe besteht aber darin, die gewonnenen Daten auf
priignante Art und Weise durch einige wenige zusammenfassende Zahlen zu charakte
risieren. Dazu dienen die sogenannten statistischen Masszahlen, auf die in Kapitel 31
eingegangen wird, und von denen Sie als wichtiges Beispiel jedenfalls den Durchschnitt
kennen. 1m vorliegenden Kapitel 29 werden zunii.chst einige grundlegende Tatsachen im
Zusammenhang mit der zahlenmiissigen Auswertung von Versuchen und Beobachtungen
besprochen.
2 29. Merkmale und Skalen
Neben der beschreibend~n gibt es noch die beurteilende Statistik, die es erlaubt,
das Beobachtungsmaterial auszuwerlen und daraus weitergehende Schliisse zu ziehen.
So kann man etwa versuchen, aus einer Umfrage in einem beschrankten Personenkreis
das Ergebnis einer Abstimmung vorherzusagen. Die beurleilende Statistik beruht auf
der Wahrscheinlichkeitsrechnung und wird in Teil J zur Sprache kommen.
(29.3) Untersuchungsobjekte und Merkmale
Das Ziel der folgenden Betrachtungen ist es, einige wichtige Begriffe zu kHi.ren und
zu benennen. Bei naturwissenschaftlichen Untersuchungen (und auch bei solchen auf
anderen Gebieten) geht es sehr oft darum, einem Untersuchungsobjekt ein bestimmtes
Merkmal (oder mehrere Merkmale gleichzeitig) zuzuordnen. Die nachstehenden Bei
spiele sollen diese etwas allgemeine Terminologie erHi.utern.
U ntersuchungsob jekt Merkmal
Ortschaft Einwohnerzahl
Mensch Korpergrosse
Mensch Alter
Mensch Augenfarbe
Mensch Geschlecht
Mensch Blutgruppe (0, A, B oder AB)
Fliissigkeit Siedepunkt
Batterie Spannung
Blatt einer Pflanze Form (lineal, lanzettlich etc.)
(29.4) Qualitative und quantitative Merkmale
Wir unterscheiden:
Quantitative Merkmale Qualitative Merkmale
Konnen durch Messen oder Ziihlen Konnen nicht durch Messen oder Ziihlen
erfasst werden. erfasst werden.
Beispiele: Einwohnerzahl Beispiele: Augenfarbe
Korpergrosse Geschlecht
Alter Blutgruppe
Siedepunkt Blattform
Spannung
29.5 Diskrete und stetige Merkmale 3
Der Unterschied zwischen quantitativen und qualitativen Merkmalen kann von der
Art der Beobachtung abhangen. Ein an sich quantitatives Merkmal kann auch qualitativ
beschrieben werden. Schliesslich spricht man ja etwa von grossen oder kleinen Apfeln,
obwohl man die Angabe auch quantitativ (durch Gewicht oder Umfang) machen konnte.
Fiir die mathematische Behandlung kommen natiirlich in erster Linie die quantita
tiven Merkmale in Frage. Diese unterteilen wir in (29.5) weiter.
I
I
(29.5) Diskrete und stetige Merkmale
Ein quantitatives Merkmal heisst stetig, wenn es von seiner Natur her jeden Wert,
also im Prinzip jede reelle Zahl (zumindest innerhalb bestimmter Grenzen), annehmen
kann. Insbesondere sind wenigstens theoretisch unendlich viele Messwerle moglich.
Stetige Merkmale werden in der Regel durch Messen bestimmt. Beispiele dafiir sind
etwa KorpergrOsse, Alter, Siedepunkt oder Spannung.
Wir haben dabei insofem idealisiert, als wir unbeschrankte Messgenauigkeit vor
ausgesetzt haben, die in der Praxis ja nie erreicht werden kann ( daher der Einschub "im
Prinzip"). Fiir die Anwendung mathematischer Verfahren ist diese Idealisierung meist
sehr zweckmassig.
Ein quantitatives Merkmal heisst diskret, wenn es nur endlich viele (oder hochstens
"abzahlbar unendlich viele") Werte annehmen kann.
Der Begriff "abziihlbar unendlich" wird fiir uns vor allem in der Wahrscheinlich
keitsrechnung von Bedeutung sein und zwar im Zusammenhang mit sogenannten diskre
ten Zufallsgrossen. Er wird aber schon jetzt erwiihnt, obwohl er hier eher von theoreti
schem Interesse ist. Eine unendliche Menge heisst abzii.hlbar, wenn man ihre Elemente
in eine Folge (ao, ab a2,' .. ) anordnen kann. So sind etwa die natiirlichen Zahlen N,
aber auch die ganzen Zahlen Z abziihlbar. Eine mogliche Anordnung der ganzen Zahlen
in eine Folge ist gegeben durch
0,1, -1,2,-2,3, -3, ....
Man kann femer beweisen, dass die Menge IR der reellen Zahlen nicht abziihlbar ist.
Die wichtigsten Beispiele von diskreten Merkmalen sind jene, die durch Zii.hlen
ermittelt werden, wie etwa die Einwohnerzahl einer Ortschaft, die Zahl der Bliitenbliitter
einer Blume etc. Das Resultat der Ziihlung ist offensichtlich eine natiirliche Zahl. Solche
Zahlen werden oft Hiiufigkeiten genannt.
Daneben treten aber diskrete Merkmale auch im Zusammenhang mit stetigen Merk
malen auf. Die Werle eines stetigen Merkmales werden namlich meist in Klassen zu
sammengefasst (Lebensalter in Jahren, Korpergrosse in cm, etc.). Dies ist allein schon
RUS Griinden der praktisch beschrankten Messgenauigkeit notwendig. Ein im Prinzip
4 29. Merkmale unci Skalen
stetiges Merkmal wird auf diese Weise diskretisiert, und die Messung wird im Grunde
durch eine Z8.hlung ersetzt.
Misst man etwa beim Hundertmeterlauf die Zeit auf Hundertstelsekunden, 80 liuft die Ablesung
der Stoppuhr im Prinzip auf eine Zihlung von Hundertstelsekunden heraus. Die moglichen Resultate
werden dann bequemlichkeitshalber in Sekunden ausgedriickt (9.98, 10.04 etc.). Sie sind also keine
natiirlichen Zahlen, aber trotzdem diskrete Messwerte. (Wiirde man alles in Hundertstelsekunden
ausdriicken, 80 erhielte man ja natiirliche Zahlen!)
Die Uberlegungen von (29.4) und (29.5) lassen sich im folgenden Schema zusam
menfassen:
q ualitativ
quantitativ
ungenaue Messu
von der Sache her
(echt) diskret
(Zihlung)
(29.6) Beschreibung von qualitativen Merkmalen durch Zahlen
Auch qualitative Merkmale werden oft unter Zuhilfenahme von Zahlen beschriebenj
sie werden aber dadurch nicht etwa zu quantitativen Merkmalen. Diese Zuordnung von
Zahlen kann auf zwei Stufen geschehen:
a) Nominale Merkmale
Die Zahlen dienen bloss zur Codifizierung oder zur einfacheren Verarbeitung der
Daten:
• Bei der computerisierten Auswertung einer Umfrage ist es praktisch, das Merkmal
"Geschlecht" durch 0 (= mii.nnlich) bzw. 1 (= weiblich) auszudriicken.
• Jeder erwachsene Einwohner und jede erwachsene Einwohnerin der Schweiz ist
durch die AHV-Nummer eindeutig gekennzeichnet.
• Bei einer Untersuchung iiber Berufe mag es angezeigt sein, die einzelnen Berufe zu
= = = =
numerieren: Architektin 1, Backer 2, Chemiker 3, Drogistin 4, ...
Da die Zahlen hier eigentlich nur andere Namen fiir die untersuchten Auspri.gungen
eines Merkmals sind, spricht man auch von nominalen Merkmalen. Charakteristisch ist,
dass die Zahlen hier durch andere Symbole ersetzt werden konnen, ohne dass sich der
Informationsgehalt andert.