Einführung in die Funktionentheorie

248 Pages·1980·3.713 MB·German

by  Prof. Dr. Klaus Jänich (auth.)

Hochschultext
Klaus Jänich
Einführung
in die
Funktionentheorie
Zweite Auflage
Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH 1980
Prof. Dr. Klaus Jänich
Fachbereich Mathematik der Universität Regensburg
Universitätsstraße 31
8400 Regensburg
AMS SUbject Classification (1970): Nr. 3001
ISBN 978-3-540-10032-4 ISBN 978-3-662-11621-0 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-662-11621-0
CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek
Jänich, Klaus:
Einführung in die Funktionentheorie / Klaus Jänich. -2. Aufl. -Berlin, Heidelberg, New York:
Springer, 1980.
(Hochschultext)
Das Werk Ist urheberrechtlich geschutzt. Die dadurch beg rundeten Rechte. Insbesondere die der
Ubersetzung, des Nachdruckes, der Entnahme von Abbildungen. der Funksendung, der Wieder
gabe auf photomechanischem oder ähnlichem Wege und der Speicherung in Datenverarbeitungs
anlagen bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung. vorbehalten. Bel Vervielfältigungen fur
gewerbliche Zwecke ist gemäß § 54 UrhG eine Vergutung an den Verlag zu zahlen. deren Höhe
mit dem Verlag zu vereinbaren ist.
© by Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1977, 1980
Ursprünglich erschienin bei Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York 1980
.Die nicht durch einen Stern gekennzeichneten neun Para
graphen enthalten nur Stoff, der wohl in den meisten
Funktionentheorie I - Vorlesungen behandelt wird; und
sollte einmal ein Dozent nicht bis zum Riemannschen
Abbildungssatz vordringen, so hatte er sich's doch we
nigstens zu Anfang vorgenommen. Allenfalls habe ich
der Umlaufszahlversion des Cauchyschen Integralsatzes
(§ 7) mehr Aufmerksamkeit gewidmet als üblich ist; ich
tat das des Verständnisses des Satzes wegen (denn für
die Anwendungen reicht meist die einfache Version des
§ 3), aber auch der lustigen Umlaufszahl zuliebe, das
gebe ich gern zu.
Mit dem § 2* hat es folgende Bewandtnis: Der schwierig
ste Teil des Grundstudiums, die Integrationtheorie auf
Mannigfaltigkeiten mit dem Satz von Stokes, kommt ge
wöhnlich als Analysis III ~ der leichteren Funktionen
theorie I, was wiederum auch gute Gründe hat, die jetzt
nicht zu besprechen sind. Da der Cauchysche Integral
satz leicht aus dem Satz von Stokes folgt, so bietet
sich hier ein eleganter Übergang aus Analysis III in
die Funktionentheorie.
Nun bin ich gewiß nicht der Meinung, jede Vorlesung
müsse bei Adam und Eva anfangen - allzu oft kommen sol
che Vorlesungen dann über Rain und Abel nicht hinaus -,
aber die Funktionentheorie I geradezu auf die Analysis
III zu gründen halte ich doch nicht für zweckmäßig.
Denn auch die Studenten, die ihre Analysis III inneha
ben, sollen wissen, wie man leichter und direkter zu den
Grundtatsachen der Funktionentheorie kommt.
VI
Das schließt aber nicht aus, hie und da doch ein Wort
über Analysis 111 - Methoden in der Funktionentheorie
einzuflechten, zumal diese Methoden für die eigentliche
Komplexe Analysis ganz unentbehrlich sind. Am Ende des
§ 2* wird gezeigt, wie ein Cauchyscher Integralsatz aus
dem Satze von Stokes folgt; und um es gleich vollständig
zu sagen: Außer im § 2* ist noch (im Vorübergehen) auf
S. 110 und dann wieder auf den Seiten 179-186 vom Car
tanschen Kalkül und der Integration auf Mannigfaltigkei
ten die Rede; das sind insgesamt 18 Seiten, die ein
Leser, der diese Theorie nicht kennt, überschlagen kann
ohne dadurch im Verständnis des übrigen gestört zu sein;
gleich der § 3 enthält die Definition des Kurvenintegrals
und den üblichen elementaren Beweis von Goursat für den
Cauchyschen Integralsatz.
Nun zu den §§ 11*-13*. Die Funktionentheorie ist ein
reiches und vielseitiges Gebiet, und will man über die
bloßen Grundtatsachen hinaus noch etwas in eine Funktionen-
I
theorie I - Vorlesung aufnehmen, so fällt die Wahl schwer.
"Vz
Ich habe mich entschlossen, zu erläutern", genauer:
Zu zeigen, wie die "mehrdeutigen Funktionen", die wegen
der Wegabhängigkeit der analytischen Fortsetzung oder bei
=
der Auflösung polynomialer Gleichungen P(w,z) 0 nach w
auf ganz natürliche Weise vorkommen, zu ordentlichen, ein
deutigen Funktionen gemacht werden können, auf die dann
auch wieder die Sätze der Funktionentheorie anwendbar sind.
Dazu braucht man freilich den Begriff (nicht die Theorie,
aber den Begriff) der Riemannschen Fläche, der ja ursprüng
lich zu eben diesem Zweck erfunden worden ist, und dazu
wiederum ist es gut zu wissen was eine zweidimensionale
l
Mannigfaltigkeit ist (siehe S. 160).
Im übrigen setzt das Buch nur die Kenntnisse aus den
ersten zwei Semestern voraus: Den Körper C der kom
plexen Zahlen kennt man aus der Linearen Algebra, die
Differentialrechnung mehrerer (zweier) Variabler, und
damit auch die Topologie der Ebene, aus der Analysis
VII
11; integriert wird immer nur ,in einer reellen Variab
len, die Integranden sind stetig oder stückweise stetig
mit Werten in R oder ~ (~R2); wird einmal ein Limes
mit dem Integral vertauscht, so handelt es sich um
gleichmäßige Konvergenz; dies alles ist aus Analysis I
geläufig. Das Buch fängtdeshalb gleich mit der Defini
tion der holomorphen Funktionen an.
Noch muß ich eine Eigentümlichkeit des Textes erwähnen,
nämlich den Gebrauch der Worte "Bemerkung" und "Notiz".
Oft will man kleinere Aussagen zitierfähig hervorheben,
die zwar interessant, aber doch nicht gewichtig genug
sind den Namen "Satz" zu verdienen. Solche Aussagen habe
ich die Gewohnheit "Bemerkung" zu nennen, wenn ich sie
für beweisbedürftig halte - wie denn auch zu jeder Be
merkung ihr Beweis dasteht - während ich das schwächere
Wort "Notiz" in den Fällen verwende, wo der Beweis ent
weder trivial ist oder aus anderen Gründen vom Leser
leicht selbst ausgeführt werden kann.
Bei einem Buche, in dem gar nichts Neues steht, kommt
natürlich alles auf die Darstellung an. Ich bemühe mich,
geometrisch-anschaulich zu schreiben. Es liegt mir fern,
einen universellen Vorzug dieser Methode zu postulieren;
aber es gibt doch Leser, die wie ich gern figürlich den
ken und eine wenn auch simple Skizze als Gedächtnisstütze
oder als Kristallisationspunkt des Verständnisses gebrau
chen mögen. Ihnen ist dieses Vorlesungsmanuskript freund
lichst empfohlen.
Die meisten Verbesserungen, die ich für die zweite Auflage
vorgenommen habe, beruhen auf Hinweisen von Th. Bröcker,
dem ich dafür herzlich danke.
Regensburg, April 1977 und Januar 1980 K. Jänich
Inhalt
§ 1. Holomorphe Funktionen 1
§ 2*. Der Wirtinger-Kalkül 13
§ 3. Der Cauchysche Integralsatz 21
§ 4. Erste Folgerungen aus dem Cauchyschen
Integralsatz 34
§ 5. Isolierte Singularitäten 53
§ 6. Analytische Fortsetzung und Monodromie
satz 69
§ 7. Die Umlaufszahlversion des Cauchyschen
Integralsatzes 95
§ 8. Der Residuen-Kalkül 109
§ 9. Folgen holomorpher Funktionen 125
§ 10. Satz von Mittag-Leffler, Weierstraßscher
Produktsatz und Riemannscher Abbildungs
satz 134
§ 11*. Riemannsche Flächen 160
§ 12*. Die Riemannsche Fläche eines holomorphen
Keimes 187
§ 13*. Algebraische Funktionen (kurz gefaßt) 207
Übungsaufgaben 217
Hinwe~se zu den Ubungsaufgaben 225
Appendix 232
Literatur 234
Register 235
§ 1. Holomorphe Funktionen
Definition: Sei U c C offen, Zo E U und f: U ~ C eine
Funktion.
f
C
---~>
f heißt komplex differenzierbar an der Stelle zo' wenn
lim
z~z o
existiert. Ist f überall in U komplex differenzierbar
und *) f': U ~ C stetig, so heißt f holomorph.
*
Die holomorphen Funktionen sind der Gegenstand dieser
Vorlesung.
*
*) Es wird aber bald gezeigt werden (Satz 3 auf S. 38),
daß die Stetigkeit von f' nicht eigens gefordert werden
muß: sie fOlgt.
2
Holomorphie ist also das komplexe Analogon zu dem, was
im Reellen C1 heißt: Stetige Differenzierbarkeit von
Funktionen einer Veränderlichen. Ganz im Gegensatz zum
reellen Fall lassen sich aus der Eigenschaft der Holo
morphie jedoch sehr viele Schlüsse über das Verhalten
der Funktion ziehen. Bevor wir aber zu diesen Wundern
kommen, wollen wir die Analogie zu c1 etwas weiter
verfolgen.
*
Notiz: Holomorphe Funktionen sind immer stetig.
Definition: Analog dem reellen Fall nennt man f' die Ab
leitung von fund feine Stammfunktion von f'.
Für die Ableitung gelten die üblichen Regeln:
Notiz: Sind f,g: U ~ ~ holomorph, so auch f+g und f.g
und es gilt
(f+g) , = f' + g'
(f·g)' f'·g+f.g'
("Produktregel" )
Notiz: Sind f,g: U ~ ~ holomorph und g(z) # 0 für alle
z E U, dann ist auch f holomorph und es gilt
g
("Quotientenregel")
Die Beweise wären wörtliche Wiederholungen der (auch
schon trivialen) analogen reellen Beweise aus Analysis
I und sollen deshalb wegbleiben. Wenn schon Wiederho
lung, so soll lieber an den Beweis der Kettenregel er
innert werden:
3
Bemerkung: Sind U ~ V ~ G:: holomorph, so auch gof und
es gilt (gof) (z) = g' (f(z» ·f' (z).
I
( "Kettenregel")
Beweis: Sei Zo E U, setze Wo := f(zo)' Für w E V defi
nieren wir
f 9
) )
g(w)-g(wo) +
für w Wo
w-w
o
g* (w) :=
für w = wo'
Nach Voraussetzung ist g* stetig, und es gilt überall:
Also ist auch
g (f (z) ) -g (f ( z 0) ) f(z)-f(z )
_________0 _ g*(f(z»,
z-z z-z
o o
und daher, wegen der Stetigkeit von fund g* und der
komplexen Differenzierbarkeit von f:
g(f(z»-g(f(z »
lim 0
z-z
o
also ist gof überall komplex differenzierbar, die Ab-