Einführung in die Finanzmathematik: Klassische Verfahren, Investitionsrechnung, Effektivzins- und Renditeberechnung

331 Pages·2000·15.216 MB·German

by  Prof. Dr. Jürgen Tietze (auth.)

Jürgen Tietze
Einführung in die
Finanzmathematik
Aus dem Programm - __________- ---.,.
Mathematik
Lineare Algebra
von A. Beutelspacher
Lineare Algebra
von G. Fischer
Analysis 3 Bände
von O. Forster
Elementare Einführung in die
Wahrscheinlichkeitsrechnung
von K. Bosch
Elementare Einführung in die Angewandte Statistik
von K. Bosch
Stochastik für Einsteiger
von N. Henze
Numerische Mathematik für Anfänger
von G. Opfer
Ingenieurmathematik kompakt
von W. Richter
Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler 1 - 3
von F. Pfuff
Einführung in die angewandte Wirtschaftsmathematik
von J. Tietze
Einführung in die Finanzmathematik
von J. Tietze
Moderne Methoden der Finanzmathematik
von R. und E. Korn
vieweg ________________- -'
Jü rgen Tietze
Einführung
in die
Finanzmathematik
Klassische Verfahren, Investitionsrechnung,
Effektivzins- und Renditeberechnung
Mit über 500 Übungsaufgaben
3., überarbeitete Auflage
IJ
vleweg
Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme
Ein Titeldatensatz für diese Publikation ist bei
Der Deutschen Bibliothek erhältlich.
Prof. Dr. Jürgen Tietze
Fachbereich Wirtschaft der
Fachhochschule Aachen
Eupener Str. 70, 52066 Aachen
1. Auflage 1996
2., durchgesehene Auflage 1999
3., überarbeitete Auflage 2000
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ISBN 978-3-528-26552-6 ISBN 978-3-322-91951-9 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-322-91951-9
v
Vorwort zur 3. Auflage
Die Finanzmathematik stellt das quantitative Instrumentarium bereit für die Bewertung zukünftiger
oder vergangener Zahlungsströme und eignet sich daher vor allem für die vielfältigen Probleme des
Bank- und Kreditwesens. Finanzmathematische Methoden sind weiterhin unverziehtbare Hilfsmittel
für weite Bereiche von Investition, Finanzierung, Wirtschaftlichkeitsrechnung und Optimalplanung.
Wichtige Anwendungsmöglichkeiten der Finanzmathematik liegen in verwandten Gebieten wie etwa
Steuern, Versicherungswesen, Volkswirtschaftslehre oder Rechnungswesen.
Das vorliegende Lehrbuch - entstanden auf der Grundlage des gleichlautenden Kapitels im Buch
"Einführung in die angewandte Wirtschaftsmathematik" und als dessen konsequente Ergänzung -
umfasst neben den klassischen Verfahren der Finanzmathematik wie Zins-/Renten-/Tilgungs-/Kurs
und Investitionsrechnung schwerpunktmäßig die - immer wieder lebhaft diskutierten - verschiedenen
in der Praxis vorkommenden Effektivzinsberechnungsverfahren und leitet daraus wesentliche Aspekte
zur "richtigen" Verzinsung von Kapital ab. Das einleitende Kapitel über die Prozentrechnung trägt
vielen leidvollen Erfahrungen Rechnung, die der Autor als Lehrender oder Prüfer machen musste: Die
Prozentrechnung enthält offenbar selbst für wachsame Studenten ungeahnte Tücken, ganz zu schwei
gen von dem, was man tagtäglich andernorts mit den "Prozenten" anrichtet (siehe etwa Seite 1) '"
Ich habe mich bemüht, die in der" Wirtschaftsmathematik" bewährte - auf Verständnis durch plausible
mathematische Begründung abzielende - breite und ausführliche Darstellungsweise beizubehalten. Die
behandelten klassischen Verfahren der Finanzmathematik werden konsequent auf das übergeordnete
Äquivalenzprinzip der Finanzmathernatik ausgerichtet, die Fülle der Detailprobleme wird so unter ei
nem einheitlichen Konzept abgehandelt. Vielleicht gelingt es sogar, mancher Leserin (oder manchem
Leser) die Einsicht zu vermitteln, dass das GrundgeIÜSt der Finanzmathematik aus 2 - 3 mathemati
schen "Formeln", dem Zahlungsstrahl (als Hilfe zur Veranschaulichung) und einer Idee (nämlich dem
Äquivalenzprinzip) besteht.
Das Buch - vorrangig für das Selbststudium konzipiert - wendet sich sowohl an den Praktiker, der mit
Geldgeschäften zu tun hat, als auch an Studierende der Volks- und Betriebswirtschaftslehre, die im
Selbststudium die notwendigen finanzrnathematischen Grundlagen verstehen und einüben wollen. Ich
hoffe ebenso, dass das Buch auch für den Lehrenden von Nutzen ist - manch unkonventionelles
Beispiel oder eigenwillige Darstellungsweise ergänzt möglicherweise die eigene Ideenpalette.
Die notwendigen Grundlagen der Elementarmathematik (außer der Prozentrechnung!) werden hier vor
ausgesetzt, lassen sich allerdings problemlos nacharbeiten (z.B. mit der "Einführung in die angewandte
Wirtschaftsmathematik"). Notwendiges Hilsmittel zum Nachvollziehen der Beispiele oder zum Lösen
der Probleme ist die sachkundige Verwendung eines elektronischen Taschemechners (er muss mit
Potenzen und Logarithmen umgehen können; empfehlenswert - wenn auch nicht zwingend erforderlich -
für die Effektivzinsberechnung ist die Möglichkeit, den Rechner frei programmieren zu können). Die im
Text vorkommenden Beispiele habe ich mit einem herkömmlichen Taschemechner durchgerechnet,
dabei Zwischenergebnisse ungerundet weiterverarbeitet und lediglich bei Bedarf das Endresultat ange
messen gerundet.
Der Text enthält Hunderte von Beispielen und Übungsaufgaben, die dem Lernenden Hinweise über
seine Stoff-und Problembeherrschung, dem Lehrenden Anregungen zur Gestaltung und Weiterführung
VI Vorwort
eigener didaktischer Ideen und dem Praktiker Fallbeispiele zur Lösung eigener Problemstellung liefern
sollen. Da das schnelle Nachschlagen von Lösungen den beabsichtigten Lemeffekt - der nur durch
eigene Anstrengungen erzielbar ist - verhindert, wurde darauf verzichtet, im Buch selbst einen Lösungs
anhang für die mehr als 500 Übungsaufgaben aufzunehmen. Interessenten wird das im gleichen Verlag
erscheinende" Übungsbuch zur Finanzmathematik" empfohlen, in dem u.a. auch die Aufgaben und
Lösungen des vorliegenden Lehrbuches enthalten sind.
Zum Gebrauch des Buches: Um die Lesbarkeit des Textes zu verbessern, wurde die äußere Form struk
turiert:
I
Definitionen, Regeln, Sätze und wichtige Ergebnisse sind jeweils eingerahmt.
Bemerkungen sind in schräger Schrifttype gehalten.
I
Beispiele sind mit einem senkrechten Strichbalken am linken Rand gekennzeichnet.
Definitionen (Def.), Sätze, Bemerkungen (Bern.), Formeln, Tabellen (Tab.), Beispiele (Bsp.), Aufga
ben (Aufg.) und Abbildungen (Abb.) sind in jedem erststelligen Unterkapitel ohne Rücksicht auf den
Typ fortlaufend durchnumeriert. So folgen etwa in Kap. 2.3 nacheinander Dei. 2.3.11, Formel (2.3.12),
Bsp. 2.3.13, Bsp. 2.3.14, Formel (2.3.15), Bem. 2.3.16 und Aufg. 2.3.17 usw.
Die erste Fassung der reproduktionsfähigen Druckvorlage zur 1. Auflage hat in monatelanger unermüd
licher und sachkundiger Weise Frau cand. rer.pol. Ursula Block (mit Hilfe des wissenschaftlichen
Textverarbeitungssystems WiTEX 4.01) gestaltet. Hilfreiche Unterstützung erhielt ich von Frau cand.
rer.pol. Solveig Schönecker (Korrektur). Ihnen beiden danke ich vielmals.
Mein Dank gilt ebenso dem Vieweg-Verlag und insbesondere Frau Ulrike Schmickler-Hirzebruch für
die erneut sehr gute Zusammenarbeit.
Auch diesmal danke ich meiner Frau Herma für ihre liebe- und verständnisvolle Geduld während der
langen Monate der Überarbeitung der neuen Auflage.
Die hiermit vorliegende 3. Auflage wurde gründlich überarbeitet, in vielen Details verbessert und in
Hinblick auf noch bessere Verständlichkeit (etwa durch frühzeitige Einführung von begleitenden Konto
staffelrechnungen) ergänzt und umgestaltet. Dies gilt insbesondere für das (bisher etwas unübersichtli
che) Kapitel 5.3 über die Effektivzinsermittlung bei unterjährigen Leistungen, das völlig neu konzipiert
und gestrafft wurde.
Da es ein fehlerfreies Buch nicht gibt, gehe ich davon aus, dass sich gewisse Ungereimtheiten hartnä
ckig verborgen gehalten haben. Auch wenn es in der Mathematik ein menschliches Vorrecht des Irrens
gibt - das auch der Autor für sich in Anspruch nimmt -, bitte ich alle Leserinnen und Leser um
Rückmeldung (z.B. via E-Mail: [email protected]). wenn ihnen Fehler oder Irrtümer auffallen oder
wenn auch nur Fragen zum fachlichen Inhalt auftreten. Ich werde in allen Fällen um schnelle Antwort
bemüht sein.
Aachen, im März 2000 Jürgen Tietze
VII
Inhaltsverzeichnis
Abkürzungen, Variablennamen ............................................. IX
1 Voraussetzungen und Hilfsmittel ......................................... 1
1.1 Prozentrechnung ..................................................... 1
1.2 Lineare (einfache) Verzinsung ........................................... 17
1.2.1 Grundlagen der linearen Verzinsung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2.2 Das Äquivalenzprinzip der Finanzmathematik (bei linearer Verzinsung) ..... 26
1.2.3 Terrninrechnung - mittlerer Zahlungstermin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.2.4 Vorschüssige Verzinsung, Wechseldiskontierung ....................... 46
2 Zinseszinsrechnung ..................................................... 51
2.1 Grundlagen der Zinseszinsrechnung ...................................... 51
2.2 Das Äquivalenzprinzip der Finanzmathernatik (bei Zinseszinsen) . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.3 Unterjährige Verzinsung ............................................... 75
2.3.1 Diskrete unterjährige Verzinsung ................................... 75
2.3.2 Zur Effektiwerzinsung kurzfristiger Kredite .......................... 82
2.3.3 Gemischte Verzinsung ........................................... 85
2.3.4 Stetige Verzinsung .............................................. 88
3 Rentenrechnung ....................................................... 93
3.1 Vorbemerkungen..................................................... 93
3.2 Gesamtwert (Zeitwert) einer Rente zu beliebigen Bewertungsstichtagen . . . . . . . . . . . 94
3.3 Vor-und nachschüssige Renten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.4 Rentenrechnung und Äquivalenzprinzip - Beispiele und Aufgaben ............. 101
3.5 Zusammengesetzte Zahlungsreihen und wechselnder Zinssatz ................ . . 110
3.6 EwigeRenten ....................................................... 113
3.7 Kapitalaufbau/Kapitalabbau durch laufende Zuflüsse/Entnahmen. . . . . . . . . . . . . . . 118
3.8 Auseinanderfallen von Ratenterrnin und Zinszuschlagtermin ................... 124
3.8.1 Rentenperiode größer als Zinsperiode ............................... 125
3.8.2 Zinsperiode größer als Rentenperiode ............................... 128
3.8.2.1 ISMA -Methode ("internationale Methode") ................. 128
3.8.2.2 US-Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
3.8.2.3 "360-Tage-Methode" (nachPAngV) ........................ 131
4 Tilgungsrechnung ...................................................... 141
4.1 Grundlagen, Tilgungsplan, Vergleichskonto ................................ 141
4.2 Tilgungsarten ........................................................ 149
4.2.1 Allgemeine Tilgungsschuld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
4.2.2 Gesamtfällige Schuld ohne Zins ansammlung .......................... 152
4.2.3 Gesamtfällige Schuld mit vollständiger Zinsansamrnlung ................. 153
4.2.4 Ratentilgung (Ratenschuld) ....................................... 154
VIII Inhaltsverzeichnis
4.2.5 Annuitätentilgung (Annuitätenschuld) .............................. 155
4.2.5.1 Annuitätenkredit - Standardfall ............................. 155
4.2.5.2 Annuitätenkredit - Ergänzungen ............................ 161
4.2.5.3 Exkurs: Annuitätenkredit mit Disagio ........................ 165
4.2.5.4 Exkurs: Tilgungsstreckung, Zahlungsaufschub, Tilgungsstreckungs-
darlehen, Stückelung .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
4.3 Tilgungsrechnung bei unterjährigen Zahlungen .............................. 179
4.3.1 Kontoführungsmethode 1 (PAngV) ................................. 180
4.3.2 Kontoführungsmethode 2 (Braess) ................................. 181
4.3.3 Kontoführungsmethode 3 (US) .................................... 182
4.3.4 Kontoführungsmethode 4 (ISMA) .................................. 184
4.4 Nachschüssige Tilgungsverrechnung ...................................... 186
5 Die Ennittlung des Effektivzinssatzes in der Finanzmathematik ............. 191
5.1 Grundlagen ......................................................... 191
5.1.1 Der Effektivzinsbegriff ........................................... 191
5.1.2 Berechnungsverfahren für den Effektivzinssatz ........................ 196
5.2 Effektivzinserrnittlung in StandardfäIlen ................................... 200
5.2.1 Effektivzinserrnittlung bei Standardkrediten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
5.2.1.1 Exkurs: Disagioerstattung ................................. 211
5.2.1.2 Exkurs: Unterschiedliche Kreditkonditionen bei gleichem
Zahlungs strom ................................... 212
5.2.2 Effektivzinserrnittlung bei Investitionen -Kapitalwert und interner Zinssatz. . 219
5.2.2.1 Vorbemerkungen......................................... 219
5.2.2.2 Kapitalwert einer Investition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
5.2.2.3 Interner Zinssatz einer Investition ........................... 228
5.3 Effektivzinserrnittlung bei unterj ährigen Leistungen .......................... 244
5.3.1 2-Phasen-Plan zur Effektivzinserrnittlung ............................ 244
5.3.2 Die Berechnung von ieff:
Anwendungen des 2-Phasen-Plans - Variationen eines Basis-Kredits ....... 251
5.3.3 Effektivverzinsung und unterjährige Zahlungen - ausgewählte Probleme. . . . . 264
5.3.3.1 Disagio-Varianten bei identischen Zahlungs strömen ............. 265
5.3.3.2 Tilgungsstreckungsdarlehen bei unterjährigen Leistungen ......... 270
5.3.3.3 Disagio-Rückerstattung bei unterjährigen Leistungen. . . . . . . . . . . . . 274
5.3.3.4 Effektivverzinsung von Ratenkrediten ........................ 275
5.3.3.5 Anlageforrnen mit unterjährigen Leistungen - Beispiel Bonussparen 279
5.3.3.6 Übungsaufgaben zur Effektivzinserrnittlung
bei unterjährigen Leistungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
5.4 Exkurs: Finanzmathernatische Aspekte zur "richtigen" Verzinsungsmethode .. . . . . . 288
5.5 Renditeerrnittlung bei festverzinslichen Wertpapieren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
5.5.1 Grundlagen der Kursrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
5.5.2 Kurs und Rendite bei ganzzahligen Restlaufzeiten ...................... 303
5.5.3 Kurs und Rendite zu beliebigen Zeitpunkten - Stückzinsen und Börsenkurs .. 306
Literaturverzeichnis ....................................................... 313
Sachwortverzeichnis ....................................................... 315
IX
Abkürzungen, Variablennamen
(auf den angegebenen Seiten finden sich nähere Erläuterungen zu den jeweiligen AbkürzungenlVariablen)
:=,== ist definitions gemäß gleich d.h. das heißt
~ entspricht Def. Definition
%,0/00 Prozent, Promille 2ft DM Deutsche Mark
1 +i Zuwachsfaktor 3,52
1-i Abnahmefaktor 3 e Eulersche Zahl 57,88f
96/7/1 Kreditkonditionen (Bsp.) E ist enthalten 57
AEV Endvermögensdifferenz € Euro
(= EVI - EVu) 222f eft. effektiv
EG Europäische Gemeinschaft (EU)
A (äquivalente) Annuität 155ft,227 tt Investitionseinzahlung zum Ende
a.H. auf Hundert 9 der Periode t 223
ao Investitionsauszahlung 223 etc. et cetera (und so weiter)
Abb. Abbildung EVI Endvermögen bei Investition 221ft
AG Aktiengesellschaft, Amtsgericht EVu Endvermögen bei Unterlassung 221ft
AGB Allgemeine Geschäftsbedingungen evtl. eventuell
AIBD Association of International Bond
Dealers 128 Fa. Firma
lln nachschüssiger Rentenbarwertfaktor Fn. Fußnote
lln' vorschüssiger Rentenbarwertfaktor 100f
äqu. äquivalent ggf. gegebenenfalls
at Investitionsauszahlung in Periode t 223 GL Gegenleistung
At Annuität am Ende der Periode t 141ft GmbH Gesellschaft mit beschränkter Haftung
Aufg. Aufgabe
aX, e" Potenz 56 Prozentsatz 2, Zinssatz 18,52
i* nomineller Zinssatz eines festverzins-
BB Betriebs-Berater (Zeitschrift) lichen Wertpapiers 298,302
Bem. Bemerkung i.a. im allgemeinen
BGB Bürgerliches Gesetzbuch i.H. im Hundert 9
BGH Bundesgerichtshof iäqu äquivalenter Zinssatz 80
BGHZ Entscheidungen des Bundesgerichts- id Tageszinssatz
hofes in Zivilsachen ieff Eftektivzinssatz 78f,90,191ft
Bsp. Beispiel iH Halbjahreszinssatz
bzw. beziehungsweise ikon konformer Zinssatz 78f
iM Monatszinssatz
Co (Ernissions-) Kurs einesfestverzins- incl. inklusive (einschließlich)
lichen Wertpapiers 298ft inom nomineller Zinssatz 76,166f
Co Kapitalwert einer Investition 222ft insg. insgesamt
Co(i) Kapitalwertfunktion 228ft ip Periodenzinssatz 76f
ca. circa, ungefähr iQ Quartalszinssatz
Cn Rücknahmekurs eines festverzins- ire) relativer Zinssatz 76
lichen Wertpapiers 299 is stetiger Zinssatz 88ft
Ct aktueller finanzmathematischer Kurs ISMA International Securities Market
(Preis) eines Wertpapiers 304 Association 128f
Ct* aktueller Börsenkurs eines festverzins- iT Tilgungssatz 161
lichen Wertpapiers 308 iv vorschüssiger Zinssatz 46f
X Abkürzungen, Variablennamen
J. Jahr r interner Zinssatz einer Investition
K Grundwert, Bezugsgröße 2 228ff
K+,K- vermehrter, verminderter Wert 3f r konforme Ersatzrate 127, unterjährige
Ko (Anfangs-)Kapital18, Barwert 21,58, Rate 42f,246, Monatsrate 275f
Kreditsumme 143f R Rate(nhöhe) 93
Kap. Kapitel IR Menge der reellen Zahlen
KG Kommanditgesellschaft R* äquivalente Ersatzrate, Kontoendstand
Km Kontostand, Restschuld 118ff,156 43f,131ff,246f,253,256
Kn Endkapital, Endwert 20,23f,52f Ro Barwert einer nachschüssigen Rente 100
kon. konform Ro' Barwert einer vorschüssigen Rente 100
Kt Zeitwert einer Zahlung(sreihe) 66ff,88f Rö Barwert einer ewigen Rente 113ff
Restschuld am Ende der Periode t 143f rel. relativ
Kt-l Restschuld zu Beginn d. Per. t 143f,146 Rn Gesamtwert einer Rente am Tag der
letzten (n-ten) Rate 94f, Endwert
I Liter einer nachsschüssigen Rente 100
L Leistung Rn' Endwert einer vorschüssigen Rente 100
lfd. Nr. laufende Nummer Rt Einzahlungsüberschuss (= ~ -av zum
lim Limes, Grenzwert 88f,113 Ende der Periode t 223
log, In Logarithmus 57
s Skontosatz 84
M. Monat Sem. Semester, Halbjahr
m.a.W. mit anderen Worten s.o. siehe oben
min Minute S.U. siehe unten
Mio. Millionen (106) sn nachschüssiger Rentenendwertfaktor
Mon. Monat sn ' vorschüssiger Rentenendwertfaktor 100
Mrd. Milliarden (109) sog. sogenannte
MWSt. Mehrwertsteuer
Laufzeit in Tagen, laufende Nummer
n Laufzeit 18,52f, Terminzahl95f einer (Tilgungs-) Periode 141
lN Menge der natürlichen Zahlen T Laufzeit einer Investition 223,
NJW Neue Juristische Wochenschrift Tilgungsrate bei Ratentilgung 154
nom. nominell Tab. Tabelle
o.a. oben angeführt, oben angegeben TDM tausend DM
o.ä. oder ähnlich( es) T€ tausend €
oHG offene Handelsgesellschaft Tt Tilgung am Ende der Periode t 141ff
TV Tilgungsverrechnung 186ff
p Prozentfuß 2f, Zinsfuß 18,52
p.a. pro anno (pro Jahr) u.a. unter anderem, und andere
p.d. pro Tag usw. und so weiter
p.H. pro Halbjahr
p.M. pro Monat v.H. vom Hundert 9
p.Q. pro Quartal vgl. vergleiche
p* nomineller Zinsfuß eines festverzins- vs. versus, gegen
lichen Wertpapiers 298
PA ngV Preisangabenverordnung 131ff Z Prozentwert 2
Per. Periode z.B. zum Beispiel
ZE Zeiteinheit
q Aufzinsungsfaktor ( = 1 + i) 52 ZIP Zeitschrift für Wirtschaftsrecht
CI2 Menge der rationalen Zahlen Zn Zinsen 18
q-n Abzinsungsfaktor 58,62 Zt Zinsen am Ende der Periode t 141ff
qn Aufzinsungsfaktor 58,62 ZV Zinsverrechnung
Qu. Quartal