Einführung in die Elementare Zahlentheorie

230 Pages·1998·7.644 MB·German

by  Dr. rer. nat. Friedrich Schwarz (auth.)

MuPAD Lectures
Friedrich Schwarz
EinfOhrung in die
Elementare Zahlentheorie
Einfuhrung in die
Elementare Zahlentheorie
Von Dr. rer. nat. Friedrich Schwarz
Universitat-Gesamthochschule Paderborn
m
B.G.Teubner Stuttgart· Leipzig 1998
Dr. rer. nat. Friedrich Schwarz
Geboren 1937 in Hartmanitz. Studium der Mathematik, Physik und Astro
nomie in WOrzburg. 1966 Promotion in Mathematik (WOrzburg), von 1965
bis 1974 Assistent und Akademischer Rat an der Universitat SaarbrOcken,
seit 1974 Akademischer Oberrat an der Universitat Paderborn. Koautor
(mit K. Kiyek) des Lehrbuchs "Mathematik fOr Informatiker I und II".
MuPAD © 1997 -1998 Sciface Software GmbH & Co. KG
Die Software einschlieBlich alier ihrer Teile ist urheberrechtlich geschOtzt.
Verwendung auBerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes
und Vervielfaltigung ist ohne Zustimmung der Firma Sci Face Software
unzulassig und strafbar.
Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme
EinfUhrung in die elementare Zahlentheorie / von Friedrich
Schwarz. - Stuttgart; Leipzig: Teubner
(MuPAD lectures)
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ISBN-13: 978-3-519-02193-3 e-ISBN-13: 978-3-322-84813-0
001: 10 1007/978-3-322-84813-0
Buch. 1998
kart.
CD-ROM. 1998
Das Werk einschlieBlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschotzt. Jede
Verwertung auBerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne
Zustimmung des Veri ages unzuliissig und strafbar. Das gilt besonders fur Verviel
fiiltigungen, Ubersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und
Verarbeitung in elektronischen Systemen.
© 1998 B.G.Teubner Stuttgart· Leipzig
Vorwort
Dieses Buch ist aus Vorlesungen "Mathematik am Computer" entstanden,
die ich an der Universitat Paderborn seit 1988 mehrmals gehalten habe. Die
se Vorlesungen sind fUr Studierende der Diplomstudiengange Mathematik und
Technomathematik und des Lehramtsstudiengangs Mathematik fur die Sekun
darstufe II im zweiten oder dritten Semester obligatorisch; ihr Ziel ist es, die
Horer an Hand eines mathematischen Stoffs mit einem Computer-Algebra
System vertraut zu machen oder umgekehrt, ihnen mit Hilfe eines Computer
Algebra-Systems einen mathematischen Stoff naher zu bringen. Die Themen,
die dabei behandelt wurden, entstammten der Linearen Algebra, der Kombina
torik und insbesondere der Elementaren Zahlentheorie; das Computer-Algebra
System war zuerst Maple und seit dem Sommersemester 1993 MuPAD.
Dieses Buch ist eine Einfuhrung in die Elementare Zahlentheorie, wobei
besonderer Wert auf Algorithmen und ihre praktische Umsetzung in Compu
terprogramme gelegt wird. Es gibt bereits Bucher mit einer ahnlicher Zielset
zung, namlich das Buch [43] von P. Giblin, das Pascal als Programmierspra
che verwendet, und das Buch [34] von O. Forster, fur das eine eigene Software
entwickelt wurde. Ich versuche in diesem Buch zu zeigen, daB sich auch ein
Computer-Algebra-System wie MuPAD fUr die Behandlung der Algorithmen,
an denen die Elementare Zahlentheorie uberaus reich ist und die bereits dem
Anfanger in diesem Gebiet der Mathematik gut zuganglich sind, hervorragend
eignet. Selbstverstandlich ist die Elementare Zahlentheorie nicht das einzige
Gebiet, in dem sich zeigt, wie fruchtbar der Einsatz eines Computer-Algebra
Systems fur das Verstandnis von Mathematik ist. DaB Computer und insbeson
dere Computer-Algebra-Systeme in der Ausbildung von Mathematikern und
auch und vielleicht ganz besonders in der Ausbildung von Mathematiklehrern
eine wichtige Rolle spielen mussen, wird niemand bezweifeln. Wer anfangt,
daruber nachzudenken, sollte einige der in [56] gesammelten Aufsatze von
D. E. Knuth lesen; eigenes Tun wird eben so uberzeugen.
Die Stoffe, von denen dieses Buch handelt, sind zum groBeren Teil Stoffe,
die wohl in jeder Einfuhrung in die Zahlentheorie vorkommen. 1m erst en Kapi
tel ist von der Teilbarkeit im Ring Z und von Primzahlen die Rede. Das zwei
te Kapitel behandelt die Restklassenringe von Z und ihre Einheitengruppen;
die dabei hergeleiteten Ergebnisse uber Potenzreste dienen im dritten Kapitel
der ausfUhrlichen Diskussion des stochastischen Primzahltests von M. O. Ra
bin. Dieses Kapitel behandelt auBerdem die einfachsten Methoden zur Er
zeugung von Zufallszahlen und beschreibt in aller Kurze aus dem weiten Feld
6 Vorwort
der Kryptologie die bekanntesten der public-key-Systeme, deren Beschreibung,
Begrundung und Diskussion ohne die Elementare Zahlentheorie nicht moglich
sind. 1m vierten Kapitel ist von den quadratischen Resten die Rede und im fUnf
ten Kapitel von den Kettenbruchen. Dabei werden die endlichen Kettenbruche
zur Begrundung des von R. S. Lehman angegebenen Faktorisierungsverfahren
fUr naturliche Zahlen verwendet; die im Anschluf3 daran hergeleiteten Resul
tate uber unendliche und insbesondere periodische Kettenbruche erlauben die
vollstiindige Diskussion eines beruhmten Typs Diophantischer Gleichungen,
niimlich der Pellschen Gleichungen. Die mathematischen Kenntnisse, die vor
ausgesetzt werden, gehen nicht uber das hinaus, was man in den Vorlesungen
des erst en Semesters lernt; dem Leser sollten jedenfalls die Begriffe Gruppe,
Ring und Korper vertraut sein. Die notigen Ergebnisse uber endliche abelsche
Gruppen werden im dritten Kapitel hergeleitet.
Das Buch ist auch eine EinfUhrung in den Gebrauch eines Computer
Algebra-Systems und zwar des Computer-Algebra-Systems MuPAD. Von den
selbstverstiindlichen Fertigkeiten, die ein Benutzer eines Computers im all
gemeinen und von MuPAD im besonderen verfUgen muf3, wird dabei nicht
gesprochen, auch nicht uber die Grundregeln des Programmierens; uber al
les, was MuPAD betrifft, informiert das ausfUrliche Online-Manual. Vielmehr
wird in den Umgang mit MuPAD und insbesondere in das Programmieren
mit MuPAD an Hand von Beispielen eingefuhrt; von Anfang wird der Leser
in den zahlreichen Aufgaben zum Experimentieren und zu selbstiindigem Pro
grammieren aufgefordert. Die Aufgaben sind ein wichtiger Teil des Buchs: Den
Umgang mit einem Computer-Algebra-System lernt man nur an konkreten
Beispielen und durch eigenes Tun.
Das Computer-Algebra-System MuPAD wird seit 1989 an der Universitiit
Paderborn von einer uberaus engagierten und kompetenten Arbeitsgruppe un
ter der Leitung von Professor Dr. Benno Fuchssteiner und seit kurzem auch
von der daraus hervorgegangenen Firma SciFace Software entwickelt und be
treut. Ohne die Hilfe aller Mitglieder dieser Gruppe hiitte dieses Buch nicht
geschrieben werden konnen. lch danke allen fur ihre tatkriiftige Hilfe und fUr
die Geduld, mit der sie meine Anregungen, Fragen und Klagen angehort haben,
auch die, die nicht vernunftig oder nicht sachkundig waren.
Ich widme dieses Buch der Erinnerung an meinen Doktorvater Professor
Dr. Hermann Schmidt (Merkendorf22.7.1902 - 26.2.1993 Wurzburg). Von ihm
habe ich zum ersten Mal von Kettenbruchen und quadrat is chen Formen gehort.
Er hat in allen Gebieten der Mathematik, mit denen er sich beschiiftigt hat,
und besonders auch in der Zahlentheorie immer die algorithmischen Aspekte
herausgearbeitet und den Horern seiner Vorlesungen niiher gebracht.
Paderborn, im Mai 1998
Friedrich Schwarz Uri tz@uni-paderborn. de)
Der Inhalt der CD
Die dem Buch beiliegende CD enthalt
• das Computer-Algebra-System MuPAD Light 1.4.1, zusammen mit allen
Programm-Bibliotheken und einem ausfi.i.hrlichen Online-Manual, sowie
weiterer Dokumentation,
• eine interaktive Fassung dieses Buchs, zusammen mit den Losungen der
i.i.ber 80 Aufgaben, und
• zu jedem Paragraphen des Buchs, der Aufgaben enthalt, eine Bibliothek
der MuPAD-Funktionen, deren Herstellung in den Aufgaben gefordert
wird; die Beispiele im Buch und in den Losungen konnen per Mausklick
in ein MuPAD-Fenster i.i.bertragen und dort ausgefi.i.hrt werden,
• ein interaktives Dokument, in dem beschrieben wird, wie man eme
beri.i.hmte Aufgabe von Archimedes lost und mit Hilfe von MuPAD eine
Losung berechnet, und
• eine Bibliothek primelib, mit deren Hilfe man grofiere Primzahlen
berechnen kann als mit MuPAD allein, namlich Primzahlen bis zur
2 000 000 OOO-ten Primzahl 47 055 833 459, und die einige weitere Funk
tionen zu VerfUgung stellt, die beim Umgang mit Primzahlen ni.i.tzlich
sein di.i.rften.
Rechnerkonfiguration: Die Nutzung des Computer-Algebra-Systems Mu
PAD Light und des interaktiven Buchs erfordert einen PC mit Windows 95
oder Windows NT 4.0 (Pentium empfohlen), 20 MB Hauptspeicher (32 MB
empfohlen) und 20 MB freien Festplattenplatz bei minimaler, bzw. 50 MB bei
normaler Installation.
Installation: Zur Installation von MuPAD Light und dem interaktiven Buch
startet man setup. exe im Basisverzeichnis der CD. Das Setup-Programm
fUhrt durch die Installation. Der Benutzer hat die Wahl zwischen der nor
malen Installation, die neben MuPAD Light, dem interaktiven Buch und dem
Dokument i.i.ber die Aufgabe des Archimedes auch die Bibliothek primelib in
stalliert, und einer minimalen Installation, die primelib nicht installiert. Beide
Installationen legen, wenn die Voreinstellungen im Setup-Programm yom Be
nutzer nicht verandert werden, einen Ordner
C:\Programme\SciFace\Zahlentheorie mit MuPAD
8 Der Inhalt der CD
an, der einen Ordner MuPAD Light 1.4.1 und einen Ordner Zahlentheorie
enthalt. Der erste enthalt MuPAD Light 1.4.1 selbst und der zweite in ei
nem Ordner doc die interaktive Version dieses Buchs und das Dokument
uber die Aufgabe von Archimedes, sowie in einem Ordner lib die Programm
Bibliotheken zu den Losungen der Aufgaben. Wenn der Benutzer die nor
male Installation gewahlt hat, so enthalt der Ordner Zahlentheorie mit
MuPAD einen weiteren Ordner primelib, der in einem Unterordner lib die Pro
gramme der Bibliothek primelib und in einem Unterordner doc die Dateien
primelib. dvi, primelib. bsp, primelib. hyp und primelib .lab enthalt.
Gebrauchsanweisung: Zum Start des interaktiven Buchs wahlt man entwe
der Zahlentheorie im Startmenu von Zahlentheorie mit MuPAD oder akti
viert das Icon zahlentheorie. dvi im Ordner Zahlentheorie\doc. Das Buch
wird daraufhin mit einer Titelseite geoffnet. Mit Hilfe der Schaltflachen in der
Kopfleiste kann man vorwarts oder ruckwarts blattern und mit Hilfe des Menus
Targets zum Inhaltsverzeichnis, zum Index oder zu den Losungen springen;
nach einem solchen Sprung kann man mit Hilfe einer Schaltflache zum Aus
gangspunkt im Text zuruckspringen. Auf vielen Seiten, insbesondere dort, wo
die Aufgaben des Buchs gelost werden, findet man farbig markierte Textstel
len; ein Mausklick auf eine solche Stelle lost einen Sprung innerhalb des Texts
oder ins Literaturverzeichnis aus. Ein doppelter Mausklick auf ein far big mar
kiertes »-Zeichen startet MuPAD Light, falls es nicht schon vorher gestartet
wurde, und ubertragt die auf» folgende MuPAD-Eingabe in das MuPAD
Light-Fenster, wo sie durch Enter oder Return an MuPAD zur Ausfiihrung
ubergeben wird.
Man kann das interaktive Buch auch aus einer MuPAD-Sitzung heraus starten,
indem man vom Menu Help aus das Manual startet und darin vom Menu File
aus die Datei zahlentheorie. dvi im Ordner Zahlentheorie \doc offnet.
Das Dokument, das die Aufgabe von Archimedes behandelt, kann man entwe
der durch Wahl von Das Rinderproblem vom Startmenu von Zahlentheorie
mi t MuPAD aus offnen oder durch Offnen der Datei rinderproblem. dvi im
Ordner Zahlentheorie\doc.
Fiir Einsteiger: Lesern dieses Buchs, die noch nicht mit MuPAD zu tun
hatten, wird das Studium der Dokumente erste_schritte. dvi, demo. dvi
und advdemo. dvi im Ordner MuPAD Light 1.4.1 \doc\dvi empfohlen. Dazu
startet man, wie oben beschrieben, in einer MuPAD-Sitzung vom Menu Help
aus das Manual und offnet darin vom Menu File aus erste_schri tte. dvi,
demo. dvi oder advdemo. dvi.
Die Bibliothek primelib: Die Bibliothek primelib kann auch nachtraglich
installiert werden. Welche Dateien in welche Ordner zu kopieren sind, fin-
Der Inhalt der CD 9
det man weiter oben in dem Abschnitt, der die Installation beschreibt. Man
braucht auch nicht alle Primzahltafeln, die zu primelib gehoren, auf seine
Festplatte zu kopieren; dann sollte man aber die Funktionen prime und pi in
primelib anpassen.
MuPAD Pro 1.4: Die CD enthalt auch eine Vollversion des Computer
Algebra-Systems MuPAD, deren Nutzungsdauer auf 30 Tage beschrankt ist.
Zur Installation dieser Demo-Version startet man setup. exe im Verzeichnis
MuPAD Pro 1.4 auf der CD. Ein Dokument, das uber die Unterschiede zwi
schen MuPAD Light und MuPAD Pro informiert, kann man entweder durch
Wahl von MuPAD Pro im Startmenu von Zahlentheorie mit MuPAD offnen
oder durch Offnen der Datei MuPAD Pro. doc im Ordner Zahlentheorie mit
MuPAD.
Registrierung: Die Registrierung von MuPAD Light ist jedem Benutzer emp
fohlen, schon weil durch sie der fUr MuPAD Light reservierte Arbeitsspeicher
vergroBert wird. Man registiert entweder
• uber http://www.sciface.com : Der Abschnitt Download enthalt einen
Eintrag Register, der ein Formular zur Online-Registrierung bereit
stellt, oder
• durch einen Brief oder eine E-mail an die unten angegebene Adresse der
Firma Sci Face Software.
Die Registrierung ist fur SchUler und Lehrer, fUr Mitarbeiter nicht-kommer
zieller Forschungsinstitute, fUr alle, die an Hochschulen und Universitaten in
Lehre und Forschung tatig sind, und naturlich fUr alle Kaufer dieses Buchs
kostenfrei.
Anschrift der Firma SciFace Software:
SciFace Software GmbH & Co. KG
Technologiepark 12
D-33100 Paderborn
Tel.: [phone] - Fax: [phone]
E-mail: info<Osciface.com
WWW: http://www.sciface.com
Anschrift des Autors:
Dr. Friedrich Schwarz
Universitat Paderborn, Fachbereich 17
D-33095 Paderborn
Tel.: [phone]
E-mail: fritz<Ouni-paderborn.de
Inhaltsverzeichnis
Vorwort 5
Der Inhalt der CD 7
I Grundbegriffe 11
1 Teilbarkeit . 11
2 Primzahlen......... 28
3 Endliche abelsche Gruppen . 47
II Die Restklassenringe des Rings Z 54
4 Die Restklassenringe . . . 54
5 Primitivwurzeln ..... . 71
6 Nichtlineare Kongruenzen 86
III Anwendungen 97
7 Der Primzahltest von M. O. Rabin 97
8 Zufallszahlen ..... · 106
9 Ein wenig Kryptologie · 116
IV Quadratische Reste 124
10 Quadratische Reste ......... . · 124
11 Legendre-Symbol und Jacobi-Symbol · 128
12 Ein Rechenverfahren ........ . · 146
V Kettenbriiche 152
13 Endliche Kettenbriiche · 152
14 Der Algorithmus von R. S. Lehman · 158
15 Unendliche Kettenbriiche . · 163
16 Periodische Kettenbriiche . · 174
17 Die Pellschen Gleichungen · 193
Nachwort 207
Literatur 208
MuPAD-Objekte 216
Index 217
I Grundbegriffe
1 Teilbarkeit
(1.1) In dies em Paragraphen werden einige element are Begriffe und Ergebnis
se zusammengestellt, die wohl jedem seit jeher bekannt sind, die aber fUr alles,
was folgt, grundlegend sind. Der Ausgangspunkt ist ein Satz der elementaren
Arithmetik, namlich der Satz von der Division mit Rest im Ring Z. Mit Hilfe
dieses Satzes werden zuerst die Untergruppen der Gruppe (Z, +) beschrieben,
und dann wird gezeigt, dafi endlich viele ganze Zahlen stets einen eindeutig
bestimmten grofiten gemeinsamen Teiler in No besitzen. Die Berechnung des
grofiten gemeinsamen Teilers zweier ganzer Zahlen lei stet der Euklidische Algo
rithmus, einer der altesten Algorithmen der Mathematik. VOIl diesem Algorith
mus werden zwei Fassungen behandelt, die beide auch als MuPAD-Funktionen
angegeben werden. Den Abschlufi dieses Paragraphen bildet die Behandlung
des kleinsten gemeinsamen Vielfachen endlich vieler ganzer Zahlen.
(1.2) Bezeichnung: Es seien a, bE Z. Wenn es ein c E Z mit b = ac gibt, so
schreibt man a I b und sagt: a teilt b, a ist ein Teiler von b, b ist ein Vielfaches
at
von a. Wenn a kein Teiler von b ist, so schreibt man b.
(1.3) Satz (von der Division mit Rest): Es sei m E Z mit m i- O. Zu jedem
a E Z gibt es eindeutig bestimmte q, I E Z mit
°:: ;
a = mq+, undmit I < Iml.
Beweis: Es sei a E Z. Fur die ganzen Zahlen
q := { lalmJ = max({k E Z I k::; aim}), falls m > 0 ist,
falml = min({k E Z I k ~ aim}), falls m < 0 ist,
und I °:=:: ; a - mq gilt a = mq + I. 1st m > 0, so gilt q ::; aim < q + 1 und
°da:h:; er I = a - mq < m; ist m < 0, so gilt q - 1 < aim::; q und daher
°::; I = a - mq < -m = I m I. Sind auch q', I' E Z mit a = mq' + I' und mit
I' < I m I, so gilt m I (q' - q)m = I - I' und -I m I < I-I' < I m I, also
I = I' und q = q'.
i-
(1.4) Bezeichnungen: Es seien m und a ganze Zahlen, und es gelte m 0;
es seien q und I die eindeutig bestimmten ganzen Zahlen mit a = mq + ,und
F. Schwarz, Einführung in die Elementare Zahlentheorie
© B.G. Teubner Stuttgart · Leipzig 1998