Einführung in die Dynamik

230 Pages·1992·3.944 MB·German

by  Prof. Dr.-Ing. Friedrich Pfeiffer (auth.)

Teubner Studienbucher Mechanik
F. Pfeiffer
EinfUhrung in die Oynamik
Leitfaden der angewandten
Mathematik und Mechanik LAMM
Herausgegeben von
Prof. Dr. G. Hotz, SaarbrOcken
Prof. Dr. P. Kall, ZOrich
Prof. Dr. Dr.-Ing. E. h. K. Magnus, MOnchen
Prof. Dr. E. Meister, Darmstadt
Band 65
Die LehrbOcher dieser Reihe sind einerseits allen mathematischen
Theorien und Methoden von grundsatzlicher Bedeutung fOr die Anwen
dung der Mathematik gewidmet; andererseits werden auch die Anwen
dungsgebiete selbst behandelt. Die Bande der Reihe sollen dem
Ingenieur und Naturwissenschaftler die Kenntnis der mathematischen
Methoden, dem Mathematiker die Kenntnisse der Anwendungsgebiete
seiner Wissenschaft zuganglich machen. Die Werke sind fOr die ange
henden Industrie-und Wirtschaftsmathematiker, Ingenieure und Natur
wissenschaftler bestimmt, darOber hinaus aber sollen sie den im prak
tischen Beruf Tatigen zur Forbildung im Zuge der fortschreitenden
Wissenschaft dienen.
Einfuhrung in die
Dynamik
Von Prof. Dr.-Ing. Friedrich Pfeiffer
Technische Universitat Munchen
2., uberarbeitete Auflage
Mit zahlreichen Bildern
m
B.G. Teubner Stuttgart 1992
Prof. Dr.-Ing. Friedrich Pfeiffer
Geboren 1935 in Wiesbaden. Von 1955 bis 1961 Studium des Maschinenbaus und
1965 Promotion in Aerodynamik an der Technischen Hochschule Dannstadt. 1966
Entwicklungsingenieur bei BOlkow GmbH und von 1969 bis 1975 Hauptabteilungs
leiter Technische Mechanik (Raumfahrt MBB). Von 1975 bis 1976 Technischer
Assistent bei Dr. L BOlkow, von 1978 bis 1980 Technischer GeschiiftsfOhrer der
Bayemchemie und von 1980 bis 1982 Entwicklungsleiter Apparate. Seit 1982 o.
Professor fUr Mechanik an der Technischen Universitiit MOnchen.
Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme
Pfeiffer, Friedrich:
Einfiihrung in die Dynamik I von Friedrich Pfeiffer. - 2.,
Oberarb. Aufl. ;-
Stuttgart: Teubner, 1992
(Leitfiiden der angewandten Mathematik und Mechanik ; Bd. 65)
(Teubner-StudienbOcher : Mechanik)
ISBN 978-3-519-12367-5 ISBN 978-3-322-90845-2 (eBook)
001 10.1007/978-3-322-90845-2
NE: 1.GT
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faltigungen, Obersetzungen, Mikrovenflmungen unci die Einspeicherung und Ver
arbeitung in elektronischen Systemen.
© B. G. Teubner Stuttgart 1989
Softcover reprint of the hardcover 2nd edition 1989
Gesamtherstellung: Oruckhaus Beltz, HemsbachlHergstraBe
Umschlaggestaltung: M. Koch, Reutlingen
Vorwort
Die Mechanik als eine Grundlagenwissenschaft des Ingenieurwesens hat dort andere
Aufgaben zu erfiillen als in den Naturwissenschaften. Die beriihmt gewordene Aus
sage des Frankfurter Biophysikers Friedrich Dessauer, daB fiir Physiker Maschinen
und Gerate nur Erkenntnismittel, fiir Ingenieure dagegen Erkenntnisziel seien, deu
tet die komplementii.re Situation der Natur- und Ingenieurwissenschaften an: Die
Physik setzt Gerate und Maschinen als ein Hilfsmittel ein, urn auf ihre Fragen an
die Natur Antworten zu finden. Die Ingenieure setzen die Erkenntnisse der Physik
und vieler anderer Wissenschaften als Hilfsmittel ein, urn die Realisierungschancen
technischer Ideen zu priifen und sie schliefJlich in eine funktionierende Maschine um
zusetzen. DaB es hierbei vielfa.J.tige gegenseitige Befruc;htungen gibt, so daB Technik
und Naturwissenschaften mehr und mehr eine Symbiose eingehen, iindert nichts an
den prinzipiellen Zielsetzungen. Der UmsetzungsprozefJ als ein iterativer Vorgang
stellt die zentrale Aufgabe des Ingenieurs dar. Jede Grundlagenwissenschaft des
Ingenieurwesens mufJ dieser Tatsache Rechnung tragen. So auch die Mechanik. Sie
tut dies durch immer perfektere Anpassung ihrer Methoden und Verfahren an die
Anforderungen der technischen Entwicklung.
Eine komplizierter werdende Technik erfordert aufwendigere Auslegungsverfahren.
Der heute erreichte Entwicklungsstand technischer Gerate lii.Bt weitere Verbesserun
gen nur noch zu, wenn in systematischer Weise alle Moglichkeiten der theoretischen
und experimentellen Modellierung ausgeschopft und in optimaler Weise dem Um
setzungsproze6 nutzbar gemacht werden. Eine Produktentwicklung alleine iiber das
Experiment ist heute aus Kostengriinden nicht mehr moglich, theor~tische Simu
lationen ersetzen daher zunehmend die Arbeit des Versuchsfeldes. Dies setzt gute
Modelle voraus. Gute Modelle sind realitatsnah. Realitiitsnii.he braucht den Blick
fiir das Wesentliche, das den Umfang von Modell und Theorie entscheidet.
Das vorliegende Buch will eine Einfiihrung in die Probleme der Dynamik geben und
dabei die obigen Forderungen beriicksichtigen. Dabei rri.ufite ein Kompromifi zwi
schen Grundlagen und Anwendung gefunden werden. Die grundlegenden Prinzipien
und Gesetzmii.Bigkeiten der Kinematik und Kinetik sollten einerseits so allgemein
und ausfiihrlich gebracht werden, daB man sie auch auf komplizierte dynamische
Systeme anwenden kann, sie sollten andererseits so transparent sein, daB ihre Um
setzung und Anwendung nicht problematisch ist. Dieser Aufgabe widmet sich der
Beginn des Buches. Der Bogen spannt sich yom theoretischen Grundlagenkapitel
am Anfang bis zum phiinomenologisch orientierten Kapitel iiber Fragen der Schwin
gungsentstehung am Ende. Dazwischen werden Probleme der linearen und nichtli
nearen Dynamik in anwendungsorientierter Form behandelt.
Selbstverstiindlich kann eine Einfiihrung in die Dynamik nur eine Auswahl brin
gen, die bei aller Breite der unterschiedlichen Meinungen so angelegt sein mufi, daB
ein tieferes Eindringen in den Stoff von dort aus erleichtert wird. Die hier vor
gelegte Auswahl ist das Resultat einer stiindig iiberarbeiteten und aktualisierten
VI VORWORT
Vorlesung, die seit vielen Jahren an der Technischen Universitat Miinchen fiir Stu
dent en nach dem Vordiplom gehalten wird, zunii.chst von meinem Vorganger, Herrn
Prof. Dr. rer. nat. Dr.-Ing. E.h. Kurt Magnus, seit 1982 von mir. Herrn Magnus
verdanke ich die konzeptionelle Idee, den roten Faden, der von der grundsatzlichen
Theorie am Anfang zu phanomenologischen Fragestellungen am Ende fiihrt, sowie
eine Fiille von Inhalten und Details, die seine Vorlesung auszeichneten. Ich hoffe,
nicht nur die Kontinuitat gehalten, sondern aus eigener langjahriger Industrieerfah
rung Formen und Inhalte gefunden zu haben, die dem immerwahrenden Anspruch
der Technik auf Vereinigung von Theorie und Praxis gerecht werden.
Herrn Kollegen Magnus danke ich sehr herzlich fiir die Bereitstellung seiner fruhe
ren Vorlesung und fiir manche Diskussion iiber das Problem der Konzeption und
der Stoffauswahl fiir eine solche Einfiihrung. Meinen Assistenten und Mitarbeitern
habe ich fiir unzahlige und standige Erorterungen iiber Fragen des Inhalts und seiner
Darstellung zu danken. Mein besonderer Dank gilt dabei Herrn Dr.-Ing. habil. Hart
mut Bremer fiir die kritische Durchsicht der theoretischen Grundlagen und Herrn
Dipl.-Ing. Dipl.-Math. Eduard Reithmeier fiir viele Anregungen und Vorschlage zu
allen Themen des Buches. Herrrn Dipl.-Ing. Christoph Glocker danke ich fiir die
sorgfaltige Uberarbeitung der zweiten Auflage und die hierfiir durchgefiihrte Neu
konzept ion aller Bilder. Schliefilich danke ich Frau Monika Bohnisch fiir die gewis
senhafte Ubertragung des Manuskriptes in ein Textsystem. Dem Teubner-Verlag sei
fiir gute und reibungslose Zusammenarbeit gedankt.
Miinchen, im Januar 1992 Friedrich Pfeiffer
Inhaltsverzeichnis
1 Grundlagen 1
1.1 Einleitung
1.2 Grund begriffe 2
1.2.1 Masse 2
1.2.2 Schnittprinzip, Kraft 2
1.2.3 Bindungen ...... 3
1.2.4 Virtuelle Verschiebungen . 4
1.3 Kinematik ............. 5
1.3.1 Koordinatensysteme und Koordinaten 5
1.3.2 Koordinatentransformationen 8
1.3.3 Relativkinematik 9
1.4 Impuls- und Drallsatz. . 15
1.4.1 Allgemeine Axiome . 15
1.4.2 Impulssatz . 16
1.4.3 Drallsatz . 17
1.5 Energiesatz ... 18
1.6 Einschriinkungen der Bewegungsfreiheit . 20
1.6.1 Zwangsbedingungen ...... . 20
1.6.2 Verallgemeinerte Koordinaten .. 22
1. 7 Die Prinzipien von d' ALEMBERT und JOURDAIN . 23
1.7.1 Das Prinzip von d'ALEMBERT ....... . 23
1.7.2 Das Prinzip von JOURDAIN ........ . 27
1.7.3 NEWTON-EULERsche Gleichungen fiir Systeme mit Bindun-
gen .......................... . 28
1.8 LAGRANGEsche Bewegungsgleichungen .......... . 31
1.8.1 LAGRANGEsche Bewegungsgleichungen erster Art . 31
1.8.2 LAGRANGEsche Bewegungsgleichungen zweiter Art 34
1.9 Die Gleichungen von HAMILTON . . . ........ . 46
1.9.1 Das Prinzip von HAMILTON ......... . 46
1.9.2 Die kanonischen Gleichungen von HAMILTON. 47
1.10 Praktische Aspekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
VIII INHALTSVERZEICHNIS
2 Lineare diskrete Modelle 60
2.1 Modellbildung und Linearisierung 60
2.1.1 Modellbildung ...... . 60
2.1.2 Linearisierung ........ . 62
2.2 Einteilung der linearen Systeme . . . 64
2.3 LOsungsverfahren . . . . . . . . . . . 71
2.3.1 Ziele ............. . 71
2.3.2 Lineare Systeme zweiter Ordnung . . . 72
2.3.3 Lineare Systeme erster Ordnung . . . . . . . . 77
2.4 Stabilitat linearer Systeme . . . . . . . . . . . . . . . 93
2.4.1 Allgemeine Aussagen ............. . 93
2.4.2 Kriterien aus dem charakteristischen Polynom 95
2.4.3 Stabilitiit mechanischer Systeme. . . . . . . . 97
3 Lineare kontinuierliche Modelle 99
3.1 Modellbildung ......... . 99
3.1.1 Kontinuierliche Schwinger . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.1.2 Einfache Beispiele kontinuierlicher Schwinger .......... 100
3.2 Approximation kontinuierlicher Schwingungs- Systeme - die Verfah-
ren von RITZ und GALERKIN . . . . . . . . . . . . 112
3.2.1 Allgemeine Betrachtungen . . . . . . . . . . . . . 112
3.2.2 Funktionensysteme und Vollstiindigkeit . . 112
3.2.3 Das Verfahren von RITZ . . . . . . . . . . 114
3.2.4 Das Verfahren von GALERKIN . . . . . . . . . . 119
3.2.5 Randbedingungen beim RITZ- und GALERKIN-Verfahren .. 121
3.2.6 Zur Wahl der Ansatzfunktionen . . . . . . . . . 126
3.2.7 Anwendungsbeispiele........ · . 126
3.3 Hybride mechanische Schwingungssysteme · . 131
3.3.1 Modellierung ... · . 131
3.3.2 Systemgleichungen . . . . . . . . . · .132
INHALTSVERZEICHNIS IX
4 Methoden zur nichtlinearen Mechanik 134
4.1 Allgemeine Anmerkungen ....... · 134
4.2 Nichtlinearer Schwinger mit einem Freiheitsgrad · 135
4.2.1 Strenge Losung-Anstiickelmethode .. · 139
4.2.2 Naherungsverfahren nach GALERKIN · 141
4.2.3 Harmonische Balance . . . . . . . . . . · 143
4.2.4 Methode der kleinsten Fehlerquadrate . · 144
4.3 Stabilitat der Bewegung ... · 146
4.3.1 Begriffe, Definitionen . .146
4.3.2 Allgemeine Stabilitatsdefinitionen . · 146
4.3.3 Stabilitat der ersten Naherung . · 151
4.3.4 Stabilitat nichtlinearer Systeme · 152
5 Phanomene der Schwingungsentstehung 161
5.1 Einfiihrung ..... · 161
5.2 Freie Schwingungen . · 163
5.3 Erzwungene Schwingungen . · 166
5.4 Selbsterregte Schwingungen · 172
5.4.1 Allgemeine Eigenschaften · 172
5.4.2 Beispiele fiir selbsterregte Schwinger · 176
5.5 Parametererregte Schwingungen ...... . · 193
5.5.1 Ubersicht .............. . · 193
5.5.2 Bewegung und Stabilitat parametererregter Schwingungen . 195
5.5.3 Beispiele............................ . 202
6 Literatur 213
7 Sachwortverzeichnis 217
1 Grundlagen
1.1 Einleitung
"Die Mechanik ist die Wissenschaftvon der Bewegungj als ihre Aufgabe bezeichnen
wir: Die in der Natur vor sich gehenden Bewegungen v 0 11 s tan dig und
auf die e i n f a c h s t eWe i s e zu beschreiben." Dieser iiber hundert
Jahre alte Satz KIRCHHOFFs [20] hat weder etwas von seiner Aussagekraft noch
von seinem Anspruch verloren. Auch fiir die Technik muB Mechanik als Wissenschaft
der Bewegung so einfach wie moglich, aber eben auch vollstandig sein. Verstehen
wir unter Bewegung jede Art von Verschiebung und Verdrehung, auch kleinsten
Ausmaf3es wie etwa bei elastischen Verformungen, und schlief3en den Begriff der
Ruhe in diese Definition mit ein, so ist mit Bewegung die gesamte Mechanik er
faBt. Die Beschreibung der "Bewegung" beinhaltet dabei zwei Aspekte, denjenigen
der geometrischen, der kinematischen Darstellung und denjenigen, der sich mit den
Ursachen der Bewegung befaBt, also dem dynamischen Aspekt. Von allen Wechsel
wirkungen, die materielle Korper untereinander oder von und mit ihrer Umgebung
erfahren konnen, interessieren in der Mechanik diejenigen, die solchen Korpern Be
schleunigungen (oder Deformationen) erteilen. Derartige Wechselwirkungen nennen
wir Kriifte. Die Lage und Orientierung von Korpern, ihre Kinematik also, und ihre
Wechselwirkung mit Kraften, ihre Statik oder Kinetik, bilden die Mechanik.
Yom physikalischen Standpunkt aus konnte man die klassische Mechanik als abge
schlossenes Gebiet bezeichnen, dessen Inhalte vollstandig deduktiv aufgebaut werden
konnen. Kennt man die Gesetze, nach denen Krafte wirken, so lassen sich die Aus
sagen der klassischen Mechanik auf eine Reihe von Grundgesetzen, auf Axiome,
zuriickfiihren. Axiome sind nicht beweisbar, miissen aber mit der physikalisch
praktischen Erfahrung iibereinstimmen. Diese deduktive Vorgehensweise ist freilich
nur moglich, wenn man von Modellsystemen und Modellkorpern ausgeht, die bereits
ein reduziertes Bild der wirklichen Verhiiltnisse abgeben [10].
In der technischen Mechanik wird die Frage der Modellierung zu einem Kernproblem
aller Verfahren und Methoden. Die technische Mechanik ist eine Ingenieurwissen
schaft, die sich mit der Bewegung technischer Systeme befaBt. Maschinen, Me
chanismen, Tragwerke werden durch Bewegungen und Deformationen beansprucht.
Man muB die Belastungen kennen, wenn man derartige Gerate auslegen will. Die
solchen Analysen zugrundeliegenden Modelle konnen nicht vollstandig sein. Dem wi
derspricht einmal die konstruktive und technologische Realitat, die in keinem prak
tischen Fall eine Modellierung ohne Vernachliissigungen zulaBt, dem widerspricht
zum anderen aber auch die okonomische Situation, die stets das einfachst-mogliche
Modell verlangt, ohne dabei die technisch notwendige Aussage aus dem Auge zu ver
lieren. Solche Modellierungsiiberlegungen beginnen mit sinnvollen Massenmodellen,
starr, elastisch, plastisch, fliissig, befassen sich mit den notwendigen Eigenschaften
von Kopplungsstrukturen zwischen Massen und Massensystemen und beinhalten bei
grof3en, komplexen Systemen auch Unterteilungsgesichtspunkte fUr Substrukturen.