Einführung in die angewandte Geometrie PDF
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Mathematik Kompakt Oswin Aichholzer Bert Jüttler Einführung in die angewandte Geometrie Mathematik Kompakt Mathematik Kompakt Herausgegebenvon: MartinBrokate Karl-HeinzHoffmann GötzKersting KristinaReiss OtmarScherzer GernotStroth EmoWelzl DieneukonzipierteLehrbuchreiheMathematikKompaktisteineReaktionaufdieUmstel- lungderDiplomstudiengängeinMathematikzuBachelorundMasterabschlüssen.Ähnlich wiedieneuenStudiengängeselbstistdieReihemodularaufgebautundalsUnterstützung derDozierendensowiealsMaterialzumSelbststudiumfürStudierendegedacht.DerUm- fang eines Bandes orientiert sich an der möglichen Stofffülle einer Vorlesung von zwei Semesterwochenstunden.DerInhaltgreiftneueEntwicklungendesFachesaufundbezieht auch dieMöglichkeiten der neuenMedien mitein.VieleanwendungsrelevanteBeispiele gebendenBenutzernÜbungsmöglichkeiten.ZusätzlichbetontdieReiheBezügederEin- zeldisziplinenuntereinander. Mit Mathematik Kompakt entsteht eine Reihe, die die neuen Studienstrukturen berück- sichtigtundfürDozierendeundStudierendeeinbreitesSpektrumanWahlmöglichkeiten bereitstellt. Oswin Aichholzer · Bert Jüttler Einführung in die angewandte Geometrie OswinAichholzer BertJüttler InstitutfürSoftwaretechnologie InstitutfürAngewandteGeometrie TechnischeUniversitätGraz JohannesKeplerUniversität Graz,Österreich Linz,Österreich ISBN978-3-0346-0143-6 ISBN978-3-0346-0651-6(eBook) DOI10.1007/978-3-0346-0651-6 SpringerBaselDordrechtHeidelbergLondonNewYork DieDeutscheNationalbibliothekverzeichnetdiesePublikationinderDeutschenNationalbibliografie;detaillierte bibliografischeDatensindimInternetüberhttp://dnb.d-nb.deabrufbar. MathematicsSubjectClassification(2010):51-01,51Nxx,65D17,65D18,68U05,68U07 ©SpringerBasel2014 DasWerkeinschließlichallerseinerTeileisturheberrechtlichgeschützt.JedeVerwertung,dienichtausdrücklich vomUrheberrechtsgesetzzugelassenist,bedarfdervorherigenZustimmungdesVerlags.Dasgiltinsbesondere fürVervielfältigungen,Bearbeitungen,Übersetzungen,MikroverfilmungenunddieEinspeicherungundVerar- beitunginelektronischenSystemen. DieWiedergabevonGebrauchsnamen,Handelsnamen,Warenbezeichnungen usw.indiesemWerkberechtigt auchohnebesondereKennzeichnungnichtzuderAnnahme,dasssolcheNamenimSinnederWarenzeichen- undMarkenschutz-Gesetzgebungalsfreizubetrachtenwärenunddahervonjedermannbenutztwerdendürften. Einbandentwurf:deblik,Berlin GedrucktaufsäurefreiemundchlorfreigebleichtemPapier SpringerBaselistTeilderFachverlagsgruppeSpringerScience+BusinessMedia www.springer.com Einleitung Geometrie istaus elementaren Bedürfnissender Menschen entstanden undbeschäftigte sichursprünglichmitFragenwiebeispielsweisederLängen-,Winkel-undInhaltsmessung. Euklids1 Werk „Die Elemente“ formulierte ein Axiomensystem für die elementare Geo- metrie undleitete aus diesem alle weiteren Resultate ab. Dieses Werk erlangte enormen Einfluss undwurde lange Zeit alsGeometrie-Lehrbuch eingesetzt. Einige offeneFragen, wieetwadienachderUnabhängigkeitdesParallelenaxioms,konntenerstim19.Jahrhun- dert durch die Entdeckung der nichteuklidischen Geometrie einer endgültigen Klärung zugeführtwerden. DieVerwendungvonKoordinatenzurBeschreibungundLösunggeometrischer Pro- bleme geht auf Descartes2 zurück, der damit die Methode der analytischen Geometrie begründete. Bis dahin wurde in der Geometrie ausschließlich synthetisch gearbeitet, in- demausbekanntenEigenschaftenneueerschlossenwurden. Um1800beganninParisanderÉcolePolytechnique,dieimZugederFranzösischenRe- volutiongegründetwordenwar,dieEntwicklungderdarstellendenGeometrie(u.a.durch Monge3)undderprojektiven Geometrie(u.a.durchPoncelet4).InderFolgeentwickelte sichdiedarstellendeGeometriezueinemwesentlichenHandwerkszeugindentechnischen WissenschaftenwieMaschinenbauundBauingenieurwesen,derenBedeutungerstinden letztenJahrzehntendurchdieEinführungvonCAD-Systemenabgenommenhat. Im 19. Jahrhundert wurde die Geometrie in verschiedenste Richtungen weiterentwi- ckelt.UnteranderemsindhierdiealgebraischeGeometrie,dieDifferentialgeometrie(diese entstandals„AnwendungderDifferential-undIntegralrechnungaufdieGeometrie“),aber 1DergriechischeMathematikerEuklidvonAlexandria(um300v.Chr.)truginseinemberühm- testenWerk„Die Elemente“dasWissenderdamaligengriechischenMathematikzusammenund begründetedabeidieaxiomatischeMethode. 2DerfranzösischeMathematikerundPhilosophRenéDescartes(1596–1650)wareinerderersten Mathematiker,derAlgebraundGeometriemiteinanderverknüpfte. 3GaspardMonge(1746–1818)wareinfranzösischerMathematikerundPhysikerundhatteseit1794 dieProfessurfürMathematikanderÉcolePolytechniqueinne. 4Jean-VictorPoncelet(1788–1867)studiertebeiMongeundgerietalsLeutnantwährendNapole- onsRusslandfeldzuginKriegsgefangenschaft.WährenddieserZeiterarbeiteteerdieGrundlagender projektivenGeometrie. V VI Einleitung auchdieGrundlagenderGeometrie(Hilbert5)zunennen.VongrundlegenderBedeutung war auch das„Erlanger Programm“vonF.Klein6,nachdemGeometrie alsInvarianten- theorieeinerTransformationsgruppebetrachtetwird. BesondersimvergangenenJahrhunderthatsichdieEntwicklungderGeometriedurch stärkere Verallgemeinerung und Abstraktion zunehmend von den Ursprüngen entfernt. Einerseits haben geometrische Methoden und Denkweisen Einzug in zahlreiche andere Gebietegehalten,dievondermathematischenPhysikbisindieRegelungstheoriereichen. AndererseitswerdeninvielenLehrbüchernüberalgebraischeGeometrieoderDifferenti- algeometriekaumnochKurvenoderFlächenimdreidimensionalenRaumbehandelt,und dieAbbildungen–soweitüberhauptvorhanden–genügengelegentlichnichtden(seitder Renaissancebekannten)grundlegendenGesetzenderPerspektive.IngewisserWeiseistdie GeometriesomiteinOpferihreseigenenErfolgesgeworden! Durch neue technische Möglichkeiten der Visualisierung (Computergrafik) und des computergestützten Konstruierens (Computer Aided Design/CAD) ist seit den 1950er JahreneinwiederentstandenesInteresseankonkretengeometrischenFragestellungenim ZusammenhangmitObjektendesAnschauungsraumeszubeobachten.Dabeientstanden mehrere Arbeitsfelder, die häufig durch enge Interaktion verschiedener Wissenschafts- disziplinen gekennzeichnet sind. Beispielsweise werden im Computer Aided Geometric Design die mathematisch-geometrischen Grundlagen für das computergestützte Kon- struieren untersucht, wobei Ergebnisse aus der Approximationstheorie eine wesentliche Rolle spielen. Dagegen beschäftigt sich die algorithmische Geometrie (Computational Geometry) mit Fragen des Entwurfs und der Implementierung effizienter geometri- scherAlgorithmen,mitdenenauchumfangreichegeometrischeDatenmengenbearbeitet werden können. Damit im Zusammenhang steht auch die kombinatorische (diskrete) Geometrie,derenExtremalfrageninderAnalysevonAlgorithmenundDatenstrukturen, aberauchinzahlreichenanderenGebieten,beispielsweisederZahlentheorie,bedeutende Fortschritte bewirkt haben; siehe dazu z.B. die umfangreichen Veröffentlichungen von Erdős7. Weitere Gebiete, die hier noch genannt werden sollen, sind Computer Vision (MaschinellesSehen),RobotikundComputergrafik. DieIntentiondiesesBuchesistes,eineEinführunginverschiedeneAspektederGeo- metriezugebenunddabeigleichzeitigdieGrundlagenfürausgewählteAnwendungenzu 5DavidHilbert(1862–1943)wareinerderbedeutendstenundeinflussreichstenMathematikeram Anfangdes20.Jahrhunderts. 6Felix Klein (1849–1925) war ein deutscherMathematiker. In einer Programmschrift, die er bei seiner Berufung an die Universität Erlangen im Jahre 1872 vorlegte, formulierte er das Erlan- gerProgramm.DiesesProgrammführtezueinersystematischenKlassifikationderverschiedenen GeometrienmitHilfederzugrundeliegendenTransformationsgruppenunddenzugehörigenInva- riantengeometrischerObjekte. 7PaulErdőswareinerdereinflussreichstenMathematikerdesletztenJahrhunderts.Mitzumindest 1525VeröffentlichungenpublizierteermehrArbeitenalsjederandereWissenschaftler.Nachihmist auchdieErdős-Zahlbenannt,dieangibt,überwievielegemeinsameAutorenschaftenmanvoneiner PublikationmitErdősentferntist. Einleitung VII vermitteln. Der Aufbau des Buches orientiert sich am Erlanger Programm vonF. Klein. NacheinemeinführendenKapitelüberKoordinatenundgeometrischeTransformationen werden die euklidische, die affine und die projektive Geometrie jeweils zusammen mit relevanten Anwendungen (z.B.Voronoi-Diagrammenim Kapitel über euklidische Geo- metrie,Bézier-KurvenimKapitelüberaffineGeometrie)vorgestellt.ZumAbschlusswird dargestellt,wiedieverschiedenenGeometrienimRahmenderprojektivenGeometrieei- nereinheitlichenBehandlungzugeführtwerdenkönnen.DieszeigtgleichzeitigdenWeg zu den verschiedenen nichteuklidischen Geometrien auf, die im Rahmen dieses Buches allerdingsnursehrkurzangesprochenwerdenkönnen. EswerdenimWesentlichennurVorkenntnisseausder linearenAlgebra,derelemen- tarenGeometrieundderanalytischenGeometrievorausgesetzt.AufdieVerwendungder axiomatischenMethodewurdebewusstverzichtet,umeinemöglichstengeAnbindungan diedemLeserbereitsvertrautenMethodenundBegriffederlinearenAlgebrazugewähr- leisten. Inhaltsverzeichnis 1 KoordinatenundTransformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1 KartesischeundhomogeneKoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 SchnittundVerbindungsoperationen,Parallelität . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Dualität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4 Orientierung,SchnitteundRobustheit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.5 GeometrischeTransformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.6 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2 EuklidischeGeometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.1 BewegungenundÄhnlichkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2 Kreis-Splines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.3 Mittelachse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.4 Delaunay-Triangulierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.5 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3 AffineGeometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.1 AffineAbbildungen,baryzentrischeKoordinatenunddasTeilverhältnis . 59 3.2 PolynomialeKurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.3 AlgorithmusvondeCasteljau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.4 KonvexeHülle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.5 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 4 ProjektiveGeometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 4.1 ProjektiveAbbildungenundDoppelverhältnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 4.2 RationaleKurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 4.3 Quadriken:KegelschnitteundFlächenzweiterOrdnung. . . . . . . . . . . . 95 4.4 AbsolutfigurenundInvariantenderaffinenGeometrie . . . . . . . . . . . . . 102 4.5 AbsolutfigurenundInvariantendereuklidischenGeometrie . . . . . . . . . 106 4.6 NichteuklidischeGeometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 4.7 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 IX X Inhaltsverzeichnis 5 WeiterführendesundAnhänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 5.1 Weiterführendes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 5.2 AnhangA:HinweisezudenAufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 5.3 AnhangB:Notation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
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