Einführung in die analytische Zahlentheorie

243 Pages·1995·6.64 MB·German

by  Prof. Dr. Jörg Brüdern (auth.)

Springer-Lehrbuch
Springer-V erlag Berlin Heidelberg GmbH
Jorg Briidern
Einfiihrung
in die analytische
Zahlentheorie
Springer
Prof. Dr. Jorg Briidern
Mathematisches Institut A
Universitlit Stuttgart
pfaffenwaldring 57
0-70550 Stuttgart
Mathematics Subject Classification (1991):
11-01, 11-NOS, llN13, llN36, 11M06
Die Deutsche Bibliothek -CIP-Einheitsaufnahme
Brlldllrn,lilrg:
Einfilhrung in die anaIytische Zahlentheorie / Jllrg Brildern. -Berlin; Heidelberg; New York;
Barcelona; Budapest; Hong ICong; London; Mailand; Paris; Tokyo: Springer, 1995
(Springer-Lehrbuch)
ISBN 978-3-540-58821-4 ISBN 978-3-642-57823-6 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-642-57823-6
Dieses Werk ist urheberrechdich geschiltzt. Die dadurch begrilndeten Rechte. insbesondere die der
Obersetzung, des Nachdrucks. des Vortrags. der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der
Funksendung. der MikroverfiImung oder der Vervielflltigung auf anderen Wegen und der Speiche
rung in Datenverarbeitungsanlagen. bleiben. auch bei nur auszugsweiser Verwertung. vorbehaIten.
Eine Vervielflltigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den
Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutsch
land vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulăssig. Sie ist grundsatzlich vergii
tungspflichtig. Zuwiderhandiungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgeset
zel.
o Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1995
Urspri1nglich erschienen bei Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York 1995
Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen. Handelsnamen. Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk
berechtigt auch ohne besondere Kennzeicbnung nicht zu der Annahme. dafl solche Namen im
Sinne der Warenzeichen-und Markenschutz-Gesetzgebung a1s frei zu betrachten waren und daher
von jedermann benutzt werden diirften.
Satz: Reproduktionsfertige Vorlage vom Autor
SPIN: 10491863 44/3143-543210 -Gedruckt auf săurefreiem Papier
Vorwort
Der vorliegende Text basiert auf Vorlesungen, die der Verfasser unter den Ti
teln Primzahlverteilungim akademischen Jahr 1991/92 und Einfuhrung in die
analytische Zahlentheorie im Wintersemester 1993/94 an der Georg-August
Universitat Gottingen gehalten hat. Dabei sollten die wichtigsten Methoden
der multiplikativen Zahlentheorie in moglichst kondensierter Form, aber mit
vollstandigen, von externen Anleihen freien Beweisen dargestellt werden. Die
eher funktionentheoretischen Aspekte wie eine ausfiihrliche Diskussion von
Dirichletschen Reihen wird der Leser nicht finden, der Akzent wurde bewu6t
auf der arithmetischen Seite gesetzt. Die analytischen Eigenschaften etwa der
Riemannschen Zetafunktion werden stets nur so weit entwickelt wie es die hier
zur Sprache kommenden zahlentheoretischen Untersuchungen erfordern.
Die ersten beiden Abschnitte des ersten Kapitels haben einfiihrenden
Charakter. Eingebettet in eine historische Ubersicht zur Primzahlvertei
lung werden fUr die analytische Zahlentheorie typische Fragen vorgestellt.
Anschlie6end wird der grundlegende Zusammenhang zwischen arithmetischen
Funktionen und Dirichlet-Reihen diskutiert und die Theorie an klassischen
Grundaufgaben erprobt: der Dirichletsche Primzahlsatz, der Primzahlsatz
und Summen zweier Quadrate werden besprochen.
Das zweite Kapitel steht im Zeichen der bemerkenswerten Beitrage Bern
hard Riemanns, der den Weg zum Beweis des Primzahlsatzes geebnet hatte.
Das Schliisselergebnis sind die expliziten Formeln in 2.7. Der Primzahlsatz
ergibt sich dann erneut. Dieser Weg ist nicht der kiirzeste, aber wohl der
eindrucksvollste und durchsichtigste. Die analoge Theorie fiir arithmetische
Progressionen wird stets parallel entwickelt und im dritten Kapitel weiter aus
gebaut. Dieser Abschnitt gipfelt im fiir spat ere Anwendungen so wichtigen
Satz von Siegel-Walfisz. In diesen beiden Kapiteln lehnt sich die Darstellung
an das Buch von Davenport an.
1m vierten Kapitel wird die Zetafunktion im kritischen Streifen naher un
tersucht. Rier finden bereits Methoden Anwendung, die fiir die gegenwartige
Forschung von Bedeutung sind. Die in Kapitel 7 benotigten Mittelwertsatze
fiir die Riemannsche Zetafunktion ergeben sich als einfache Folgerung der bei
den zentralen Satze, der approximate functional equation und der Momenten
abschatzung fUr Dirichlet-Polynome. Die Dirichlet-Polynome wiederum wer
den mit der verallgemeinerten Rilbertschen Ungleichung nach Montgomery
und Vaughan behandelt. Zumindest fUr die in dieser Vorlesung behandel
ten Anwendungen gibt es einfachere Zugange, doch zahlt sich der scheinbare
Umweg bei der Diskussion des groBen Siebs im fiinften Kapitel aus. Fur
VI
Ungleichungen yom Typ des graBen Siebs liefert die Montgomery-Vaughan
Ungleichung zur Zeit die besten Resultate. Gleichzeitig wird eine gewisse
Analogie zwischen Dirichlet-Poly nomen und trigonometrischen Polynomen
sichtbar.
In Kapitel 6 steht eine Identitat von Vaughan im Mittelpunkt, die
Summen iiber Primzahlen in gewisse handlichere Summen iibersetzt. Das
ermoglicht einen weitgehend elementaren Beweis des Satzes von Bombieri
Vinogradov nach einer Methode von Vaughan. Daneben wird noch das
temare Goldbachsche Problem gelost. Die dabei zur Anwendung kommende
Hardy-Littlewoodsche Kreismethode hatte ein eigenes Kapitel verdient, die
tieferliegenden Anwendungen derselben auf Probleme der Primzahlverteilung
gehen aber doch iiber die Ziele dieses Buches hinaus.
Das letzte Kapitel ist von den Kapiteln 5 und 6 unabhangig und
stellt eine andere Entwicklungslinie vor. Es werden Methoden zu Untersu
chung der Nullstellenverteilung der Zetafunktion behandelt, die zu Dich
teabschatzungen fiihren. Der Text schlieBt mit dem schon en Satz von Huxley
iiber Primzahlen in kurzen Intervallen. Obwohl nicht offensichtlich, hangen
die Methoden der Kapitel 5, 6 und 7 doch eng zusammen. Der historische
Beweis des Satzes von Bombieri-Vinogradov benutzt Dichteabschatzungen
fiir Dirichletsche L-Funktionen anstelle der Vaughan-Identitat. Andererseits
kann der schon erwahnte Satz von Huxley mit einer Variante der Vaughan
Identitiit nach Heath-Brown ohne Riickgriff auf Dichteabschatzungen bewie
sen werden. Die Methode von Halasz-Montgomery in 7.3 fuBt auf einer Ver
allgemeinerung der Besselschen Ungleichung, aus der sich wiederum auch
das groBe Sieb ableiten lafit. Eine vollig andere Anordnung des Materials ist
durchaus denkbar.
Der gesamte Text entspricht etwa 6 Semesterwochenstunden Vorlesung.
Fiir einen kiirzeren Kurs konnen entweder Kapitel 7 oder die Kapitel 5 und 6
fortgelassen werden. Ohne Schaden fur den weiteren Fortgang kann auch eine
beliebige Teilmenge der folgenden Abschnitte iibergangen werden: 1.8, 2.9,
4.3, 5.6, 6.4. Wird Kapitel 7 nicht gelesen, darf auch 4.5 ausgelassen werden.
Kapitel 1 ist in sich geschlossen und kann auch als kurze Einfiihrung in die
Methoden der analytischen Zahlentheorie fur sich gelesen werden.
Zur Lekture sollten neben den iiblichen Anfangervorlesungen und ei
ner Kursvorlesung uber elementare Zahlentheorie rudiment are Kenntnisse in
Funktionentheorie (Stichwort Residuensatz) ausreichen.
Allen Freunden und Kollegen, die das Entstehen dieses Buches mit kriti
schem Rat begleitet haben, sei an dieser Stelle herzlich gedankt. Herr Alexan
der Dumer und Herr Lutz Lucht haben Teile des Manuskripts durchgesehen,
me in Dank gilt ihnen fur ihre wertvollen Hinweise ebenso wie Herm Siegfried
Lehr fur die Herstellung der Abbildungen. Zu besonderem Dank verpflichtet
bin ich Herm Stephan Daniel, der mehrere vorlaufige Versionen dieses Textes
mit groBer Sorgfalt und Geduld gepriift hat.
Stuttgart, im Mai 1995 Der Verfasser
Standardnotationen
1m allgemeinen solI ten Bezeichnungen aus dem Kontext heraus verstandlich
sein. Die folgenden Konventionen werden im Text ohne Kommentar benutzt.
Die natiirlichen Zahlen N enthaIten nicht die Null, wir schreiben No =
NU {O}. Das Symbol p ist ausschlie61ich fiir Primzahlen reserviert. Komplexe
Variable schreiben wir meist wie in der analytischen Zahlentheorie ublich
8 = + it mit reellen t. Gelegentlich wird auch, vor allem in funktionen
(1' (1',
=
theoretischem Zusammenhang, z x+iy benutzt. Der komplexe Logarithmus
und die allgemeine Potenz sind stets mit dem Hauptzweig des Arguments,
also -11" < arg 8 ~ 11", erklart, wenn nicht ausdrucklich Gegenteiliges gesagt
wird. Fur a, bEe bezeichnet [a, b] die orientierte Strecke von a nach b. Wird
J:
diese als Integrationsweg benutzt, wird anstelle von ~a.bl geschrieben. Die
Bezeichnung [a, b] wird bei reellen a, b auch fur das abgeschlossene Intervall
benutzt; MiBverstandnisse sind nicht zu befiirchten. Das ofi"ene Intervall wird
mit (a, b) bezeichnet. Bei ganzen Zahlen a, b ist (a, b) der groBte gemeinsame
Teiler von a und b, wiederum gibt dies nicht zu MiBverstandnissen AnlaB.
Gelegentlich treten nur bedingt konvergente Reihen auf. Wir schreiben dann
00
lim L am = Lam,
M-+oo
Iml$M m=-oo
diese kompakte Schreibweise ist entsprechend vorsichtig zu interpretieren.
Die Landau-Symbole 0,0 haben ihre iibliche Bedeutung. 1st Gee und
sind 1 : G -t C, 9 : G -t [0,00) Funktionen, dann schreiben wir 1 = O(g),
wenn es eine Konstante c E lR gibt mit I/(z)1 ~ cg(z) fur alle z E G. Anstelle
von 1 = O(g) wird oft die handlichere Schreibweise 1 « 9 benutzt. In den
Anwendungen hiingen 1 und 9 oft noch von Parametern abo Die Konstante
c hangt dann, sofern nichts anderes gesagt wird, in der Regel von diesen Pa
rametern abo 1st a Haufungspunkt von q. . dann schreiben wir 1(8) = 0(g(8))
fiir 8 -t a, wenn lim 1(8)/g(8) = 0 ist. Ahnlich wird 1(8) -- g(8) fur 8 -t a
~-+a
gesetzt, wenn lim/(8)/g(8) = 1 ist; hier darf 9 auch komplexwertig sein.
~-+a
Inhaltsverzeichnis
1. Arithmetiscbe Funktionen und Dirichlet-Reihen..... .... ... 1
1.1 Primzahlverteilung: eine Einftihrung ...................... 1
1.2 Teilerstatistik.......................................... 10
1.3 Der Ring der arithmetischen Funktionen .................. 18
1.4 Konvergente Dirichlet-Reihen .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 24
1.5 Charaktere............................................ 33
1.6 Der Dirichletsche Primzahlsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 35
1.7 Der Primzahlsatz I ..................................... 39
1.8 Summen von zwei Quadraten ............................ 44
2. Die Ideen Riemanns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 53
2.1 Die Gammafunktion ......... . ............ ....... ....... 53
2.2 Die Funktionalgleichung der Zetafunktion ................. 58
2.3 Primitive Charaktere und Gau6sche Summen .............. 66
2.4 Die Funktionalgleichung fur Dirichletsche L-Funktionen ..... 72
2.5 Der Produktsatz von Hadamard.. . . .. . . . .. . . . . .. .. . . .. . .. 75
2.6 Nullstellen und logarithmische Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . .. 81
2.7 Die expliziten Formeln .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 87
2.8 Der Primzahlsatz II. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 91
2.9 Die vertikale Verteilung der Nullstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 95
3. Primzahlverteilung in arithmetischen Progressionen . . . . . . .. 99
3.1 Die Nullstellen Dirichletscher L-Funktionen . . . . . . . . . . . . . . .. 99
3.2 Der Satz von Siegel ..................................... 106
3.3 Der Primzahlsatz in arithmethischen Progressionen ......... 110
4. Die Zetafunktion im kritiscben Streifen .................... 117
4.1 The Approximate Functional Equation .................... 117
4.2 Die Lindelof-Vermutung ................................. 126
4.3 Das Dirichletsche Teilerproblem .......................... 131
4.4 Die Hilbertsche Ungleichung und Verwandtes .............. 136
4.5 Potenzmomente der Zetafunktion ......................... 147
x
Inhaltsverzeichnis
5. Das gro6e Sieb ............................................. 153
5.1 Eine erste Version des groBen Siebs ....................... 153
5.2 Das Dualitiitsprinzip .................................... 156
5.3 1st das groBe Sieb ein Sieb? .............................. 163
5.4 Einige Anwendungen des groBen Siebs ..................... 168
5.5 Das groBe Sieb und Charaktersummen .................... 183
5.6 Gleichverteilung in Restklassen ........................... 188
6. Vaughan-Identitaten und deren Anwendungen ............. 193
6.1 Fast eine Trivialitiit ..................................... 193
6.2 Der Satz von Bombieri-Vinogradov ....................... 197
6.3 Die Teiler von p + 1 ..................................... 202
6.4 Das terniire Goldbachsche Problem ....................... 208
7. Die Nullstellen der Zetafunktion ........................... 217
7.1 Benachbarte Primzahlen ................................. 217
7.2 Der Nullstellendetektor .................................. 220
7.3 Eine Methode von Halasz ................................ 226
7.4 Der Dichtesatz von Huxley .............................. 229
Literatur ..................................................... 235
Index ......................................................... 237
1. Arithmetische Funktionen
und Dirichlet-Reihen
1.1 Prirnzahlverteilung: eine Einfiihrung
Die natiirlichen Zahlen und auch das Rechnen mit diesen erscheinen nicht
nur Mathematikern vertraut, ja s elbstverstandlich. Primzahlen sind beinahe
genauso selbstverstandlich. Beim Teilen mit Rest kommen namlich immer
wieder Zahlen vor, die sich nur durch 1 und sich selbst ohne Rest teilen las
sen. Dies ist die antike Definition einer Primzahl1. Es iiberrascht also nicht,
wenn schon in friihen Quellen Primzahlen behandelt werden. Zumindest seit
Euklid war bekannt, d aB Primzahlen d ie Bausteine d er multiplikativen Struk
tur der natiirlichen Zahlen sind, denn jede natiirliche Zahl ist ein Produkt
von Primzahlen, und dieses Produkt ist auch im w esentlichen eindeutig.
Fundamentalsatz der Arithmetik. Zu Jedem n E N existieren eindeutig
bestimmte Zahlen e(p) E No! so dafJ gilt
I1
n = pe(p).
p
Insbesondere sind nur endlich viele e(p) von Null verschieden.
Der Beweis ist einfach und wird in der elementaren Zahlentheorie er
bracht. Die Existenz ergibt sich sofort durch Induktion iiber n. Fiir die Ein
deutigkeit braucht man den Euklidischen Hilfssatz: Teilt p ein Produkt ab,
so auch mindestens einen Faktor, etwa a.
Dies allein sollte Motivation genug sein, Primzahlen genauer zu studie
reno Die Fragen, die sich anbieten, sind mannigfach. Zunachst ist zu kliiren,
wieviele Primzahlen es gibt. Dann kann man weiter fragen: Gibt es stets
Primzahlen in einer vorgegebenen Restklasse? Wie lang muB ein Intervall
sein, urn sicherzustellen, daB mindestens eine Primzahl darin enthalten ist?
Erzeugen die Primzahlen etwa auch die additive Struktur von 7l? Nach einer
Vermutung von Goldbach (1742) sollten sich alle geraden Zahlen n ~ 4 als
Summe zweier Primzahlen schreiben lassen. Derartige Fragestellungen sind
1 Nach d ieser Definition i st 1 e ine Prirnzahl, was fruher durchaus u hlich w ar. Heute
wird 1 nicht zu den Prirnzahlen gerechnet.