Einführung in die algebraische Geometrie

286 Pages·1997·13.37 MB·German

by  Prof. Dr. Ernst Kunz (auth.)

Ernst Kunz
Einfiihrung in die algebraische Geometrie
vieweg studium
Aufbaukurs Mathematik
Herausgegeben von M. Aigner, G. Fischer,
M. GrLiter, M. Knebusch, R. Scharlau, G. WListholz
Martif) Aigner
Diskrete Mathematik
Albrecht Beutelspacher und Ute Rosenbaum
Proiektive Geometrie
Manfredo P. do Carmo
Differentialgeometrie von Kurven und Flachen
Gerd Fischer
Ebene algebraische Kurven
Wolfgang Fischer und Ingo lieb
Funktionentheorie
Wolfgang Fischer und Ingo lieb
Ausgewahlte Kapitel aus der Funktionentheorie
Otto Forster
Analysis 3
Manfred Knebusch und Claus Scheiderer
EinfUhrung in die reelle Algebra
Horst Knorrer
Geometrie
Ulrich Krengel
Einfuhrung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik
Ernst Kunz
Algebra
Ernst Kunz
Einfuhrung in die algebraische Geometrie
Reinhold Meise und Dielmar Vogl .
Einfuhrung in die Funktionalanalysis
Erich Ossa
Topologie
Alexander Prestel
EinfUhrung in die mathematische Logik und Modelltheorie
Jochen Werner
Numerische Mathematik 1 und 2
JLirgen Wolfart
Einfuhrung in die Zahlentheorie und Algebra
Ernst Kunz
Einfihrung in die
algebraische Geollletrie
Mit 145 Obungsaufgaben
I I
Vleweg
Prof. Dr. Ernst Kunz
UniversiHit Regensburg
Fachbereich Mathematik
UniversiHitsstr. 31
93053 Regensburg
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© Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, BraunschweiglWiesbaden, 1997
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Gedruckt auf siiurefreiem Papier
ISBN-13:978-3-528-07287-2 e-ISBN-13 :978-3-322-80313-9
DOl: 10.1007/978-3-322-80313-9
v
Inhaltsverzeichnis
Vorwort VII
Vereinbarungen und Bezeichnungen IX
Kap. I. Affine algebraische Varietaten 1
§ 1. Definition und erste Eigenschaften affiner algebraischer Varietaten 1
§ 2. Schnitt einer Hyperflache mit einer Geraden 16
§ 3. Das Verschwindungsideal einer algebraischen Varietat 25
§ 4. Zerlegung einer Varietat in irreduzible Komponenten 31
§ 5. Der Koordinatenring einer algebraischen Varietat 36
Kap. II. Projektive algebraische Varietaten 43
§ 1. Der n-dimensionale projektive Raum 43
§ 2. Projektive algebraische Varietaten 49
§ 3. Projektive AbschlieBung affiner Varietaten 56
§ 4. Der Hauptsatz der Eliminationstheorie 62
Kap. III. Das Spektrum eines Rings 65
§ 1. Die Zariski-Topologie 65
§ 2. Das homogene Spektrum eines graduierten Rings 73
§ 3. Weitere Eigenschaften der Zariski-Topologie 77
Kap. IV. Regulare und rationale Funktionen auf algebraischen 81
Varietaten
§ 1. Regulare Funktionen 81
§ 2. Rationale Funktionen auf algebraischen Varietaten 86
§ 3. Die lokalen Ringe in den Punkten algebraischer Varietaten 94
Kap. V. Schemata 98
§ 1. Geringte Raume 98
§ 2. Affine Schemata 102
§ 3. Der Begriff des Schemas 108
§ 4. Projektive Schemata 112
VI
Kap. VI. Dimensionstheorie 116
§ 1. Die Krulldimension von topologischen Raumen und Ringen 116
§ 2. Primidealketten und ganze Ringerweiterungen 122
§ 3. Dimension affiner algebraischer K -Schemata und affiner K -Algebren 126
§ 4. Dimension affiner und projektiver algebraischer Varietaten 136
§ 5. Der Krullsche Hauptidealsatz. Dimension des Schnitts zweier Varietaten 143
§ 6. Dimension noetherscher lokaler Ringe. Parametersysteme 149
Kap. VII. Regulare und singuHire Punkte algebraischer Varietaten 158
§ 1. Reguliire Punkte. Regulare lokale Ringe 158
§ 2. Dimension und Tiefe. Cohen-Macaulay-Varietaten 171
§ 3. Vollstandige Durchschnitte 177
§ 4. Gorenstein-Varietaten 181
Kap. VIII. Algebraische Gleichungssysteme mit nur endlich vielen 185
Losungen
§ 1. Der Satz von Bezout 185
§ 2. Fortftihrung der Schnitt-Theorie 197
Anhang. Kommutative Algebra 205
A. Graduierte Ringe und Moduln 205
B. Lokalisation und homogene Lokalisation 216
C. Moduln tiber noetherschen Ringen 225
D. Filtrierte Algebren und Moduln 238
E. Regulare und quasiregulare Folgen 251
F. Idealquotienten 260
Literatur 267
Sachwortverzeichnis 269
VII
Vorwort
Diese Einfiihrung in die algebraische Geometrie ist aus dem gleichen Kurs her
vorgegangen, dem auch mein Algebra-Buch [K4J entstammt. Sie schlieBt an dieses
an und wendet sich hauptsiichlich an Studierende, die sich iiber einen algebraischen
Grundkurs hinaus in ein Gebiet der Algebra einarbeiten und Fragen der aktuellen
Forschung niiherkommen wollen.
Die algebraische Geometrie besitzt zahlreiche Facetten und erlaubt sehr unter
schiedliche Zugiinge. Viele Mathematiker verstehen unter algebraischer Geometrie
hauptsiichlich projektive algebraische Geometrie. In diesem Buch wird der Stand
punkt eingenommen, daB man in der algebraischen Geometrie vor allem die Losungs
mengen algebraischer Gleichungssysteme mit Koeffizienten aus einem Korper, also
die algebraischen Varietiiten, verstehen mochte. Es werden die algebraischen Me
thoden beschrieben, die von van der Waerden, Krull, A. Weil und Zariski in die
Geometrie eingefiihrt und in neuerer Zeit von Serre, Grothendieck und vielen ande
ren weiterentwickelt wurden. Zu den modernen Verallgemeinerungen der Varietiiten,
den Schemata, wird hingefiihrt, und es wird. ihre Niitzlichkeit auch fiir die klassische
Theorie am Beispiel der elementaren Schnitt-Theorie zumindest angedeutet.
Der jetzige Text hat ein gemeinsames Geriist mit meinem vergriffenen Buch [K1],
von dem nur noch eine amerikanische Ausgabe [K2J vorliegt, die in Deutschland
ziemlich teuer ist. Das friihere Buch setzte sich zum Ziel, einige zum Zeitpunkt sei
nes Erscheinens aktuelle Entdeckungen iiber vollstiindige Durchschnitte zu erreichen.
Hier wird Bescheideneres angestrebt. Das jetzige Buch ist elementarer, es betont die
Geometrie etwas starker, und es sind neue Ubungsaufgaben gewiihlt worden.
Der Leser solI die Teile von [K4J kennen, die sich mit der Korper- und Ringtheorie
beschiiftigen, z.B. den Hilbertschen Basissatz und den Nullstellensatz sowie Grund
tatsachen iiber ganze Ringerweiterungen. Dariiberhinaus wird Vertrautheit mit der
linearen und multilinearen Algebra von Moduln iiber kommutativen Ringen erwartet,
z.B. soIl man mit dem Tensorprodukt von Moduln und Algebren umgehen konnen,
und es wird vorausgesetzt, daB man iiber den Transzendenzgrad und Transzendenz
basen von Korpererweiterungen Bescheid weiB. Auf diesen Grundlagen aufbauend,
werden stets vollstiindige Beweise angestrebt.
Was sonst noch aus der Algebra verwendet wird, ist in den Anhiingen A-F zu
sammengefaBt, die man zu Beginn lesen kann, oder aber dann, wenn sie im mehr
geometrischen Teil des Buches zum ersten Mal angewendet werden.
Fur zahlreiche nutzliche Hinweise und Verbesserungsvorschliige bin ich Markus
Bockes, Bettina Kreuzer, Winfried Weber und vielen anderen Teilnehmern der Re
gens burger Vorlesungen und Seminare zu Dank verpfiichtet. Die mit Metafont und
VIII
Maple erzeugten Bilder verdanke ich Bernhard und Wolfgang Rauscher sowie Markus
1EX
Bockes. Der Text ist von Eva Riitz in bewiihrter Weise in gesetzt worden.
Verlag und Herausgebern danke ich, daf3 sie mich ermuntert haben, ihr Lehrbuch
programm erneut durch ein Buch iiber algebraische Geometrie zu erganzen.
Regensburg, Januar 1997 Ernst Kunz
IX
Vereinbarungen und Bezeichnungen
Unter einem Ring verstehen wir immer einen assoziativen, kommutativen Ring mit
Eins. Ringhomomorphismen bilden die Eins auf die Eins abo In einem Modul
M gilt 1· m = m ftir alle m EM. Primideale eines Rings werden immer -# R
vorausgesetzt. Eine endlich erzeugte Algebra tiber einem Korper K wird auch affine
K -Algebra genannt. Neben Standardsymbolen werden noch folgende Symbole
ohne niihere Erkliirung verwendet:
N = {O, 1, 2, ... } Menge der nattirlichen Zahlen
N+ = {I, 2, ... , }
°
R+ Menge der reellen Zahlen >
IMI Anzahl der Elemente einer Menge M
o
leere Menge
:) , C Zeichen ftir Inklusion
;2 , S; Zeichen ftir echte Inklusion
f Iv Einschriinkung einer Abbildung f auf die Menge U
K* Menge der Elemente -# 0 eines Korpers K
F q Korper mit q Elementen
Trgr L / K Transzendenzgrad einer Korpererweiterung L / K
I
a b a teilt b (in einem Ring)
I I
a ,...., b a und b sind zueinander assoziiert (d.h. a b und b a)
Spec R Menge der Primideale eines Rings R (Spektrum)
Max R Menge der maximalen Ideale von R (Maximalspektrum)
Min R Menge der minimalen Primideale von R
( ... ) Ideal erzeugt von ...
( ... ) Untermodul erzeugt von ...
dimK V Dimension eines K -Vektorraums V
degx; f Grad eines Polynoms f bzgl. der Variablen Xi
(aBJ1'···' aBJn)
Grad f = Gradient eines Polynoms f
Zitate der Form (X,3A) besagen, daB man das Betreffende im Kapitel X unter der
Nummer 3.4 n.ndet. Nummern ohne Kapitelangabe beziehen sich auf das Kapitel, in
dem sie gerade stehen, und Zitate der Form XA auf den Anhang X.
1
Kap.I. Affine algebraische Varietaten
Die Losungsmengen algebraischer Gleichungssysteme nennt man affine algebra
ische Varietiiten. Man betrachtet sie als Objekte der Geometrie des affinen Raums.
Wir wollen hier zuniichst ihre Grundeigenschaften besprechen und die Beziehung zur
Idealtheorie herstellen.
§ 1. Definition und erste Eigenschaften affiner algebraischer Varietaten
Ein algebraisches Gleichungssystem uber einem Korper Kist ein System der
Form
(1)
wobei .fl, ... , fm Polynome in den Variablen Xl, ... ,Xn mit Koeffizienten aus K
sind. 1st ein System (1) gegeben, so interessiert man sich naturlich fur seine Losungen
in Kn oder Ln, wenn L ein Erweiterungskorper von Kist. Spezielle Systeme (1)
sind die linearen Gleichungssysteme
zn=
(2) aikXk - bi = 0 ( aik, bi E K; i = 1, ... , m)
k=l
die in der linearen Algebra behandelt werden. Fur sie gibt es einfache Antworten auf
die folgenden Fragen, die man an ein System (1) stellen kann:
a) Wann ist (1) losbar?
b) Kann man die Losungsmenge mit Hilfe einer "Parameterdarstellung" ausdrucken,
und wie kann man diese berechnen?
c) Wie hat man sich die Losungsmenge "geometrisch" vorzustellen?
d) Kann man die "GroBe" der Losungsmenge durch eine "Dimension" messen?
e) Wann besitzt (1) eine endliche Losungsmenge, wie viele Losungen gibt es dann,
und wie kann man sie berechnen?
f) Wann besitzen zwei Systeme (1) die gleiche Losungsmenge?
g) Sei V die Losungsmenge des Systems (1). Wie viele Polynome benotigt man, urn
V als Losungsmenge eines entsprechenden Gleichungssystems darzustellen?
Naturlich sind die Antworten auf diese Fragen fur algebraische Gleichungssysteme
viel schwieriger als fur lineare Gleichungssysteme, und es wird eine Weile dauern, bis
wir befriedigende Aussagen erhalten konnen. Beispielsweise handelt Kap.VI von den
E. Kunz, Einführung in die algebraische Geometrie
© Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig/Wiesbaden 1997