Einführung in die Algebra

298 Pages·1973·10.182 MB·German

by  Heinz Lüneburg (auth.)

H. LUneburg
Einfuhrung
in die Algebra
Springer-Verlag
Berlin Heidelberg New York 1973
Heinz Luneburg
Fachbereich Mathematik der Universitat Trier-Kaiserslautern
AMS Subject Classifications (1970): 13-01, 15-01, 20-01
ISBN-13: 978-3-540-06260-8 e-ISBN-13: 978-3-642-86497-1
001: 10.1007/978-3-642-86497-1
Das Werk ist urheberrechtlich geschUtzt. Die dadurch begrundeten Rechte, insbesondere die der Ober
setzung, des Nachdruckes, der Entnahme von Abbildungen, der Funksendung, der Wiedergabe auf photo
mechanischem oder ahnlichem Wege und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen bleiben, auch
bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Bei Vervielfaltigungen fUr gewerbliche Zwecke ist gemaB
§ 54 UrhG eine VergUtung an den Verlag zu zahlen, deren H6he mit dem Verlag zu vereinbaren ist.
© by Springer-Verlag Berlin-Heidelberg 1973. Library of Congress Catalog Card Number 73-78493.
Vorwort
Die vorlie~nden Blatter stellen bis auf ~r~ Abweich~n den Inhalt einer drei
semestri~n Anfan~rvorlesung liber lineare AI~bra dar, die ich vorn Winter 1970/71
bis zum Winter 1971/72 in Kaiserslautern ~hal ten habe. J'lEin Hauptanlie~n bei dieser
Vorlesung war, den etwas trockenen Stoff der linearen Algebra durch viele Beispiele
und interessante Anwendun~n reizvoller zu ~stalten und durch die Beispiele auch dern
Man~l ein wenig abzuhelfen, dern man immer wieder auch bei der ei~nen Arbeit begegnet,
daB es narnlich leichter fallt, einen Satz zu beweisen als ein Gegenbeispiel fUr eine
Verrrn.ttung zu finden.
Die meisten Beispiele dieses Buches sind Beispiele fUr Ringe und KBrper: Der Ring der
ganzen Zahlen und seine homomorphen Bilder werden untersucht, die ganzen Hensel'schen
p-adischen Zahlen werden als Endomorphismenri~ der PrUfergruppen konstruiert, die
ihrerseits interessante Beispiele von Gruppen liefern, die, wie man weiB, in der 'Iheo
rie der abelschen Gruppen eine greBe Rolle spielen; die Hensel'schen p-adischen Zahlen
erscheinen als Quotientenkorper dieser Ringe. Ferner werden aIle Galoisfelder konstru
iert und ~zeigt, daB dies alle endlichen Korper sind. Die Endomorphismenrin~ von
Vektorraumen liefem eine weitere Klasse von interessanten Beispielen. Die Struktur
ihrer Rechts- und Linksidealverbande wird eingehend untersucht. SchlieBlich wird zu
jeder Charakteristik ein Quaternionenschiefkorper konstruiert und zur Charakteristik
Null sogar abzablbar viele, paarweise nicht isornorphe. Die ganzen Gauf.>' schen Zahlen
sind ein Beispiel fUr einen euklidischen·Ring und mit ihrer Hilfe und der Theorie der
euklidischen Rin~ erhalt man einen Beweis fUr den Fermat'schen zwei-Quadrate-Satz.
Beispiele fUr Gruppen, die vorkommen, sind die schon erwahnten PrUfergr'uppen, die zyk
lischen, altemierenden und symmetrischen Gruppen. Die elementarabelschen 2-Gruppen
werden durch die Potenzme~ einer Men~ versehen mit der symmetrischen Differenz
als Gruppenoperation erhalten. Benutzt man dies und ein klein wenig Gruppentheorie,
so erhalt man, daB eine endliche Me~ ebensoviele Teilmen~n ~rader L~ wie Teil
Lange enthalt.
me~n un~rader
AIle diese Beispiele dienen u.a. auch dern Zweck zu zei~n, wie sich die Theorie, die
auch studiert wird, anwenden ll:ffi.t. So werden die zyklischen Gruppen bzw. die homomor
phen Bilder des Ri~s der ganzen Zahlen erst nach den Hamomorphiesatzen fUr Gruppen
IV
bzw. Ringe behandelt. Man hatte sie auch, wie rran so schOn sagt, von Hand erledigen
konnen, es erschien mir jedoch lehrreicher und zeitsparender, die Satze, die die
Theorie liefert, an diesen einfachen Beispielen zum ersten Mal zu erproben.
Die Horrornorphiesii.tze komrren wegen ihrer Wichtigkeit gleich dreirnal vor: bei den Grup
pen, bei den Ringen und bei den Moduln. Es zeigt sich, daR, sie den Studenten beim drit
ten Vorkomnen nur noch geringe Schwierigkeiten bieten. Da sie ein so wichtiges Hilfs
mittel sind, rechtfertigt sich die Zeit, die man dafUr aufwenden IlIIJR,.
lch konnte der Versuchung nicht widerstehen, beliebige Vektorraurre in die Untersuchun
gen einzubeziehen, zurnal sich, wenn man ihre Unterraumverbande, ihre Endorrorphismen
ringe und Dualraurre untersucht, eine ganze Reihe reizvoller Kriterien dafUr ergeben,
~ ein Vektorraum endlich erzeugt ist. Die Untersuchung beliebiger Vektorrii.ume er
fordert einige mengentheoretische Hilfsmittel, die in einem eigenen Abschnitt in ex
tenso vorgefUhrt werden. Auch dies dient, glaube ich, der Bereicherung des Stoffes
einer sol chen Vorlesung.
Die Ringtheorie und die lineare Algebra finden dann Anwendung in dem Kapitel liber
Korpertheorie. Die Konstruktion des Zerfii.llungskorpers eines Polynoms dient spater
dazu, die Stellung der Eigenwerte einer linearen Abbildung zu klaren. Andererseits
wird sie zu der schon erwii.hnten Konstruktion der Galoisfelder benutzt und auch beim
Beweise des Fundamentalsatzes der Algebra gehen die Zerfii.llungskorper von gewissen
Polynomen ein.
Hohepunkt des Buches scheint mir die im letzten Kapitel entwickelte Theorie der end
lich erzeugten Moduln liber Hauptidealringen und ihre Anwendung auf lineare Abbildungen
und Matrizen zu sein. Hier kommen noch einmal viele der zuvor entwickelten ldeen zum
Tragen.
In einem Anhang findet der Leser das gr'o£e und kleine deutsche Alphabet, so wie es
von Hand geschrieben aussieht, femer das gr'o£e und kleine gr'iechische Alphabet samt
den Namen der gr'iechischen Buchstaben. Obwohl heutzutage auf das Unterrichten der
Kulturtechniken Lesen, Rechnen und Schreiben sehr viel Liebe und MUhe verwandt wird,
scheinen diese beiden Alphabete immer mehr in Vergessenheit zu geraten. Da der Mathe
rnatiker jedoch standig an einem Mangel an verwendbaren Symbolen leidet, wird er so
schnell nicht auf diese beiden Alphabete verzichten wollen. Darum habe ich sie hier
als Schreibvorlage fUr den Studenten hinzugefUgt.
Zu erwii.hnen ist noch, wo das Buch von der Vorlesung abweicht. Der Abschni tt ilber end
liche Mengen, die ich in der Vorlesung etwas nonchalant behandelte, ist hinzugekomrren,
ebenso der Satz von Wedderburn liber endliche Schiefkorper. Die Konstruktion der reel
len Zahlen habe ich in der Vorlesung nur kurz skizziert. Weggelassen habe ich das
Kapitel liber die GraBmannalgebra eines Vektorraurres, da es kaum Beziehungen zu dem
v
andern hatte, was ich vortrug. Ferner schrieb ich den Abschnitt liber die ldealstruk
tur des EndoIIDrphisrrenringes eines Vektorraumes im AnschluB an einen Kolloquiurnsvor
trag von Herrn W. Liebert tiber EndoIIDrphisrrenringe abelscher Gruppen vollig neu, wo
durch er erheblich an Klarheit und Einfachheit @8wann. lch mOchte Herrn Liebert an
dieser Stelle recht herzlich danken, daB er es mir gestattete, von seinen ldeen freien
Gebrauch zu machen.
SchlieBlich mOchte ich mich nicht minder herzlich bei Herrn P. Plaumann bedanken, der
mit mir das ganze Manuskript durchlas und viele VerbesserungsvorschUige machte, die
wesentlich zur Klarheit des Textes beitru@8n.
Kaiserslautern, im Dezember 1972 Heinz Llineburg
In haltsverzeichnis
Kapitel I. Grundbegriffe...................................................... 1
1. Die ganzen Zahlen.......................................................... 1
2. Mengen und MengenoperationeJ:l............................................. .. 12
3. Abbildungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. . .. .. . . .. ... 21
4. Endliche Mengen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 26
Kapitel II. Gruppen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1. Definitionen und erste Resultate........ ................................... 31
2. Untergruppen.... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3. Homomorphismen, Normalteiler und Faktorgruppen ............................. 41
4. Zyklische Gruppen.................................................... . . . . . . 51
5. Die symmetrischen und alternierenden Gruppen ............................... 55
Kapitel III. Aus der Ringtheorie.. . . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. 61
1. Definitionen, Beispiele und Rechenregeln ................................... 61
2. HOllDrrorphismen.. . . . . . . . . . . . . . .. .. . . .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .. .. . . . . .. 68
3. Ideale und Quotientenringe............................................ . . . .. 71
4. Der Ring der ganzen Zahlen................................................. 77
5. Quotientenkorper. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6. Angeordnete Gruppen, Ringe und Korper...................................... 89
7. Die reel len Zahlen......................................................... 97
8. Die Hensel' schen p-adischen Zahlen ......................................... 110
9. Euklidische Ringe .......................................................... 122
10. Der Ring der ganzen GauB'schen Zahlen ...................................... 127
11. Polynomringe........... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 131
VII
Ka.pitel IT. VektorT§\.ll'I'E. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 136
1. ModulIl... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 136
2. Die Isoror-pmes!it ze. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 141
3. Endlich erzeugte Vektorr1iune ........•............•..................••..... 147
4. Das Aus'Wahlaxiom........................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 157
5. Die Struktur von beliebi~n Vektorr1iumen .........•.•....•.................. 168
6. Vektorr1iune und ihre Unterraumverb1inde .•.......................•...•....... 170
7. Direkte S1.lIIlTlen............................................................. 177
8. Der Du.alJ:aa1JIIl ••••••••••• ,.. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • . • • • • • • • • • • • • • • •• 181
9. Der Endornorphismenring eines Vektorraunes •.•.•.•.•...•.•................... 189
Kapitel V. Lineare Abbildun~n und Matrizen •...............•..•...•........... 202
1. Darstellung von linearen Abbild~n durch Matrizen •...................•... 202
2. Quatemionenschiefk5rper. . . . • • . . . . . • • . . . . • . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 205
3. DtJa.le Abbild1Jl1g'e'n.......................................................... 211
4. Systeme von linearen Gleich~n ....•............•......................... 217
5. Detennl.I'l8l1ten .............................................................. 219
Kapitel VI. Aus der K5rpertheorie .........•...•............................... 228
1. Erweiterungsk5rper ................................•........................ 228
2. Nullstellen von Polynomen •...•............•.......•........................ 230
3. Galoisfelder ....................................................... , ....... 234
4. Symmetrische Funktionen...... . . . . . . . . . . . . . . • . • . . . . . . . . . . . • . . . • . . . . . . . . . . . .. 238
5. Die komplexen Zahlen ...•..••.....•.....•......•........•................... 242
6. Ein Satz von Wedderburn •...................•.•............................. 245
Kapitel VII. Normalformen von linearen Abbildungen und Matrizen ............... 250
1. En%(V) als K-Algebra .•...........•....•........•.......................... 250
2. Eigenwerte..... . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . • . . . . .. 254
3. Hauptidealringe ...•..........•.......•..................................... 259
4. Moduln tiber Hauptidealringen •....•..•.........••.......•................... 265
5. Anwend~n auf lineare Abbildun~n .....•..•..•.......•..•...•.....•....... 276
Arll1a.rlg. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• 284
Irldex ......•.............•.•.......•.........•.•.•..••....•.............•.....• 285
Kapitel I. Grundbegriffe
In diesem ersten Kapitel sammeln wir einige Grurrltatsachen, die wir :im folgemen
:imner wieder ben5tigen werden. Wir lmtipfen dabei an Kenntnisse tiber die ganzen Zah
len an, die der Leser auf der Schule erworben hat. Dies geschieht so, daR, wir zu
Anfang des ersten Abschnitts einige der Dinge referieren und einige aniere bewei
sen, die der Leser ohnehin schon weiB. Es geht uns darum, den Leser auf das, was
karmt, einzust:imnen, Namen zu nennen und Bezeichnungen einzui'Uhren, die wir :im wei
teren Verlauf des Buches ben5tigen werden. Von der Einf'Uhrung der vollstfurligen In
duktion an wird es dann ernsthafter.
Der zweite urn dritte Abschnitt dieses Kapitels handelt von Mengen urn Abbildungen,
Begriffe, ohne die man in der Mathematik nicht mehr auskarmt. Wir reden wiederum
gam naiv von diesen Dingen, ohne eine Axiomatik zu versuchen, die den Leser an die
ser stelle des Spiels nur langweilen wUrde.
Im vierten Abschnitt dieses Kapitels bringen wir schlieBlich die grundlegemen Din
ge tiber emliche Mengen. Dies gibt uns gleichzeitig Gelegenheit, die vollstfu1dige
Induktion urn den Umgang mit ~quivalenzrelationen urn Abbildungen zu tiben.
1. Die ganzen Zahlen
Im Rechenunterricht der ersten vier Jahre der Volksschule, die heute Grurrl- bzw.
Hauptschule genannt wird, lernt man mit denjenigen Zahlen tmlZugehen, die dann sp§.ter
natUrliche bzw. nicht-negative ganze Zahlen genannt werden. Die natiirlichen Zahlen
sird diej enigen Zahlen, die man gemeinhin mit den Symbolen 1,2,3,4, ... bezeichnet,
w§hrem die Symbole 0,1,2,3,4, ... fUr die nicht-negativen ganzen Zahlen stehen. Sp§.
ter treten zu diesen Zahlen die negativen ganzen Zahlen -1,-2,-3,-4, ... hinzu. AIle
diese Zahlen heiBen ganze Zahlen. Die Menge aller ganzen Zahlen bezeichnen wir mit
II . Ist a eine ganze Zahl, so drUcken wir das durch das Adh§.sionssymbol E aus, in
dem wir a Ell schreiben. a E7 l bedeutet also, daR, a ein Element von II ist, d.h.,
daR> a eine ganze Zahl ist. Ist a E7 l urn bEll.. , so schreiben wir dafUr meist
kUrzer a, bEll . Entsprechend verfahren wir, wenn mehr als zwei ganze Zahlen vor
liegen.
Im RecherunterTicht der Schule lernt man zwei ganze Zahlen a und b zu addieren. Ihre
SUmme, die man mit a + b bezeichnet, ist wieder eine ganze Zahl, d.h., sird
2
a,b Ell, so ist auch a + bEll. FUr diese, Addition genannte, VerknUpfung von
zwei ganzen Zahlen gelten die beiden folgenden Rechenregeln:
1.1. Es ist a + (b + c) = (a + b) + c rur a1le a,b,c Ell.
1.2. Es ist a + b = b + a rur a1le a,b E7l.. .
1.1 heiBt das Assoziativgesetz und 1.2 das Kannnltativgesetz der Addition. Ferner
gilt
1.3. Sind a,c E: 7l , so gibt es genau ein x E-Z mit a + x = c.
=
1.3 besagt, ~ die Gleichung a + x c stets eine ganzzahlige LBsung x hat, es je
doch keine zwei verschiedene LBsungen dieser Gleichung gibt, gleichgUltig, welche
ganzen Zahlen a und c auch sind. Die LBsung x der Gleichung a + x = c bezeichnen
wir mit c - a.
Es sei a E7 L • Nach 1.3 gibt es genau ein Element x E: 7L mit a + x = a. Es sei
bEll. . Was ist b + x? Nach dem, was die Schule an Wissen tiber die ganzen Zahlen
bereitstellt, ist x = 0 und daher b + x = b. Wir werden run zeigen, ~ wir dies,
auch ohne auf weiteres frUheres Wissen zurUckzugreifen, nur mit Hilfe von 1.1, 1.2
und 1.3 beweisen k5nnen: Nach 1.3 gibt es ein yEll.. mit a + y = b. Nach 1.2 ist
auch y + a = b. Mit 1.1 erh§lt man also
b + x = (y + a) + x = y + (a + x) = y +"a = b.
Daher gilt
1.4. Es gibt genau ein, mit 0 bezeichnetes, Element in 1l. , welches die Eigen
schaft besitzt, daB z + 0 = z ist rur alle z Ell..
o
heiBt das bez. der Addition neutrale Element oder die Identit~t bez. der Addition
cxler auch das Nullelement von 7L .
Neben der Addition gibt es noch eine weitere Verkntipfung zwischen ganzen Zahlen,
nOOich die Multiplikation. Sirrl a,b Ell, so ist das Produkt ab von a mit b eben
falls eine ganze Zahl. FUr die,Multiplikation genannte, Verkntipfung zweier ganzer
Zahlen gelten die beiden Rechenregeln:
1.1'. Es ist a(bc) = (ab)c rur alle a,b,c Ell.
1.2'. Es ist ab = ba illr alle a,b Ell.
1.1' heiBt sinng~ das Assoziativgesetz und 1.2' das KOIll!lUtativgesetz der Mllti
plikation.
Weil es keine ganze Zahl x mit 2x = 1 gibt, gilt ein 1.3 entsprechender Sachverha.lt
rur
die Mlltiplikation von ganzen Zahlen nicht; auch dann nicht, wenn man sich auf
die von Null verschiedenen· ganzen Zahlen beschrfulkt. LBsungen von Gleichungen siro
jedoch eimeutig, falls sie existieren. Dies besagt gerade die sog. Kilrzungsregel
~ Ist a Ell und ist a ~O, sim ferner b,c EZ und gilt ab = ac, so ist b = C.
3
Die Rolle, die die Null bei der Addition spielt, wird von der Eins bei der l\fultipli
kation UbernOllillen. Es ist ja 1a = a fUr alle a E7 l. Entsprecherxl heiSt 1 das bez.
der Multiplikation neutrale Element oder die Identit~t bez. der l\fultiplikation oder
auch das Einselement von 7l. •
In meiner Kirxlheit lernte man, da£ die l\fultiplikation eine verkUrzte Addition ist.
Sie ist ~ich ein rationelles Verfahren, das mehrmalige Aufaddieren ein un:1 des
selben Summanden durchzufUhren. So ist es nicht verwunderlich, da£ Addition un:1 Mul
tiplikation eng miteinan:1er verknUpft sind. Der Heiratskontrakt, der zwischen den
beiden VerknUpfungen besteht" ist das sog. Distributivgesetz. Es lautet:
1.6. Es ist a(b + c) = ab + ac fUr alle a,b,c E7 l .
Aus 1.6 folgt mit Hilfe der Kommutativit~t der Multiplikation auch das andere Di
stributivgesetz (a + b)c = ac + bc auf folgerxle Weise:
(a + b)c = c(a + b) = ca + cb = ac + bc.
1.:.L Es ist oa = aO = 0 fUr alle a E7 l
Beweis. Nach 1.2' ist Oa = aO, so daB wir nur die Gleichung aO = 0 zu beweisen
brauchen. Nach 1.4 ist 0 + 0 = 0 und aO + 0 = aO. Daher ist
aO + 0 = aO = a(O + 0) = aO + aO.
Also sirxl 0 urxl aO L6sungen der Gleichung aO + x = aO. Mit 1.3 folgt somit aO = 0,
q. e. d.
Die natUrlichen Zahlen 1,2,3,4, ... bilden einen Teil der ganzen Zahlen. FUr die Men
ge aller natUrlichen Zahlen schreiben wir im folgenden stets IN. 1st a eine natUr
liche Zahl, so drUcken wir das durch a E IN aus. Sirxi a,b E IN , so ist auch
a + bEl N un:1 ab E IN, d. h., Sunme urxl Produkt zweier natUrlicher Zahlen
sirxl ebenfalls natUrliche Zahlen. Diesen Sachverhalt drUckt man auch dadurch aus,
daB man sagt, daR> die Menge der natUrlichen Zahlen unter den in ll. definierten Ver
knUpfungen der Addition und Multiplikation abgeschlossen ist. Diese Eigenschaft von
IN werden wir im nun folgerxlen an ganz wesentlichen Stellen auszunutzen haben.
Auf der Menge der ganzen Zahlen gibt es eine gro8er-kleiner Beziehung, meist Anord
~ genannt, die sich mit Hilfe von IN wie folgt definieren laBt: Sini a,b Ell
und ist a - b E IN , so schreiben wir b < a, urn diesen Sachverhalt auszudrUcken,
und sagen, daB b kleiner als a ist. Stattdessen sagen wir auch, daB a gro8er als b
ist uni schreiben a > b. Die Relation < hat eine Reihe fUr uns wichtiger Eigen
schaften, die wir hier notieren wollen.
1. 8 . (Trichotomie) Sirxl a, b E 7L , so ist entweder a < b, a = b oder a > b.
Beweis. Es gilt genau einer der drei F~lle: a = b bzw. a - bEl N bzw. b - a EI N,
womit bereits alles bewiesen ist.
~ (Transitivit~t) Sind a,b,c Ell um ist a < b sowie b < c, so ist auch