Einführung in die Algebra

62 Pages·2017·0.422 MB·German

by  Caroline Lassueur

Einführung in die Algebra
Jun.-Prof. Dr. Caroline Lassueur
TU Kaiserslautern
Kurzskript zur Vorlesung, WS 2016/17
Version: 28. März 2017
(Stand: 30. Sept. 2017)
Vorwort
Dieses Skript basiert auf einer früheren Fassung der Vorlesung von Prof. Dr. G. Malle [Mal12]. Der
generelle Schreibstil dieses Skriptes ist bewusst knapp gehalten, da es schon viele Skripte für diese
Vorlesung zur Verfügung gestellt werden. Siehe z. B.:
[Gat11] AndreasGathmann,EinführungindieAlgebra,Vorlesungsskript,WS2010/11,TUKaiserslautern.
[Mar15]ThomasMarkwig,EinführungindieAlgebra,Vorlesungsskript,WS2014/15,TUKaiserslautern.
[PS10] GehrardPfisterundStefanSeidel,EinführungindieAlgebra,Vorlesungsskript,WS2009/10,TUKaiserslautern.
Für Fernstudierende empfehle ich insbesondere, das Lesen von [Gat11] als Komplement. Weitere
Literatur, die für die Vorbereitung dieses Skriptes benutzt wurde, ist die folgende:
Algebra
[Bos06] SiegfriedBosch, ,6thed.,Springer-Lehrbuch,Springer,Berlin,2006.
Élémentsdemathématique.Algèbre.Chapitres1à3
[Bou70] NicolasBourbaki, ,Hermann,Paris,1970.
Algebra:Gruppen,Ringe,Körper
[Gec14a]MeinolfGeck, ,editiondelkhofen,2014.
121
[Gec14b]MeinolfGeck,OnthecharacterizationofGaloisextensions.Amer.Math.Monthly (2014),no.7,637–639.
Algebra
[Lan84] SergeLang, ,seconded.,Addison-WesleyPublishingCompany(A.B.P.),Reading,MA,1984.
[Mal12] GunterMalle,EinführungindieAlgebra,VorlesungsskriptWS2011/12,TUKaiserslautern.
Ich möchte den Leser aufmerksam machen, dass der Teil über Körper und Galoistheorie anders als
im [Gat11, Mal12, Mar15, PS10] gelesen wurde. Er folgt [Gec14] und dies ergibt den relativ kurzen
Zugang zum Hauptsatz der Galoistheorie, basierend auf [Gec14b], welcher Artikel eine Verkürzung
der Charakterisierung der Galois-Erweiterungen präsentiert.
IchdankeG.MallefürdieVerfügbarkeitseinesSkriptesundPabloLukafürdasLesendieserFassung
des Skriptes. Ich danke auch Benjamin Sambale und den Studierenden, die verschiedene Arten von
Cyan
Druckfehler gemeldet haben. Diese wurden mit der Farbe korrigiert. Weitere Kommentare und
Korrekturen sind auch herzlich willkommen!
1
Symbolverzeichnis
Teil I: Gruppen
A n
n alternierende Gruppe vom Grad
C x x G
G( ) Zentralisator von in
D n
2n die Diedergruppe der Ordnung 2
G0 G
Kommutatoruntergruppe von
G x G
x Stabilisator von in
G/N G N
Faktorgruppe von nach
K K
GLn( ) allgemeine lineare Gruppe über
H ≤ G H < G H G
, ist eine Untergruppe von , bzw. eine echte Untergruppe
N (cid:69) G N /G N G
, ist ein Normalteiler von , bzw. ein echter Normalteiler
N U U G
G( ) Normalisator von in
O x
x Bahn von
K K
PGLn( ) projektive lineare Gruppe über
S n
n symmetrische Gruppe vom Grad
K K
SLn( ) spezielle lineare Gruppe über
G p G
Sylp( ) Menge der -Sylow-Untergruppen der Gruppe
Z G G
( ) Zentrum der Gruppe
Z m Z/mZ
m zyklische Gruppe der Ordnung (auch )
|G| G
Ordnung der Gruppe
|G H| H G
: Index von in
x x
[ ] Konjugiertenklasse von
g,h g h
[ ] Kommutator von und
hgi g
die von erzeugte zyklische Gruppe
Teil II: Ringe
R R
Char( ) Charakteristik des Ringes
deg Grad eines Polynoms
I (cid:69) R I /R I R
, ist ein Ideal von , bzw. ein echtes Ideal
K X X
( ) Körper der ratiotialen Funktionen in einer Unbestimmten
Q R R
( ) Quotientenkörper des Ringes
R X X R
[ ] Polynomring in einer Unbestimmten über
R× R
Einheiten des Ringes
R/I R I
Faktorring von nach
Zi
[ ] Ring der ganzen Gaußschen Zahlen
a a
( ) Hauptideal erzeugt von
a | b a b
teilt
a ’ b a b
ist assoziiert zu
2
Kurzskript: Einführung in die Algebra 3
Teil III: Körper
K K
Aut( ) Automorphismengruppe des Körpers
L/K L/K
Aut( ) Automorphismengruppe der Körpererweiterung
F q
q endlicher Körper mit Elementen
L/K L/K
Gal( ) Galoisgruppe der Galois-Eweiterung
KH H
Fixkörper von
K α α
[ ] Bild des Einsetzungshomomorphismus von
K α K α
( ) Körper erzeugt von und
L/K
Körpererweiterung
µ α
α Minimalpolynom von
L K L/K
[ : ] Grad der Körpererweiterung
Generell
C
K√örper der komplexen Zahlen
i − C
1 in
M
IdM Identische Abbildung auf der Menge
ker Kern
N
die Natürlichen Zahlen ohne 0
N
0 die Natürlichen Zahlen mit 0
Q
Körper der rationalen Zahlen
R
Körper der reellen Zahlen
Z
Ring der ganzen Zahlen
Z ,Z ,Z ,Z {m ∈ Z | m ≥ a m > a,m ≤ a,m < a }
≥a >a ≤a <a (bzw. )
|X| X
Mächtigkeit der Menge
S
Vereinigung
‘
disjunkte Vereinigung
T
Schnitt
∅
leere Menge
Inhaltsverzeichnis
Vorwort 1
Symbolverzeichnis 2
Teil I: Gruppen 6
∗
1 Der Homomorphiesatz ( ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
∗
1.1 Gruppen, Untergruppen und Normalteiler ( ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
∗
1.2 Faktorgruppen ( ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 Operationen von Gruppen auf Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1 Definitionen und Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Die Bahnbilanzgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3 Die Sylowsätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4 Einfache und Auflösbare Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Teil II: Ringe 22
∗
3 Ringe, Ideale und Homomorphismen ( ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
∗
3.1 Ringe, Körper, Integritätsbereiche ( ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
∗
3.2 Ideale ( ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.3 Faktorringe und Ringhomomorphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4 Teilbarkeit und Primzerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.1 ZPE-Ringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.2 Quotientenkörper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.3 Irreduzibilität in Polynomringen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Teil III: Körper 39
5 Endliche Körpererweiterungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.1 Körpererweiterungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.2 Körper-Automorphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.3 Stammkörper und Zerfällungskörper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.4 Die endlichen Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
6 Galoistheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
6.1 Galois-Erweiterungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4
Kurzskript: Einführung in die Algebra 5
6.2 Der Hauptsatz der Galoistheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
6.3 Der Hauptsatz der Algebra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
7 Konstruktionsaufgaben aus der Antike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
7.1 Radikalerweiterungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
7.2 Konstruktionen mit Zirkel und Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
7.3 Unlösbare Konstruktionsaufgaben der Antike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
8 Auflösbarkeit von Polynomgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
TEIL I: GRUPPEN
1 Der Homomorphiesatz (∗)
1.1 Gruppen, Untergruppen und Normalteiler (∗)
In diesem Abschnitt fangen wir mit Erinnerungen von Begriffen und Beispielen aus der Vorlesung
Algebraische Strukturen an.
Definition 1.1 (Gruppe)
G
Eine nicht-leere Menge zusammen mit einer Verknüpfung
? G×G −→ G
:
a,b 7→ a?b
( ) ,
Gruppe
heißt , falls gelten:
(G1) Assoziativität a?b ?c a? b?c ∀a,b,c ∈ G
: ( ) = ( ) .
(G2) Existenz eines neutralen Elementes e ∈ G e?a a a?e ∀a ∈ G
: Es existiert ein mit = = .
(G3) Existenz inverser Elemente a ∈ G a0 ∈ G a?a0 e a0?a
: Zu jedem gibt es ein mit = = .
a,b ∈ G a ? b b ? a Kommutativität G abelsche
Gilt zudem für alle : = ( ), so heißt eine oder
kommutative
Gruppe.
Notation: G,? G
Wir schreiben eine solche Gruppe als ( ), oder einfach als , wenn die betrachte Ver-
knüpfung aus dem Kontext klar ist.
a·b ab
Meistens schreiben wir die Verknüpfung als oder einfach . Das neutrale Element wird dann
auch mit 1G (oder einfach 1) bezeichnet, sowie das inverse Element mit a−1. Falls die Gruppe abelsch
a b
ist, wird die Verknüpfung auch oft als Addition + geschrieben, das neutrale Element mit 0 be-
−a
zeichnet und das inverse Element mit .
Definition 1.2 (Untergruppe)
G,· U ⊆ G Untergruppe G U ≤ G
Sei ( ) eine Gruppe. Eine Teilmenge heißt eine von (in Zeichen: ),
wenn gelten:
∈ U, a·b ∈ U a−1 ∈ U ∀a,b ∈ U.
1G und
6
Kurzskript: Einführung in die Algebra 7
Beispiel 1
Z, Q, R, C, Q\{ },· R\{ },· C\{ },·
(a) ( +),( +), ( +), ( +), ( 0 ), ( 0 ), ( 0 ) sind abelsche Gruppen.
n ∈ N Z/nZ, Z zyklische Gruppe der Ordnung n
(b) Für ist ( +) =: n eine abelsche Gruppe, die .
V K V,
(c) Ein Vektorraum über einem Körper ist zunächst eine Gruppe ( +).
X 6 ∅ S {π X −→ X |π } S
(d) Sei = eine Menge und X := : bijektive Abbildung . Dann ist X eine
◦
Gruppe mit Hintereinanderausführung von Abbildungen als Verknüpfung. Diese Gruppe
Symmetrische Gruppe auf X id
heißt die . (Neutrales Element: X, die identische Abbildung.
Inverses Element: π−1, die Umkehrabbildung von π.)
X { ,...,n} S S Symmetrische Gruppe vom Grad n
Für := 1 , heißt n := {1,...,n} die . Die
alternierende Gruppe A S
n der geraden Permutationen ist eine Untergruppe von n.
K n ≥
(e) Sei ein Körper und 1, dann bildet
K {A ∈ M K | A 6 }
GLn( ) = n( ) det( ) = 0
allgemeine lineare Gruppe K
die über . Dann ist
K {A ∈ K | A }
SLn( ) = GLn( ) det( ) = 1
K speziellelineareGruppe
eineUntergruppevonGLn( ),die .(Nichtabelschimallgemeinen!)
n
(f) Die Symmetriegruppe des regulären ebenen -Ecks bildet eine Gruppe, die sogenannte
Diedergruppe der Ordnung n
2 :
D hσ,τ|σn τ2 ,τστ σ−1i,
2n = = = 1 =
σ 2π τ n
wobei eine Drehung um n ist und die Spiegelung an einer Symmetrieachse des -Ecks
ist. (Nicht abelsch im allgemeinen!)
Wir beschreiben jetzt verschiedene wichtige Untergruppen.
Definition 1.3 (die von einer Teilmenge erzeugte Untergruppe)
G,· M ⊆ G
Sei ( ) eine Gruppe und eine Teilmenge. Dann heißt
\
hMi U
:=
M⊆U≤G
von M erzeugte Untergruppe
die .
Anmerkung 1.4 (Ordnung eines Element)
M {g} ⊆ G hMi hgi {gm|m ∈ Z} von g erzeugte zyklische
Für = gilt = = . Dies ist die
UntergruppevonG.Ist|hgi| = n,alsogn = 1undhgi = {1,g,g2,...,gn−1},soheißto(g) := |hgi|
Ordnung des Elementes g
die .
Kurzskript: Einführung in die Algebra 8
Definition 1.5 (Normalteiler, einfache Gruppe)
N ≤ G Normalteiler G N (cid:69) G
(a) Eine Untergruppe heißt von (in Zeichen ) genau dann, wenn
für alle g ∈ G gilt gNg−1 = N.
G einfacheGruppe G 6 { } { } G
(b) DieGruppe heißt genaudann,wenn = 1 istund 1 , dieeinzigen
G
Normalteiler von sind.
Definition 1.6 (Zentrum, Kommutator, Kommutatoruntergruppe)
G,·
Sei ( ) eine Gruppe. Dann:
Z G {g ∈ G|gh hg∀h ∈ G} Zentrum G
(a) ( ) := = heißt von .
(b) Für g,h ∈ G, heißt [g,h] := ghg−1h−1 der Kommutator von g und h.
G0 hg,h |g,h ∈ Gi Kommutatoruntergruppe G
(c) := [ ] heißt von .
Beispiel 2
A (cid:69) S
(a) n n, da
στσ−1 σ τ σ τ ∀σ ∈ S ,∀τ ∈ A .
sgn( ) = sgn( )sgn( )sgn( ) = sgn( ) = 1 n n
K (cid:69) K
(b) SLn( ) GLn( ), da
ABA−1 A B A −1 B
det( ) = det( )det( )det( ) = det( ) = 1
∀A ∈ K ∀B ∈ K
GLn( ), SLn( ).
(c) G abelsche Gruppe =⇒ jede Untergruppe U ≤ G ist ein Normalteiler, da gUg−1 =
gg−1U = 1U = U ∀g ∈ G.
Z G G G0 { }
Ferner gelten dann auch ( ) = und = 1G .
G S n ≥ ⇒ Z G { } G0 A
(d) = n ( 3) = ( ) = 1 und = n.
G A ⇒ Z G { } G0 { , , , } V
(e) = 4 = ( ) = 1 und = () (1 2)(3 4) (1 3)(2 4) (1 4)(2 3) =: 4.
1.2 Faktorgruppen (∗)
Erinnerung G H ≤ G g ∈ G gH {gh|h ∈ H} Linksnebenklasse
: Für eine Gruppe , und heißt :=
H G H G Index von H in G |G H|
(LNK) von in . Die Anzahl der LNK von in heißt (in Zeichen : ).
N (cid:69) G G/N {gN|g ∈ G}
Falls ein Normalteiler ist, schreiben wir := für die Menge der Linksne-
benklassen.
Satz 1.7 (Indexmultiplikationssatz)
G,· V ≤ U ≤ G
Sei ( ) eine Gruppe und seien Untergruppen. Dann gilt:
|G V| |G U|·|U V|
: = : :
Kurzskript: Einführung in die Algebra 9
Beweis: {g |i∈I} U G {h |j ∈J} V
Seien i ein Vertretersystem der LNK von in und j eines der LNK von
U
in . Dann: a a GG
G gU U h V, G gh V
= i und = j also = i j
i∈I j∈J i∈Ij∈J
{gh |i∈I,j ∈J} V G
Daraus folgt, dass i j ein Vertretersystem der LNK von in ist.
Folgerung 1.8 (Satz von Lagrange)
G,· U ≤ G |G| |G U| · |U|
Sei ( ) eine endliche Gruppe und eine Untergruppe. Dann gilt = : ,
|U| |G|
insbesondere teilt die Gruppenordnung .
Beweis: V { }
Wähle = 1 im Indexmultiplikationssatz: dies liefert
|G { }| |G U|·|U { }|.
: 1 = : : 1
{ } G U |G { }| |G| |U { }| |U|
Aber jede LNK von 1 in , bzw. in , ist einelementig, so dass : 1 = und : 1 = .
Die Aussage folgt.
Beispiel 3
G |G| p U ≤ G
Sei eine Gruppe mit = eine Primzahl. Sei eine Untergruppe. Der Satz von
|U| |U| p U { } U G G
Lagrange liefert = 1 oder = , d.h. = 1 oder = , somit ist einfach.
Folgerung 1.9 (Kleiner Fermat der Gruppentheorie)
G g|G| g ∈ G
Sei eine endliche Gruppe. Dann gilt = 1 für alle .
Beweis:
Siehe AGS.
Bemerkung 1.10
G N (cid:69) G G/N
Seien eine Gruppe und ein Normalteiler. Dann ist mit der Verknüpfung
· G/N ×G/N −→ G/N
:
gN,hN 7→ gN ·hN ghN
( ) := ,
|G/N| |G N| G/N Faktorgruppe G N
eine Gruppe mit = : . Wir nennen die von nach .
Beweis:
Siehe AGS.
Beispiel 4
G S N A S /A ∼ Z Z/ Z
(a) Für = n, = n ist n n = 2 = 2 .
G K Z G {a · I |a ∈ K×} (cid:69) G G/Z G K
(b) Für = GLn( ) ist ( ) = n und ( ) =: PGLn( ) heißt die
projektive lineare Gruppe
.
Definition 1.11 (Gruppenhomomorphismus, Kern, Bild)
G,· H,? φ G −→ H (Gruppen)-Homomorphismus
Seien ( ) und ( ) Gruppen. Eine Abbildung : heißt ,
φ g ·g φ g ?φ g g ,g ∈ G
wenn ( 1 2) = ( 1) ( 2) für alle 1 2 .
· φ G −→ G Endomorphismus
Ein Homomorphismus : heißt , ein bijektiver Homomorphismus