Einführung in das mathematische Arbeiten

542 Pages·2018·5.36 MB·German

by  Hermann Schichl

Hermann Schichl
Roland Steinbauer
Einführung in das
mathematische
Arbeiten
3. Aufl age
Einführung in das mathematische Arbeiten
(cid:2)
Hermann Schichl Roland Steinbauer
Einführung in das
mathematische Arbeiten
3., überarbeitete Auflage
HermannSchichl RolandSteinbauer
FakultätfürMathematik FakultätfürMathematik
UniversitätWien UniversitätWien
Wien,Österreich Wien,Österreich
ISBN978-3-662-56805-7 ISBN978-3-662-56806-4(eBook)
https://doi.org/10.1007/978-3-662-56806-4
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Fu¨r
Waltraud, Arthur und Konstanze
Fu¨r
Petra, Florian und Julian
Vorwort
Wir freuen uns sehr u¨ber die fortdauernde positive Aufnahme, die un-
ser Buch bei der Leserschaft gefunden hat, und auch u¨ber die freund-
liche Kritik von zahlreichen FachkollegInnen. Insbesondere wurde das
damit verbundene Projekt zur Gestaltung der Studieneingangsphase
an der Universit¨at Wien im Jahr 2016 mit dem Ars docendi, dem
¨osterreichischen Staatspreis fu¨r universit¨are Lehre ausgezeichnet.
Insofern war eine Neuauflage des Buchs schon l¨anger angezeigt, und
wir haben schon vor u¨ber zwei Jahren mit der Arbeit daran begonnen.
Allerdings haben wir uns entschlossen, als wesentliche Neuerung be-
gleitendes Videomaterial zur Verfu¨gung zu stellen. Tats¨achlich haben
wir zwischen 5 und 10 Minuten lange Erkl¨arvideos zu Schlu¨sselstellen
des Buchs gedreht. Diese Videosequenzen sollen als Erg¨anzung und
zus¨atzliche Unterstu¨tzung beim Verst¨andnis zentraler Begriffe dienen
— besonders jener, die unserer Erfahrung nach den Anf¨angerInnen
die meisten Verst¨andnisschwierigkeiten bereiten. Die Videos sind in
der e-book–Version an Ort und Stelle verlinkt und in der Druckver-
sion mittels solcher QR-Codes eingebunden. Daru¨ber hinaus ist die
gesamteSammlungderErkl¨arvideos,dieunterderCreative-Commons
Lizenz steht, auch frei u¨ber die Webseite des Buchs http://www.mat.
univie.ac.at/~einfbucherreichbar,undwirplanen,dasAngebotan
Videos in Zukunft noch zu erweitern.
Tats¨achlich hat die Herstellung der Erkl¨arvideos wesentlich mehr Zeit
und Ressourcen in Anspruch genommen, als wir urspru¨nglich geplant
hatten. Zun¨achst haben wir mit dem Team um Gerd Krizek von
der Fachhoschule Technikum Wien kooperiert, das uns in großzu¨giger
Weise unterstu¨tzt hat und mit dem wir ungef¨ahr die H¨alfte der hier
eingebundenen Videos produziert haben. Dafu¨r bedanken wir uns an
dieser Stelle sehr herzlich, ebenso bei Harald Stockinger, der den Kon-
vii
viii Vorwort
takt hergestellt hat. Im Laufe des Studienjahrs 2016/17 wurde dann
das Aufnahme-Setting vom Center for Teaching and Learning“ der
”
Universit¨at Wien an die Universit¨at transferiert, und wir konnten dort
die zweite H¨alfte der vorliegenden Videos produzieren. Großer Dank
gebu¨hrt dafu¨r Charlotte Zwiauer, Sylvia Lingo, Felix Schmitt und vor
allem unserem Aufnahmeleiter Christoph Winter.
Natu¨rlich haben wir auch in dieser Auflage weiter an den Texten
im Buch gefeilt und viele kleinere Ver¨anderungen vorgenommen. Ins-
besondere haben wir zahlreiche Fehler ausgebessert, die uns aufmerk-
same Leserinnen und Leser aufgezeigt haben. Dafu¨r sei ihnen herzlich
gedankt. Viele Hinweise haben wir u¨ber das Webformular erhalten
und uns bemu¨ht, m¨oglichst zeitnah darauf zu reagieren und Errata
auf der Webseite zu ver¨offentlichen, was uns oft, aber sicher nicht im-
mer,gelungenist.Wirwerdenunsweiterhinbemu¨hen,Zuschriften,die
uns auf diesem Weg erreichen, pers¨onlich zu bearbeiten und Ru¨ckmel-
dungen zu geben. Eine große Anzahl von Hinweisen und Korrekturen
verdanken wir daru¨ber hinaus unseren InstitutskollegInnen, die un-
ser Buch als Quelle fu¨r ihre eigenen Vorlesungen verwendent haben.
Besonderer Dank gebu¨hrt hier Andreas Cˇap und Gu¨nther H¨ormann.
Schließlich verdanken wir Michael Grosser eine ¨außerst umfangrei-
che Liste von Kommentaren und Bemerkungen, von denen wir viele
eingearbeitet haben. Weiters m¨ochten wir uns beim Springer Verlag,
besondersbeiAnnikaDenkertundAgnesHerrmannfu¨rdiefreundliche
und geduldige Betreuung und bei Manuela Barth fu¨r die kompetente
Unterstu¨tzung in TEX–Fragen bedanken.
Zum Abschluss bleibt uns noch die große Freude, unseren Ehefrauen
und Kindern zu danken, die mittlerweile u¨ber zehn Jahre Arbeit an
diesem Buch begleitet und unterstu¨tzt haben, einerseits durch ihre
Inspiration und andererseits durch ihre Toleranz gegenu¨ber unseren
mitunter ausgedehnten Arbeitszeiten.
Wien, Mai 2018, Hermann Schichl und Roland Steinbauer
Vorwort zur zweiten Auflage
Wir freuen uns, dass wir mit dieser zweiten Auflage des Buches schon
nachrelativkurzerZeitdieGelegenheiterhalten,diebishergefundenen
Ungenauigkeiten und Fehler zu korrigieren. Auch kleinere Erg¨anzun-
gen konnten wir vornehmen und die eine oder andere Formulierung
gl¨atten, in der Hoffnung, dadurch die Lesbarkeit zu verbessern. Fu¨r
alle, die unser Buch nutzen, haben wir außerdem schon nach Er-
scheinen der ersten Auflage unter http://www.mat.univie.ac.at/
~einfbucheineWebseiteeingerichtet,dienebenErrataundMusterl¨o-
sungenderAufgabenweitereaktuelleInformationenundErg¨anzungen
enth¨alt. Diese Seite werden wir auch parallel zu dieser zweiten Auflage
pflegen und erweitern.
Eine etwas gr¨oßere Erg¨anzung zur ersten Auflage findet sich am Ende
des Buches. Die englische Sprache hat sich schon lange zur Lin-
gua Franca der Naturwissenschaften und der Mathematik entwickelt.
Auf internationalen Mathematikkongressen ist seit langem schon Eng-
lisch die Vortragssprache, und immer mehr Curricula im deutschen
Sprachraum schreiben verpflichtende englischsprachige Vorlesungen
oder Seminare vor. Da passiert es dann mitunter, dass blunt corners“
”
berechnet, die Konvergenz von Kraftserien“ besprochen, oder gar in
”
einem Vortrag u¨ber bodies“ mathematische Leichen aus dem Keller
”
geholt werden. Als Hilfestellung haben wir daher in zwei Anh¨angen
die englischen U¨bersetzungen fu¨r jene Fachbegriffe angegeben, die in
diesem Buch eingefu¨hrt werden. Diesen haben wir einen weiteren An-
hang vorangestellt, der eine Sammlung von Phrasen zum korrekten
Verst¨andnis h¨aufig verwendeter englischer Formulierungen enth¨alt.
Natu¨rlich ist auch die zweite Auflage nicht ohne die wertvolle Unter-
stu¨tzungandererm¨oglichgewesen,unddarumseiandieserStelleallen
Studierenden und Vortragenden, speziell Arnold Neumaier, gedankt,
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x Vorwort zur zweiten Auflage
die Fehler aufgespu¨rt und uns mit wertvollen Hinweisen versorgt
haben. Besonderer Dank gilt Rabbiner Schlomo Hofmeister fu¨r seine
Unterstu¨tzung bei den hebr¨aischen Fonts. Weiters bedanken wir uns
beim Springer Verlag, insbesondere bei Clemens Heine, fu¨r die fortlau-
fendefreundlicheBetreuung.ZuguterLetzterneuernwirdenDankan
unsere Familien, die uns fortdauernde Unterstu¨tzung und Inspiration
sind.
Wien, November 2011, Hermann Schichl und Roland Steinbauer
Vorwort zur ersten Auflage
Dieses Buch ist aus einem Skriptum zur gleichnamigen Vorlesung ent-
standen, die an der Universit¨at Wien seit dem Studienjahr 2001 ange-
boten wird. Diese Vorlesung ist Teil einer Studieneingangsphase, die
mit der Idee ins Leben gerufen wurde, die Drop-Out–Rate zu Studi-
enbeginn zu senken, indem die Anf¨angerInnen behutsam in die ab-
strakte mathematische Denkweise eingefu¨hrt werden. Das Ziel ist, die
Studierenden konsequent an dem Ort abzuholen, an dem sie stehen
und auf ein Abstraktionsniveau zu fu¨hren, auf dem die traditionellen
Vorlesungszyklen aus Analysis und Linearer Algebra ansetzen k¨onnen.
Inhaltlich werden jene Themen abgedeckt, die typischerweise diesen
beidenZyklenvorgelagertsindbzw.anihremAnfangstehen:Grundle-
gende Schreibweisen und Logik, Mengen, einfache algebraische Struk-
turen, Zahlenmengen und analytische Geometrie.
Nachdem dieses Konzept in den vergangenen Jahren aufgegangen zu
sein scheint, haben wir uns entschlossen, das Skriptum zum nun vor-
liegenden Lehrbuch auszubauen. Wir denken, damit auch eine gewisse
Lu¨cke in der deutschsprachigen Lehrbuchliteratur auszufu¨llen. Zwar
kennt die englischsprachige Literatur einige transition courses“ et-
”
wa Eccles [25] und Bloch [13], die ¨ahnliche Inhalte allerdings eine
andere Akzentsetzung aufweisen. Grundlegende Themen werden bre-
it behandelt, aber die Bu¨cher fu¨hren inhaltlich weniger in Richtung
der traditionellen Einfu¨hrungszyklen. Ein deutschsprachiges Buch mit
einem ¨ahnlichen didaktischen Anspruch ist Behrends [9], das aber
vom Inhalt her einen klassischen Analysiskurs darstellt.
Natu¨rlich ist das vorliegende Buch stark von unserer eigenen Lernge-
schichteundunserenErfahrungenalsStudienanf¨angergepr¨agt.Vieles,
daswirandenVortr¨agen,SkriptenundBu¨chernunsererakademischen
Lehrer gesch¨atzt haben, ist in der einen oder anderen Form in den
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