Einführung in das mathematische Arbeiten

526 Pages·2012·4.6 MB·German

by  Hermann Schichl

Springer-Lehrbuch
Hermann Schichl • Roland Steinbauer
Einführung in das
mathematische Arbeiten
Zweite, überarbeitete Auflage
Prof. Dr. Hermann Schichl Prof. Dr. Roland Steinbauer
Fakultät für Mathematik Fakultät für Mathematik
Universität Wien Universität Wien
Wien, Österreich Wien, Österreich
ISSN 0937-7433
ISBN 978-3-642-28645-2 ISBN 978-3-642-28646-9 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-642-28646-9
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Mathematics Subject Classification (2010): 00A35, 00A05, 00-01
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F¨ur
Waltraud,ArthurundKonstanze
F¨ur
PetraundFlorian
Vorwort
Wir freuen uns, dass wir mit dieser zweiten Auflage des Buches schon
nachrelativkurzerZeitdieGelegenheiterhalten,diebishergefundenen
Ungenauigkeiten und Fehler zu korrigieren. Auch kleinere Erg¨anzun-
gen konnten wir vornehmen und die eine oder andere Formulierung
gl¨atten,inderHoffnung,dadurchdieLesbarkeitzuverbessern.Fu¨ral-
le, die unser Buch nutzen, haben wir außerdem schon nach Erscheinen
der ersten Auflage unter http://www.mat.univie.ac.at/~einfbuch
eine Webseite eingerichtet, die neben Errata und Musterl¨osungen der
Aufgaben weitere aktuelle Informationen und Erg¨anzungen enth¨alt.
Diese Seite werden wir auch parallel zu dieser zweiten Auflage pflegen
und erweitern.
Eine etwas gr¨oßere Erg¨anzung zur ersten Auflage findet sich am En-
de des Buches. Die englische Sprache hat sich schon lange zur Lingua
Franca der Naturwissenschaften und der Mathematik entwickelt. Auf
internationalen Mathematikkongressen ist seit langem schon Englisch
die Vortragssprache, und immer mehr Curricula im deutschen Sprach-
raum schreiben verpflichtende englischsprachige Vorlesungen oder Se-
minarevor.Dapassiertesdannmitunter,dass bluntcorners“ berech-
”
net, die Konvergenz von Kraftserien“ besprochen, oder gar in einem
”
Vortrag u¨ber bodies“ mathematische Leichen aus dem Keller geholt
”
werden. Als Hilfestellung haben wir daher in zwei Anh¨angen die eng-
lischen U¨bersetzungen fu¨r jene Fachbegriffe angegeben, die in diesem
Bucheingefu¨hrtwerden.DiesenhabenwireinenweiterenAnhangvor-
angestellt,dereineSammlungvonPhrasenzumkorrektenVerst¨andnis
h¨aufig verwendeter englischer Formulierungen enth¨alt.
Natu¨rlich ist auch die zweite Auflage nicht ohne die wertvolle Un-
terstu¨tzung anderer m¨oglich gewesen, und darum sei an dieser Stelle
allen Studierenden und Vortragenden, speziell Arnold Neumaier, ge-
dankt,dieFehleraufgespu¨rtundunsmitwertvollenHinweisenversorgt
haben. Besonderer Dank gilt Rabbiner Schlomo Hofmeister fu¨r seine
Unterstu¨tzung bei den hebr¨aischen Fonts. Weiters bedanken wir uns
beim Springer Verlag, insbesondere bei Clemens Heine, fu¨r die fortlau-
fendefreundlicheBetreuung.ZuguterLetzterneuernwirdenDankan
unsere Familien, die uns fortdauernde Unterstu¨tzung und Inspiration
sind.
Wien, November 2011, HermannSchichlundRolandSteinbauer
Vorwort zur 1. Auflage
Dieses Buch ist aus einem Skriptum zur gleichnamigen Vorlesung ent-
standen, die an der Universit¨at Wien seit dem Studienjahr 2001 ange-
boten wird. Diese Vorlesung ist Teil einer Studieneingangsphase, die
mit der Idee ins Leben gerufen wurde, die Drop-Out–Rate zu Stu-
dienbeginn zu senken, indem die Anf¨angerInnen behutsam in die ab-
strakte mathematische Denkweise eingefu¨hrt werden. Das Ziel ist, die
Studierenden konsequent an dem Ort abzuholen, an dem sie stehen
und auf ein Abstraktionsniveau zu fu¨hren, auf dem die traditionellen
Vorlesungszyklenaus Analysis und LinearerAlgebra ansetzenk¨onnen.
Inhaltlich werden jene Themen abgedeckt, die typischerweise diesen
beiden Zyklen vorgelagert sind bzw. an ihrem Anfang stehen: Grund-
legendeSchreibweisenundLogik,Mengen,einfachealgebraischeStruk-
turen, Zahlenmengen und analytische Geometrie.
Nachdem dieses Konzept in den vergangenen Jahren aufgegangen zu
sein scheint, haben wir uns entschlossen, das Skriptum zum nun vor-
liegenden Lehrbuch auszubauen. Wir denken, damit auch eine gewisse
Lu¨cke in der deutschsprachigen Lehrbuchliteratur auszufu¨llen. Zwar
kennt die englischsprachige Literatur einige transition courses“ et-
”
wa Eccles [23] und Bloch [12], die ¨ahnliche Inhalte allerdings eine
andere Akzentsetzung aufweisen. Grundlegende Themen werden breit
behandelt, aber die Bu¨cher fu¨hren inhaltlich weniger in Richtung der
traditionellen Einfu¨hrungszyklen. Ein deutschsprachiges Buch mit ei-
nem¨ahnlichendidaktischenAnspruchistBehrends[8],dasabervom
Inhalt her einen klassischen Analysiskurs darstellt.
Natu¨rlich ist das vorliegende Buch stark von unserer eigenen Lernge-
schichteundunserenErfahrungenalsStudienanf¨angergepr¨agt.Vieles,
daswirandenVortr¨agen,SkriptenundBu¨chernunsererakademischen
Lehrer gesch¨atzt haben, ist in der einen oder anderen Form in den
Text eingeflossen. Andererseits haben wir auch einiges eingebunden,
das wir in unserer eigenen Anf¨angerausbildung vermisst haben — in
einer Art und Weise, wie wir die entsprechenden Sachverhalte selbst
gerne erkl¨art bekommen h¨atten. Besonders wertvoll waren uns auch
die Erfahrungen als U¨bungsleiter in den Proseminaren und U¨bungen
des ersten Studienjahres und die Diskussionen und Gespr¨ache mit in-
teressiertenund engagiertenStudierenden.Besondersdas Nachdenken
x Vorwortzur1.Auflage
u¨ber die l¨astigen“ Fragen der StudentInnen hat uns viel gelehrt und
”
oft direkten Einfluss auf unsere Formulierungen gehabt.
Unserem Selbstverst¨andnis entsprechend und eingedenk der Tatsache,
dass mehr als die H¨alfte der StudienbeginnerInnen weiblich ist, aber
nur sehr wenige Frauen an Universit¨aten mathematisch forschen und
lehren, haben wir versucht weitgehend geschlechtsneutral zu formulie-
ren, bzw. beide Genera abwechselnd zu verwenden. Dabei haben wir
auch vor der Verwendung des Binnen-I1 nicht zuru¨ckgeschreckt und
hoffen so zur Sichtbarmachung und zur Motivation der Studentinnen
beizutragen.
Bei unserer Arbeit im Rahmen der Studieneingangsphase wurden wir
von zahlreichen KollegInnen in vielf¨altiger Weise unterstu¨tzt. Ihnen
allen sei dafu¨r herzlich gedankt.
VielewertvolleDiskussionenzuallenFragenderAnf¨angerInnenausbil-
dung haben wir mit unserem“ Studienprogrammleiter Andreas Cˇap
”
gefu¨hrt.MichaelGrosserhatunsereinhaltlichenDiskussionensehrbe-
reichert und einige knifflige Fehler in fru¨heren Versionen aufgedeckt.
MichaelKunzingerhatdieVorlesungnachunseremSkriptumgehalten
undebenfallseinigeFehlerundUngereimtheitenaufgespu¨rt.Wertvolle
Hinweise zum Inhalt und weiterfu¨hrender Literatur haben uns Chri-
stoph Baxa, Markus Fulmek, Friedrich Haslinger, Arnold Neumaier,
Esther Ramharter und Johannes Schoißengeier gegeben. Die Diskus-
sionen zu vielen Aspekten der Lehre mit Stefan G¨otz, Stefan Haller
und Gu¨nther H¨ormann haben wir besonders genossen. Letzterer hat
auch mehrmals im Anschluss an die Einfu¨hrung“ den Analysiszy-
”
klus gehalten und uns mit wertvollen Anregungen zur Schnittstelle
des Buches zur Analysis geholfen. Profitiert haben wir auch von Ge-
spr¨achen mit Ferenc Domes und Evelyn Stepancik u¨ber ihre prakti-
schen Erfahrungen aus dem Schulunterricht. Viele der U¨bungsaufga-
ben in diesem Buch gehen urspru¨nglich auf die U¨bungsleiterInnen aus
dem Studienjahr 2001 zuru¨ck. Das waren neben oben genannten The-
resia Eisenk¨olbl, Waltraud Huyer, Heinrich Massold und Peter Raith.
Eine wertvolle Unterstu¨tzung waren uns die TutorInnen in den beglei-
1Dabei sehen wir uns im Einklang mit Hinweisen zur Manuskriptgestaltung ver-
schiedener Institute der Universit¨at Wien. Generell scheint die Verwendung des
Binnen-I in O¨sterreich st¨arker verbreitet zu sein als in Deutschland oder der
Schweiz.
Vorwortzur1.Auflage xi
tendenLehrveranstaltungen,allenvoran PetraGrell,ChristophMarx,
Claudia Steinwender und Therese Tomiska. Viele Studierende unserer
Vorlesungen haben mit ihren Anregungen, Kommentaren, Verbesse-
rungsvorschl¨agen und Fragen zum Text beigetragen. Franz Embacher
hat das Projekt Neue Medien in der Mathematikausbildung“ initi-
”
iert, das vom ¨osterreichischen Bundesministerium fu¨r Bildung, Wis-
senschaft und Kultur in den Jahren 2002–04 finanziert wurde, und an
dem wir mit Gewinn teilgenommen haben.
Wir bedanken uns beim Springer Verlag fu¨r die professionelle Un-
terstu¨tzung. Bei der Erstellung des Buches haben uns Clemens Heine
und Agnes Herrmann sehr freundlich betreut, und Frank Holzwarth
hat uns wertvolle TEX-nische Hilfe geleistet.
VonganzemHerzendankenwirunserenEhefrauen,nichtalleinfu¨rihre
Geduldsondernauch fu¨rihrInteresseundihre wertvollenAnregungen
zu Formulierungen und Inhalt; schließlich an unsere Kinder: Danke,
dass Ihr uns ein konzentriertes Arbeiten m¨oglich gemacht habt.
Wien, Mai 2009, HermannSchichlundRolandSteinbauer
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
1.1 Schul- und Hochschulmathematik..................... 4
1.2 Hu¨rden zu Studienbeginn................................ 6
1.3 Zur Verwendung des Buches............................ 9
2 Grundlagen
2.1 Beweise ..................................................... 21
2.2 Indizes....................................................... 28
2.3 Summen, Produkte — Zeichen......................... 33
2.4 Gleichungsumformungen in Beweisen — Stil und
Fallen........................................................ 39
2.5 Vollst¨andige Induktion ................................... 45
3 Logik
3.1 Boolesche Algebren....................................... 65
3.2 Aussagen, Logik........................................... 75
3.3 U¨ber das mathematische Beweisen.................... 101
4 Mengenlehre
4.1 Naive Mengenlehre ....................................... 119
4.2 Relationen.................................................. 144
4.3 Abbildungen................................................ 157
4.4 M¨achtigkeit................................................. 176
4.5 Axiomatische Mengenlehre.............................. 183
5 GrundlegendeAlgebra
5.1 Motivation.................................................. 193
5.2 Gruppen..................................................... 205
5.3 Ringe........................................................ 235
5.4 K¨orper....................................................... 264
6 Zahlenmengen
6.1 Die natu¨rlichen Zahlen ................................ 282
6.2 Die ganzen Zahlen ...(cid:0).................................. 299
6.3 Die rationalen Zahle(cid:2)n ................................. 306
6.4 Die reellen Zahlen ...(cid:3)................................... 314
6.5 Die komplexen Zah(cid:4)len ................................. 337
6.6 Die Quaternionen un(cid:5)d andere Zahlenmengen.... 352
(cid:6)
xiv Inhaltsverzeichnis
7 AnalytischeGeometrie
7.1 Motivation.................................................. 363
7.2 Die Ebene — 2 .......................................... 370
(cid:0)
7.3 Der Raum — 3 .......................................... 407
(cid:0)
7.4 H¨ohere Dimensionen — n............................. 454
(cid:0)
Literaturverzeichnis............................ 471
EnglischePhrasen.............................. 477
Deutsch—Englisch............................ 482
Englisch—Deutsch............................ 493
MathematischeSymbole....................... 506
Theoreme,Propositionen,Lemmata,Korollare. 508
Beispiele....................................... 512
Index........................................... 514
WichtigeSchriften............................. 521