Einflußflächen für Kreuzwerke: Freiaufliegende und über mehrere Öffnungen durchlaufende Systeme PDF
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Einflußflächen für Kreuzwerke Freiaufliegende und über mehrere Öffnungen durchlaufende Systeme Von Dr.-Ing. H. Homberg und Dr.-Ing. J. Weinmeister HagenjWestf. Linza.D. Zweite verbesserte Auflage Mit 40 Abbildungen Springer-Ver lag ISBN 978-3-642-52868-2 ISBN 978-3-642-52867-5 (eBook) DOl 10.1007/978-3-642-52867-5 AIle Rechte, insbesondere das der Ubersetzung in fremde Sprachen, vorbehalten. Ohne ausdriickliche Genehmigung des Verlages ist es auch nicht gestattet, dieses Buch oder Teile daraus auf photomechanischem \Vege (Photokopie, ~Iikrokopie) zu vervielfaltigen. @ by Springer-Verlag Berlin Heidelberg Softcover reprint of the hardcover 2nd edition 1956 Einflu.J3flächen für Kreuzwerke V orwort zur zweiten Auflage. Die vorliegende Neuauflage enthält Lösungen für freiaufliegende und über mehrere Felder durchlaufende Kreuzwerke und daher auch den im Vorwort zur ersten Auflage angekündigten zweiten Teil des Gesamtwerkes. Die Verzögerung in der Herausgabe dieses Teiles ergab sich daraus, daß er völlig neu bearbeitet wurde, da es sich als zweckmäßig erwiesen hat, für durch laufende Kreuzwerke solche Lösungen anzugeben, die beliebigen Stützweitenverhältnissen entsprechen. Die früher für bestimmte Stützweitenverhältnisse errechneten Lösungen konnten wegen Platzmangels leider nicht aufgenommen werden. Weiter wird ein Verfahren zur nähe rungsweisen Berechnung von Kreuzwerken angegeben. Die für die praktische Durchführung von Kreuzwerkberechnungen so nützlichen Tafeln der Querverteilungszahlen wurden durch Aufnahme neuer Tafeln für die Randsteifigkeit I ~ r ~ 2 und für den Balken auf vielen Stützen erheblich erweitert, sie können auch für das Nähe CXJ rungsverfahren verwendet werden. Die zugehörige Theorie ist innerhalb der Arbeiten "Kreuzwerke, Statik der Trägerroste und Platten", Berlin 1951, und "Beitrag zur Kreuzwerkberechnung" , Stahlbau 1954, veröffent licht worden. Dem Deutschen Stahlbauverband, Köln, danke ich für die Förderung der Arbeit, Herrn Dr.-Ing. Weinmeister ganz besonders für die Erweiterung der Tafeln der Querverteilungs zahlen, und meinen Mitarbeitern, insbesondere den Herren Dr.-Ing. Haeussler, Dr.-Ing. Trenks und Dipl.-Ing. Ruhrberg für ihre tatkraftige Unterstützung. Hagen in Westfalen, im Oktober 1955. H. Homberg. Aus dem V orwort zur ersten Auflage. Es werden gebrauchsfertige, im Sinne der Baustatik genaue Lösungen für die Einfluß flächen der statischen Größen geboten, die dazu dienen sollen, dem Statiker eine schnelle Berechnung der mehrfach oder hochgradig statisch unbestimmten Kreuzwerke zu ermöglichen. Die Gleichungen können auch zur Berechnung orthotroper Platten benutzt werden. Zur Erleichterung der Ermittlung und Auswertung der Einflußflächen wurden umfang reiche Hilfsmittel ausgearbeitet. Die genaue Berechnung der Trägerroste kann daher in einem Bruchteil der Zeit durchgeführt werden, die nach üblichen Methoden für die Berechnung der artiger Systeme erforderlich ist. Der vorliegende 1. Teil gibt die Lösungen für die freiaufliegenden Trägerroste über einer Öffnung. Der 2. Teil behandelt die über mehrere Felder durchlaufenden Trägerroste, er liegt im Manuskript fertig vor und wird in Kürze gleichfalls veröffentlicht werden. Da die Bezeichnung "Trägerrost" allgemein sprachlich nicht eindeutig ist, wird für diese Tragwerksart die neue Wortprägung "Kreuzwerk" in Anlehnung an andere bautechnische Bezeichnungen eingeführt. Im Text ist nur die letztere Bezeichnung benutzt worden. In evtl. später erscheinenden Auflagen soll auch im TiteJ der neue Ausdruck erscheinen. Für die Prüfung der Theorie spreche ich dem Bundesverkehrsministerium, für die Zur verfügungstellung der Tafeln der Querverteilungszahlen Herrn Dr.-Ing. Weinmeister, Linz a. D., meinen Dank aus. Dahl bei Hagen in Westfalen, im Oktober 1949. H. Homberg. Inhaltsverzeichnis. Seite v A. Erläuterungen zum Aufbau und Gebrauch der Lösungen .. 1 1. Grundsätzliches zur Ausbildung und Wirkungsweise von Kreuzwerken und verwandten Systemen ............ . 1 2. Begriffsbestimmung und Einführung ....... . 2 3. Bezeichnungen am Kreuzwerk . . . . . . . . 2 4. Beschreibung des Gleichungsaufbaus der Einflußflächen 3 5. Hilfssystem in der Querrichtung . . . . . . . . . 4 6. Lösungen und Tafeln für die Größen Bu bzw. Bu(.) 5 7. Durchlaufende Kreuzwerke ........... . 6 8. Berechnung von Kreuzwaben (orthotropen Platten) . 7 9. Auswertung der Einflußflächen . . . . . . . 8 10. Hüllinien der Biegemomente und Querkräfte . 10 11. Durchführung der Berechnung . . . . . . . 11 12. Näherungsweise Berechnung von Kreuzwerken 12 13. Die Wirkung und näherungsweise Berücksichtigung der Drehsteifigkeit 12 14. Die Wirkung der Schubsteifigkeit . 14 15. Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 B. Lösungen für die Einflußflächen von Kreuzwerken 39 I. Beidseitig frei aufliegende Kreuzwerke über einer Öffnung 39 1. LS J: j6 4. LS r r r J: 2':. a d 2au.b. Li J: X z.. 5. fS, r r r J: r :6 b e 3. t5. J: :I X 2':. 6. LSxzrn :Iuu:6 c f II. Kreuzwerke über einer Öffnung, links frei aufliegend, rechts fest eingespannt . 57 1. LS :I ~ 3. LS i r J: ~. 9 4. LSiii:ff--___ _ :::UllX ~ 2. t5. r 'f ~ j h m. Kreuzwerke mit unendlich vielen, unendlich schmalen Querträgern beiderseits starr eingespannt 64 I.~~T II Z L _____ .IIIIII ~ I ~ IV. Durchlaufende Kreuzwerke über zwei Öffnungen ..... . . . . . . . 64 J,rJ cl, erJ J,l'J co{ (pI f r :r: 1 1 CJ~7tJ:f 1. ~ Je ~ 2. • L --_,....---~Z----i k m Inhaltsverzeichnis. VII Seite V. 72 cf, er! 1. 2. ---+.-----~l-----+-- n o VI. Ordinaten IM der Biegelinien des Balkens auf zwei Stützen . 79 ........ C. Tafeln der Einflußflächen usw. von Kreuzwaben (orthotropen Platten) 80 [ W [ 1. 3. W ) P r m ] i w 2. 4. q s D. Allgemeine Lösungen für die Auflagerkräfte Bil, für Balken auf drei bis zehn elastischen Stützen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 E. Tafeln der Auflagerkräfte Bik von Balken auf elastischen Stützen (Querverteilungszahlen) 98 I. Balken auf 3 bis 8 Stützen . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 i i"' 3i i"' 1. 4. d r1 ~ ~rJ sr 2. ~rJ e~J~ ~~~~J 5. 30 ~rJ 3. J 6. II. Balken auf unendlich vielen Stützen . . 149 1. g ----~ ~ ~ ~ ~----- 2. h ~ ~ ~ ~ ~-------- A. Erläuterungen Aufbau und Gebrauch der Lösungen. ZUlU 1. Grundsätzliches zur Ausbildung und Wirkungsweise von Kreuzwerken und verwandten Systemen. Verwandte Tragwerke sind 1. Kreuzwerke, 2. Plattenkreuzwerke, 3. Plattenrippenwerke, 4. Zellwerke (Hohlstäbe und Hohlplatten) und 5. Platten (Abb. 1). Die Wirtschaftlichkeit dieser ebenen Systeme beruht auf ihrer "Lastquerverteilung" . Last- verteilende Wirkungen derselben sind: 1. Die Biegesteifigkeit der sich in Querrichtung des Tragwerks erstreckenden Teile, 2. die Drehsteifigkeit der Tragwerksteile und 3. die Schubsteifigkeit der horizontal liegenden Platten oder Verbändel. Bei Kreuzwerk und Platte treten allgemein nur die ersten beiden, bei den übrigen Tragwer ken alle drei lastverteilenden Wirkungen auf. Während jedoch beim Zellwerk aUe Wirkungen Iff'euzwef'k 1 I t. I ' l. ~I I 7I I ~r I I 1ZS HT fir Qf Platlellk!'eu zwef'k ....--Plolte ~ I I I ~I I i l--- ~TJ I er P/o!fellrippellwerk .::;.Plolte oe ;r , I ( I I I~ ~I iflr ;Ir [gr EIn tlquel'tl'o.g. el' Hf Ze//werk .::;.Plolte [1 ] I I [ J I' • gf ~ 'HT Platte Hf Piaffe P/offenqlJerschnifl X 2 Abb.l. etwa gleich bedeutsam sein können, überwiegt bei Plattenkreuz- und -rippenwerken meist der erste lastverteilende Effekt und verschwindet der dritte oft vollständig. Bei Vernachlässigung der Schubsteifigkeit der Fahrbahnplatten können Plattenkreuz und -rippenwerke statisch als Kreuzwerke aufgefaßt werden. Die Platte wird längs und quer durchschnitten gedacht und unter Berücksichtigung ihrer mittragenden Breite und Dreh steifigkeit in die Trägheitsmomente der Kreuzwerkträger einbezogen. Wird die Zahl der nebeneinanderliegenden Haupt- und Querträger bei den genannten diskontinuierlichen Systemen so groß, daß der Grenzübergang zu unendlich vielen Trägern gerechtfertigt ist, so können wir diese Tragwerke als Flächentragwerke auffassen. Wir be zeichnen sie dann als 1. Kreuzwaben (orthotrope Platten), 2. Plattenkreuzwaben, 3. Plattenrippenwaben und 4. Zellwaben (Hohlplatten). 1 Inwieweit bei unten offenen Br~ckenprofilen die Wirkung der "Wölbkrafttorsion" der Wirkung der Schub steifigkeit gleich ist, ist noch nicht wissenschaftlich geklärt. Homberg, Kreuzwerke, 2. Auf!. 1 2 A. Erläuterungen zum Aufbau und Gebrauch der Lösungen. Die genaue Theorie der Kreuzwerke und -waben wurde u. a. vom Verfasser 1, 2, diejenige für Plattenkreuz- und -rippenwerke ebenfalls vom Verfasser3, für Plattenkreuz- und -rippen waben von Trenks4 angegeben. Für Zellwerke fehlt bisher ein genaues Berechnungsverfahren. Das vorliegende Buch befaßt sich mit Kreuzwerken und -waben. Die angegebenen, ge brauchsfertigen Lösungen können unter Vernachlässigung oder bei näherungsweiser Berück sichtigung der Drehsteifigkeit auch zur Untersuchung drehsteifer Tragwerke verwendet werden. 2. Begriffsbestimmung und Einführung. Tragwerke aus zwei Scharen sich kreuzender Träger nennen wir Kreuzwerke (Trägerroste), wenn die äußeren Lasten senkrecht zum Tragwerk stehen, Rahmenwerke, wenn sie in der Ebene des Tragwerks liegen. Der Kreuzungswinkel der beiden Trägerscharen eines Kreuz werks ist beliebig. Die Verbindung der Träger in den Kreuzungspunkten sei zug-, druck- und biegefest. Beim zweiseitig gelagerten Kreuzwerk einer Brücke besteht die erste Schar aus den in den Lagern unterstützten Hauptträgern, die zweite Schar wird von den lastverteilenden Querträgern gebildet, die vom linken zum rechten Randhauptträger durchlaufen. Außer den lastverteilenden Querträgern können noch Nebenquerträger und Querrahmen angeordnet sein, die nur zur Unterstützung der Fahrbahntafel bzw. zur Stabilisierung des Tragwerks dienen, deren Wirkung jedoch vernachlässigt wird. Die lastverteilenden Querträger werden daher für die Folge kurz Querträger genannt. Die vorliegenden, genauen Lösungen für die Einflußflächen der Kreuzwerke mit mehreren Querträgern wurden durch Einführen von Lastgruppen gewonnen\ die in Tragwerklängsrich tung ausgerichtet sind und eine solche Unterteilung der Elastizitätsgleichungen bewirken, daß innerhalb der Matrix der Elastizitätsgleichungen unabhängige Gleichungsgruppen entstehen, die untereinander und mit den Elastizitätsgleichungen des Durchlaufbalkens auf starren Stützen sowie mit denen des Durchlaufbalkens auf elastisch senkbaren Stützen eng verwandt sind. Hierbei erstreckt sich das erstgenannte Hilfssystem in Längs-, das zweite in Queriichtung des Kreuzwerks. Daraus folgend konnte jede statische Größe am Kreuzwerk als Summe von Produkten von statischen Größen, 1. längs, am Durchlaufbalken auf starren Stützen und 2. quer, am Durchlaufbalken auf elastisch senkbaren Stützen entwickelt werden. Durch diese Zurückführung auf bekannte System9 führte das B9rechnungs verfahren unmittelbar zu geschl03senen, gebrauchsfertigen Lösungen, die ohne Eingehen auf die Theorie verwendet werden können. In den Lösungen ist stets Anzahl und Steifigkeit der Hauptträger beliebig, jedoch ist vorausgesetzt worden, daß Haupt- und Qllerträger jeweils gleiche Stützungsart und unveränderliches Trägheitsmoment über die angegebene Länge aufweisen. Die Gleichungen können mit guter Näherung auch für Kreuzwerke mit gleich bleibender Stegblechhöhe und abgestuften Gurtplatten . zugelassen werden. 3. Bezeichnungen am Kreuzwerk. Jeder Ort am Kreuzwerk, Abb.2, muß wegen der Flächenwirkung des Tragwerks durch zwei Zeichen bestimmt werden. Die m Hauptträger einer Brücke werden mit den Buchstab en a, b, ... , i, k, ... , m; die n Q,18rträger mit den Zahlen 1,2,3, ... , h, J', ... , n benannt. Die allgemeine Bezeichnung eines Hauptträgers ist also i oder k, die eines Q.lerträgers h oder i Bei der Ortsbestimmung bezeichnet stets der erste der b9iden Zeiger das untersuchte Kon struktionsglied. Für die Hauptträgerberechnung bezeichnen wir einen Knoten daher mit ih, 1 Homberg, H.: Kreuzwerke, Statik der Trägerroste und Platten (Forschungshefte aus dem Gebiet des Stahl- baues, Heft 8.) BerlinjGöttingenjHeidelberg: Springer 1951. 2 Hom berg, H.: Beitrag zur Kreuzwerkberechnung. Stahlbau 1954. 3 Homberg, H.: Über die Lastverteilung durch Schubkräfte, Theorie des Plattenkreuzwerks. Stahlbau 1952. 4 Trenks, K.: Beitrag zur Berechnung anisotroper-orthogonaler Rechteckplatten. Bauingenieur 1954. 4. Beschreibung des Gleichungsaufbaus der Einflußflächen. 3 für die Querträgeruntersuchung jedoch den gleichen Knoten mit hi. Ein beliebiger Schnitt an einem Hauptträger i hat die Entfernungen x und x' von den Auflagern, er wird i x genannt. Wird die Hauptträgerlänge in gleiche Teile eingeteilt, so werden die Schnitte am Hauptträger mit i 0; i 0,5; i 1; ... bezeichnet. Ein Schnitt am Querträger h hat die Entfernungen y und y' von den Randträgern, er wird mit h y be zeichnet. Eine Einzellast P = 1, die sich auf LÖflgsschflilf der Kreuzwerkgrundfläche bewegt, hat die Entfernungen u und u' von den Auflagern, v und v' von den Randhauptträgern. Wir be- zeichnen diesen Ort, mit uv. Steht die Last P = 1 in u auf einem Hauptträger k, so heißt dieser Ort ku, steht sie jedoch in v auf einem Crufldri// Querträger j, so heißt dieser Ort jv. Jede statische Größe - Knotenkraft K, " 1 2 j /1, Querkraft Q, Biegemoment Mund Durchbie- a l; 11. gung 0 - erhält vier Zeiger, die ersten beiden bezeichnen die Lage des untersuchten Knotens P i/l llV y' L ix + oder Querschnitts, die letzten zwei den Ort ! i der Last, z. B. und ky Kih,uv, Qix,kll> Mhi,uv r Ohll.iv' Zu diesen vier Zeigern kann noch ein Pm ku I fünfter treten, der zur Kennzeichnung der i statischen Größe am Hauptsystem dient, z. B. m I x,1 - x M?x,kU' I Streckenlasten auf Haupt- oder Quer- I .--1--u~ u trägern bezeichnen wir mit Pk oder Ph' die statischen Wirkungen hieraus mit SiX,Pk oder RuersclJflilf 4. Beschreibung des Gleichungsaufbaus I I I I I der Einflußflächen. b m Zur Bildung eines statisch bestimmten oder 1----- lR----i unbestimmten Hauptsystems wurden die Kno tenverbindungen der n Querträger mit den ~-------b-----~ (m - 2) inneren Hauptträgern gelöst. Bei n Abb.2. Querträgern wurden n Lastgruppen mit je n Gruppenlasten zur Unterteilung der Matrix der Elastizitätsgleichungen eingeführt. Beim Kreuz werk mit 3 lastverteilenden Querträgern traten z. B. die in Abschnitt B I 3 dargestellten n = 3 Gruppenbelastungen auf. Die Lösungen bestehen aus der statischen Größe am Hauptsystem und bei n Querträgern aus n statisch unbestimmten Reihengliedern. Die einzelnen Reihenglieder sind durch Zeiger in Klammern bezeichnet. Die Knotenkräfte erhalten positives Vorzeichen, wenn sie am los gelösten Hauptträger auf zwei Rtützen positive Momente erzeugen. Beim Kreuzwerk mit drei Querträgern lautet z. B. die Gleichung für die Knotenkraft K il: ~i1,kU + "'2 "'1 = Ih YU(l) Cik(l) YU(2) Cik(2) - Yu.(3) Cik(3) und für das Hauptträgerbiegemoment Mi2 in x = l/2: + + + Mi2, ku = M~2, ku l "'3 YU(l) CUd1) 0 l "'4 Yu(3) Cik (3), i = a ... m, k = a ... m, für k =t= i ist M?2,kU = O. Zum Hilfssystem längs gehören darin: - "'1 "'2 + "'1 Yu(l) - YU(2) YU(3), 1* 4 A. Erläuterungen zum Aufbau und Gebrauch der Lösungen. als Auflagerkraft Al' bzw. Mg,u - lfl3 Yu(1) - 0 - lfl4 YU(3), + als Biegemoment M eines Durchlaufbalkens der Gesamtlänge lauf n 2 = 5 starren Stützen 2 YU(1), YU(2) und Yu(3) sind die zu den Gruppenbelastungen gehörenden Einheitsbiegelinien. ist die bekannte Einfiußlinie des Balkens auf zwei Stützen mit der Mittel~mdinate M?2, i2 = l/4. Zum Hilfssystem quer gehören darin: und 0i/'(1), 0ik(2) 0ik(3)' als Auflagerdrücke von drei, verschieden steifen Durchlaufbalken der Länge lQ auf m elasti schen Stützen. Die Steifigkeiten dieser drei Durchlaufbalken werden ausgedrückt durch die Kreuzsteifigkeiten der Gruppenbelastungszustände Das Hilfssystem längs tritt in den Lösungen nicht besonders hervor, da alle Größen, die zu ihm gehören, konstante Größen darstellen. Das Hilfssystem quer ist abhängig von Anzahl, Steifigkeit und Abstand der Hauptträger, es muß besonders behandelt werden. 5. Hilfssystem in der Quel'richtung. Im Kreuzwerk mit einem lastverteilenden Querträger bildet der Querträger für Lasten in der Vertikalebene desselben den elastisch gestützten Durchlaufbalken, die Hauptträger selbst a) JiIJßere Lost om !JlJrch/o,!/oolken P-1 Ollrch/0%olken f2 i Ir m tloslischeL P -1 tloslische -Jl-üYtzen: l "i-F'a-hryblJh-n=lf(/e-l _-_r Jlntilz;en- Bai BU Bh Bmi 1 f 1 ! f f t b) '!lurchla'!/balken " (Iaslisehe Slützen Abb.3. b) Äußere Losloneiner elaslischen Sliilze sind die elastischen Stützen, Abb. 3a und b. Die P-l Auflagerdrücke dieses Systems nennen wir B ik> Elaslische SIiJlzen wenn die Lasten nur am Querträger angreifen, 0il" wenn sie an den Stützen selbst angreifen, t t t Im lr Abb. 4a und b. 4rl [mi Es bestehen die Beziehungen: 0il,; = Bik, für k =1= i und Oii = Bii - 1 . Cu I Als Kennwert der Steifigkeitsverhältnisse obiger Tragwerke führen wir die Begriffe C•a i t Ct ki C,m i c:: _OJ Kreuzsteifigkeit z und Randsteifigkeit r Ourc!lloo/bolkefl ein. Abb.4.
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