Einfhrung in die Moderne Matrix-Algebra : mit Anwendungen in der Statistik

275 Pages·2006·7.15 MB·German

by  Karsten Schmidt

2 SPEZIELLE MATRIZEN
2.1
NULLMATRIZEN UND EINSMATRIZEN
Definitionen:
• R heiBt Nullmatrix, weiin
ist. Ftir R schreibt man
fo - 0^
o =
to - oj
bzw.
.0.
R heiBt Einsmatrix, wenn
mxn
ry=l{i^l,...,m;j = l,...,n)
ist. Fiir R schreibt man
(I - n
bzw.
^A
viy
28 2 Spezielle Matrizen
Eriauterungen:
• Eine Matrix heiBt NuUmatrix, wenn alle Elemente gleieh 0 sind. Ein
Vektor, dessen Elemente alle gleieh 0 sind, heiBt NuUvektor.
• Eine Matrix heiBt Einsmatrix, wenn alle Elemente gleieh 1 sind. Ein
Vektor, dessen Elemente alle gleieh 1 sind, heiBt Einsvektor. Als Sym
bol fiir den Einsvektor wird ausnahmsweise kein Kleinbuchstabe ver-
wendet, sondem die fettgedruckte Zahl 1.
Regein:
2.1.1 A-A= O ; A+ O =A
mxn mxn mxn mxn
2.1.2 X0=0
2.1.3 AO^O;OA=0
mxn nxl mxl Ixm mxn Ixn
n
2.1.4 a' 1 = I'fl = V a^ Gesamtsumme der Elemente von a
1I xvy-nM nt/tx\/\l /S=^1^^
m n
2.1.5 V A \ =y\y\ciij Gesamtsumme der Elemente von y4
Xxm mxn nx\ T^ . .
r n ^
7=1
2.1.6 A 1 ^ Zeilensummen von^
mxn nxl
I".
mj
f m m
2.1.7 I' A = Spaltensummen von A
Ixmmxn
2.1.8 / = 1 1' ; O = o o'
mxn mxllxn mxn mxllxn
2.1.9 J = J , O = O
mxn nxm mxn nxm
2.1.l| J J =n J ; O O = O
li mxnnxp mxp mxnnxp mxp
2 Spezielle Matrizen 29
fyi\
2.1.11 J 1 =nl
mxnnxl mx\
V«/
2.1.12 r / =mV ={m
m]
\xm mxn Ixn
Beispiele:
(\ 2^
1) A = 2 0 ; 0; X
3x2 3x1
.2 4.
r - A +
1x2 ]x 3\ 3x2 3x2) 1x2
n
rn
ri 2^
1 M
2) / = ; 1 = ; h =
uJ
2x2 1 1) 2x2 b 4J 2x1 2x1 1
K2j
*'! = (! i)[l] = l-H-i-l = f
a)
/A
b) 1'1 = (1 1) = M + M = 2
vly
ri\ M M 1 r
c) 11 = (1 1) =
11 11
viy
.1 I
^1 2^ M + 2-1
d) Al =
v3 4, 3-1 + 4-1
"[v
n 2^
e) l'^ = (l 1)1 l = (M + l-3 l-2 + 1.4) = (4 6)
v3 4,
O 2^ ^A
f) l'^l = (l 1) = (4 6) = 4-l + 6-l = 10
v3 4, vly
30 2 Spezielle Matrizen
(\ 1^ ri 1^ 1^M + M M + M^ 2 2
g) ././- zr 2/
b iJl i iJ M + M M + M 2 2
V
Anmerkungen:
• Die NuUmatrizen spielen bei den Matrizen die gleiche RoUe wie die
Zalil 0 bei den reellen Zahlen (Skalaren).
• Wenn x der Vektor der n Beobachtungen eines Merkmals ist, dann ist
das arithmetische Mittel der Beobachtungen gegeben durch
x=^yx,=^x' 1 =^i'x
«xl
i=\
2.2
QUADRATISCHE MATRIZEN
Definition:
R heiBt quadratische Matrix, wenn
m = n
ist.
Eriauterung:
Eine Matrix ist quadratisch, wenn sie genauso viele Spalten wie Zeilen
hat, z.B. if . Eine quadratische Matrix besitzt eine Hauptdiagonale mit
den Elementen r^^ (/ = !,...,«):
ill 12 fin
'21 /*22 hn
R = n
: :
r
fnl rn2
nn
Anmerl^ung:
Matrixprodukte der Form A' A und A A' sind stets quadratisch.
nxm mxn
2 Spezielle Matrizen 31
2.3
EINHEITSMATRIZEN, EINHEITSVEKTOREN UND
BASISMATRIZEN
Definitionen- '
• R heiCt Einheitsmatrix, wenn
{\ wenn/= 7 ,
{i,j = \,...,n)
''^{Q sonst ^''
ist. Fiir R schreibt man
(\ 0 ••• 0>
0 1 ••• 0
/ =
,0 0 - \)
• r heiBty-ter Einheitsvektor im R", wenn
«xl
\\ wenn/ = y
0 sonst
ist. Ftir r schreibt man Cj.
R heiBt (A:,/)-te Basismatrix, wenn
r 1 wenn / = k undj = / . v
•^ 0 sonst
ist. Ftir R schreibt man 5^;.
• Sjj ER heiBt Kronecker-Delta, wenn
1 falls /• = j
1 laii^i-j . .
d„ = i (/ = 1,..., m; / = 1,...,«)
0 falls / ^ j
ist.
Eriauterungen:
• Eine quadratische Matrix heiBt Einheitsmatrix, wenn alle Elemente
ihrer Hauptdiagonale Einsen und alle tibrigen Elemente NuUen sind.
Als Symbol benutzen wir /. Es gilt
32 2 Spezielle Matrizen
• Ein Vektor, desseny-tes Element eine Eins und dessen iibrige Elemente
Nullen sind, heiBt (/-ter) Einheitsvektor im W^. Als Symbol benutzen
wir Cj,
Es gibt genau n Einheitsvektoren im R", z.B. im M^
fl^ fo^ f^l
0 1 0
^1 = ; ^2 ~ '^3 =
3x1 loj 3x1 loj 3x1 lu
Matrizen B^j, die nur an der Stelle [ij') eine 1 aufweisen und deren
tibrige Elemente alle 0 sind, heiBen Basismatrizen.
Regein:
2.3.1 ^ / = / A =A
mxnnxn mxmmxn
2.3.2 5^. = e, ej
mxn mxl \xn
n
2.3.3
«><' ,=1 nxl
2.3.4 I ^f^B, = f^e,e;
^^^ l-l nxn i=i nxl
n
2.3.5 a =Y,a^ei Basiseigenschaft der e,
«xl ;=1 «xl
2.3.6 ^ = SZ^iJ ^ij=Jlll'^iJ ^i ^J Basiseigenschaft der By
i=\ j=\ mxn i=\ j=l mxl Ixn
23 J ay = e^ A Cj = Cj A'e^
Ixmmxnnxl
2.3.8 a.j = A Bj =^ay e,
mxl mxn nxl i=l 'wxl
2 Spezielle Matrizen 33
2,3.9 a, = A' e, =ll^ij^j
nx\ nxmmxl j -\ „xl
2.3.10 A ^Y.^i^'i^ =1L»J^1
2.3.11 By A =e,. fl/
kxm mxn kxl Ixn
2.3.12 A By = fl.,. ej
mxn nxk mx\ \xk
2.3.13 AByC = a,C;
mxn nxk kxl mx\ \xl
2.3.14 By AB,^=aj,B^^
kxm mxn nxl kxl
2.3.15 5y=e,ej
Ixnnxl
2.3.16 Bye,=Sj,e,
mxn nxl fnxl
23 Al e;By^S,,e;
Ixm mxn ixn
2.3.18 ByB,,=Sj,B,,
mxn nxk ^^k
2.3.19 ByBj,=B,,
mxn nxk f^^k
23.20 B.. B^^ = O falls r^j
mxk
I nxk
Beispiele:
(\ 2^
1) A = 2 0
U
ixl 4J
34 2 Spezielle Matrizen
(\ 0 0"!( \ 2\
a) I A = 0 1 0 2 0
3x33x2
.0 0 ij 2 4,
^•l + 0-2 + 0-2 l-2 + 0-0 + 0-4'| (\ 2\
0-1 + 1-2 + 0-2 0-2 + 1-0 + 0-4 = 2 0 = A
0-1 + 0-2 + 1-2 0-2 + 0-0 + 1-4 12 4J
b)
M + 2-0 l-O + 2-l'l (\ 2\
2-1 + 0-0 2-0 + 0-1 2 0 = A
2-1 + 4-0 2-0 + 4-1 2 4
ri 0 0^ (0 0 0^
2) 0 0 0 0 0 1
; ^23 ^
3x3 3x3
^0 0 0^ ^0 0 0^
10 0 0^ ro 0 0 0^
3)
0 0 0 0 ^23 = 0 0 10
2x4
Anmerkungen:
• Die Spalten der Einheitsmatrix / sind die n Einheitsvektoren im R":
I=[e, ^n]
• Die Einheitsmatrizen spielen bei den Matrizen die gleiche RoUe wie die
Zahl 1 bei den reellen Zahlen (Skalaren).
• Im einfiihrenden Beispiel wurde die Technologische Matrix T durch
Subtraktion der Direktbedarfsmatrix D von der Einheitsmatrix erzeugt.
• Basismatrizen sind nicht notwendigerweise quadratisch.
2 Spezielle Matrizen 35
2.4
DIAGONALMATRIZEN UND DREIECKSMATRIZEN
Definitionen:
• R heiBt Diagonalmatrix, wenn
r^. =0 ftiralle i^ j[i,j = \,,..,n)
ist.
• R heiBt obere Dreiecksmatrix, wenn
nxn
Vy = 0 flir alle / > j {ij = I,...,/?)
ist.
• R heiBt untere Dreiecksmatrix, wenn
nxn
ry=0 fur alle i <j [ij'= l,..,n)
ist.
Eriauterungen:
• Eine quadratische Matrix heiBt Diagonalmatrix, wenn alle Elemente,
die auBerhalb der Hauptdiagonale stehen, NuUen sind. Die Elemente
der Hauptdiagonale sind beliebig, d.h. sie konnten alle gleich oder un-
terschiedlich sein und dort konnten (auch) NuUen stehen.
• Eine quadratische Matrix heiBt obere (untere) Dreiecksmatrix, wenn
alle Elemente, die unterhalb (oberhalb) der Hauptdiagonale stehen, Nul-
len sind. Die Elemente der Hauptdiagonale und oberhalb (unterhalb)
der Hauptdiagonale sind beliebig.
Beispiele:
Die folgenden Matrizen sind Diagonalmatrizen:
0 0^
0 a 0
1) A = 22
nxn
0 0
36 2 Spezielle Matrizen
2) /
nxn
o
3)
Die folge nden Matrizen sind Dreiecksmatrizen:
(I 2^
4) (obere)
.0
g
^) (untere)
ri 0 x'
6) 0 0 -X (obere; auch unter
lo
0 2,
7) / (obere und untere)
nxn
Anmerkungen:
• Alle Einheits- und alle quadratischen NuUmatrizen sind Diagonalmatri-
zen.
• Alle Diagonalmatrizen sind (obere und untere) Dreiecksmatrizen.
2.5
SYMMETRISCHE MATRIZEN
Definition:
R heiBt symmetrische Matrix, wenn
R' = R
ist.
Eriauterung:
Eine quadratische Matrix ist symmetrisch, wenn sie mit ihrer Transpo-
nierten iibereinstimmt, wenn also die Elemente auBerhalb der Hauptdi-
agonale achsensymmetrisch zur Hauptdiagonale sind.
Korrespondierende Spalten und Zeilen sind dann identisch, d.h. die
y-te Spalte ist gleich dery-ten Zeile (7 = 1,...,«):