Eine kanonische Form zur Darstellung äquivalenter Codes [PhD thesis]

188 Pages·2014·1.471 MB·German

by  Thomas Feulner

Dissertation
Eine kanonische Form zur Darstellung
äquivalenter Codes
– Computergestützte Berechnung und ihre Anwendung in der
Codierungstheorie, Kryptographie und Geometrie –
Von der Universität Bayreuth
zur Erlangung des akademischen Grades eines
Doktors der Naturwissenschaften (Dr. rer. nat.)
genehmigte Abhandlung
von
Thomas Feulner
geboren am 16. Februar 1982
in Bayreuth

Vorwort
DievorliegendeArbeitentstandindenJahren2008bis2013anderUniversitätBayreuth
unter Betreuung von Herrn Prof. Dr. Adalbert Kerber. Seiner beherzten Initiative ist es
zu verdanken, dass ich nach dem Diplom meine Forschungsarbeit zur Kanonisierung li-
nearerCodes fortsetzenkonnte.Meinem Doktorvatermöchteich fürseineUnterstützung
und das allzeit entgegengebrachte Vertrauen herzlich danken.
Als weiterer Glücksfall erwies sich für mich, dass nach der Emeritierung von Herrn
Prof. Dr. Kerber die Arbeitsgruppe durch Prof. Dr. Alfred Wassermann und PD Dr.
Axel Kohnert fortgeführt wurde. Ihnen ist es zu verdanken, dass die Finanzierung mei-
ner Arbeit, zunächst über ein Stipendium der Bayerischen Eliteförderung und schließlich
im Rahmen des DFG Schwerpunktprogramms 1489, sichergestellt werden konnte. Zu-
tiefst betroffen bin ich immer noch darüber, dass ich Dir, Axel, diesen Dank nicht mehr
persönlich aussprechen kann.
Für eine konstruktive und stets unkomplizierte Zusammenarbeit bedanke ich mich
bei allen weiteren Kollegen der Arbeitsgruppe, die mit hilfreichen Diskussionen und
RatschlägenzudieserArbeitbeitrugen.InsbesonderemeinenBürokollegenMichaelKier-
maier und Johannes Zwanzger sowie Elvira Rettner möchte ich aber hiermit nochmals
gesondert, für die angenehme Arbeitsatmosphäre und ein allzeit offenes Ohr bei Fragen
und Problemen danken.
Meine Eltern, Roswitha und Gerhard, haben mich mit Aufnahme des Studiums bis
heute kontinuierlich und bedingungslos unterstützt. Meine Freundin Melanie stand mir
immer liebevoll motivierend auf dem langen Weg bis zur Promotion zur Seite. Für das
entgegengebrachte Verständnis möchte ich mich von ganzem Herzen bei ihnen bedanken.
Eckersdorf, im März 2014 Thomas Feulner

Inhaltsverzeichnis
1. Einleitung 1
2. Grundlagen 7
2.1. Gruppen und Gruppenoperationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2. Graphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3. Endliche Kettenringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3.1. Moduln und lineare Codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3.2. Distanzen und Isometrien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4. Komplexität der Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3. Kanonisierungsalgorithmen 29
3.1. Grundbausteine der Kanonisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.1.1. Kanonisierung mittels Homomorphieprinzip . . . . . . . . . . . . 30
3.1.2. Kanonisierung über Untergruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2. Partitionen und Verfeinerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2.1. Zur Kanonizität unter isomorphen Gruppenoperationen . . . . . . 44
3.2.2. Ausnutzen bekannter Automorphismen . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2.3. Implementierungsdetails . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.2.4. Spezialfall: Die Kanonisierung von Graphen . . . . . . . . . . . . 54
3.2.5. Iterierte Verfeinerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.3. Gruppen der Gestalt G(cid:111)ϕ SP0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.3.1. Innere Kanonisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.3.2. Gleichwertiger Algorithmenentwurf . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4. Endliche Kettenringe 71
4.1. Weitere Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.2. Automorphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5. Lineare Codes über endlichen Kettenringen 87
5.1. Generatormatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.1.1. Reformulierung der Gruppenoperation . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.1.2. Die Operation von (GLk(R) R∗n)(cid:111)AutT . . . . . . . . . . . . 96
5.2. Ein Kanonisierer . . . . . . . . . .×. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.2.1. Innere Kanonisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
5.2.2. Äußere Verfeinerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
iii
Inhaltsverzeichnis
5.2.3. Zur Kanonizität der kanonischen Repräsentanten bei isomorphen
Ringen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
6. Modifikationen & Anwendungen 133
6.1. Lineare Codes über Galois-Ringen der Charakteristik 4 . . . . . . . . . . 133
6.1.1. Klassifikation verallgemeinerter Teichmüller-Codes . . . . . . . . . 133
6.1.2. Automorphismen von verallgemeinerten Kerdock-Codes . . . . . . 136
6.2. Klassifikationsprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
6.2.1. Lineare Codes über endlichen Körpern . . . . . . . . . . . . . . . 139
6.2.2. Nichtexistenz eines extremalen, selbstdualen Codes der Länge 72
mit vorgeschriebenen Automorphismen . . . . . . . . . . . . . . . 141
6.2.3. Lineare Codes über endlichen Kettenringen der Ordnung 4 . . . . 144
6.2.4. Kryptographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
6.3. Network- und -lineare -Codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
Fq Fqr
6.3.1. Network-Codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
6.3.2. -lineare -Codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
Fq Fqr
6.3.3. Ein Kanonisierer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
7. Entwickelte Programme 155
7.1. Sage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
7.1.1. Lineare Codes über endlichen Körpern . . . . . . . . . . . . . . . 155
7.1.2. Lineare Codes über endlichen Kettenringen . . . . . . . . . . . . . 156
7.2. C++ Implementierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
7.2.1. Installation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
7.2.2. Benutzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
8. Zusammenfassung & Ausblick 161
A. Untergruppen der Automorphismengruppe eines Kettenrings 165
iv
Abbildungsverzeichnis
3.1. Homomorphieprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2. Kanonisieren mittels Homomorphieprinzip; Aufspalten . . . . . . . . . . 31
3.3. Kanonisieren mittels Homomorphieprinzip; Verschmelzen . . . . . . . . . 35
3.4. Illustration von Fakt 3.2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.5. Iterierte Verfeinerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.6. Suchbaum zu Beispiel 3.2.29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.7. Isomorphie der Suchbäume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.1. Graph (Γ) zu Beispiel 5.2.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
G
Tabellenverzeichnis
4.1. Totalordnung auf F4[X]/(X2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
6.1. Laufzeiten des Kanonisierers für . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
q,k,s
6.2. Parameter, für welche keine lineaTren Codes existieren . . . . . . . . . . . 140
6.3. Anzahl nicht isomorpher [n,k,d]d⊥-Codes für d 6 mit Unterscheidung
nach d⊥ . . . . . . . . . . . . . 4. . . . . . . . .≥. . . . . . . . . . . . . . 141
6.4. Resultate im Fall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
Z7
6.5. Klassifikationsergebnisse für Kettenringe der Kardinalität 4 . . . . . . . . 145
6.6. Minimaldistanz der Gray-Bilder der Codes aus Tabelle 6.5 . . . . . . . . 146
v
Algorithmenverzeichnis
5.1. MinStep . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.1. MinStep (Fortsetzung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.2. MinimizeDependent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5.3. MinimizeIndependent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
5.4. InnerCan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
A.1. Berechnung eines Erzeugendensystems für Aut . . . . . . . . . . . . . . 166
T
vi
Symbolverzeichnis
X Eine Gruppenoperation von G auf einer Menge X, Seite 7
G
G X Die Bahnen einer Gruppenoperation X, Seite 7
G
\\
Fix (X) Die Fixpunkte der Operation von G auf X, Seite 7
G
(G) H H G , Seite 7
L { | ≤ }
(G) Hg H G, g G , Seite 8
C { | ≤ ∈ }
CF (x) Der kanonische Repräsentant einer Bahn Gx, Seite 8
G
TR (x) Ein Transporterelement zu einer Kanonisierung CF , Seite 8
G G
Stab (x) Der Stabilisator von x X zu einer Gruppenoperation X, Sei-
G G
te 9 ∈
CanX Ein Kanonisierer zu einer Gruppenoperation X, Seite 9
G G
[n] 0,...,n 1 , Seite 9
{ − }
Rad(R) Das Jacobson-Radikal eines Rings R, Seite 13
θ Ein Erzeuger von Rad(R), Seite 14
per(x) Die Periode eines Elements x M, Seite 14
R
∈
ht(x) Die Höhe eines Elements x M, Seite 14
R
∈
shp(M) Der Umriss eines R-Linksmoduls M, Seite 15
rg(M) Der Rang eines R-Linksmoduls M, Seite 15
λ Ein fest vorgegebener Umriss der betrachteten linearen Codes,
Seite 16
Rk×n,λ Die Menge aller Generatormatrizen zu allen linearen Codes der
Länge n vom Umriss λ = (λ ,...,λ ), Seite 16
0 k−1
T(x,G) Der Suchbaum zur Definition von CanX, Seite 39
G
I(x,Hg) Die Partitionierungsvorschrift im Suchbaum T(x,G), Seite 39
V(x,Hg) Die Verfeinerungsvorschrift im Suchbaum T(x,G), Seite 40
L(x,G) Die Menge aller Gruppenelemente, welche Blätter von T(x,G)
definieren, Seite 40
L (x,G) g L(x,G) gx = CF (x) , Seite 41
0 G
{ ∈ | }
B(x,Hg) Die Bewertung des Knotens Hg im Suchbaum T(x,Hg), Seite 42
p Die Färbung der Koordinaten bezüglich der Partition p, Seite 51
F
P Eine kanonische Partition zu [n], Seite 51
vii
Symbolverzeichnis
S Die(kanonische)Young-UntergruppezurPartitionpvon[n],Sei-
p
te 51
T(x,G) Der Backtrackbaum, welcher auch die Zwischenschritte bei der
Gewinnung von T(x,G) angibt, Seite 60
P Eine fest vorgeschriebene kanonische Partition von [n] (später
0
S = Stab (µ)), Seite 61
P0 Sn
C(G(cid:111)SP0) (cid:8)H (cid:111)SP(g;π) ∈ C(G(cid:111)SP0) | H (cid:111)SP ∈ L(G(cid:111)SP0)(cid:9), Seite 61
L(G(cid:111)SP0) {H (cid:111)SP | H ≤ G,P (cid:22) P0 : H (cid:111)SP ∈ L(G(cid:111)SP0)}, Seite 61
G(f,x) Stab (CF (Π (x))), Seite 65
G G f
F(x,H (cid:111)SP(g;π),i) Die Folge der bereits zur inneren Kanonisierung benutzten Ko-
ordinaten, Seite 65
R[X;σ] Der Schiefpolynomring über R zu σ Aut(R), Seite 71
∈
T Eine fest gewählte Teichmüller-Menge von R, Seite 71
ξ Ein fest gewählter Erzeuger von T∗, Seite 71
coeff(i)(a) Der i-te Koeffizient in der θ-adischen Entwicklung von a R,
Seite 72 ∈
coeff(a) Die Koeffizientenmatrix der (ξ,θ)-adischen Entwicklung von a
R, Seite 72 ∈
coeff(i,j)(a) coeff(a) , Seite 73
i,j
(cid:110) (cid:111)
R(i,j) a Rad(R)j 0 ν < i : coeff(ν,j)(a) = 0 , Seite 74
∈ | ∀ ≤
R∗(i,j) 1+R(i,j), Seite 75
GR(pm,r) DerGalois-RingderCharakteristikpm undKardinalitätprm,Sei-
te 76
τ Der Frobenius-Automorphismus des Koeffizientenrings S von R,
Seite 76
e Die eindeutige Zahl e [r] mit θa = τe(a)θ, Seite 77
∈
χω Die Bijektion von R nach S mit χω(ξ) = ψ und χω(θ) = ω,
ψ ψ ψ
welche durch Fortsetzung über die (ξ,θ)-adischen Entwicklung
definiert wird, Seite 78
Inn(R) Die Gruppe der inneren Automorphismen, Seite 79
Z(R) Die Gruppe der zentralen Einheiten von R, Seite 79
Aut α Aut(R) α(T) = T , Seite 79
T
{ ∈ | }
Aut α Aut(R) α(ξ) = ξ , Seite 79
ξ
{ ∈ | }
Out(R) Aut(R)/Inn(R), Seite 79
GL (R) Diejenige Untergruppe von GL (R), welche auf der Menge aller
λ k
Generatormatrizen vom Umriss λ operiert und deren Bahnen in
Bijektion mit den Codes vom Umriss λ stehen, Seite 88
viii